\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{isolatin1}
\newcommand{\info}[1]{{\bf [#1]}}


\title{Manuel d'instruction à l'usage du vulgarisateur de fractales}
\date{}
\begin{document}
\maketitle



\part{Partie informatique}
\section{Démarrage et Extinction du portable}
\paragraph{Branchements.} Brancher l'alimentation, et raccorder
éventuellement  au
vidéo-projecteur (voir la section sur ce sujet).





\paragraph{Démarrage.}
Le démarrage est compliqué pour deux raisons : d'abord, par défaut,
l'ordinateur charge LINUX, alors que nous voulons le faire charger
Windows (nul n'est parfait) ; ensuite parce que à l'allumage, la
souris déraille complètement (la solution consistant à la débrancher
puis à la rebrancher et, oh surprise, ça marche !!)

\large{\emph{Lire les étapes numéro 5 et 7 avant toute action !!}}
\begin{enumerate}
\item Se placer face au portable ;
\item brancher la souris : la prise est sur le c\^oté droit ;
\item Ouvrir le portable (il y a un petit bitonio à faire coulisser
sur la tranche, devant vous) ;
\item \emph{avant l'allumage}, se préparer à appuyer sur la touche
``shift'' (le plus s\^ur est de maintenir cette touche appuyée pendant
l'étape qui suit) ;
\item Appuyer fermement sur le bouton situé sur la tranche du c\^oté
gauche : l'ordinateur s'allume, la marque s'affiche, puis l'inscription
``LILO''. Il faut alors appuyer immédiatement sur la touche ``Shift''.
L'inscription ``LILO boot'' apparait~: vous etes sauvés ! (Si vous avez
raté, vous avez le droit à une seconde chance, rendez-vous à la case 11...) ; 
\item SANS utiliser la touche ``Shift'', taper ``98'' (l'ordinateur
croit que vous avez un clavier QWERTY, sur lequel les chiffres
s'obtiennent sans la touche ``Shift'') ; valider en tapant sur la
touche ``entrée'' ;
\item NE PAS TOUCHER A LA SOURIS PENDANT TOUTE LA SUITE jusqu'à ce
qu'on vous le dise ;
\item l'ordinateur vous demande de rentrer un nom d'utilisateur ;
utiliser la touche de tabulation (ce qui fait apparaitre cycliquement
tous les choix possibles) pour sélectionner ``annuler'', puis valider
avec ``entrée'' ;
\item attendez que windows finisse de se charger ;

\item débranchez la souris et rebranchez-là (oui, vous avez bien lu
!!)
\item Recommencer l'étape précédente jusqu'à ce que la souris
foctionne correctement ; si nécessaire, redémarrez complètement
l'ordinateur (si possible avec le menu : sans la souris, utilisez la
touche bizarre située juste à gauche de la touche complètement en haut
à droite du clavier, pour 
faire apparaitre le menu ``démarrer'', puis sélectionner
``redémarrer'' avec les touches ``flèches'' et la touche de tabulation, validez ; sinon, en
appuyant simultanément sur ``CONTROL'', ``ALT'' et ``DEL'' situées en
bas du clavier) ;
\item C'est tout !

\end{enumerate}


\paragraph{Extinction}
\begin{enumerate}
\item si possible avec le menu : sans la souris, utilisez la
touche bizarre située vers le coin en haut à droite du clavier pour
faire apparaitre le menu ``démarrer'', puis sélectionner
``éteindre'' avec les touches ``flèches'' et la touche de tabulation,
validez ; sinon, en 
appuyant simultanément sur ``CONTROL'', ``ALT'' et ``DEL'' situées en
bas du clavier, puis sélectionner ``arréter'' avec la touche TAB.



\end{enumerate}

\section{Le vidéo-projecteur}
\large
2 choses à savoir :
\begin{enumerate}
\item DANGER : Il y a risque d'aveuglement si on regarde directement le
faisceau lumineux ; faire particulièrement attention avec les enfants
!

