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\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\def\t#1{t^{#1}}
\def\R{\mathbf{R}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP/IFIPS Optronique
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Feuille d'exercices de mathématiques n$^{0}$5}
\end{center}
\vskip.5cm




\exo
Soit $K$ la surface d'\'equation cart\'esienne $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$. Décrire géométriquement $K$, la param\'etrer et calculer l'aire de la partie de $K$ situ\'ee entre deux plans horizontaux.

\exo
Soit $0<r<c$ et $\Gamma$ le cercle de $\R^{3}$ centré en $(c,0,0)$ de rayon $r$, situé dans le plan $\{y=0\}$. On considère la surface $T$ engendrée par la rotation de $\Gamma$ autour de l'axe $Oz$. Paramétrer $T$ et calculer son aire. 

\exo
Soit $S$ la sph\`ere unit\'e et $C$ le cylindre vertical circonscrit \`a $S$ (son \'equation cart\'esienne est $x^{2}+y^{2}=1$).
On d\'efinit une projection de $S$ (priv\'ee des deux p\^{o}les) vers $C$ comme suit : chaque point $p$ de $S$ est envoy\'e sur le point $q$ de $C$ tel que la droite $pq$ coupe orthogonalement l'axe $0z$. Montrer que cette projection pr\'eserve les aires.

\exo
Soient $a$, $b$, $c$ trois r\'eels strictement positifs. En s'inspirant des coordonn\'ees sph\'eriques, param\'etrer l'ellipso\"{\i}de $E$ d'\'equation cart\'esienne $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$. Calculer le flux \`a travers $E$ du champ de vecteurs $w(x,y,z)=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$. En d\'eduire le volume de $E$.

\exo
Calculer le flux \`a travers la sph\`ere unit\'e du champ de vecteurs d\'efini sur $\R^3$ par
\begin{eqnarray*}
w(x,y,z)=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ zx^{2}+zy^{2}+z^{3}\end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
Calculer la divergence de $w$ et l'int\'egrale de la divergence sur la boule unit\'e. Comparer.

\exo
Soit $f:\R\to\R$ une fonction de classe $C^{2}$ et $U:\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}\to\R$ définie par $U(x,y,z)=f(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})$. On pose $\displaystyle \Delta U=\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial U}{\partial y^{2}}+\frac{\partial U}{\partial z^{2}}$. 

Soient $0<a<b$ et $K$ la région de $\R^{3}$ définie par $a^{2}\leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq b^{2}$. 

Calculer l'intégrale de la fonction $\Delta U$ sur $K$,
\begin{itemize}
\item directement ;
\item en appliquant la formule d'Ostrogradsky.
\end{itemize}

\exo
Soit $C$ le cylindre paramétré par $(u,v)\mapsto(\cos u,\sin u,v)$ pour $(u,v)\in[0,2\pi]\times[0,1]$. Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^{3}$ par 
\begin{eqnarray*}
w(x,y,z)=\begin{pmatrix}x+y^{2}\\ z^{2} \\ z(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
\begin{itemize}
\item Calculer le flux de $w$ à tracers $C$.
\item Calculer la divergence de $w$. Quelle est son intégrale sur le cylindre plein $K$ ?
\item Décrire le bord de $K$ en précisant les orientations.
\item En utilisant la formule d'Ostrogradsky, en déduire le flux de $w$ à travers le disque $\Delta$ d'axe $Oz$, de rayon 1, situé dans le plan $\{z=1\}$, orienté vers le haut.
\end{itemize}

\exo
Soit $a$ un r\'eel. On consid\`ere le champ de vecteurs d\'efini sur $\R^3$ par
\begin{eqnarray*}
w_{a}(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{a}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 0\end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
Pour quelles valeurs de $a$ le champ de vecteurs $w_a$ d\'erive-t-il d'un potentiel ? 

\noindent Montrer que pour tout $a$, la circulation de $w_a$ le long de toute courbe fermée contenue dans un plan horizontal est nulle.


\exo
Soit $A$ une matrice $3\times 3$. Montrer que le champ de vecteurs $w_{A}(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ a un rotationnel nul si et seulement si la matrice $A$ est sym\'etrique.
Dans ce cas, donner un potentiel dont d\'erive $w_A$.

\end{document}