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\def\finducours#1{
\vskip.5cm
\hbox{{\vrule height 2pt width \finwidth} Fin du cours n$^0$#1}
\vskip.5cm\par}

\title{TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE}
\author{P. Pansu}

\newtheorem{theo}{Th{\'e}or{\`e}me}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lemme]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lemme]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lemme]{D{\'e}finition}
\newtheorem{rem}[lemme]{Remarque}
\newtheorem{exo}[lemme]{Exercice}
\newtheorem{exemple}[lemme]{Exemple}

\long\def\sol#1#2#3{\par\medskip\noindent {\bf Solution de l'exercice \ref{#1}.}\hskip1em{\em #2.}\par{#3}\par}

\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\N{{\bf N}}
\def\cR{\,\mathcal{R}\,}
\def\titre#1{\par\vskip1cm\centerline{#1}\par\vskip1cm}
\def\qed{\vrule height 5pt width 5pt}
\def\d{\displaystyle}
\def\inv#1{\frac{1}{#1}}
\def\solution{\par\medskip{\bf Solution.}\hskip5pt}
\def\preuve{\par\medskip{\bf Preuve.}\hskip5pt}

\begin{document}
\maketitle

\section{Qu'est-ce que la topologie ?}

C'est l'étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue.

Belle phrase, mais qui nécessite d'être précisée.

\subsection{Rappels}

\begin{defi}
\label{defouvert}
Une partie $U\subset\R$ est dite {\em ouverte} si pour tout $x\in U$, il existe $\epsilon>0$ tel que $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset U$. Une partie $F\subset\R$ est dite {\em fermée} si son complémentaire $U=\R\setminus F$ est ouvert. 
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exouvert}
Un intervalle ouvert, comme $]a,b[$, $]a,+\infty[$, $]-\infty,b[$, $]-\infty,+\infty[$, est ouvert.

Un intervalle fermé, comme $\{a\}$, $[a,b]$, $[a,+\infty[$, $]-\infty,b]$, $]-\infty,+\infty[$, est fermé.

Exemples extrêmes : $\emptyset$ et $\R$ sont à la fois ouverts et fermés.
\end{exemple}

\begin{prop}
\label{unionouv}
La réunion d'un nombre quelconque d'ouverts, l'intersection d'un nombre fini d'ouverts, sont ouvertes.

La réunion d'un nombre fini de fermés, l'intersection d'un nombre quelconque de fermés, sont fermées.
\end{prop}

\begin{prop}
\label{fermesuite}
Une partie $F$ de $\R$ est fermée si et seulement si pour toute suite convergente de points $x_{n}\in F$, la limite $\lim_{n\to\infty}x_{n}$ appartient à $F$.
\end{prop}

\begin{prop}
\label{contouvert}
Une fonction $f:\R\to\R$ est continue si et seulement si pour tout ouvert $U$ de $\R$, $f^{-1}(U)$ est ouvert.
\end{prop}

On aimerait une caractérisation analogue des fonctions continues sur un intervalle, ou plus généralement sur un sous-ensemble de $\R$.

\subsection{Ouverts et fermés relatifs}

\begin{defi}
\label{defouvertrelatif}
Soit $E$ un sous-ensemble de $\R$. Une partie $A\subset E$ est dite {\em ouverte dans} $E$ si pour tout $x\in A$, il existe $\epsilon>0$ tel que $]x-\epsilon,x+\epsilon[\cap E\subset A$. Une partie $B\subset E$ est dite {\em fermée dans} $E$ si son complémentaire $A=E\setminus B$ est ouvert dans $E$. 
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exouvertrelatif}
Soit $E=[0,1[$ et $A=]0,1[$, $B=[0,1/2[$, $C=[1/2,1[$, $D=[0,1/2]$. Alors  $A$ et $B$ sont des ouverts de $E$, et $C$ et $D$ sont des fermés de $E$.

Exemples extrêmes : $E$ et $\emptyset$ sont à la fois ouverts et fermés dans $E$.
\end{exemple}
Remarquer que $A$ est un ouvert de $\R$ et $D$ est un fermé de $\R$. Ils sont \emph{a fortiori} ouvert (resp. fermé) dans $E$. En revanche, $B$ et $C$ ne sont ni ouverts, ni fermés dans $\R$.

\begin{prop}
\label{carouvertrelatif}
Soit $E$ un sous-ensemble de $\R$. 

Une partie $A\subset E$ est ouverte (resp. fermée) dans $E$ si et seulement si il existe un ouvert $U$ (resp. un fermé $F$) de $\R$ tel que $A=E\cap U$ (resp. $A=E\cap F$). 

Une partie $A\subset E$ est fermée dans $E$ si et seulement si pour toute suite $(x_{n})$ d'éléments de $A$ convergeant vers un point $x$ de $E$, $x\in A$.
\end{prop}

\preuve
Si $U$ est un ouvert de $\R$, $U\cap E$ est un ouvert de $E$. En effet, si $x\in U\cap E$, il existe $\epsilon>0$ tel que $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset U$. Alors $]x-\epsilon,x+\epsilon[\cap E\subset U\cap E$. 

Réciproquement, soit $A$ un ouvert de $E$. A chaque $x\in A$ correspond un intervalle ouvert $I_{x}=]x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x}[$ tel que $I_{x}\cap E\subset A$. Posons $\d U=\bigcup_{x\in A}I_{x}$. C'est une réunion d'ouverts de $\R$, donc c'est un ouvert de $\R$. Par construction, $A=U\cap E$.

