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\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
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\textbf{\the\numerobis.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\def\R{\mathbf{R}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 2 - A préparer en vue du contrôle continu du 25 octobre}
\end{center}

\vskip.5cm

\exo
L'expression suivante est un développement limité à l'ordre 1 en $(0,0)$
\begin{eqnarray*}
\log(y+\cos(x))=y-\frac{1}{2}x^2 +\sqrt{x^2 +y^2}\epsilon(x,y).
\end{eqnarray*}

\exo
Soit $f$ une fonction définie sur $\R^2$. On suppose que $f$ s'annule le long de l'axe $Ox$. Alors le gradient $\nabla f$ en tout point de l'axe $Ox$ est dirigé suivant $Ox$.

\exo
Soit $f$ une fonction définie sur $\R^2$, à valeurs réelles. Soit $g$ une fonction de $\R$ dans $\R$. Soit $P=(x,y)$ un point de $\R^2$. Si la dérivée de $g$ s'annule en $f(P)$, le gradient de la fonction composée $g\circ f$ s'annule en $P$.

\exo
Soit $f$ une fonction définie sur $\R^2$. Soit $F:\R^2 \to\R^2 $ l'application définie par $F(x,y)=(f(x,y),f(x,y)^2 )$. Alors le déterminant de la matrice jacobienne de $F$ est nul.

\exo
L'expression suivante est un développement limité à l'ordre 2 en $(0,0)$
\begin{eqnarray*}
\log(y+\cos(x))=y-\frac{1}{2}(x^2 +y^2 )+(x^2 +y^2 )\epsilon(x,y).
\end{eqnarray*}

\exo
Le développement limité suivant montre que la fonction définie sur $\R^2$ par $f(x,y)=(1+x+x^2 )(2-y)^2 +4y-2x$ atteint un minimum local en $(x,y)=(0,0)$
\begin{eqnarray*}
(1+x+x^2 )(2-y)^2 +4y-2x=2+2x^2 -4xy +y^2  +(x^2 +y^2 )\epsilon(x,y).
\end{eqnarray*}

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{2}+2t+1\cr t^{3}+3t^{2}+3t+1}$ présente un point singulier en $t=-1$.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{2}\cr t^{3}-3t^{2}+3t-1}$ présente un point singulier en $t=1$.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{2}\cr t^{3}-3t^{2}-1}$ présente un point de rebroussement de première espèce en $t=0$.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{3}\cr t^{5}-3t^{3}-1}$ présente un point d'inflexion en $t=0$.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{3}\cr t^{3}-1}$ possède une asymptote.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{3}\cr t^{3}+3t-1}$ possède une asymptote.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{3}\cr t^{3}+3t-1}$ possède une direction asymptotique.

\end{document}