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{\bf S3SMP-NFIO}\hfill {\bf Orsay 2004/2005}


\centerline{{\bf  Feuille d'exercices  N$^{o}4$}}

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I. Calculer les int\'egrales curvilignes $\int_{\Gamma } \omega$ suivantes:


 \noindent$1)$ $\omega= (x+y)dx+(x-y)dy$ o\`u $\Gamma$ est l'arc de cercle
$x=\cos t,$
$y=\sin t$ pour $0\leq t\leq {\pi\over 2}.$

 \noindent$2)$  $\omega= xydx+(x^{2}-y)dy$ o\`u $\Gamma$ est le segment de droite
joignant le point $(0,1)$ \`a $(1,0).$

 \noindent$3)$  $\omega= xy dx+(x+y)dy$ o\`u $\Gamma$ est l'arc de la parabole 
 d'\'equation  $y=x^{2}$ pour $-2\leq x\leq 2.$
 
  \noindent$4)$ $\omega= (3x^{2}-6xy) dx+(2y+3xz)dy+(1-4xyz^{2})dz$ dans chacun
des trois cas o\`u
$\Gamma$ est

 a) la courbe param\'etr\'ee par $t\mapsto (t,t^{2},t^{3})$ pour $t\in
[0,1].$

 b) la ligne polygonale $ABCD,$ o\`u $A=\pmatrix{0\cr0\cr0\cr},$
$B=\pmatrix{0\cr0\cr1\cr},$  $C=\pmatrix{0\cr1\cr1\cr}$ et
$D=\pmatrix{1\cr1\cr1\cr}.$

 c) le segment $[A,D]$ parcouru de $A$ vers $D.$
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 II. Soit $\omega= 2xydx+(x^{2}-y^{2})dy.$   Montrer que  $\int_{\Gamma }\omega$
est ind\'ependante du chemin $\Gamma$ joignant  le point $A=\pmatrix{1 \cr 1\cr}$
au point
$B=\pmatrix{a\cr b\cr};$  calculer cette int\'egrale.



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 III. Tracer la courbe d'\'equation polaire
$r(t)=a(1+\cos t);$ c.a.d. param\'etr\'ee par $x(t)=r(t)\cos t$ et 
$y(t)=r(t)\sin t$ pour $t\in [0,2\pi].$

Calculer  en utilisant la formule de
Green-Riemann l'aire de la partie born\'ee qu'elle entoure.
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 IV. $a)$ Montrer que $x=(1+\cos t)^{3}, y=\sin ^{3}t$ est un param\'etrage de
la courbe ${\cal C} $
d'\'equation $x^{2\over 3}+y^{2\over 3}-2x^{1\over 3}=0$ quand $t$ varie
entre
$0$
et $2\pi.$

\noindent Quelles sont ses sym\'etries?  Tracer ${\cal C}$ 

\noindent Que peut-on dire de la nature des points $O=(0,0)$ et $A=(8,0)?$
 
\noindent  On notera   ${\cal C}^{+}$
l'intersection de  ${\cal C}$ avec la cadran $x\geq0 , y\geq 0.$

$b)$ Soit $\omega= 2ydx+xdy:$ calculer $\int_{\Gamma } \omega$
 o\`u $\Gamma $ est la courbe ferm\'ee $[0,A]\cup {\cal C}^{+}$ parcourue dans le
sens direct.

En d\'eduire l'aire du domaine d\'elimit\'e par ${\cal C}.$
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V. {\it Folium de Descartes} On consid\`ere la courbe param\'etr\'ee par
$x(t)={3t\over{t^{3}+1}}$,  $y(t)={{3t^{2}}\over{t^{3}+1}}$ pour
$t\in]-\infty,-1[\cup]-1,\infty[.$ 

Comparer les points correspondants \`a $t$ et $1\over t$.
Tracer la courbe. Que peut-on dire du point $O=(0,0)?$ 

Calculer l'aire de la boucle form\' ee par cette courbe.
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VI. On consid\`ere la courbe ${\cal C}$ param\'etr\'ee par
$x(t)=t^{2}$,  $y(t)=t^{3}-t^{5}$ pour
$t\in [-1,1].$

\noindent $a)$ Que peut-on dire de courbe au voisinage de l'origine.  Quelles
sont
ses sym\'etries ?

\noindent$b)$ Tracer ${\cal C}.$

\noindent$c)$ Calculer $\int_{\cal C}ydx+ (1+x)dy$.
Pouvait-on pr\'evoir le r\'esultat?

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VII. Red\'emontrer la formule donnant l'aire d'un triangle \`a l'aide de la
formule de Green-Riemann.

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VIII. Calculer de deux fa\c{c}ons,   en utilisant la formule de
Green-Riemann puis directement, l'int\'egrale $\int_{\partial D}\omega$ o\`u
$\omega=e^{y}\sin x\; dx+e^{-x}\sin y \;dy$, et $\partial D$ est le bord du
rectangle
$D=[a,b]\times[c,d].$ 
 
\end