\documentclass{article} \usepackage[dvips]{graphicx} \pagestyle{empty} \usepackage{isolatin1} \textwidth=15truecm \textheight=23truecm %\textheight=22.8truecm \hoffset=-12mm \voffset=-9mm \baselineskip=12pt \newcount\numero \numero=0 \def\exo{\par\vskip0.2cm \advance\numero by 1 \textbf{\the\numero.}\hskip1em} \def\det{\mathrm{det}} \newcount\numerobis \numerobis=0 \def\sol{\par\vskip0.5cm \advance\numerobis by 1 \textbf{\the\numerobis.}\hskip1em} \def\det{\mathrm{det}} \def\R{\mathbf{R}} \begin{document} Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par S3SMP \vskip1cm \begin{center} \textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 5 - A préparer en vue du contrôle continu du 12 décembre} \end{center} \vskip.8cm Répondre par OUI ou NON et justifier votre réponse par une démonstration ou un résultat du cours énoncé de façon précise, ou un contre-exemple. \vskip.4cm \exo Les valeurs propres de l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&0\cr1&-1}$ sont $-2$ et $-1$. \exo L'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&0\cr1&-1}$ est diagonalisable. \exo L'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{0&1\cr-2&0}$ n'admet pas de vecteurs propres. \exo La matrice $\pmatrix{0&1\cr-2&0}$ est diagonalisable sur $\mathbf{C}$. \exo La matrice $\pmatrix{1&1\cr 0&-2}$ est diagonalisable sur $\mathbf{C}$. \exo La matrice $\pmatrix{1&-2\cr 0&1}$ est diagonalisable sur $\mathbf{C}$. \exo Une matrice $2\times 2$ dont le polynôme caractéristique a une racine double n'est pas diagonalisable. \exo Soit $f$ un endomorphisme de $\R^n$, $\lambda$ une racine réelle du polynôme caractéristique de $f$. Alors la dimension de l'espace propre $E_{\lambda}$ est $\geq 1$. \exo Soit $f$ un endomorphisme de $\R^n$, $\lambda$ une racine de multiplicité $m$ du polynôme caractéristique de $f$. Alors la dimension de l'espace propre $E_{\lambda}$ est égale à $m$. \exo Un endomorphisme $f$ de $\R^n$ qui satisfait $f\circ f =f-id$ n'admet pas de vecteur propre. \exo Toute matrice $M$ telle que $M^2 -M+1=0$ est diagonalisable sur $\mathbf{C}$. \exo Soit $A$ une matrice carrée et $P$ un polynôme. Si $P(A)=0$, alors $P$ est le polynôme caractéristique de $A$. \exo Si une matrice $M$ est diagonalisable sur $\R$, alors son polynôme caractéristique n'a que des racines réelles. \exo Soient $A$ et $B$ des matrices carrées. Si $B^2 =0$, alors $(A+B)^4 =A^4 +4A^3 B$. \exo Soit $A$ une matrice $2\times 2$ telle que $P_A (x)=(x-1)^2$. Alors les coefficients de la matrice $A^k$ sont des polynômes en $k$. \exo Soit $(u_n )$ une suite qui satisfait la relation de récurrence $u_{n+2}+2u_{n+1}+u_n =0$. Alors $u_n$ est un polynôme en $n$. \exo Les solutions $X(t)$ du système différentiel $X'=\pmatrix{-2&0\cr1&-1}X$ sont de la forme $X(t)= e^{-2t}v_1 +e^{-t}v_2$ où $v_1$ et $v_2$ sont des vecteurs indépendants de $t$. \exo Les solutions $x(t)$, $y(t)$ du système différentiel $\left\{\begin{array}{ccc} x'&=&-2x\\ y'&=&x-y \end{array}\right.$ sont de la forme $x(t)=ae^{-2t}+be^{-t}$, $y(t)=ce^{-2t}+de^{-t}$ où $a$, $b$, $c$, $d$ sont des constantes. \vfill\eject Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par S3SMP \vskip1cm \begin{center} \textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 5 - Réponses} \end{center} \vskip1cm \sol OUI. Pour une matrice triangulaire, les valeurs propres se lisent sur la diagonale. \sol OUI. Le polynôme caractéristique est scindé et les racines sont simples, donc l'endomorphisme est diagonalisable. \sol OUI. Les valeurs propres ne sont pas réelles. \sol OUI. Les racines du polynôme caractéristique, $\pm i\sqrt{2}$, sont simples. \sol OUI. Les racines du polynôme caractéristique, $-2$ et $-1$, sont simples. Cette matrice est même diagonalisable sur $\R$. \sol NON. Il y a une valeur propre double, qui vaut 1, mais l'espace propre $E_1$ est de dimension 1. On peut aussi invoquer un résultat du cours : une matrice dont le polynôme caractéristique est de la forme $(x-\lambda)^n$ n'est diagonalisable que si elle est diagonale. \sol NON. La matrice nulle est diagonalisable, et son polynôme caractéristique $x^2$ a une racine double. \sol OUI. Toute racine du polynôme caractéristique est une valeur propre, donc il existe un vecteur propre associé, i.e. un vecteur non nul dans l'espace propre associé. \sol NON. Voir l'exemple de la question 6. \sol OUI. Toute valeur propre satisferait $\lambda^2 -\lambda +1=0$. Or cette équation n'a aucune solution réelle. Il n'y a donc ni valeur propre réelle, ni vecteur propre dans $\R^n$. \sol OUI. Le polynôme $P(X)=X^2 -X +1$ possède deux racine complexes simples, donc $M$ est diagonalisable sur $\mathbf{C}$. \sol NON. La matrice nulle satisfait $P(A)=0$ où $P(X)=X$ mais son polynôme caractéristique est $X^n$. \sol OUI. $M=P^{-1}DP$ entraîne que le polynôme caractéristique de $M$ a pour racines les coefficients diagonaux de $D$, qui sont réels. \sol NON. C'est vrai si $A$ et $B$ commutent (formule du binôme) mais pas en général. Prendre par exemple $A=\pmatrix{0&1\cr 1&0}$ et $B=\pmatrix{0&1\cr 0&0}$. Alors $A^4 +4A^3 B=\pmatrix{1&0\cr 0&5}$ alors que $(A+B)^4 =\pmatrix{4&0\cr 0&4}$. \sol OUI. On écrit $A=I+B$ où $B^2 =0$. Alors $A^k =I+kB$ donc ses coefficients sont des polynôme de degré 1 en $k$. \sol NON. La suite $u_n =(-1)^n$ est solution. \sol OUI. Où $v_1 \in E_{-2}$ et $v_2 \in E_{-1}$. \sol OUI. C'est équivalent à la question précédente. \end{document}