Le cas des fermés se déduit de celui des ouverts (passer au complémentaire). 

Soit $A$ un fermé de $E$, $A=F\cap E$ où $F$ est fermé dans $\R$. Si $(x_n )$ est une suite d'éléments de $A$ qui converge vers un point $x$ de $E$, alors $x\in F$ (proposition \ref{fermesuite}), donc $x\in A$. 

Inversement, supposons que $A\subset F$ n'est pas fermé. Alors $B=E\setminus A$ n'est pas un ouvert de $E$. Autrement dit, il existe un point $y\in B$ tel que pour tout $\epsilon>0$ il existe un point $x\in]y-\epsilon,y+\epsilon[\cap E$ qui n'appartient pas à $B$. On applique cette propriété pour $\epsilon=1/n$. On trouve un point $x_n \in E\setminus B=A$ tel que $|x_n -y|<1/n$. On a donc trouvé une suite $(x_n )$ d'éléments de $A$ qui converge vers un point $y$ de $E$ qui n'appartient pas à $A$. C'est la contraposée de la propriété de l'énoncé.\qed

\begin{defi}
\label{voisrel}
Soit $E$ un sous-ensemble de $\R$. Soit $A\subset E$ et $x_0 \in E$. On dit que $A$ est un \emph{voisinage de} $x_0$ dans $E$ s'il existe $\epsilon>0$ tel que $]x_0 -\epsilon,x_0 +\epsilon[\cap E\subset A$.
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exvoisrel}
$A\subset E$ est ouvert dans $E$ si et seulement si $A$ est un voisinage de chacun de ses points. Par exemple, si $E=\{0\}\cup [1,2[$, alors $\{0\}$ est un voisinage de 0 dans $E$, c'est un ouvert de $E$.
\end{exemple}

\subsection{Fonctions continues sur un sous-ensemble de $\R$}

\begin{defi}
\label{defcontE}
Soit $E$ un sous-ensemble de $\R$. Une fonction $f:E\to\R$ est \emph{continue sur} $E$ si pour tout $x_0 \in E$ et tout $\epsilon>0$, il existe $\alpha>0$ tel que 
\begin{eqnarray*}
x\in E,~|x-x_0 |<\alpha \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_0 )|<\epsilon.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{rem}
\label{remcontE}
Soit $I$ un intervalle de $\R$. Une fonction $f:I\to\R$ est continue si et seulement si elle est continue au sens usuel : continue en chaque point intérieur, continue à droite (resp. à gauche) aux bornes lorsqu'elles appartiennent à $I$.
\end{rem}

\begin{exemple}
\label{excontE}
Soit $E=[0,1[$. La fonction $f$ définie sur $E$ par $f(x)=\inv{x-1}$ est continue sur $E$. La fonction $g$ définie sur $E$ par $g(x)=\inv{x}$ pour $x>0$ et $g(0)=0$ n'est pas continue sur $E$. En revanche, les restrictions de ces fonctions à $E'=\{0\}\cup [1/2,1[$ sont continues. Si $E$ est un ensemble fini de points de $\R$, toute fonction sur $E$ est continue. Si $E=\Z$, toute fonction sur $E$ est continue. 
\end{exemple}

\begin{prop}
\label{contrelouv}
Soit $E$ un sous-ensemble de $\R$. Une fonction $f:E\to \R$ est continue si et seulement si pour tout ouvert $U$ de $E$, $f^{-1}(U)$ est un ouvert de $E$.
\end{prop}

\preuve
Supposons $f$ continue sur $E$. Soit $U$ un ouvert de $\R$. Soit $x_0 \in f^{-1}(U)$, autrement dit, $x_0 \in E$ et $y=f(x_0 )\in U$. Comme $U$ est ouvert, il existe $\epsilon>0$ tel que $]y-\epsilon,y+\epsilon[\subset U$. Par continuïté de $f$, il existe $\alpha>0$ tel que 
\begin{eqnarray*}
x\in E,~|x-x_0 |<\alpha \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_0 )|<\epsilon.
\end{eqnarray*}
Alors $f(E\cap]x_0 -\alpha,x_0 +\alpha[)\subset U$, donc $E\cap]x_0 -\alpha,x_0 +\alpha[\subset f^{-1}(U)$. Ceci prouve que $f^{-1}(U)$ est ouvert.

Inversement, soit $x_0 \in E$ et $\epsilon>0$. L'intervalle $]f(x_0 )-\epsilon,f(x_0 )+\epsilon[$ est un ouvert de $\R$. Alors $f^{-1}(]f(x_0 )-\epsilon,f(x_0 )+\epsilon[)$ est ouvert. Il existe donc $\alpha>0$ tel que $E\cap]x_0 -\alpha,x_0 +\alpha[\subset f^{-1}(]f(x_0 )-\epsilon,f(x_0 )+\epsilon[)$. Si $x\in E$ et $|x-x_0 |<\alpha$, alors $f(x)\in ]f(x_0 )-\epsilon,f(x_0 )+\epsilon[$, donc $|f(x)-f(x_0 )|<\epsilon$. Ceci prouve que $f$ est continue en $x_0$.\qed

\begin{exo}
\label{contrelsuite}
Soit $E$ un sous-ensemble de $\R$. Soit $f:E\to\R$ une fonction définie sur $E$. Montrer que $f$ est continue si et seulement si pour tout $x\in E$ et pour toute suite $(x_n )$ de points de $E$ convergeant vers $x$, $\lim_{n\to\infty}f(x_n )=f(x)$.
\end{exo}

