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\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\def\t#1{t^{#1}}
\def\R{\mathbf{R}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Feuille d'exercices de mathématiques n$^{0}$4}
\end{center}
\vskip.5cm

\exo
Calculer l'intégrale curviligne $\int_{c} (xy+y^{2}-xyz)\,dx$ sur l'arc de parabole dans $\R^{3}$ d'équations $\{y=x^{2},\,z=0\}$ partant de $A=\pmatrix{ -1\cr 1\cr 0}$ et aboutissant en $B=\pmatrix{2\cr 4\cr 0}$.

\exo
Calculer l'intégrale curviligne $\int_{c} (x^{3}-y^{3})\,dy$ sur le demi-cercle $c$ du plan défini par $\{x^{2}+y^{2}=1,\,y\geq 0\}$, parcouru dans le sens trigonométrique.

\exo
Calculer l'intégrale curviligne $\int_{c} (3x^{2}-6xy)\,dx+(2y+3xz)\,dy+(1-4xyz^{2})\,dz$ dans les cas suivants.

a) $c$ est la courbe paramétrée par $t\mapsto (t,t^{2},t^{3})$ pour $t\in[0,1]$.

b) $c$ est la ligne polygonale $ABCD$ où $A=\pmatrix{0\cr 0\cr 0}$, $B=\pmatrix{ 0\cr 0\cr 1}$, $C=\pmatrix{0\cr 1\cr 1}$ et $D=\pmatrix{1\cr 1\cr 1}$.

c) $c$ est le segment $[A,D]$ (parcouru de $A$ vers $D$).

\exo
Soient $A=\pmatrix{1\cr 1}$ et soit $M=\pmatrix{a\cr b}$ un point du plan. Montrer que l'intégrale curviligne $\int_{A}^{M} 2xy\,dx +(x^{2}-y^{2})\,dy$ est indépendante du chemin choisi reliant $A$ à $M$. Calculer cette intégrale.

\exo
\emph{Folium de Descartes.} C'est la courbe paramétrée définie par $\displaystyle c(t)=\pmatrix{\frac{3t}{1+t^{3}}\cr \frac{3t^{2}}{1+t^{3}}}$ pour $t\in\R\setminus\{-1\}$. Comparer $c(1/t)$ et $c(t)$. Tracer la courbe. Calculer l'aire de la boucle formée par cette courbe.

\exo
On \'etudie la courbe $c$ param\'etrée sur $[-\pi,\pi]$ par
$\displaystyle c(t)=\pmatrix{\cos t\cr (1-\cos t)\sin t}$.

a) La courbe $c$ possède-t'elle une symétrie ? 

b) En raisonnant à l'aide d'un développement limité, déterminer la nature du point singulier de $c$ et tracer sommairement $c$ au voisinage de ce point, en indiquant le sens de parcours. Tracer la courbe. 

c) On consid\`ere le champ de vecteurs $w$ d\'efini sur $\R^{2}$ 
par $w(x,y)=\pmatrix{y\cr 0}$. Calculer la circulation de $w$ le long de $c$. Le champ $w$ d\'erive-t-il d'un potentiel ?

d) En utilisant la formule de Green-Riemann, d\'eterminer l'aire du domaine plan d\'elimit\'e par la courbe $c$.

\exo
On étudie la courbe $c$ paramétrée par $\displaystyle c(t)=\pmatrix{t^{2}\cr t^{3}-t^{5}}$ pour $t\in[-1,1]$.

a) La courbe $c$ admet-elle une tangente, une demi-tangente à l'origine ? Possède-t-elle une symétrie ? 

b) Tracer la courbe, en indiquant le sens de parcours et les tangentes aux extrémités. On donne $\sqrt{15}=3.87...$.

c) Calculer la circulation le long de $c$ du champ de vecteurs $w$ défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{y\cr 1+x}$. Pouvait-on prévoir le résultat ?

\exo
En utilisant la formule de Green-Riemann, redémontrer la formule pour l'aire d'un triangle.

\exo
En utilisant la formule de Green-Riemann, cacluer l'intégrale curviligne $\int_{\partial D}e^{y}\sin x\,dx+e^{-x}\sin y\,dy$ où $\partial D$ est le bord du rectangle défini par les inégalités $\{a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d\}$.

\exo
Soit $K$ le c\^{o}ne de r\'evolution d'\'equation cart\'esienne $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$. Param\'etrer $K$ et calculer l'aire de la partie de $K$ situ\'ee entre deux plans horizontaux.

\exo
Soit $S$ la sph\`ere unit\'e et $C$ le cylindre vertical circonscrit \`a $S$ (son \'equation cart\'esienne est $x^{2}+y^{2}=1$).
On d\'efinit une projection de $S$ (priv\'ee des deux p\^{o}les) vers $C$ comme suit : chaque point $p$ de $S$ est envoy\'e sur le point $q$ de $C$ tel que la droite $pq$ coupe orthogonalement l'axe $0z$. Montrer que cette projection pr\'eserve les aires.

\exo
De nouveau, soit $S$ la sph\`ere unit\'e et $C$ le cylindre vertical circonscrit \`a $S$. On étudie une autre projection, qui consiste \`a envoyer chaque point $p$ de $S$ sur le point $q$ de $C$ tel que l'origine, $p$ et $q$ soient align\'es. V\'erifier que le 30\`eme parall\`ele partage l'h\'emisph\`ere nord en deux parties d'aires \'egales. Calculer l'aire sur le planisph\`ere de la r\'egion de la terre comprise entre l'\'equateur et le 30\`eme parall\`ele de latitude nord.
Montrer qu'au del\`a du 60\`eme parall\`ele, la projection étudiée augmente les aires d'un facteur au moins \'egal \`a $8$.

\exo
Soient $a$, $b$, $c$ trois r\'eels strictement positifs. En s'inspirant des coordonn\'ees sph\'eriques, param\'etrer l'ellipso\"{\i}de $E$ d'\'equation cart\'esienne $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$. Calculer le flux \`a travers $E$ du champ de vecteurs $w(x,y,z)=\pmatrix{x\cr y\cr z}$. En d\'eduire le volume de $E$.

\exo
Soit $a$ un r\'eel. On consid\`ere le champ de vecteurs d\'efini sur $\R^3$ par
\begin{eqnarray*}
w_{a}(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{a}\pmatrix{x\cr y\cr 0}.
\end{eqnarray*}
Pour quelles valeurs de $a$ le champ de vecteurs $w_a$ d\'erive-t-il d'un potentiel ? Montrer que pour tout $a$, la circulation de $w_a$ le long de toute courbe fermée contenue dans un plan horizontal est nulle.

\exo
Calculer le flux \`a travers la sph\`ere unit\'e du champ de vecteurs d\'efini sur $\R^3$ par
\begin{eqnarray*}
w(x,y,z)=\pmatrix{0\cr 0\cr zx^{2}+zy^{2}+z^{3}}. 
\end{eqnarray*}
Calculer la divergence de $w$ et l'int\'egrale de la divergence sur la boule unit\'e. Comparer.


\exo
Soit $A$ une matrice $3\times 3$. Montrer que le champ de vecteurs lin\'eaire $w_{A}(x,y,z)=A\pmatrix{x\cr y\cr z}$ a un rotationnel nul si et seulement si la matrice $A$ est sym\'etrique.
Dans ce cas, donner un potentiel dont d\'erive $w_A$.

\end{document}