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\def\R{\mathbf{R}}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}
\textbf{Test de mathématiques n$^{0}$ 5 - A préparer en vue du contrôle continu du 6 décembre}
\end{center}
\vskip1cm



\exo
$v=\pmatrix{1\cr-1}$ est un vecteur propre de l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&3\cr4&-1}$.

\exo
Les vecteurs propres de l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&0\cr0&-1}$ sont tous proportionnels aux vecteurs de base.

\exo
Les valeurs propres de l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&0\cr0&-1}$ sont $-2$ et $-1$.

\exo
Les valeurs propres de l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&0\cr1&-1}$ sont $-2$ et $-1$.


\exo
L'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{-2&0\cr1&-1}$ est diagonalisable.

\exo
L'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $\pmatrix{0&1\cr-2&0}$ n'admet pas de vecteurs propres.

\exo
La matrice $\pmatrix{0&1\cr-2&0}$ est diagonalisable sur $\mathbf{C}$.

\exo
La matrice $\pmatrix{1&1\cr 0&-2}$ est diagonalisable sur $\mathbf{C}$.

\exo
La matrice $\pmatrix{1&-2\cr 0&1}$ est diagonalisable sur $\mathbf{C}$.

\exo
Une matrice $2\times 2$ dont le polynôme caractéristique a une racine double n'est pas diagonalisable.

\exo
Soit $f$ un endomorphisme de $\R^n$, $\lambda$ une racine réelle du polynôme caractéristique de $f$. Alors la dimension de l'espace propre $E_{\lambda}$ est $\geq 1$.

\exo
Soit $f$ un endomorphisme de $\R^n$, $\lambda$ une racine de multiplicité $m$ du polynôme caractéristique de $f$. Alors la dimension de l'espace propre $E_{\lambda}$ est égale à $m$.

\exo
Un endomorphisme $f$ de $\R^n$ qui satisfait $f\circ f =f-id$ n'admet pas de vecteur propre.

\exo
Toute matrice $M$ telle que $M^2 -M+1=0$ est diagonalisable sur $\mathbf{C}$.

\exo
Soit $A$ une matrice carrée et $P$ un polynôme. Si $P(A)=0$, alors $P$ est le polynôme caractéristique de $A$.

\exo
Si une matrice $M$ est diagonalisable sur $\R$, alors son polynôme caractéristique n'a que des racines réelles.

\exo
Soient $A$ et $B$ des matrices carrées. Si $B^2 =0$, alors $(A+B)^4 =A^4 +4A^3 B$.

\exo
Soit $A$ une matrice $2\times 2$ telle que $P_A (x)=(x-1)^2$. Alors les coefficients de la matrice $A^k$ sont des polynômes en $k$.

\exo
Soit $(u_n )$ une suite qui satisfait la relation de récurrence $u_{n+2}+2u_{n+1}+u_n =0$. Alors $u_n$ est un polynôme en $n$.

\end{document}