\sol{contrelsuite}{Continuïté et suites}{
Sens direct. Supposons $f$ continue sur $E$. Soit $(x_n )$ une suite d'éléments de $E$ qui converge vers $x_0 \in E$. Fixons $\epsilon>0$. Par continuïté de $f$, il existe $\alpha>0$ tel que
\begin{eqnarray*}
x\in E,~|x-x_0 |<\alpha \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_0 )|<\epsilon.
\end{eqnarray*}
Comme $(x_n )$ converge vers $x_0$, il existe $N$ tel que 
\begin{eqnarray*}
n\geq N \quad \Rightarrow \quad |x_n -x_0 |<\alpha.
\end{eqnarray*}
Comme $x_n \in E$, pour $n\geq N$, $|f(x)-f(x_0 )|<\epsilon$. Ceci prouve que $\lim_{n\to\infty}f(x_n )=f(x)$.

Inversement, supposons que $f$ n'est pas continue sur $E$. Alors il existe un point $x_0 \in E$ et un $\epsilon>0$ tels que pour tout $\alpha>0$, il existe $x\in E$ tel que $|x-x_0 |<\alpha$ et $|f(x)-f(x_0 )|\geq\epsilon$. On utilise cet énoncé pour chaque $\alpha=1/n$. On trouve, pour chaque $n$, un point $x_n \in E$ tel que $|x_n -x_0 |<1/n$ et $|f(x_n )-f(x_0 )|\geq\epsilon$. Alors la suite $f(x_n )$, qui ne s'approche pas de $f(x_0 )$, ne converge pas vers $f(x_0 )$.
}

\subsection{Objectif}

On voit que les notions comme la continuïté, la convergence de suites, les voisinages, les ouverts, les fermés, ont un sens pour un sous-ensemble de $\R$. Ils constituent le vocabulaire de la topologie. L'objet de la suite du ce chapitre et de se familiariser avec les sous-ensembles de $\R$, en accumulant des exemples instructifs d'ouverts, de fermés, de suites, de fonctions.

\section{Connexité}

\subsection{Peut-on être ouvert et fermé ?}

\begin{exemple}
\label{exnonconnexe}
Soit $E=\R^* =\R\setminus\{0\}$. Soit $A=]-\infty,0[$. Alors $A$ est à la fois ouvert et fermé.
\end{exemple}
En effet, $A$ est ouvert dans $\R$ donc \emph{a fortiori} dans $E$. Pour la même raison, son complémentaire $B=E\setminus A=]0,+\infty[$ est ouvert dans $E$, donc $A$ est fermé dans $E$.

\begin{exo}
\label{exononconnexe}
Soit $E$ un sous-ensemble de $\R$. On suppose qu'il existe trois réels $a<c<b$ tels que $a\in E$, $b\in E$ mais $c\notin E$. Montrer qu'il existe une partie $A\in E$ qui est à la fois ouverte et fermée, mais qui n'est ni vide ni égale à $E$.
\end{exo}

\sol{exononconnexe}{Ouverts et fermés à la fois}{
On pose $A=E\cap]-\infty,c[$ et $B=E\cap]0,+\infty[$. Alors $A$ et $B$ sont ouverts dans $E$ et sont complémentaires l'un de l'autre (car $c\notin E$), donc ils sont aussi fermés dans $E$. Par hypothèse, $A\not=\emptyset$ et $B\not=\emptyset$, donc $A\not=E$.
}

\begin{defi}
\label{defconn}
On dit qu'une partie $E$ de $\R$ est \emph{connexe} si on ne peut pas la diviser en deux ouverts disjoints et non vides.
\end{defi}
Autrement dit, $E$ est non connexe s'il existe $A$ non vide et distinct de $E$, tel que $A$ soit à la fois ouvert et fermé dans $E$.

\begin{prop}
\label{intconn}
Un sous-ensemble de $\R$ est connexe si et seulement si c'est un intervalle.
\end{prop}

\preuve
D'après l'exercice \ref{exononconnexe}, un sous ensemble connexe $E$ de $\R$ a la propriété suivante : pour tous $a$, $b\in E$, $]a,b[\subset E$. Autrement dit, il est \emph{convexe}. D'après la Proposition 21 du chapitre sur la borne supérieure, c'est un intervalle.

Inversement, soit $I$ un intervalle. Soient $A$ et $B$ des parties non vides de $I$, disjointes, telles que $A\cup B=I$. Soit $a\in A$ et $b\in B$. Quitte à échanger $A$ et $B$, on peut supposer que $a<b$. On considère $c=\sup\{x\in A\,|\,x<b\}$. Comme $a\leq c\leq b$, $c\in I$. De l'une des caractérisation de la borne supérieure (Proposition 15 du chapitre sur la borne supérieure), il résulte qu'il existe une suite $(x_n )$ de points de $A$ qui converge vers $c$. D'autre part, ou bien $c=b\in B$, ou bien l'intervalle $]c,b[$ est entièrement contenu dans $B$. Dans les deux cas, il existe une suite $(y_n )$ de points de $B$ qui converge vers $c$. Par conséquent, l'un des ensembles $A$ et $B$ n'est pas fermé (Proposition \ref{carouvertrelatif}).\qed