\item Après extinction, la soufflerie se met en marche : il ne faut
surtout pas débrancher l'appareil avant que le refroidissement soit fini.
\end{enumerate}



\normalsize
L'ordinateur portable et le vidéo-projecteur étant éteints, raccordez
le VP au secteur, et raccordez le VP au portable via le cable fourni
(sur chacun des appareils, une seule prise est physiquement possible,
donc on ne peut pas se tromper).

\emph{Oter le couvercle en plastiqu qui protège l'objectif du VP.}

Allumer les deux appareils (bouton rouge du VP). Il faut attendre un
peu que la lampe chauffe pour que l'image se forme.

Le réglage de la netteté se fait au moyen de la molette autour de
l'objectif. 




\section{Le logiciel Xaos : zoom dans le Mandelbrot}
Le logiciel se trouve sous windows dans l'ordinateur portable ; dans
le dossier ``Fete de la science'', puis ``Xaos'', double-cliquez sur ``Xaos.exe''.

On zoome et ``dézoome'' avec les deux touches de la souris. On peut
augmenter la précision (et ralentir l'affichage...) en augmentant le
nombre d'itération (par défaut, 170) par le menu calculation, iterations.




\section{Le logiciel de tracé de Julia en noir et blanc (Arnaud)}
Le logiciel se trouve sous windows dans l'ordinateur portable,
répertoire ``Fete de la science'', puis ``holoanim''.
Voir le texte d'Arnaud (format ps).







\section{Le logiciel Fractalasm sous Mac : tracé animé de Julia en couleurs}
Allumer le Mac ; le logiciel se trouve dans le dossier ``Fete de la Science''.
On le lance comme d'hab, en double-cliquant.

(ce qui suit est écrit de mémoire, il peut donc y avoir des imprécisions).

\paragraph{Julia statisque.}
Si je me souviens bien, pour afficher un Julia, on sélectionne
``spank'' dans un des menu. Pui on clique sur le Mandelbrot, et le
Julia correspondant au point choisi apparait.







\paragraph{Films.}
Le plus intéressant est la possibilité de faire calculer, puis
afficher, des petits films représentant des déformations de Julias
selon une courbe dessinée dans le Mandelbrot. Ceci est expliqué
ci-dessous, ou bien dans
le menu ``pomme'', dans ``a propos de Fractalasm'' (paragraphe
``movies''). Si on a le temps, des films précalculés seront
disponibles : allez voir dans le menu ``file'', ``open'', les fichiers
s'appellent ``deformation de Julia'' (s'ils existent...).

\paragraph{Pour faire son propre film.}
Aller dans le menu ``fichier'' (ou ``file''), sélectionner ``New'' ;
dans la fenetre qui s'ouvre,  sélectionner ``Default'' (par exemple),
puis cliquer sur le gros bouton ``Apply''. Ceci fait apparaitre un
joli Mandelbrot avec des equipotentiels en rouge.

Il y a deux méthodes pour spécifier des déformations de Julia : soit
on dessine une courbe de Bézier, soit on rentre une formule de courbe
paramétrée. Je ne décris que la première méthode.

Dans un des menus, on trouve ``Bezier curve''. Après avoir sélectionné
ceci, un point vert apparait dans le Mandelbrot. A l'aide de la
souris, on peut déplacer ce point (en fait, il y a 4 points superposés
; 2 des points représentent les extrémités de la courbe, les 2 autres
les vecteurs vitesse). On peut aussi obtenir une courbe plus
compliquée (et un film plus long) en augmentant le nombre de segments
(à partir du menu ``Bezier'' qui est apparu). Il est conseillé de ne
pas faire des courbes avec des segments trop longs, (autrement dit,
si vous voulez faire des courbes assez longues, augmentez le nombre de
segments), surtout si on franchit la frontière du Mandelbrot,
car l'explosion du Julia connexe en Cantor est très rapide, et si le
nombre d'image est insuffisant on n'a pas le temps de voir grand-chose...

