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\def\N{{\bf N}}
\def\an{a_{n}}
\def\a#1{\alpha^{#1}}
\def\xn{x^{n}}
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\def\ex#1{\vskip 0.3truecm\centerline{#1}\vskip 0.1truecm}
\def\ques#1{\vskip 0.2truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}
\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  1999/2000\par
\noindent{M2SMP}
\vskip 0.1truecm
\centerline{\smc Examen de Math\'ematiques}
\centerline{20 janvier 2000, dur\'ee 3 heures}
\centerline{{\sl Les documents et calculettes sont interdits}}

\ex{I}

On s'int\'eresse au syst\`eme diff\'erentiel $(S)$
$$
\eqalign{
x'(t)&=-x(t)-2y(t)\cr
y'(t)&=x(t)+y(t).}
$$

\ques{1.}Dans quelle rubrique du catalogue se trouve ce syst\`eme ?
\ques{2.}Sur une figure, tracer le lieu des points o\`u la tangente aux trajectoires est horizontale (resp. verticale). Tracer quelques trajectoires, indiquer le sens de parcours.

\ques{3.}Exprimer la solution g\'en\'erale complexe de $(S)$, puis calculer la solution de (S) telle que $x(0)=1$ et $y(0)=0$. On notera $t\mapsto c(t)=(x(t),y(t))$ cette solution. Quelle est sa p\'eriode ?

\ques{4.}On note $w$ le champ de vecteurs d\'efini sur le plan par $w(x,y)=(-x-2y,x+y)$. Calculer la circulation de $w$ le long de la courbe $c$ sur une p\'eriode.

\ques{5.}Quelle est l'aire du domaine plan d\'elimit\'e par la courbe $c$ ?

\ex{II}
On \'etudie le syst\`eme diff\'erentiel du second ordre $\d
(S)~ \matrix{
x''(t)&=-y(t)\cr
y''(t)&=-x(t).}$


\ques{1.}Transformer ce syst\`eme en un syst\`eme diff\'erentiel du premier ordre, de la forme $X'=AX$ o\`u $A$ est une matrice $4\times 4$.

\ques{2.}La matrice $A$ est-elle diagonalisable sur $\R$ ? sur $\C$ ?

\ques{3.}D\'eterminer tous les vecteurs propres r\'eels de $A$. En d\'eduire deux solutions ind\'epen\-dan\-tes de (S).




\ex{III}
On consid\`ere le morceau $S$ de parabolo\"{\i}de hyperbolique param\'etr\'e par $(u,v)\mapsto s(u,v)=(u,v,uv)$ pour $u\in[0,1]$, $v\in[0,1]$. Soit $w$ le champ de vecteurs d\'efini sur $\R^3$ par $w(x,y,z)=(2x,2y,2z)$. 

\ques{1.}Le champ $w$ d\'erive-t'il d'un potentiel ?

\ques{2.}Calculer le flux de $w$ \`a travers la surface $S$. 

\ques{3.}Que vaut la circulation de $w$ le long du bord de $S$ ?

\ex{IV}
Soit $a$ un param\`etre r\'eel. Pour $n$ entier, on pose $\d \un={{n(a-1)}\over{n^{2}+1}}e^{an}$.

\ques{1.}D\'eterminer la limite de la suite $\un$ en fonction de $a$.

\ques{2.}Pour quelles valeurs de $a$ la s\'erie de terme g\'en\'eral $\un$ est elle convergente ?


\vfill\eject
\noindent{Universit\'e de Paris-Sud}\hfill  1999/2000\par
\noindent{M2SMP}
\vskip 0.1truecm
\centerline{\smc Corrig\'e de l'examen de Math\'ematiques}
\centerline{20 janvier 2000, dur\'ee 3 heures}


\ex{I}


\ques{1.}La matrice $\d A=\pmatrix{-1&-2\cr1&1}$ du syst\`eme a pour polyn\^ome caract\'eristique $x^{2}+1$. Elle a deux valeurs propres imaginaires pures, donc $(S)$ est un {\sl centre}.