\subsection{Connexité et valeurs intermédiaires}

Voici une seconde preuve de la connexité des intervalles. Soit $I$ un intervalle. Supposons par l'absurde que $I=A\cup B$ où $A$ et $B$ sont deux ouverts non vides de $I$. Définissons une fonction $f$ sur $I$ en posant $f(x)=0$ si $x\in A$ et $f(x)=1$ si $x\in B$. Alors $f$ est continue sur $I$. En effet, la continuïté en $x_0$ ne dépend que des valeurs de la fonction au voisinage de $x_0$. Si $x_0 \in A$, $f=0$ au voisinage de $x_0$, car $A$ est ouvert, donc c'est un voisinage de $x_0$. Si $x_0 \in B$, $f=1$ au voisinage de $x_0$ car $B$ est ouvert. Or  $f$ ne prend que les valeurs 0 et 1, cela contredit le théorème des valeurs intermédiaires.

\section{Description des ouverts}

\subsection{Des exemples}

Toute réunion d'intervalles ouverts est un ouvert. On peut par exemple prendre une réunion finie d'intervalles ouverts disjoints, comme 
\begin{eqnarray*}
U_1 =\{x\in\R\,|\,x(x^2 -1)(x^2 -4)>0\}=]-2,-1[\cup]0,1[\cup]2,+\infty[,
\end{eqnarray*} 
où une réunion infinie comme
\begin{eqnarray*}
U_2 =\{x\in\R\,|\,\cos(2\pi x)>0\}=\bigcup_{k\in\Z}]k-\inv4,k+\inv4[.
\end{eqnarray*} 
On peut prendre des intervalles de plus en plus petits, comme
\begin{eqnarray*}
U_3 =\bigcup_{k\in\Z}]k-3^{-|k|-1},k+3^{-|k|-1}[.
\end{eqnarray*}
Bien qu'il y ait une infinité d'intervalles, la longueur totale de $U_3$ vaut
\begin{eqnarray*}
2\sum_{k\in\Z}3^{-|k|-1}=\frac{2}{3}+2\sum_{k=1}^{\infty} 3^{-k-1}=1.
\end{eqnarray*}
Pour obtenir une famille d'intervalles ouverts disjoints qui contient tous les demi-entiers, il suffit d'adjoindre à $U_3$ l'ensemble
\begin{eqnarray*}
V_3 =\bigcup_{k\in\N}]k+\frac{1}{2}-3^{-|k|-2},k+\frac{1}{2}+3^{-|k|-2}[
\end{eqnarray*}
et son symétrique par rapport à l'origine. Leur longueur totale n'excède pas $\frac{2}{9}$. 

Pour couvrir tous les rationnels dont le dénominateur est 4, il faut encore ajouter
\begin{eqnarray*}
V_4 =\bigcup_{k\geq 1}]\frac{k}{2}+\frac{1}{4}-3^{-|k|-3},\frac{k}{2}+\frac{1}{4}+3^{-|k|-3}[
\end{eqnarray*}
et son symétrique par rapport à l'origine. Leur longueur totale n'excede pas $\frac{2}{27}$. A l'étape suivante, il faut se méfier, car $1/8$ et $3/8$ sont déjà couverts par un intervalle de $U_3$.

Ca se complique vite, mais on conçoit qu'on puisse fabriquer une famille d'intervalles ouverts deux à deux disjoints qui contiennent tous les nombres rationnels dont le dénominateur est une puissance de 2, mais dont la longueur totale reste finie. Pourtant, le complémentaire de la réunion de ces intervalles ne contient aucun intervalle!

\medskip

\textbf{Question.} Peut-on construire une réunion d'intervalles disjoints qui contient tous les rationnels, mais dont la longueur totale reste finie ?

\subsection{Composantes}

L'ouvert $U_1$ est formé de 3 morceaux, et chacun est un intervalle. Comment, dans un ouvert quelconque, reconnaître les morceaux ?

\begin{defi}
\label{defcomp}
Soit $U$ un ouvert de $\R$, et $x\in U$. On appelle \emph{composante} de $x$ dans $U$ la réunion de tous les intervalles ouverts contenant $x$ et contenus dans $U$. 
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{excomp}
Dans l'ouvert $U_1$, la composante de $1/2$ est $]0,1[$.
\end{exemple}

\begin{prop}
\label{propcomp}
Soit $U$ un ouvert de $\R$. Alors $U$ est la réunion d'une famille d'intervalles ouverts deux à deux disjoints $U_1 ,U_2 ,\ldots, U_k ,\ldots$, en nombre fini ou infini.
\end{prop}

\preuve
Etant donné, $x\in U$, notons $C_x$ la composante de $x$ dans $U$. C'est un intervalle ouvert. En effet, si $y$ et $z$ sont des points de $C_x$, avec $y<z$, alors $[y,z]\subset C_x$. En effet, la réunion de deux intervalles contenant $x$ est un intervalle contenant $x$. Or il existe des intervalles $I$ contenant $x$ et $y$ et $J$ contenant $x$ et $z$ qui sont contenus dans $U$. Alors $I\cup J$ est un intervalle contenant $x$ et contenu dans $U$, donc contenu dans $C_x$. Comme il contient $y$ et $z$, il contient $[y,z]$. Autrement dit, $C_x$ est \emph{convexe}, c'est donc un intervalle. D'autre part, $C_x$ est une réunion d'ouverts, donc un ouvert. Autrement dit, $C_x$ est le plus grand intervalle ouvert contenant $x$ et contenu dans $U$.

