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\begin{document}

\noindent S3SMP/NFIO2 \hfill 2003/2004
\bigskip

%\begin{center}\fbox
\centerline{{\bf  Feuille d'exercices 1}}
%\end{center}
\bigskip\bigskip


\noindent{\bf I.}~~
 Parmi les applications suivantes lesquelles sont lin\'eaires ?
Si oui, d\'eterminer l'image, le noyau pour les applications
$f_i,i=1,\cdots, 6$
 et dire si l'application est un  isomorphisme.
(${\bf R}_6\lbrack X\rbrack$ d\'esigne l'espace vectoriel des polyn\^
omes  de degr\'e $\leq 6$ et $C^1( {\bf R}, {\bf R})$  l'espace
vectoriel des fonctions continument d\'erivables)
\begin{enumerate}
\item $f_1 : {\bf R}^ 2\to {\bf R},\ f_1(x,y)=x+2y$
\item $f_2 : {\bf R}^ 2\to {\bf R}^3,\ f_2(x,y)=(x+2y,3x,y)$
\item $f_3 : {\bf R}^ 3\to {\bf R}^ 2,\ f_3(x,y,z)=(z,z-x)$
\item $f_4 : {\bf R}^ 2\to {\bf R},\ f_4(x,y)=x $
\item $f_5 : {\bf R}^ 3\to {\bf R},\ f_5(x,y,z)=xy+z$
\item $f_6 : {\bf R}_6\lbrack X\rbrack\to {\bf R}_6\lbrack X\rbrack
,\ f_6(P)=XP'-P$
\item $f_7 :C^1( {\bf R}, {\bf R})\to {\bf R}^ 2,\
f_7(g)=(g(0),g'(1))$
\item $f_8 :C^1( {\bf R}, {\bf R})\to {\bf R} ,\
f_8(g)= \int_{-1}^{1}g(t)-g'(t)dt$
\end{enumerate}

\medskip

\noindent{\bf II.}~~
Trouver une
base du noyau et de l'image de l'application lin\'eaire $f:{\bf R}^
3\to {\bf R}^ 3,\ f(x,y,z)=(x+y+z,2x+z,2x+y)$. Que peut-on en d\'eduire?
Soit $E$ le plan d'\'equation $2x+y+z=0$, d\'eterminer $f(E)$.
\medskip

\noindent{\bf III.}~~
Soient $a,b$ deux param\` etres r\'eels. Existe-t-il une ou plusieurs
applications lin\'eaires  $f:{\bf R}^
2\to {\bf R}^ 2$ telles que $f(1,-2)=(-1,1),\ f(3,a)=(-3,b)$?
\medskip

\noindent{\bf IV.}~~
Justifier l'existence et l'unicit\'e des applications lin\'eaires $f,g$
d\'efinies par $f(1,2)=(3,-1,5),f(0,1)=(2,1,-1)$ et par
$g(1,1,1)=3,g(0,1,-2)=1,g(0,0,1)=-2$.
\medskip

\noindent{\bf V.}~~
Soient $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\bf R}^ 3$ et $f:
{\bf R}^ 3 \to{\bf R}^ 3$ d\'efini par :
$$f(e_1)=-e_1-6e_2+9e_3, f(e_2)=2e_1+6e_2-6e_3,f(e_3)=e_1+2e_2-e_3$$
D\'eterminer une base de $ker(f)$. Montrer que l'ensemble $E=\lbrace
u,f(u)=2u\rbrace$ est un plan dont on donnera l'\'equation, une base.
Montrer que $ker(f)$ et $E$ sont suppl\'ementaires. D\'efinir $f$ \` a
l'aide des bases de $ker(f)$ et de $E$.
\medskip

\noindent{\bf VI.}~~
Trouver une application lin\'eaire $F :{\bf R}^ 3\to {\bf R}^ 2$ telle
que $Ker(F)$ soit la droite ${\bf R}(1,1,1)$ et telle que
$F(1,-1,1)=(0,1)$. On d\'efinira $F$ dans la base canonique.
\medskip