\ques{2.}La pente des trajectoires vaut 
$\d {{y'}\over{x'}}=-{{x+y}\over{x+2y}}$. 

\noindent
\vtop{\hsize=10cm Le long de l'axe $0x$, elle vaut $-1$ et $y'$ est du signe de $x$. Le long de l'axe $0y$, elle vaut $-1/2$ et $x'$ est du signe de $-y$. Le lieu des points o\`u la tangente aux trajectoires est verticale est donn\'e par l'\'equation $x'=-x-2y=0$. Le lieu des points o\`u la tangente aux trajectoires est horizontale est donn\'e par l'\'equation $y'=x+y=0$.}

\ques{3.}L'espace propre $E_i$ est la droite complexe d'\'equation
$x+(1-i)y=0$. On choisit pour base le vecteur $w=(-1+i,1)$. Alors son conjugu\'e $\overline{w}=(-1-i,1)$ est une base de $E_{-i}$.
La solution g\'en\'erale complexe de $(S)$ s'\'ecrit $c_{1}e^{it}w+c_{2}e^{-it}\overline{w}$, o\`u $c_1$ et $c_2$ sont deux constantes complexes. La solution de condition initiale $(1,0)$ est obtenue si $c_{1}w+c_{2}\overline{w}=(1,0)$, i.e. si
$(-1+i)c_{1}+(-1-i)c_{2}=1$ et $c_{1}+c_{2}=0$. On trouve $c_{1}=-i/2$ et $c_{2}=i/2$, soit $c(t)=\inv2(-ie^{it}w+ie^{-it}\overline{w})=(-\sin t+\cos t,\sin t)$.

Cette courbe param\'etr\'ee est p\'eriodique de p\'eriode $2\pi$.

\ques{4.}La circulation de $w$ le long de $c$ sur une p\'eriode vaut
$$
\int_{0}^{2\pi} ((-\sin t-\cos t)^{2}+(\sin t)^{2})\,dt=\pi.
$$

\ques{5.}La circulation pr\'ec\'edemment calcul\'ee co\"{\i}ncide avec l'int\'egrale de la forme diff\'erentielle $P\,dx+Q\,dy$ o\`u $P=-x-2y$ et $Q=x+y$. D'apr\`es la formule de Green-Riemann, si $D$ est le domaine plan d\'elimit\'e par $c$,
$$
\pi=\int_{c} P\,dx+Q\,dy=\int\int_{D}({{\partial Q}\over{\partial x}}-{{\partial P}\over{\partial y}})\,dx\,dy
=aire(D).
$$


\ex{II}

\ques{1.}On introduit de nouvelles fonctions inconnues $z(t)=x'(t)$ et $w(t)=y'(t)$. Alors $t\mapsto (x(t),y(t))$ est solution de (S) si et seulement si $t\mapsto X(t)=(x(t),y(t),z(t),w(t))$ est solution du syst\`eme $X'(t)=AX(t)$ o\`u $\d A=\pmatrix{0&0&1&0\cr
0&0&0&1\cr 0&-1&0&0\cr -1&0&0&0}$.

\ques{2.}On calcule le polyn\^ome caract\'eristique
$$
det\,\pmatrix{x&0&-1&0\cr
0&x&0&-1\cr 0&1&x&0\cr 1&0&0&x}=x^{4}-1.
$$
La matrice $A$ a des valeurs propres $i$ et $-i$ non r\'eelles, donc elle n'est pas diagonalisable sur $\R$. En revanche, sur $\C$, elle poss\`ede $4$ valeurs propres simples, donc elles est duagonalisable sur $\C$.

\ques{3.}Les vecteurs propres r\'eels de $A$ sont n\'ecessairement relatifs \`a des valeurs propres r\'eelles, soient $1$ et $-1$. 
L'espace propre $E_1$, d\'efini par les \'equations $x=-y=z=-t$, a pour base $v_{1}=(1,-1,1,-1)$.
L'espace propre $E_{-1}$, d\'efini par les \'equations $x=-y=-z=t$, a pour base $v_{2}=(1,-1,-1,1)$. Les vecteurs propres r\'eels de $A$ sont donc les vecteurs de la forme $(x,-x,x,-x)$ ou $(x,-x,-x,x)$ o\`u $x$ est un r\'eel non nul.