Si $x\in U$ et $y\in C_x$, alors $x\in C_y$. En effet, 
\begin{eqnarray*}
y\in C_x \quad  \Leftrightarrow \quad \textrm{il existe un intervalle $I$ contenant $x$ et $y$ et contenu dans $U$}\quad  \Leftrightarrow \quad x\in C_y ,
\end{eqnarray*}
par symétrie. Comme $C_x$ est le plus grand intervalle ouvert contenant $x$ et contenu dans $U$, et comme $C_y$ est un intervalle ouvert contenant $x$ et contenu dans $U$, $C_y \subset C_x$. Par symétrie, $C_x =C_y$.

Si $x$, $y\in U$ et si $C_x \cap C_y \not=\emptyset$, alors $C_x =C_y$. En effet, si $z\in C_x \cap C_y$, alors $C_z =C_x$ et $C_z =C_y$.

On conclut que les composantes des éléments de $U$ forment une famille d'intervalles deux à deux disjoints, et dont la réunion est $U$, ce sont les composantes de $U$. Dans chaque composante, on peut choisir un nombre rationnel. On peut donc numéroter les composantes par un sous-ensemble $A$ de $\Q$. Comme $\Q$ est dénombrable, $A$ l'est aussi. Ou bien $A$ est fini, ou bien il peut être numéroté par les entiers.\qed

\begin{cor}
\label{ratouv}
Soit $\epsilon>0$. Il existe une famille d'intervalles ouverts deux à deux disjoints $U_k$, $k=1,2,\ldots$ telle que
\begin{itemize}
  \item Tout nombre rationnel est contenu dans l'un des $U_k$.
  \item La longueur totale $\sum_{k=1}^{\infty}\mathrm{long}(U_k )<\epsilon$.
\end{itemize}
\end{cor}

\preuve
Soient $(u_n )_{n\in\N}$ une suite de réels strictement positifs. Etant donnés deux entiers $p\in\Z$ et $q\geq 1$, soit $I_{p,q}=]\frac{p}{q}-u_{|p|} u_q ,\frac{p}{q}+u_{|p|} u_q [$. Alors $I_{p,q}$ est un intervalle ouvert de longueur $2u_{|p|} u_q$. Soit $U=\bigcup_{p\in\Z\,q\geq 1} I_{p,q}$. Alors $U$ est un ouvert de $\R$ qui contient tous les rationnels. La somme des longueurs des intervalles $I_{p,q}$ vaut
\begin{eqnarray*}
\sum_{p\in\Z,\,q\geq 1}2u_{|p|} u_q \leq 4\sum_{p\geq 0,\,q\geq 0}u_p u_q =4(\sum_{p\in\N}u_p )^2 .
\end{eqnarray*}

D'après la proposition \ref{propcomp}, $U$ est la réunion d'une famille d'intervalles ouverts deux à deux disjoints $U_k$. Montrons que la somme des longueurs des $U_k$ vaut au plus $4(\sum_{p\in\N}u_p )^2$. Pour chaque $k$, notons $J_k =\{(p,q)\,|\,I_{p,q}\subset U_k\}$. Alors chaque couple $(p,q)$ avec $p\in\Z$ et $q\geq 1$ appartient à un et un seul des $J_k$. En effet, comme $I_{p,q}$ est un intervalle ouvert contenu dans $U$, il rencontre une et une seule composante, dans laquelle il est entièrement contenu. Remarquons que $U_k =\bigcup_{(p,q)\in J_k} I_{p,q}$, donc
\begin{eqnarray*}
\mathrm{long}(U_k )\leq \sum_{(p,q)\in J_k}2u_{|p|} u_q ,
\end{eqnarray*}
d'où
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^{\infty}\mathrm{long}(U_k )
&\leq& \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{(p,q)\in J_k}2u_{|p|} u_q \\
&=&\sum_{p\in\Z,\,q\geq 1}2u_{|p|} u_q \\
&\leq& 4(\sum_{p\in\N}u_p )^2 .
\end{eqnarray*}
On choisit $u_n =\epsilon^{1/2} 2^{-n-2}$, de sorte que $\sum_{p\in\N}u_p =\inv2\epsilon^{1/2}$.\qed

\subsection{Homéomorphismes}

\begin{defi}
\label{defhomeo}
Soient $E$ et $E'$ deux sous-ensembles de $\R$. Un \emph{homéomorphisme} de $E$ sur $E'$ est une fonction bijective $f:E\to E'$ telle que $f$ et $f^{-1}$ soient continues. S'il existe un ho\-mé\-o\-mor\-phisme de $E$ sur $E'$, on dit que $E$ et $E'$ sont \emph{homéomorphes}.
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exhomeo}
La fonction $f$ définie sur $]0,1]$ par $f(x)=1/x$ est un homéomorphisme de $]0,1]$ sur $[1,+\infty[$.
\end{exemple}

\begin{exo}
\label{homeoouv}
Montrer que deux intervalles ouverts sont toujours homéomorphes. Montrer que deux intervalles fermés bornés de longueurs non nulles sont toujours homéomorphes.
\end{exo}

\sol{homeoouv}{Intervalles homéomorphes}{
Soit $I=]a,b[$ (resp. $]-\infty,b[$, resp. $]a,+\infty[$) un intervalle ouvert. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=\frac{ae^{-x}+be^x}{e^{-x}+e^x}$ (resp. $b-e^x$, resp. $a+e^x$). Alors $f$ est un homéomorphisme de $\R$ sur $I$. En effet, $f$ est continue et $f^{-1}$, donnée par la formule
\begin{eqnarray*}
f^{-1}(y)=\inv2 \ell n(\frac{y-a}{b-y}), \quad \textrm{resp. } f^{-1}(y)=-\ell n(b-y),\quad \textrm{resp. } f^{-1}(y)=\ell n(y-a),
\end{eqnarray*}
est continue.