Une fois la courbe déterminée, on sélectionne ``movie'' dans le
menu. Le logiciel affiche alors les images successives, en vitesse
assez lente car il fait les calculs simultanément. Quand c'est fini
(temps de l'ordre de la minute ?), on peut revoir le film, cette
fois-ci en vitesse normale, en cliquant sur les boutons de contr\^ole
qui sont apparus en haut de la nouvelle fenetre (et qui ressemblent aux
boutons de contr\^ole des magnétoscopes).

On peut sauver le film avec le menu ``file'', sans quoi il sera effacé
au prochain film.


\paragraph{Choix des couleurs.}
Je n'ai malheureusement pas eu le temps de trouver comment changer les
couleurs 'personnellement, je n'aime pas trop le coloriage en
``puzzle'', avec équipotentielles+rayons ; je préfèrerais avoir juste
des équipotentielles, coment qu'on fait ?...)




\section{Le logiciel de tracé de paysages fractals}
Le logiciel xmountains tourne sous linux, sur le PC NON portable (login ``fractal'',
mot de passe ``fgh67cvb'').
  Il se trouve dans
le r\'epertoire ``Fete\_de\_la\_science''.

\begin{itemize}
\item Lancer xmountains : taper
\begin{verbatim}  .\xmountains\end{verbatim}
sur la ligne de commande.
\item Quitter xmountains :
cliquer sur la fen\^etre.
\item G\'en\'erer des montagnes avec dimension de Hausdorff H :
\begin{verbatim}  .\xmountains -R 1 -f 3-H\end{verbatim}
sur la ligne de commande.  L'option \emph{-R 1} fait que la
meme sequence al\'eatoire sera utilis\'ee \`a chaque lancement
de xmountains.
En lan\c cant plusieurs fois on voit bien l'effet
de l'option \emph{-f}.
\newline
\emph{Exemple} : montagnes avec dimension de Hausdorff 2.2 :
\begin{verbatim}  .\xmountains -R 1 -f 0.8\end{verbatim}
\emph{Restriction} : $2.5 \leq H \leq 3.0 \Rightarrow 0.5 \leq -f \leq 1.0$.
\end{itemize}

 \part{Partie vulgarisation}


\section{Le trajet du facteur : introduction à la notion d'itération}

\vspace{1cm}

{
\small\sf
\textbf{Mat\'eriel} :
\begin{enumerate}
\item La planche \`a doubler les angles.
\item De la laine (pour visualiser les orbites).
\item Les logiciels sur les ensembles de Julia, ou/et les exemples
d'ensembles de Julia en noir et blanc (feuilles A4).
\end{enumerate}}
\vspace{1cm}

\subsection{Un facteur dynamique}
Une des rues du village de Tournenrond est circulaire. Elle comporte 60
maisons num\'erot\'ees de 0 \`a 59.
Le facteur du village n'aime pas la monotonie et a d\'ecid\'e de changer 
sa fa\c{c}on de distribuer le courrier.

Chaque jour, il choisit arbitrairement la premi\`ere maison de sa tourn\'ee.
Apr\`es avoir d\'epos\'e les lettres qui y sont adress\'ees,
il multiplie le num\'ero de la maison par deux pour obtenir le num\'ero
de la prochaine maison \`a visiter. \`A nouveau, il y donne le courrier et
multiplie par deux le num\'ero de la maison pour d\'ecider o\`u il ira ensuite.
Il proc\`ede de la m\^eme fa\c{c}on \`a chaque \'etape de son parcours.

\textit{\textbf{\`A quelles maisons s'arr\^etera notre facteur aujourd'hui~?}}

{\sf\small\begin{itemize}
\item Donner un exemple de tourn\'ee (i.e. un exemple d'orbite ; on
suggère de partir d'un nombre qui donne des ``calculs'' simples, par
exemple 5, et de glisser sur le fait que 80=20 sans soulever le
problème : on est aidé en ça par le fait que les nombres de 60 à 119
sont également écrits sur le panneau).
\item Laisser manipuler le public.
\item Leur faire constater que les orbites se referment.
\item Essayer plusieurs points de d\'epart.
\end{itemize}}

On dit que le facteur se d\'eplace de fa\c{c}on \textit{it\'erative}~:
avec sa m\'ethode, il lui est tr\`es facile \`a chaque maison
de d\'ecider o\`u il ira juste apr\`es. En revanche, le seul moyen
simple pour savoir s'il passera aujourd'hui chez Mme Poincar\'e (qui habite
au num\'ero 12) est de d\'eterminer maison apr\`es maison tout le trajet
de sa tourn\'ee.