\noindent{\bf VII.}~~
D\'eterminer le rang des matrices suivantes, pour $a$ r\'eel,
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\1&1&3\\2&1&3\end{array}\right),
B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&a\\a&1&0\\0&a&1\end{array}\right),
C=\left(\begin{array}{cccc}1&0&a&a\\a&1&0&a\\0&a&1&a\end{array}\right)$$
\medskip

\noindent{\bf VIII.}~~ Soit $f:{\bf R}^4\to {\bf R}^ 3$ l'application
lin\'eaire dont la matrice dans les bases canoniques de ${\bf R}^3$ et
${\bf R}^ 4$ est
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&-1&0\\2&1&3&1\\2&1&3&1
\end{array}\right)$$
D\'eterminer le rang de $f$, une base de $Im(f)$ et une base de
$Ker(f)$.
M\^eme exercice pour les matrices $B$ et $C$ (o\` u $a=-1$)
de l'exercice VII.
\medskip

%\noindent{\bf IX.}~~ Soit $f:{\bf R}^3\to {\bf R}^ 2$ l'application
%lin\'eaire d\'efinie par
%$$f(x,y,z)=(2x+y-z,3x-2y+4z)$$
%Trouver la matrice de $f$ dans les bases canoniques de ${\bf R}^3$ et
%${\bf R}^ 2$, puis dans les bases (on v\'erifiera que ce sont bien des
%bases) de ${\bf R}^3$ et ${\bf R}^ 2$:
%$$v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,0),v_3=(1,0,0), \quad\textrm{et}\quad
%t_1=(1,1),t_2=(1,-1)$$
%\medskip

\noindent{\bf IX.}~~ Soit $f:{\bf R}^3\to {\bf R}^ 2$ l'application
lin\'eaire d\'efinie par
$$f(x,y,z)=(2x+y-z,3x-2y+4z)$$
Trouver la matrice de $f$ dans les bases canoniques de ${\bf R}^3$ et
${\bf R}^ 2$, puis dans lorsque dans ${\bf R}^3$ on utilise à la place de la base canonique la base suivante
$$v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,0),v_3=(1,0,0).$$
\medskip

\noindent{\bf X.}~~ D\'eterminer les matrices inconnues $X$ qui
v\'erifient les \'equations suivantes :
$$\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&5\end{array}\right)X=
\left(\begin{array}{cc}-2&3\\2&1\end{array}\right),
X\left(\begin{array}{cc}1&-3\\1&-3\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}2&0\\0&4\end{array}\right),
X\left(\begin{array}{cc}1&-3\\1&-3\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}-1&3\\2&-6\end{array}\right)$$
\medskip

\noindent{\bf XI.}~~ Soit
$v_1=(1,0,0),v_2=(5,-2,2),v_3=(-1,1,2)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $v_1,v_2,v_3$ forment une base de ${\bf R}^3$ et
\'ecrire la matrice de passage de la base canonique \` a la base $v_i$
puis celle de $v_i$ \` a la base canonique.
\item Soit $f:{\bf R}^3\to {\bf R}^ 3$ l'application
lin\'eaire de matrice dans la base canonique
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&3&-2\\0&0&1\\0&2&1
\end{array}\right)$$
D\'eterminer la matrice $B$ de $f$ dans la base $v_i$.
  Calculer $B^ n$ pour tout $n>0$ puis $A^ n$.
\end{enumerate}
\medskip

\noindent{\bf XII.}~~ Soient $E={\bf R}_3\lbrack X\rbrack$
l'espace vectoriel des polyn\^ omes  de degr\'e $\leq 3$ et $f:E \to E$
d\'efini par $f(P)=P(X+1)$. D\'eterminer la matrice $A$ de f dans la
base
$1,X,\cdots,X^ 3$, puis $A^{-1}$.
\end{document}