Soit $I=[a,b]$ avec $a<b$. Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=a(1-x)+bx$. Alors $f$ est un homéomorphisme de $[0,1]$ sur $I$. En effet, $f$ est continue et $f^{-1}$, donnée par la formule $f^{-1}(y)=\frac{y-a}{b-a}$, est continue.
}

\begin{exo}
\label{exohomeo3}
Montrer que si un sous-ensemble $E$ de $\R$ est homéomorphe à un intervalle ouvert, alors $E$ est lui-même un intervalle ouvert. 
\end{exo}

\sol{exohomeo3}{Ensembles homéomorphes à un intervalle ouvert}{
Soit $f:]0,1[\to E$ un homéomorphisme. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $E=f(]0,1[)$ est un intervalle. Supposons que $E$ est un intervalle fermé borné. D'après le théorème de la borne atteinte appliqué à $f^{-1}$, $]0,1[=f^{-1}(E)$ est fermé borné, contradiction. Supposons que $E$ est semi-fermé, de la forme $[a,b[$ ou $[a,+\infty[$. Alors $]0,1[\setminus\{f^{-1}(a)\}$ est homéomorphe à l'intérieur de $E$ donc est connexe, cela contredit l'exercice \ref{exononconnexe}. On conclut que $E$ est un intervalle ouvert. 
}

\begin{theo}
\label{thcomp}
Deux ouverts de $\R$ sont homéomorphes si et seulement si ils ont le même nombre (fini ou infini) de composantes.
\end{theo}

\preuve
Soient $U$ et $V$ des ouverts de $\R$. Soit $f:U\to V$ un homéomorphisme. Alors $f$ envoie chaque composante de $U$ sur une composante de $V$. En effet, d'après l'exercice \ref{exohomeo3}, si $C_x$ est une composante de $U$, $f(C_x )$ est un intervalle ouvert contenu dans $V$, donc $f(C_x )\subset C_{f(x)}$. De même, $f^{-1}(C_{f(x)})\subset C_x$, donc $f(C_x )= C_{f(x)}$. Comme $f$ est bijective, si $U$ a $n$ composantes, $V$ en a $n$ aussi. Si $U$ a une infinité de composantes, $V$ en a aussi une infinité.

Réciproquement, soient $U$ et $V$ des ouverts ayant le même nombre $n$ de composantes. Nu\-mé\-ro\-tons les composantes de $U$ et de $V$ : on obtient des intervalles ouverts $U_1 ,\ldots,U_n$, $V_1 ,\ldots,V_n$. D'après l'exercice \ref{homeoouv}, il existe un homéomorphisme $f_i :U_i \to V_i$. La fonction obtenue en juxtaposant les $f_i$ est un homéomorphisme de $U$ sur $V$.

Soient $U$ et $V$ des ouverts ayant chacun une infinité de composantes. On peut numéroter les composantes de $U$ par des entiers, $U_1 ,U_2 ,\ldots,U_k ,\ldots$, et de même pour les composantes de $V$, $V_1 ,V_2 ,\ldots,V_k ,\ldots$. De nouveau, on juxtapose des homéomorphismes $f_i :U_i \to V_i$. L'application $f$ obtenue est un homéomorphisme de $U$ sur $V$. En effet, la continuïté de $f$ en un point $x$ de $\bigcup U_i$ ne dépend que des valeurs de $f$ au voisinage de $x$. Or la composante $U_i =C_x$ est un tel voisinage, sur lequel $f=f_i$, donc $f$ est continue. Le même argument s'applique à la réciproque $f^{-1}$.\qed

\section{Un exemple de compact : l'ensemble de Cantor}

Soit $F$ un fermé de $\R$. Son complémentaire est la réunion d'une famille dénombrable d'intervalles $]a_n ,b_n [$ deux à deux disjoints. Supposons que $F$ ne contienne aucun intervalle ouvert. On a l'impression que $F=\{a_n \,|\,n\in\N\}\cup\{b_n \,|\,n\in\N\}$ est dénombrable. Il n'en est rien. L'objet de cette section est de présenter un contre-exemple.

\subsection{Définition}

On part de l'intervalle $C_0 =[0,1]$. On lui retire son tiers du milieu. On obtient $C_1 =[0,1/3]\cup[2/3,1]$. On recommence : on retire à chacun des deux intervalles constituant $C_1$ son tiers du milieu. On obtient $C_2 =[0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[8/9,1]$. Et on recommence... 

