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\newcount\numero
\numero=0
\def\exo{\par\vskip0.3cm
\advance\numero by 1
\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\newcount\numerobis
\numerobis=0
\def\sol{\par\vskip0.5cm
\advance\numerobis by 1
\textbf{\the\numerobis.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\def\R{\mathbf{R}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 3 - A préparer en vue du contrôle continu du 5 novembre}
\end{center}
\vskip1cm

Répondre par OUI ou NON et justifier votre réponse par une démonstration ou un résultat du cours énoncé de façon précise, ou un contre-exemple.

\vskip.5cm

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{2}+2t+1\cr t^{3}+3t^{2}+3t+1}$ présente un point singulier en $t=-1$.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{2}\cr t^{3}-3t^{2}+3t-1}$ présente un point singulier en $t=1$.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{2}\cr t^{3}-3t^{2}-1}$ présente un point de rebroussement de première espèce en $t=0$.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{3}\cr t^{5}-3t^{3}-1}$ présente un point d'inflexion en $t=0$.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{3}\cr t^{3}-1}$ possède une asymptote.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{3}\cr t^{3}+3t-1}$ possède une asymptote.

\exo
La courbe paramétrée par $t\mapsto\pmatrix{t^{3}\cr t^{3}+3t-1}$ possède une direction asymptotique.

\exo
Le champ de vecteurs représenté ci-dessous peut être défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$.
\vskip3truecm

\exo
Soit $c$ une courbe paramétrée dans le plan. Soit $\overline{c}$ la courbe $c$ parcourue en sens inverse. Alors $longueur(\overline{c})=-longueur(c)$.

\exo
Soit $w$ un champ de vecteurs et $c$ une courbe paramétrée dans le plan. Soit $\overline{c}$ la courbe $c$ parcourue en sens inverse. Alors $circ(w,\overline{c})=-circ(w,c)$.

\exo
La circulation du champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$ le long du segment $[A,B]$ où $A=\pmatrix{1\cr 0}$ et $B=\pmatrix{1\cr 1}$ est nulle.

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{y\cr x}$, et $c$ une courbe paramétrée dans le plan. Alors $circ(w,c)=\int_{c}y\,dx+x\,dy$.

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$. La circulation de $w$ le long d'une courbe ne dépend que des extrémités de la courbe.

\exo
Le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$ dérive d'un potentiel.

\exo
La forme différentielle $\alpha=x\,dx$ sur $\R^{2}$ est exacte.

\exo
Pour calculer l'aire de l'ellipse paramétrée par $c(t)=\pmatrix{2\cos t\cr 3\sin t}$ pour $t\in[0,2\pi]$, je peux utiliser la circulation du champ de vecteurs $w$ défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$.

\exo
Soit $c$ la courbe paramétrée par $c(t)=\pmatrix{\cos t\cr -\sin t}$ pour $t\in[0,2\pi]$. Alors $\int_{c}y\,dx$ est l'aire du disque unité.

\vfill\eject

Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}

\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 1 - Réponses}
\end{center}
\vskip1cm


\sol
OUI. La vitesse s'annule. 


\sol
NON. La vitesse ne s'annule pas.

\sol
OUI. Le développement limité comporte deux termes non colinéaires en degrés 2 et 3.

\sol
OUI. Le développement limité comporte deux termes non colinéaires en degrés 3 et 5.

\sol
OUI. C'est une droite!

\sol
NON. La direction asymptotique a pour pente 1 mais $y(t)-x(t)$ tend vers l'infini.

\sol
OUI. Le rapport $y(t)/x(t)$ tend vers 1.

\sol
NON. Le champ $w$ est horizontal et non vertical.

\sol
NON. C'est absurde, une longueur est toujours positive.

\sol
OUI. C'est un théorème du cours.

\sol
OUI. Le champ est partout orthogonal au segment.

\sol
OUI. C'est la définition.

\sol
OUI. Ce champ dérive du potentiel $-x^{2}/2$.

\sol
OUI. Ce champ dérive du potentiel $-x^{2}/2$.

\sol
OUI. C'est la différentielle de $-x^{2}/2$.

\sol
NON. Ce champ dérive d'un potentiel, sa circulation sur une courbe fermée est toujours nulle.

\sol
NON. Le sens de parcours n'est pas le bon.
\end{document}