\documentclass{article} \usepackage{amsmath, isolatin1} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[dvips]{graphicx} \textwidth=15truecm \textheight=22.8truecm \hoffset=-12mm \voffset=-9mm \baselineskip=12pt \def\R{{\bf R}} \def\C{{\bf C}} \def\Q{{\bf Q}} \def\N{{\bf N}} \def\qed{\vrule height 5pt width 5pt} \def\d{\displaystyle} \def\inv#1{\frac{1}{#1}} \font\smc=cmcsc10 \def\ex#1{\vskip 1truecm\centerline{#1}\vskip 0.2truecm} \def\ques#1{\vskip 0.4truecm \noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm} \begin{document} \noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill 2005\par \noindent{S4MIAS}\hfill Option Topologie \vskip1truecm \centerline{\smc Examen de Topologie, 2ème session} \centerline{\sl 8 septembre 2005, durée 3h} \centerline{\sl Documents et calculettes interdits} \centerline{Barême indicatif : I=12, II=8} \ex{I} \ques{1.}Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue et décroissante au sens large. Montrer qu'il existe \textbf{un et un seul} $c\in[0,1]$ tel que $f(c)=c$. \ques{2.}Pour $n$ entier, $n\geq 1$, soit $f_n$ la fonction définie sur $[0,\pi]$ par $f_n (x)=\frac{1}{n}\sin(nx)-x +1$. Montrer qu'il existe au moins un $x_n \in [0,\pi]$ tel que $f_n (x_n )=0$. Montrer qu'il existe une suite extraite $x_{\phi(n)}$ qui converge vers un réel $\ell$. Montrer que $\frac{1}{n}\sin(nx_{n})$ tend vers 0. En déduire la valeur de $\ell$. \ques{3.}Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$. Calculer et majorer la dérivée $f'$. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R$. \ques{4.}Etudier la convergence de la suite $\d u_n =\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{k^{2}}{n^{2}})^{k/n^{2}}$. \ques{5.}Soit $D$ une droite du plan et $(P_n )_{n\in\N}$ une suite de points du plan. Montrer que, pour chaque $n\in\N$, l'ensemble \begin{eqnarray*} E_n =\{Q\in D \,|\,||Q-P_n||\in\Q\} \end{eqnarray*} des points de $D$ dont la distance à $P_n$ est un nombre rationnel est dénombrable. Montrer qu'il existe un point $Q$ de $D$ dont les distances à tous les points $P_n$ sont irrationnelles, \begin{eqnarray*} (\exists Q\in D)\quad(\forall n\in\N)\quad (||Q-P_n ||\in\R\setminus\Q). \end{eqnarray*} \ex{II} On définit une suite de réels comme suit. Si $n\geq 1$ est un entier dont l'écriture décimale est $n=a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{0}$, on pose $\d u_{n}=\inv{k}(a_{k-1}+a_{k-2}+\cdots +a_{0})$. Autrement dit, $u_n$ est la moyenne des chiffres de $n$. Par exemple, $u_{135}=\inv{3}(1+3+5)=3$. \ques{1.}Calculer $u_{10^k}$ pour $k\in\N$. Calculer $u_{90}$, $u_{9900}$, $u_{999000}$. \ques{2.}Vérifier que pour tout $n\geq 1$, $0\leq u_{n}\leq 9$. La suite $(u_n )_{n\geq 1}$ prend-elle la valeur 0 ? \ques{3.}La suite $(u_{n})$ possède-t-elle des valeurs d'adhérence ? Montrer que si $x$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$, alors $0\leq x\leq 9$. \ques{4.}Montrer que $9/2$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$. \ques{5.