On peut définir les ensembles $C_n$, réunions de $2^n$ intervalles fermés de même longueur, par récurrence sur $n$ : $C_{n+1}$ s'obtient en retirant son tiers du milieu à chacun des intervalles constituant $C_n$.

\begin{defi}
\label{defcant}
On appelle \emph{ensemble de Cantor} l'ensemble
\begin{eqnarray*}
C=\bigcap_{n\in\N}C_n .
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\subsection{Lien avec le développement en base 3}

Le lemme suivant rappelle des propriétés du développement en base 3.
\begin{lemme}
\label{33}
Tout réel positif ou nul $x$ peut s'écrire sous la forme
\begin{eqnarray*}
x=3^m b_m +3^{m-1}b_{m-1}+\cdots +b_0 +3^{-1}a_1 +3^{-2}a_2 +\cdots,
\end{eqnarray*}
où les $b_i$ et les $a_j$ prennent les valeurs 0, 1 ou 2. Cette écriture est unique sauf pour l'ensemble (dénombrable) des rationnels dont le dénominateur est une puissance de 3. Un tel nombre possède exactement deux développements en base 3, l'un (qu'on baptise premier développement de $x$) pour lequel $a_n \not=2$, $2=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots$, l'autre qui ne diffère du premier qu'à partir du $n$-ème chiffre après la virgule, avec $a_n$ remplacé par $a_n +1$ et $0=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots$. 
\end{lemme}

\preuve
Exactement comme pour la base 10.\qed

\bigskip

On peut décrire directement les ensembles $C_n$, grâce au développement en base 3 : $C_n$ s'obtient en gardant certains intervalles de la subdivision de $[0,1]$ en $3^n$ intervalles égaux. 
Si $x$ est l'origine d'un intervalle de $C_{n+1}$, alors 
\begin{itemize}
  \item ou bien $x=x+0.3^{-n-1}$ est déjà l'origine d'un intervalle de $C_{n+1}$, 
  \item ou bien $x=y+2.3^{-n-1}$ où $y$ est l'origine d'un intervalle de $C_{n+1}$.
\end{itemize}
Par conséquent, un réel $x$ est l'origine d'un intervalle de $C_{n}$ si et seulement si il est de la forme $m3^{-n}$ où $m$ est un entier qui s'écrit en base 3 sous la forme $m=b_0 +3 b_1 +3^2 b_2 +\cdots +3^{n-1}b_{n-1}$, et les $b_i$ valent 0 ou 2 mais jamais 1. Autrement dit, $x$ s'écrit $x=0.b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_0$ en base 3, avec $b_i \not=1$ et $b_0 =2$.

\begin{lemme}
\label{cant3}
$C_n$ est l'ensemble des réels $x\in[0,1]$ tels que dans au moins un des développements de $x$ en base 3, les $n$ premiers chiffres après la virgule sont différents de 1.

$C$ est l'ensemble des réels compris entre 0 et 1 dont au moins un développement en base 3 ne comporte pas de 1, seulement des 0 et des 2. Lorsque $x\in C$ exactement un des développements en base 3 de $x$ ne comporte aucun 1.
\end{lemme}

\begin{exemple}
\label{excant3}
Par exemple, $1=0.222\ldots$, $1/3=0.1000\ldots=0.0222\ldots$ et $2/3=0.1222\ldots=0.2000\ldots$ sont des éléments de $A$, mais pas $4/9=0.10222\ldots=0.11000\ldots$.
\end{exemple}

\preuve
Un réel $x$ appartient à $C_n$ si et seulement si il est compris entre un réel de la forme $y=0.b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_0$ et $y+3^{-n}$, avec $b_i \not=1$ et $b_0 =2$. Autrement dit, si $x\not=y+3^{-n}$, le second développement en base 3 de $x$ commence par $0.b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_0$, avec $b_i \not=1$. Si $x=y+3^{-n}$, alors le premier développement en base 3 de $x$ est $0.b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_0 2222\ldots$, avec $b_i \not=1$. 

Soit $x\in[0,1]$ un nombre qui n'est pas un rationnel dont le dénominateur est une puissance de 3. Soit $x=0.a_1 a_2 \ldots$ son unique développement en base 3. Alors $x\in C_n$ si et seulement si les $n$ premiers chiffres $a_1 ,\ldots a_n$ sont différents de 1. $x\in C$ si et seulement si ceci est vrai pour tout $n$, i.e. tous les chiffres $a_i$ sont différents de 1. 

Enfin, soit $x\in[0,1]$ un rationnel dont le dénominateur est une puissance de 3. Si son premier développement $x=a_1 a_2 \ldots a_m 22222\ldots$ ne comporte pas de 1, alors $x$ est l'extrémité (droite) d'un intervalle de $C_n$ pour tout $n>m$, donc $x\in C$. Si son second développement $x=a_1 a_2 \ldots a_m 00000\ldots$ ne comporte pas de 1, alors $x$ est l'origine d'un intervalle de $C_n$ pour tout $n>m$, donc $x\in C$. Réciproquement, si aucun des deux développements de $x$ n'est sans 1, alors le second développement de $x$ comporte un 1 à la $n$-ème place qui n'est pas suivi d'une infinité de 0, et $x$ est contenu dans un tiers du milieu d'intervalle retiré de $C_{n-1}$ pour obtenir $C_n$, donc $x\notin C$. \qed

\subsection{Propriétés immédiates}

\begin{enumerate}
  \item $C$ est fermé (car c'est une intersection de fermés).
  \item $C$ est borné (il est contenu dans $[0,1]$).
  \item $C$ est compact (résulte des deux propriétés précédentes).
  \item $C$ est non dénombrable.
\end{enumerate}

Le dernier point résulte du lemme \ref{cant3}. En effet, ce lemme établit une bijection entre $C$ et l'ensemble des suites infinies de 0 et de 2. Par conséquent, $C$ est équipotent à $2^{\N}$, qui n'est pas dénombrable (théorème de Cantor).

