\documentclass{article}
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\newcount\numero
\numero=0
\def\exo{\par\vskip0.3cm
\advance\numero by 1
\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\newcount\numerobis
\numerobis=0
\def\sol{\par\vskip0.5cm
\advance\numerobis by 1
\textbf{\the\numerobis.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\def\R{\mathbf{R}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 1 - A préparer en vue du contrôle continu du 11 octobre}
\end{center}
\vskip1cm


\exo
L'aire du triangle de sommets $A=(1,0)$, $B=(0,1)$ et $C=(-1,2)$ vaut 1.

\exo
L'application linéaire $f_{a}:\mathbf{R}^{2}\to\mathbf{R}^{2}$ de matrice $\left(\begin{array}{cc}
 1     &    -a\\
 -a     &    1
\end{array}\right)$ est bijective si et seulement si $a\not=\pm 1$.

\exo
L'application linéaire $f_{a}:\mathbf{R}^{2}\to\mathbf{R}^{2}$ de matrice $\left(\begin{array}{cc}
 1     &    -a\\
 -a     &    1
\end{array}\right)$ préserve l'orientation.

\exo
L'égalité suivante entre déterminants est vraie.
$\left|\begin{array}{ccc}
 1     &    a  &  0\\
 a     &    1  &  1\\
 0     &    2  &  2a
\end{array}\right|
=\left|\begin{array}{ccc}
 1     &    0        &  0\\
 a     &    1-a^2  &  1\\
 0     &    2        &  2a
\end{array}\right|$.

\exo
L'égalité suivante entre déterminants est vraie.
$\left|\begin{array}{ccc}
 1     &    a  &  0\\
 a     &    1  &  1\\
 0     &    2  &  2a
\end{array}\right|
=\left|\begin{array}{ccc}
 1     &    0        &  0\\
 0     &    a^2 -1 &  -1\\
 0     &    2        &  2a
\end{array}\right|$.

\exo
L'égalité suivante entre déterminants est vraie.
$\left|\begin{array}{ccc}
 1     &    a  &  b\\
 0     &    0  &  c\\
 a     &    b  &  c
\end{array}\right|
=c\left|\begin{array}{cc}
 1     &    a \\
 a     &    b 
\end{array}\right|$.

\exo
Le déterminant de la somme de deux matrices est la somme de leurs déterminants.

\exo
Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$. Soit $\lambda A$ la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients de $A$ par $\lambda$. Alors $\det(\lambda A)=\lambda\det(A)$.

\exo
Le déterminant
$\left|\begin{array}{cccc}
 2     &    0        &  a     & 1\\
 0     &    a        &  -1    & -1\\
 0     &    0        &  (1-a)& a\\
 0     &    0        &   0     & 1
\end{array}\right|$ vaut $2a(1-a)$.

\exo
Le déterminant
$\left|\begin{array}{cccc}
 2     &    1        &  0    & 0\\
 a     &    a        &  0    & 0\\
 -a    &    2        &  (1-a)& 1\\
 0     &    2a       &   1     & 1
\end{array}\right|$ vaut $-a^2$.

\exo
Si une matrice carrées a deux colonnes proportionnelles, alors son déterminant est nul.

\exo
Soient $v_1$, $v_2$ et $v_3$ trois vecteurs de 
$\R^4$. Pour montrer que $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sont linéairement dépendants, je dois calculer 4 déterminants de taille 3.

\exo
Pour trouver une équation du plan engendré par deux vecteurs de $\R^3$, je peux utiliser un déterminant.

\exo
Soient $v_1$, $v_2$ et $v_3$ trois vecteurs de 
$\R^3$. Alors $\det(v_3 ,v_1 , v_2 )=-\det(v_1 ,v_2 ,v_3 )$. 

\end{document}

\vfill\eject

Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}

\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 1 - Réponses}
\end{center}
\vskip1cm


\sol
NON. Ces points sont alignés, donc l'aire est nulle. 


\sol
OUI. Son déterminant vaut $1-a^2$ qui s'annule si et seulement si $a=\pm 1$.


\sol
NON. Ce n'est vrai que si $\det(f_a )=1-a^2 >0$, i.e. si $-1<a<1$.


\sol
OUI. On a retranché $a$ fois la première colonne à la deuxième, sans changer les autres colonnes, c'est une opération élémentaire autorisée.


\sol
NON. On a remplacé la deuxième ligne par $a$ fois la première ligne moins la seconde, ce n'est pas une opération élémentaire. Il y a un changement de signe.

\sol
NON. Il manque un signe moins.

\sol
NON. Par exemple, soit $I=\left(\begin{array}{cc}
 1     &    0\\
 0     &    1
\end{array}\right)$ et $ J=\left(\begin{array}{cc}
 1     &    -0\\
 0     &    0
\end{array}\right)$. Alors $\det(I)=1$, $\det(J)=0$ mais $\det(I+J)=2$.


\sol
NON. $\det(\lambda A)=\lambda^n \det(A)$.

\sol
OUI. On applique la formule pour le déterminant d'une matrice triangulaire.

\sol
OUI. On calcule $\left|\begin{array}{cc}
 2    &    1\\
 a     &   a
\end{array}\right|=a$, $\left|\begin{array}{cc}
1-a & 1\\
 1   & 1
\end{array}\right|=-a$ et on applique la formule pour le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.

\sol
OUI. Par multilinéarité, on se ramène au cas d'une matrice ayant deux colonnes égales, puis on utilise le fait que le déterminant est alterné.


\sol
OUI. Ce sont les 4 mineurs de taille 3 extraits de la matrice des composantes des 3 vecteurs. Ce sont aussi les coefficients de l'équation de l'hyperplan qu'ils engendrent.

\sol
OUI. Il suffit de développer suivant la dernière colonne le déterminant $det(v_1 ,v_2 ,X)=0$ où $X$ est un vecteur de composantes inconnues.

\sol
OUI. la permutation circulaire $1,2,3\mapsto 3,2,1$ est le produit de deux transpositions, sa signature vaut 1.

\end{document}