Imaginons maintenant que le facteur ait d\'ecid\'e hier de d\'ebuter sa
tourn\'ee par la maison 14 et qu'il d\'ecide aujourd'hui de commencer par
la maison voisine, la 15. 

\textit{Est-ce que la tournée d'aujourd'hui ressemble à la tournée d'hier~?}

\vspace{0.5cm}
{\small\sf Laisser manipuler le public.}
\vspace{0.5cm}

Sa m\'ethode est tr\`es \textit{sensible au choix initial} puisque deux
tourn\'ees qui commencent presque au m\^eme endroit peuvent se
poursuivre tr\`es diff\'eremment.

\subsection{Le lien avec les syst\`emes dynamiques}
La m\'ethode du facteur est un exemple simplifi\'e de
\textit{syst\`eme dynamique}.
Plus g\'en\'eralement, on s'int\'eresse \`a l'\'evolution d'un syst\`eme
au cours du temps (ici au trajet du facteur).
Connaissant la situation \`a une certaine \'etape (ici, la position du facteur
\`a un moment de sa tourn\'ee), il suffit d'appliquer une r\`egle
(que l'on esp\`ere simple !). La situation apr\`es un grand nombre d`\'etapes
s'obtient en appliquant plusieurs fois de suite la m\^eme r\`egle.
Nous avons vu qu'il est difficile de pr\'evoir \`a l'avance ce que
sera le syst\`eme apr\`es un grand nombre d'\'etapes, m\^eme si la
r\'egle est simple.

\subsection{Les ensembles de Julia}
Le syst\`eme dynamique que nous avons donn\'e en exemple est tr\`es simple
puisque le nombre de maisons (ie le nombre de positions possibles pour le
facteur) est fini.
Pour donner une id\'ee, m\^eme tr\`es grossi\`ere, des syst\`emes
dynamiques qui peuvent int\'eresser les math\'ematiciens, il faudrait
accro\^{\i}tre le nombre de maison. Par exemple imaginer
que chaque point du cercle abrite une maison.

Dans le cas de la dynamique complexe
(voir l'expos\'e sur les ensembles de Julia), chaque point du plan est une
maison. Le facteur se d\'eplace d'un point \`a un autre selon une r\`egle
\`a peine plus compliqu\'ee que dans le premier exemple.
Des ph\'enom\`enes nouveau apparaissent~:
\begin{itemize}
\item D'une part, certaines tourn\'ees du facteur ne se referment jamais.
\item D'autre part, selon l'endroit d'o\`u est parti le facteur,
il peut arriver que sa tourn\'ee l'emm\`ene ``\`a l'infini''
et qu'il soit oblig\'e de porter des lettres en des maisons de plus en plus
\'eloign\'ees.
\end{itemize}
Pour visualiser ce second point, nous colorions en blanc les points de
d\'epart qui obligent le facteur \`a partir \`a l'infini et
en noir les autres maisons.

La figure que nous obtenons est un exemple d'ensemble de Julia.

\vspace{0.5cm}
{\small \sf Donner quelques exemples}
\vspace{0.5cm}

\subsection{A quoi \c{c}a sert~?}
Quelques id\'ees en vrac~:
\begin{itemize}
\item L'\'etude d'un syst\`eme dynamique est souvent tr\`es
riche et pr\'esente un int\'er\^et propre pour les math\'ematiciens.
Ils cherchent \`a d\'egager de ce fouilli d'orbites
une structure globale qui d\'ecrit au moins partiellement le syst\`eme
(comme l'ensemble de Julia de l'exemple pr\'ec\'edent).

