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\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
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\def\R{\mathbf{R}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 4}

\textbf{A préparer en vue du contrôle continu du 22 novembre}
\end{center}
\vskip1cm

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\begin{pmatrix}
x \\ 0
\end{pmatrix}$. La circulation de $w$ le long d'une courbe ne dépend que des extrémités de la courbe.

\exo
Le champ de vecteurs défini sur $\R^{2}$ par $w(x,y)=\begin{pmatrix}
x \\ 0
\end{pmatrix}$ dérive d'un potentiel.

\exo
La forme différentielle $\alpha=x\,dx$ sur $\R^{2}$ est exacte.

\exo
Soit $S:(u,v)\mapsto s(u,v)\in\R^3$ une surface d'aire $a$. Soit $S'$ la surface paramétrée sur le même domaine par $(u,v)\mapsto -2s(u,v)$. Alors l'aire de $S'$ vaut $2a$.

\exo
Soit $S:(u,v)\mapsto \begin{pmatrix}
x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v)
\end{pmatrix}$ une surface d'aire $a$. Soit $S'$ la surface paramétrée sur le même domaine par $(u,v)\mapsto \begin{pmatrix}
x(u,v) \\ y(u,v) \\ 2z(u,v)
\end{pmatrix}$. Alors l'aire de $S'$ vaut $2a$.

\exo
Soit $S$ la surface cylindrique de hauteur $h$, de rayon $1$, d'axe $Oz$, orienté par la normale sortant du cylindre. Soit $w$ le champ de vecteurs constant $w(x,y,z)=(0,0,1)$. Le flux de $w$ à travers $S$ est strictement positif.

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^3$ par $w(x,y,z)=(y,z,x)$. Le flux de $w$ à travers le carré $\{0<x<1,\,0<y<1\,\}$ du plan $\{z=0\}$ orienté par $(0,0,1)$ est non nul.

\exo
Soit $S$ la sphère unité orientée par la normale sortant de la boule unité. Soit $w$ le champ de vecteurs défini par $w(x,y,z)=(x,y,z)$. Le flux de $w$ à travers $S$ est strictement positif.

\exo
Soit $V$ une fonction sur $\R^3$ et $w$ un champ de vecteurs sur $\R^3$. Parmi les expressions suivantes, lesquelles ont un sens, lesquelles n'en ont pas, lesquelles valent $0$ ? $grad(div(V))$, $div(rot(V))$, $rot(div(V))$, $grad(div(w))$, $div(grad(w))$, $div(grad(V))$, $rot(div(w))$, $div(rot(w))$, $rot(grad(V))$, $grad(rot(w))$, $rot(grad(w))$, $grad(rot(V))$.

\exo
Pour calculer le volume de la boule unité, je peux calculer le flux du champ de vecteurs défini par $w(x,y,z)=(y,z,x)$ à travers la sphère unité.

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^3$ par $w(x,y,z)=(y,z,x)$. Le flux de $w$ à travers toute surface fermée vaut 0.

\exo
Pour calculer le flux du champ de vecteurs défini par $w(x,y,z)=(y,z,x)$ à travers la surface cylindrique de l'exercice 6, je peux calculer son rotationnel, puis la circulation du rotationnel le long de deux cercles.

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^3$ par $w(x,y,z)=(y,z,x)$. Pour calculer le flux du rotationnel de $w$ à travers la surface cylindrique de l'exercice 6, je peux calculer la circulation de $w$ le long de deux cercles.


\end{document}