\documentclass{article} \usepackage[dvips]{graphicx} \pagestyle{empty} \usepackage{isolatin1} \textwidth=15truecm \textheight=22.8truecm \hoffset=-12mm \voffset=-9mm \baselineskip=12pt \newcount\numero \numero=0 \def\exo{\par\vskip0.2cm \advance\numero by 1 \textbf{\the\numero.}\hskip1em} \def\det{\mathrm{det}} \newcount\numerobis \numerobis=0 \def\sol{\par\vskip0.5cm \advance\numerobis by 1 \textbf{\the\numerobis.}\hskip1em} \def\det{\mathrm{det}} \def\R{\mathbf{R}} \begin{document} Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par S3SMP \vskip1cm \begin{center} \textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 4 - A préparer en vue du contrôle continu du 19 novembre} \end{center} \vskip1cm Répondre par OUI ou NON et justifier votre réponse par une démonstration ou un résultat du cours énoncé de façon précise, ou un contre-exemple. \vskip.5cm \exo Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{y\cr x}$, et $c$ une courbe paramétrée dans le plan. Alors $circ(w,c)=\int_{c}y\,dx+x\,dy$. \exo Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$. La circulation de $w$ le long d'une courbe ne dépend que des extrémités de la courbe. \exo Le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$ dérive d'un potentiel. \exo La forme différentielle $\alpha=x\,dx$ sur $\R^{2}$ est exacte. \exo Pour calculer l'aire de l'ellipse paramétrée par $c(t)=\pmatrix{2\cos t\cr 3\sin t}$ pour $t\in[0,2\pi]$, je peux utiliser la circulation du champ de vecteurs $w$ défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\pmatrix{x\cr 0}$. \exo Soit $c$ la courbe paramétrée par $c(t)=\pmatrix{\cos t\cr -\sin t}$ pour $t\in[0,2\pi]$. Alors $\int_{c}y\,dx$ est l'aire du disque unité. \exo Soit $S:(u,v)\mapsto s(u,v)\in\R^3$ une surface d'aire $a$. Soit $S'$ la surface paramétrée sur le même domaine par $(u,v)\mapsto -2s(u,v)$. Alors l'aire de $S'$ vaut $2a$. \exo Soit $S$ la surface cylindrique de hauteur $h$, de rayon $1$, d'axe $Oz$, orienté par la normale sortant du cylindre. Soit $w$ le champ de vecteurs constant $w(x,y,z)=(0,0,1)$. Le flux de $w$ à travers $S$ est strictement positif. \exo Soit $S$ la sphère unité orientée par la normale sortant de la boule unité. Soit $w$ le champ de vecteurs défini par $w(x,y,z)=(x,y,z)$. Le flux de $w$ à travers $S$ est strictement positif. \exo Pour calculer le volume de la boule unité, je peux calculer le flux du champ de vecteurs défini par $w(x,y,z)=(y,z,x)$ à travers la sphère unité. \exo Le vecteur $v=\pmatrix{1\cr-1}$ est un vecteur propre de l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&3\cr4&-1}$. \exo Les vecteurs propres de l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&0\cr0&-1}$ sont tous proportionnels aux vecteurs de base. \exo Les valeurs propres de l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&0\cr0&-1}$ sont $-2$ et $-1$. \exo Les valeurs propres de l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&0\cr1&-1}$ sont $-2$ et $-1$. \vfill\eject Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par S3SMP \vskip1cm \begin{center} \textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 4 - Réponses} \end{center} \vskip1cm \sol OUI. C'est la définition. \sol OUI. Ce champ dérive du potentiel $-x^{2}/2$. \sol OUI. Ce champ dérive du potentiel $-x^{2}/2$. \sol OUI. C'est la différentielle de $-x^{2}/2$. \sol NON. Ce champ dérive d'un potentiel, sa circulation sur une courbe fermée est toujours nulle. \sol NON. Le sens de parcours n'est pas le bon. \sol NON. Lorsque les coordonnées sont multipliées par 2, l'aire est multipliée par 4. \sol NON. Le champ $w$ est tangent à la surface $S$, donc le flux est nul. \sol OUI. Le long de la sphère, le champ $w$ coïncide avec la normale sortante, donc le flux de $w$ à travers la sphère est égal à l'aire de la sphère, soit $4\pi$. \sol NON. La divergence de $w$ est nulle, donc le flux est nul. Il ne permet pas de retrouver le volume. \sol OUI. On vérifie que son image est $-5v$. \sol OUI. C'est un théorème du cours. \sol OUI. Pour une matrice triangulaire, les valeurs propres se lisent sur la diagonale. \sol OUI. Même raison. \end{document}