<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass{letter}%\nopagenumbers
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\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}

\vskip-0.5cm
\noindent{Universit\'e de Paris-Sud}\hfill  2002\par
\noindent{S2MIAS, option Arithm\'etique et Histoire des Nombres}
\vskip 0.8truecm
\centerline{\smc Feuille d'exercices n$^0$2}
\vskip.4truecm

\ques{1.}Combien de chiffres comporte l'\'ecriture
d\'ecimale de $2^{32}$ ? Combien de chiffres comporte
l'\'ecriture en base 2 de $10^{10}$ ? On donne
$\log_{10}(2)=0.30102...$. Par combien de z\'eros cette \'ecriture se 
termine-t-elle ?
%Decomposition en facteurs premiers

\ques{2.}Etant donn\'e un entier $a&gt;1$, on note
$E(a)$ l'ensemble des entiers compris entre $0$ et
$a-1$ qui sont premiers avec $a$, et $\phi(a)$ le nombre
d'\'el\'ements de $E(a)$.

Calculer $\phi(a)$ pour $a=$4, 5, 6, 9, 12, 15, 36.

Montrer que si $p$ est un nombre premier et $a=p^s$ est une puissance 
de $p$, alors $\phi(a)=p^{s-1}(p-1)$.

Soit $q$ un nombre premier distinct de $p$ et $b=q^t$ une puissance 
de $q$. En comptant les entiers non premiers avec $ab$, montrer que
$\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$.
%Decomposition en facteurs premiers

\ques{3.}Le tour du monde de Magellan a dur\'e 19 464
heures (fictif). Cela repr\'esente-t'il un nombre entier de
jours ?
%Congruences

\ques{4.}D\'eterminer tous les entiers $a$ tels que 10
divise $a^{10}+1$.
%Congruences

\ques{5.}Soient $a$ et $b$ deux entiers tels que $a^2 +
b^2$ soit divisible par 7. Montrer que $a$ et $b$ sont
divisibles par 7.
%Congruences

\ques{6.}D\'eterminer tous les entiers $n$ tels que $4 n^2
+1$ soit divisible par 5 et $n^2 -3$ par 13.
%Congruences/Bezout

\ques{7.}Triangles rectangles \`a c\^ot\'es entiers.
Soient $x$, $y$ et $z$ trois entiers n'ayant pas de
diviseur commun. On suppose que $x^2 + y^2 = z^2$.

Montrer que $z$ et $x$ sont premiers entre eux et que $z$ et $y$ sont 
premiers entre eux.

Montrer que $z$ est impair et que l'un de $x$ et de $y$ est pair.

Supposant $y$ pair, montrer que $(z-x)/2$ et $(z+x)/2$ sont des carr\'es.

R\'eciproquement, v\'erifier que si $m$ et $n$ sont des entiers, 
alors $x=m^2 -n^2$, $y=2mn$ et $z=m^2 +n^2$ satisfont $x^2 + y^2 = 
z^2$.
%Congruences

\ques{8.}Montrer que $2^{70}+3^{70}$ est divisible par 13.
%Fermat

\ques{9.}Montrer que pour tout entier naturel $n$,
$2^{2^{6n+2}}+3$ est divisible par 19.
%Fermat

\ques{10.}Montrer que $20^{15}-1$ est divisible par 20801.
%Fermat

\ques{11.}Montrer qu'il existe dans la suite $u_{n}=2^n
-3$ une infinit\'e de termes divisibles par 5 et une
infinit\'e de termes divisibles par 13, mais qu'aucun n'est
divisible par 65.
%Fermat

\ques{12.}Soit $p=2k+1$ un nombre premier impair. Soit $a$
un entier non divisible par $p$. Montrer que $a^{k}\equiv
1$ ou $a^{k}\equiv -1$ modulo $p$. Application
num\'erique : faire le tableau des restes des puissances
huiti\`emes modulo 17.
%Fermat

\end{document}</pre></body></html>