}Montrer que la borne inférieure de la suite $(u_n )_{n\geq 1}$ est 0. Montrer que l'ensemble $E=\{u_n \,|\,n\geq 1\}$ possède un plus grand élément mais ne possède pas de plus petit élément. \ques{6.}Soit $r\in]0,9[$ un nombre décimal, $r=p\, 10^{-k}$ où $p\in\N$. Montrer qu'il existe un entier $n$ à $10^k$ chiffres tel que $u_n =r$. Montrer que $r$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_n )$. \ques{7.}Soit $x\in]0,9[$. En utilisant une suite $(r_k )$ de nombres décimaux qui converge vers $x$, montrer que $x$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_n )_{n\geq 1}$. \vfill\eject \noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill 2005\par \noindent{S4MIAS}\hfill Option Topologie \vskip1truecm \centerline{\smc Corrigé de l'examen de topologie, 2ème session} \centerline{\sl 8 septembre 2005, durée 3h} \ex{I} \ques{1.}Soit $g$ la fonction continue sur $[0,1]$ définie par $g(x)=f(x)-x$. Montrons d'abord l'existence d'une solution pour l'équation $g(x)=0$. On a $g(0)=f(0)\geq 0$ et $g(1)=f(1)-1\leq 0$. Comme $f$ est décroissante, il y a trois cas. \begin{itemize} \item Si $g(0)=0$, alors $c=0$ convient. \item Si $g(1)=0$, alors $c=1$ convient. \item Sinon, $g(0)>0>g(1)$, et le théorème des valeurs intermédiaires donne un $c\in]0,1[$ tel que $g(c)=0$. \end{itemize} D'autre part, $g$ est strictement décroissante. En effet, si $0\leq x0$ et $f_n (\pi)=-\pi+1<0$. Comme $f_n$ est continue sur $[0,\pi]$, le théorème des valeurs intermédiaires donne un $x_n \in [0,\pi]$ tel que $f_n (x_n )=0$. La suite $(x_n )$ étant bornée, le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d'extraire une sous-suite $x_{\phi(n)}$ qui converge vers un réel $\ell$. On majore $|\frac{1}{n}\sin(nx_{n})|\leq \frac{1}{n}$ qui tend vers 0, donc $\frac{1}{n}\sin(nx_{n})$ tend vers 0. Or $f_{\phi(n)} (x_{\phi(n)})=0$, donc $x_{\phi(n)} -1=\frac{1}{\phi(n)}\sin(\phi(n)x_{\phi(n)})$ tend vers 0. On conclut que $x_{\phi(n)}$ tend vers 1, i.e. que $\ell=1$. \ques{3.}On calcule $\displaystyle f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2 )^2}$. Comme $1+x^2 -2|x|=(1-|x|)^2 \geq 0$, $2|x|\leq 1+x^2$, donc \begin{eqnarray*} |f'(x)|=\frac{2|x|}{(1+x^2 )^2}\leq \frac{1+x^2}{(1+x^2 )^2}=\frac{1}{1+x^2}\leq 1. \end{eqnarray*} La dérivée $f'$ étant bornée, $f$ est lipschitzienne donc uniformément continue. \ques{4.}Soit $v_n =\ell n(u_n )$. Alors \begin{eqnarray*} v_n &=&\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}\ell n(1+\frac{k^{2}}{n^{2}})\\ &=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n}), \end{eqnarray*} où $f(x)=x\ell n(1+x^2 )$. Comme $f$ est continue sur $[0,1]$, le théorème de convergence des sommes de Riemann s'applique, et $v_n$ converge vers \begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}f(x)\,dx &=&\int_{0}^{1}x\ell n(1+x^2 )\,dx\\ &=& \int_{1}^{2}\frac{1}{2}\ell n(t)\,dt\\ &=&\frac{1}{2}[t\ell n(t)-t]_{1}^{2}=\ell n(2) -\frac{1}{2}. \end{eqnarray*} Par continuité de la fonction exponentielle, $u_n$ converge vers $\exp(\ell n(2) -\frac{1}{2})=2/\sqrt{e}$. \ques{5.