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\def\R{\mathbf{R}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP-IFIPS Optronique
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 3 - A préparer en vue du partiel du 9 novembre}
\end{center}
\vskip1cm



\exo
Soit $w$ un champ de vecteurs et $c$ une courbe paramétrée dans le plan. Soit $\overline{c}$ la courbe $c$ parcourue en sens inverse. Alors $circ(w,\overline{c})=-circ(w,c)$.

\exo
La circulation du champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$ le long du segment $[A,B]$ où $A=\pmatrix{1\cr 0}$ et $B=\pmatrix{1\cr 1}$ est nulle.

\exo
Soit $V$ une fonction sur $\R^{2}$, soit $c$ une courbe contenue dans une ligne de niveau de $V$. Alors la circulation de $\nabla V$ sur $c$ est nulle.

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$. La circulation de $w$ le long d'une courbe ne dépend que des extrémités de la courbe.

\exo
Le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$ dérive d'un potentiel.
\exo
Le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{xy^{2}\cr xy}$ dérive d'un potentiel.

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{y\cr x}$, et $c$ une courbe paramétrée dans le plan. Alors $circ(w,c)=\int_{c}y\,dx+x\,dy$.

\exo
La forme différentielle $\alpha=x\,dx$ sur $\R^{2}$ est exacte.

\exo
La forme différentielle $\alpha=xy^{2}\,dx+xy\,dy$ sur $\R^{2}$ est exacte.

\exo
La forme différentielle $\alpha=\frac{x\,dx+y\,dy}{x^{2}+y^{2}}$ sur $\R^{2}$ privé de l'origine est exacte.

\exo
Soit  $c$ une courbe fermée quelconque dans le plan. Alors $\int_{c}\frac{x\,dx+y\,dy}{x^{2}+y^{2}}=0$.

\exo
Pour calculer l'aire de l'ellipse paramétrée par $c(t)=\pmatrix{2\cos t\cr 3\sin t}$ pour $t\in[0,2\pi]$, je peux utiliser la circulation du champ de vecteurs $w$ défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$.

\exo
Soit $c$ la courbe paramétrée par $c(t)=\pmatrix{\cos t\cr -\sin t}$ pour $t\in[0,2\pi]$. Alors $\int_{c}y\,dx$ est l'aire du disque unité.


\end{document}