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\def\exo{\par\vskip0.3cm
\advance\numero by 1
\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\newcount\numerobis
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\def\sol{\par\vskip0.5cm
\advance\numerobis by 1
\textbf{\the\numerobis.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 1 - A préparer en vue du contrôle continu du 8 octobre}
\end{center}
\vskip1cm

Répondre par OUI ou NON et justifier votre réponse par une démonstration ou un résultat du cours énoncé de façon précise, ou un contre-exemple.

\vskip1cm

\exo
L'application $f:\mathbf{R}^{3}\to\mathbf{R}^{2}$ définie par $f(x,y,z)=(x-y+z,y+z)$ est surjective.


\exo
Soit $E$ l'espace des polynômes de degré au plus 2. L'application $f:E\to E$ définie par $f(P)(X)=XP'(X)$ est injective.


\exo
Soit $E$ l'espace des polynômes de degré au plus 2. L'application $f:E\to E$ définie par $f(P)(X)=XP'(X)$ est surjective.


\exo
L'application de $\mathbf{R}^{2}$ dans $\mathbf{R}^{2}$ définie par $f(x,y)=(x-y,-x+y)$ est de rang 1.


\exo
Le noyau de l'application de $\mathbf{R}^{2}$ dans $\mathbf{R}^{2}$ définie par $f(x,y)=(x-y,-x+y)$ est de dimension 1.


\exo
L'image de l'application de $\mathbf{R}^{2}$ dans $\mathbf{R}^{2}$ définie par $f(x,y)=(x-y,-x+y)$ est de dimension 1.


\exo
Soit $f$ l'application de $\mathbf{R}^{2}$ dans $\mathbf{R}^{2}$ définie par $f(x,y)=(x-y,-x+y)$. Alors le vecteur $(1,-1)$ appartient à $\mathrm{im}(f)$. 


\exo
Soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$ une application linéaire. Soit $(e_{1},\ldots,e_{d})$ une base de $E$. Alors $(f(e_{1}),\ldots,f(e_{d}))$ est une base de $F$. 


\exo
Soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$ une application linéaire. Si $\mathrm{rang}(f)=\mathrm{dim}(E)$, alors $f$ est surjective. 


\exo
Soit $a$ un paramètre réel. Soient $v_{1}=(1,a)$ et $v_{2}=(-1,2)$. Alors il existe une application linéaire $f:\mathbf{R}^{2}\to\mathbf{R}^{2}$ telle que $f(v_{1})=(1,0)$ et $f(v_{2})=(0,1)$.


\exo
Soit $a$ un réel. Soit $f_{a}$ l'application de $\mathbf{R}^{2}$ dans $\mathbf{R}^{2}$ de matrice $\left(\begin{array}{cc}
 0     &    -a\\
 a     &    0
\end{array}\right)$. Alors $\displaystyle f_{a}\circ f_{a}$ est proportionnelle à $id_{\mathbf{R}^{2}}$.


\exo
Soit $E$ l'espace des polynômes de degré au plus 2. La matrice dans la base $(1,X,X^{2})$ de l'application $f:E\to E$ définie par $f(P)=P+P'$ est $\left(\begin{array}{ccc}
1&  1   & 1   \\
0&   1  &  2 \\
0&    0 & 1
\end{array}\right)$.


\exo
L'aire du triangle de sommets $A=(1,0)$, $B=(0,1)$ et $C=(-1,2)$ vaut 1.


\exo
L'application linéaire $f_{a}:\mathbf{R}^{2}\to\mathbf{R}^{2}$ de matrice $\left(\begin{array}{cc}
 1     &    -a\\
 -a     &    1
\end{array}\right)$ est bijective si et seulement si $a\not=\pm 1$.


\exo
L'application linéaire $f_{a}:\mathbf{R}^{2}\to\mathbf{R}^{2}$ de matrice $\left(\begin{array}{cc}
 1     &    -a\\
 -a     &    1
\end{array}\right)$ préserve l'orientation.


\vfill\eject

Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}

\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 1 - Réponses}
\end{center}
\vskip1cm


\sol
OUI. Le système associé à l'équation vectorielle $f(v)=v'$ est échelonné de rang 2 donc possède une solution.


\sol
NON. Si $P$ est constant non nul, alors $f(P)=0$.


\sol
NON. Tout élément de l'image de $f$ est divisible par $X$.


\sol
OUI. Le système associé à l'équation vectorielle $f(v)=0$ est équivalent à $x-y=0,0=0$, échelonné de rang 1.


\sol
OUI. $f(x,y)=0$ si et seulement si $x=y$, donc le noyau est la droite vectorielle de vecteur directeur $(1,1)$.


\sol
OUI. Le rang de $f$ vaut 1 donc la dimension de $\mathrm{im}(f)$ vaut 1.


\sol
OUI. $f(1,0)=(1,-1)$.


\sol
NON. Par exemple, ce n'est jamais vrai si $\mathrm{dim}(E)<\mathrm{dim}(F)$.


\sol
NON. Prendre $E=\{0\}$.


\sol
NON. Si $a=-2$, $v_{1}=-v_{2}$, donc pour toute application linéaire $f$, $f(v_{1})=-f(v_{2})$, c'est incompatible avec les valeurs imposées.


\sol
OUI. On calcule $\left(\begin{array}{cc}
 0     &    -a\\
 a     &    0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
 0     &    -a\\
 a     &    0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-a^{2} &    0\\
 0        & -a^{2}
\end{array}\right)$ qui est la matrice de $-a^{2}id$.


\sol
NON. $f(X^{2})=X^{2}+2X$ a une composante nulle suivant 1.


\sol
NON. $\mathrm{det}(B-A,C-A)=0$.


\sol
OUI. Son déterminant vaut $1-a^{2}$ qui s'annule exactement si $a=\pm 1$.


\sol
NON. Son déterminant $1-a^{2}$ peut être négatif, par exemple pour $a=2$.



\end{document}