}Pour chaque rationnel $r$, il y a au plus deux points de $D$ qui sont à distance $r$ de $P_n$, ce sont les points d'intersection (éventuels) de $D$ et du cercle de centre $P_n$ et de rayon $r$. Comme $\Q$ est dénombrable, cela fait un ensemble dénombrable de points. Pour le prouver de façon plus rigoureuse, on introduit la projection $H_n$ de $P_n$ sur $D$. $H_n$ divise $D$ en deux demi-droites $D^+$ et $D^-$. Les applications $D^{\pm}\cap E_n \to\Q$, $Q\mapsto ||Q-P_n ||$ sont injectives, donc les ensembles $D^{+}\cap E_n$ et $D^{-}\cap E_n$ sont dénombrables. La réunion des $E_n$ est dénombrable, alors que $D$ ne l'est pas. Choisissons un point $Q\in D\setminus\bigcup_{n\in\N}E_n$. Alors pour tout $n$, $||Q-P_n ||\in\R\setminus\Q$. \ex{II} \ques{1.}On trouve $u_{10^k}=\frac{1}{k+1}$ pour $k\in\N$, et $u_{90}=u_{9900}=u_{999000}=\frac{9}{2}$. \ques{2.}Tous les chiffres décimaux de $n$ étant compris entre 0 et 9, il en est de même de leur moyenne $u_n$. Pour que la moyenne $u_n$ soit 0, il faut que tous les chiffres soient 0, ce qui est impossible pour $n\geq 1$. \ques{3.}Comme la suite $(u_{n})$ est bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle possède des valeurs d'adhérence. Soit $x$ une valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$. Alors il existe une suite extraite $(u_{\phi(n)})$ qui converge vers $x$. Comme, pour tout $n$, $0\leq u_{\phi(n)}\leq 9$, on trouve en passant à la limite que $0\leq x\leq 9$. \ques{4.}En extrapolant 1, on constate que pour toutes les valeurs de $n$ de la forme $n=9.10^{k+1} +\cdots+9.10^{2k}$, on a $u_n =9/2$. On pose donc $\phi(k)=9.10^{k+1} +\cdots+9.10^{2k}$. La suite extraite $(u_{\phi(k)})$, extraite de $(u_n )$, est constante, donc elle converge vers $9/2$. Par conséquent, $9/2$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$. \ques{5.}D'après 2, 0 est un minorant de la suite $(u_n )$. D'après 1, la suite extraite $(u_{10^{k}})$ tend vers 0. Par conséquent, 0 est la borne inférieure de l'ensemble $E$. D'après 2, $0\notin E$, donc $E$ n'admet pas de plus petit élément. En revanche, $u_{9}=9\in E$ et $9$ est un majorant de $E$ donc $9$ est le plus grand élément de $E$. \ques{6.}Soit $r=p\, 10^{-k}$. On cherche un entier $n$ à $10^k$ chiffres tel que $u_n =r$. Il suffit que la somme des chiffres soit égale à $p$. Soit $p=9q+b$ la division euclidienne de $p$ par 9. Comme $r<9$, $p< 9\,10^k$ donc $q< 10^k$, On peut donc former un nombre $n$ à $10^k$ chiffres qui contient $q$ fois le chiffre 9, une fois le chiffre $b$, les autres chiffres étant des zéros. La somme des chiffres vaut $q\times 9 +1\times b=p$, donc $u_n =r$. On remarque que $r=10p \times 10^{-k-1}=100p\times 10^{-k-2}$, etc... En général, si $m\in\N$, $r=10^{m}p\times 10^{-k-m}$. Il existe un entier $n=\phi(m)$ à $10^{k+m}$ chiffres tel que $u_{n}=r$. Alors la suite extraite $(u_{\phi(m)})$ est constante, donc converge vers $r$. Cela prouve que $r$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_n )$. \ques{7.}Soit $(r_k )$ une suite de nombres décimaux qui converge vers $x$. Comme $0\frac{8}{9}, \end{eqnarray*} donc $\d\frac{8}{9}-10^{-n}