Les vecteurs d\'ependant du temps $t\mapsto X_{1}(t)=e^{t}v_{1}$ et $t\mapsto X_{2}(t)=e^{-t}v_{2}$ sont deux solutions ind\'ependantes du syst\`eme $X'=AX$, donc en ne conservant que les deux premi\`eres composantes, on obtient deux solutions ind\'ependantes $u_{1}(t)=(e^{t},-e^{t})$ et $u_{2}(t)=(e^{-t},-e^{-t})$ de (S).

\ex{III}

\ques{1.}On v\'erifie imm\'ediatement que le rotationnel de $w$ est nul. D'apr\`es un th\'eor\`eme du cours, $w$ d\'erive donc d'un potentiel. En fait, on constate que $w$ est le gradient de la fonction $(x,y,z)\mapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}$.

\ques{2.}On calcule $\d {{\partial s}\over{\partial u}}=(1,0,v)$, 
$\d {{\partial s}\over{\partial v}}=(0,1,u)$, $w(s(u,v))=(2u,2v,2uv)$, puis
$$
\eqalign{
({{\partial s}\over{\partial u}}\wedge {{\partial s}\over{\partial v}})\bullet w(s(u,v))
&=det({{\partial s}\over{\partial u}}, {{\partial s}\over{\partial v}}, w(s(u,v)))\cr
&=det\pmatrix{1&0&2u\cr 0&1&2v\cr v&u&2uv}\cr
&=-2uv}
$$
d'o\`u
$$
flux=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} -2uv\,du\,dv=-\inv2.
$$

\ques{3.}Comme $w$ d\'erive d'un potentiel, sa circulation le long de toute courbe ferm\'ee est nulle. C'est le cas en particulier pour le bord de $S$.



\ex{IV}

\ques{1.}Si $a=1$, alors la suite $\un$ est identiquement nulle, donc tend vers $0$. Supposons d\'esormais $a\not=1$. Un \'equivalent simple de $\un$ est alors $(a-1)n^{-1}e^{an}$. Si $a>0$ (et $a\not=1$) cette suite tend vers $signe(a)\infty$. En effet, pour $n$ assez grand, $n\leq e^{an/2}$ donc $n^{-1}e^{an}\geq e^{an/2}$ qui tend vers $+\infty$.
Par cons\'equent, la suite $\un$ ne tend pas vers $0$. Si $a\leq 0$, cette suite est major\'ee en valeur absolue par $|a-1|n^{-1}$ qui tend vers $0$. On conclut que la suite $\un$ est convergente si et seulement si $a=1$ ou $a\leq 0$.

\ques{2.}Si $a=1$, alors la suite $\un$ est identiquement nulle, donc la s\'erie $\sum\un$ converge. Supposons d\'esormais $a\not=1$. 
Si $a>0$ (et $a\not=1$) le terme g\'en\'eral ne tend pas vers $0$ donc la s\'erie $\sum\un$ diverge. Si $a\leq 0$, le terme g\'en\'eral tend vers $0$ et on peut poursuivre l'\'etude. Si $a=0$, $-\un$ est \'equivalent \`a $n^{-1}$, terme g\'en\'eral positif d'une s\'erie divergente, donc la s\'erie $\sum -\un$ diverge. Il en est de m\^eme de la s\'erie $\sum \un$. Si $a<0$, $|\un|$ est major\'ee en valeur absolue par $|a-1|e^{an}$, terme g\'en\'eral positif d'une s\'erie convergente, donc la s\'erie $\sum\un$ converge.

On conclut que la s\'erie de terme g\'en\'eral $\un$ est convergente si et seulement si $a=1$ ou $a<0$.

\bye