\subsection{Intérieur}

\begin{defi}
\label{definterieur}
Soit $A\subset\R$. L'\emph{intérieur} de $A$ est l'ensemble des points $x\in A$ tels que $A$ soit un voisinage de $x$. Autrement dit, $x$ est un point intérieur de $A$ s'il existe $\epsilon>0$ tel que $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset A$.
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exinterieur}
Un ensemble $A$ est ouvert si et seulement si l'intérieur de $A$, c'est $A$ tout entier. L'intérieur de $[0,1]$ est $]0,1[$.
\end{exemple}

\begin{lemme}
\label{cantint}
L'ensemble de Cantor $C$ est d'intérieur vide.
\end{lemme}

\preuve
Par l'absurde. Soit $x=0.a_1 a_2 \ldots$ un point intérieur de $C$. Soit $n$ tel que $[x,x+3^{-n}[\subset A$. Alors $y=0.a_1 a_2 \ldots a_n 11111\ldots <x+3^{-n}$, donc $y\in A$. Or $y$ possède un seul développement, qui comporte des 1, contradiction.\qed

\subsection{Longueur}

\begin{lemme}
\label{cantlong}
Soit $U=[0,1]\setminus C$. Alors la longueur de $U$ (longueur cumulée des intervalles disjoints composant $U$) vaut 1. 
\end{lemme}

\preuve
Soit $\ell_n$ la longueur de $U_n =[0,1]\setminus C_n$. Comme $C_n$ comporte $2^n$ intervalles de longueur $3^{-n}$, $\ell_n =1-(\frac{2}{3})^n$ tend vers 1. L'ouvert $U_n$ est composé de $2^n -1$ intervalles. $U_{n+1}$ s'obtient en ajoutant à $U_n$ des intervalles disjoints entre eux et disjoints de $U_n$. Or $U$ est la réunion croissante des $U_n$, donc l'ensemble de ses composantes et la réunion des ensembles de composantes des $U_n$. Par conséquent, sa longueur totale est $\lim \ell_n =1$.\qed

\subsection{Points isolés, points d'accumulation}

\begin{defi}
\label{defisole}
Soit $A\subset\R$. Un point $a$ de $A$ est dit \emph{isolé} s'il existe $\epsilon>0$ tel que $]a-\epsilon,a+\epsilon[\cap A=\{a\}$. Un point qui n'est pas isolé est appelé \emph{point d'accumulation} de $A$.
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exisole}
Si $A$ est un ensemble fini, alors tout point de $A$ est isolé. Soit $B=\{\frac{1}{n}\,|\,n\in\N\}$. Alors tout point de $B$ est isolé. En revanche, dans $A=\{0\}\cup B$, les points de $B$ sont isolés mais 0 ne l'est pas.
\end{exemple}

\begin{lemme}
\label{cantacc}
Tout point de $C$ est un point d'accumulation.
\end{lemme}

\preuve
Soit $x$ un point de $A$, soit $x=0.a_1 a_2 \ldots$ un développement en base 3 de $x$ qui ne comporte pas de 1. Si les $a_i$ ne valent pas tous 0 à partir d'un certain rang. Par conséquent,  la suite $a_i$ prend une infinité de fois la valeur 2, en des places notées $\phi(n)$, $n\in\N$. Soit $x_n$ le nombre obtenu en remplaçant $a_{\phi(n)}$ par 0. Si tous les $a_i$ sont différents de 1, alors $x_n \in A$, les $x_n$ sont tous distincts et convergent vers $x$, donc $x$ n'est pas isolé dans $A$. Sinon, les $a_i$ ne valent pas tous 2 à partir d'un certain rang, on peut donc approcher $x$ par des points de $A$ obtenus en changeant un 0 en 2 de plus en plus loin dans le développement.\qed

\subsection{Ouverts et fermés}

A la différence d'un intervalle de $\R$, l'ensemble de Cantor possède plein de parties à la fois ouvertes et fermées.

\begin{lemme}
\label{cantof}
Soit $x$ un point de $C$, soit $\epsilon>0$. Il existe une partie $B$ de $C$ contenant $x$, contenue dans $]x-\epsilon,x+\epsilon[$, qui est à la fois ouverte et fermée.
\end{lemme}

\preuve
Soit $n$ tel que $2.3^{-n}<\epsilon$. Soit $I$ l'intervalle de $C_{n}$ qui contient $x$. Comme la longueur de $I$ est $3^{-n}$, $I\subset ]x-\epsilon,x+\epsilon[$. Comme $I$ est un fermé de $\R$, $I\cap C$ est un fermé de $C$. Mais $I$ est un ouvert de $C_{n}$. En effet, son complémentaire dans $C_{n}$ est la réunion de $2^{n}-1$ intervalles fermés, donc il est fermé. Comme $C\subset C_{n}$, $I\cap C$ est un ouvert de $C$.\qed

\begin{rem}
\label{remttdis}
Un espace qui possède la propriété énoncée au lemme \ref{cantof} (remplacer $]x-\epsilon,x+\epsilon[$ par un voisinage de $x$ dans $C$) est dit {\em totalement discontinu}.
\end{rem}


\end{document}