\documentclass{article}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{isolatin1}
\textwidth=15truecm
\textheight=22.8truecm
\hoffset=-12mm
\voffset=-9mm
\baselineskip=12pt

\newcount\numero
\numero=0
\def\exo{\par\vskip0.3cm
\advance\numero by 1
\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Feuille d'exercices de mathématiques n$^{0}$2}
\end{center}
\vskip1cm

\exo
Soit $a$ un paramètre réel. On considère les points $A=(1+a,a)$, $B=(0,1+a)$ et $C=(a,1-a)$ du plan.

a) A quelle condition les points $A$, $B$ et $C$ sont ils alignés ?

b) Quelle est l'aire du parallélogramme dont deux côtés sont $AB$ et $AC$ ? Quelle est l'aire du triangle $ABC$ ? 

c) En tournant autour du triangle dans le sens trigonométrique, quel point rencontre-t'on après $A$ ?

d) Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbf{R}^{2}$ de matrice $\pmatrix{0&1\cr 2&0}$. Soient $A'=f(A)$, $B'=f(A)$ et $C'=f(C)$. Répondre aux questions a), b) et c) en remplaçant $ABC$ par $A'B'C'$.  


\exo
Soit $a$ un paramètre réel. On considère les points $A=(1+a,a)$, $B=(0,1+a)$ et $C=(a,1-a)$ et $D=(1,a)$ du plan.

a) A quelle condition le quadrilatère $ABCD$ est-il convexe (i.e. tourne toujours dans le même sens) ?

b) Lorsque c'est le cas, calculer son aire de deux façons différentes en le partageant en triangles.

c) Soient $t$, $u$, $v$, $w$ quatre vecteurs de $\mathbf{R}^{2}$ tels que $t+u+v+w=0$. Montrer que 
$$
\det(t,u)+\det(v,w)=\det(u,v)+\det(w,t).
$$
Quel est le lien entre cette propriété et le partage d'un quadrilatère en  triangles ?

\exo
a) Calculer les déterminants des matrices suivantes

$$\pmatrix {1&2&3\cr1&3&6\cr1&4&10\cr}\hskip 30pt
\pmatrix {1&3&3\cr1&4&6\cr1&5&10\cr}\hskip30pt
\pmatrix {3&1&2&3\cr4&1&3&6\cr5&1&4&10\cr1&0&1&0}.$$

b) En déduire le volume du parallélépipède de ${\bf R}^{3}$
construit sur les vecteurs $u=(1,1,1)$ $v=(2,3,4)$ et $w=(3,6,10).$


\exo
Calculer le déterminant 
$$
D(a,b,c)=
\det\pmatrix{a-b-c&2a&2a\cr2b&b-c-a&2b\cr2c&2c&c-a-b\cr}
$$
en le factorisant. On montrera qu'il vaut $(a+b+c)^{3}.$


\exo
On considère les déterminants de Vandermonde
$$
D(a,b,c)=
\det\pmatrix{1&1&1\cr a&b&c\cr a^{2}&b^{2}&c^{2}\cr}\hskip 30pt D(a,b,c,d)=
\det\pmatrix{1&1&1&1\cr a&b&c&d\cr a^{2}&b^{2}&c^{2}&d^{2}\cr
 a^{3}&b^{3}&c^{3}&d^{3}\cr}.
$$

a) Calculer $D(a,b,c)$

b) Montrer que sans changer la valeur de
$D(a,b,c,d)$, on peut remplacer sa dernière ligne par $f(a),f(b),f(c), f(d)$ où $f$ est un polynôme de la forme $f(x)=x^{3}+\alpha x^{2}+\beta x+\gamma$.

En choisissant astucieusement $f$ de sorte que la dernière ligne n'ait qu'un seul terme non nul, et en développant, montrer que
$D(a,b,c,d)=(d-a)(d-b)(d-c)D(a,b,c).$

c) En déduire la valeur de $D(a,b,c,d)$.
Peut-on généraliser?

d) On considère la courbe $\gamma$ dans l'espace paramétrée par $t\mapsto \gamma(t)=(t,t^{2},t^{3})$. A quelle condition trois points $\gamma(a)$, $\gamma(b)$ et $\gamma(c)$ de la courbe sont ils contenus dans un même plan passant par l'origine ?

%\exo
%Calculer
%$$\det\pmatrix{1&1&1\cr \sin a&\sin b &\sin c\cr \cos a&\cos b&\cos c\cr}.$$


\exo
Soit le déterminant $$D(\alpha,\beta,\gamma)=
\det\pmatrix{1&1&1\cr \cos \alpha &\cos \beta &\cos \gamma\cr
\cos 2\alpha &\cos 2\beta &\cos 2\gamma\cr}.$$

a) Calculer directement  $D(\alpha,\beta,\gamma)$

b) En utilisant la formule $\cos 2x=2\cos^{2}x -1,$ ramener ce calcul à celui d'un déter\-minant de Vander\-monde.


\exo
a) Ecrire l'équation du plan $P_{1}$ de ${\bf R}^{3}$ engendré par les vecteurs
$(1,-1,0)$ et $(2,1,-3)$.

b) Ecrire l'équation du plan
$P_{2}$ de ${\bf R}^{3}$ orthogonal au vecteur $(2,3,4)$.

c) Soit $P_{3}$ le plan orthogonal au vecteur $V=(\alpha,\beta,\gamma)$. A quelle condition (nécessaire et suffisante) l'intersection des trois plans
$P_{1}\cap P_{2}\cap P_{3}$ contient-elle une droite ?

\exo
Soit $a$ un paramètre réel. Soient $A=(1,2,3)$, $B=(2,3,4)$ et $C=(3,4,a)$ trois points de l'espace. Quelle est l'aire du triangle ABC ? A quelle condition les points $A$, $B$ et $C$ sont ils alignés ?

\exo
Donner une équation de l'hyperplan engendré par les vecteurs $v_{1}=(0,1,2,3)$, $v_{2}=(1,2,3,4)$ et $v_{3}=(2,3,4,6)$ de $\mathbf{R}^{4}$.

\exo
a) Soit $D_{n}(x)$ le déterminant de
la matrice $(n,n)$ dont tous les éléments sont égaux à 1 sauf ceux de la diagonale principale qui valent $1+x$. Calculer $D_{n}(x)$ en le factorisant.

Quelles sont les racines de $D_{n}(x)=0$ et leur multiplicités ? (on pourra se contenter de traiter les cas $n=$ 2, 3, 4).

b) Même question pour le déterminant $\Delta (x) $ de la la matrice $(n,n)$ dont tous les éléments sont égaux à $x$ sauf ceux de la diagonale principale qui valent $1+x$.

Quel est le degré de $\Delta (x)$ ?

c) Calculer $$\det \pmatrix{a+x & x & x \cr x & b+x & x \cr x &x & c+x \cr}$$

On pourra effectuer un calcul direct, ou vérifier que c'est un polynôme en $x$ dont on estimera le degré.


\exo
Calculer le ``déterminant circulant"
$$\det\pmatrix{a&b&c\cr c&a&b\cr b&c&a\cr}$$


\exo
Soient
$$D=\det \pmatrix{ 2& 3 & 4 \cr 3& 4 &5\cr 4& 5 & 6\cr }
\hbox { et }D(x)=\det\pmatrix
{ 2+x& 3 & 4 \cr 3& 4+x &5\cr 4& 5 & 6+x \cr }.$$
Calculer $D$ et factoriser $D(x)$

\end{document}
\exo