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\def\exo{\par\vskip0.3cm
\advance\numero by 1
\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Feuille d'exercices de mathématiques n$^{0}$0 (révision)}
\end{center}
\vskip1cm


\exo
Soit $f:{\bf R}^3\to {\bf R}^ 2$ l'application
lin\'eaire d\'efinie par
$$f(x,y,z)=(2x+y-z,3x-2y+4z)$$
Trouver la matrice de $f$ dans les bases canoniques de ${\bf R}^3$ et
${\bf R}^ 2$, puis lorsque dans ${\bf R}^3$ on utilise à la place de la base canonique la base suivante
$$v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,0),v_3=(1,0,0).$$

\exo
Soit
$v_1=(1,0,0),v_2=(5,-2,2),v_3=(-1,1,2)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $v_1,v_2,v_3$ forment une base de ${\bf R}^3$ et
\'ecrire la matrice de passage de la base canonique \` a la base $v_i$
puis celle de $v_i$ \` a la base canonique.
\item Soit $f:{\bf R}^3\to {\bf R}^ 3$ l'application
lin\'eaire de matrice dans la base canonique
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&3&-2\\0&0&1\\0&2&1
\end{array}\right).$$
D\'eterminer la matrice $B$ de $f$ dans la base $v_i$.
  Calculer $B^ n$ pour tout $n>0$ puis $A^ n$.
\end{enumerate}

\exo
Trouver une application lin\'eaire $F :{\bf R}^ 3\to {\bf R}^ 2$ telle
que $\textrm{ker}(F)$ soit la droite ${\bf R}(1,1,1)$ et telle que
$F(1,-1,1)=(0,1)$. Donner la matrice de $F$ dans la base canonique.

\exo
Soit $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\bf R}^ 3$ et $f:
{\bf R}^ 3 \to{\bf R}^ 3$ l'application d\'efinie par :
$$f(e_1)=-e_1-6e_2+9e_3, f(e_2)=2e_1+6e_2-6e_3,f(e_3)=e_1+2e_2-e_3$$
D\'eterminer une base de $\textrm{ker}(f)$. Montrer que l'ensemble $E=\lbrace
u,f(u)=2u\rbrace$ est un plan dont on donnera l'\'equation, une base.
Montrer que $\textrm{ker}(f)$ et $E$ sont suppl\'ementaires. Donner la matrice de $f$ dans une base formée de bases de $\textrm{ker}(f)$ et de $E$.

\exo
Soit $f:{\bf R}^4\to {\bf R}^ 3$ l'application
lin\'eaire dont la matrice dans les bases canoniques de ${\bf R}^3$ et
${\bf R}^ 4$ est
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&-1&0\\2&1&3&1\\2&1&3&1
\end{array}\right).$$
D\'eterminer le rang de $f$, une base de $\textrm{im}(f)$ et une base de
$\textrm{ker}(f)$.
M\^eme exercice pour les matrices
$$B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&a\\a&1&0\\0&a&1\end{array}\right),\quad
C=\left(\begin{array}{cccc}1&0&-1&-1\\-1&1&0&-1\\0&-1&1&-1\end{array}\right).$$

\end{document}