\item Historiquement, les syst\`emes dynamiques
viennent de la physique. En fait, ils apparaissent
naturellement lorsque l'on veut pr\'edire l'\'evolution d'un syst\`eme
qui d\'epend du temps, par exemple,
\begin{itemize}
\item l'\'etude d'une population ann\'ee par ann\'ee,
\item la m\'et\'eo,
\item la position des plan\`etes du syst\`eme solaire,
\item un grand nombre de syst\`emes m\'ecaniques.
\end{itemize}
\end{itemize}



\section{Les fractales}


\info{\sc On salue les enfants et leur professeur!}

Qu'est-ce qu'un fractale?

\info{Sur la table : des objets et images fractales et non-fractales}

Ceci a une forme fractale.  \info{On montre un objet}

Ceci n'a pas une forme fractale.  \info{On montre un objet}
\\[15pt]
\info{Apr\`es avoir montr\'e quelques objets, on pose la question
suivante \`a l'assistance} :
Qu'est-ce qui fait que quelque chose est fractale ou non?

\info{Exemples de r\'eponses : les fractales \newline
--- sont complexes (rugueux ; structur\'es m\^eme \`a de petites \'echelles)
\newline
--- sont souvent auto-similaires (se r\'ep\`ete)
\newline
--- sont ``plus naturels'' (que des cercles etc, per\c cus comme artificiels)
\newline
--- ont une dimension fractionnelle (non-entier)}
\\[15pt]
\info{D\'efinition d'un fractale} :
Un fractale n'est pas une-, deux- ou trois-dimensionnel : sa dimension
est fractionnelle.  D'ailleurs, le mot ``fractale'' vient de
``fractional dimensional'', c'est-\`a-dire, ``dimension fractionnelle''.
\\[15pt]
Comment avoir une dimension fractionnelle?

\info{Exemple : quelque chose de dimension 1 (ficelle etc)} :
voici quelque chose unidimensionnel - cette ficelle a de la longueur,
mais n'a pas pas de largeur ni de hauteur (enfin, c'est qu'on va
imaginer).

\info{Exemple : quelque chose de dimension 2 (feuille de papier etc)} :
voici quelque chose de dimension $2$ - cette feuille a de l'aire :
il a de la largeur, de la hauteur, mais n'a pas de profondeur.

\info{Exemple d'un fractale : le flocon de neige de van Koch} :
Voici un fractale invent\'e par van Koch : on l'app\`ele le
\emph{flocon de neige}.

\info{Il faut peut-\^etre clarifi\'e que quand on parle du flocon,
on parle uniquement de la fronti\`ere, et pas de l'int\'erieur}

Le flocon est plus grand que quelque chose de dimension 1, qu'une ligne,
mais il est plus petit que quelque chose de dimension 2, qu'un carr\'e.
Il a une dimension entre $1$ et $2$.

Je dis qu'il est plus grand que quelque chose de dimension 1 puisque
sa longueur est infinie.

Voyons pourquoi sa longueur est infinie.

\info{Comment construire le flocon} :
voici comment nous avons fait pour construire le flocon.  On commence avec
un triangle
et puis on ajoute des petits triangles sur chaque cot\'e
et on enl\`eve ces petits bouts puisque on ne les veut pas.
Maintenant on refait la m\^eme chose : on ajoute des petits triangles
sur chaque cot\'e.

\info{On dessine quelques approximations sur le tableau.
Il ne faut pas oublier d'enlever les parties qui ont \'et\'e remplac\'ees
par des petits triangles}

Cela devient vite fastidieux.  Voici ce que \c ca donne si on continue.

\info{On montre les images imprim\'ees des premi\`eres \'etapes}

Pour comparer les longueurs des approximations, nous avons
pr\'epar\'e cette planche.

\info{La suite se fait avec la planche \`a clous}

Ici nous avons la premi\`ere approximation, le triangle,
en rouge.  La deuxi\`eme approximation est en bleu, la
troisi\`eme en marron, la quatri\`eme en blanc.  Il n'y a
pas de cinqui\`eme approximation puisque nous en avions marre
de planter des clous!

Qui veut enlever la ficelle rouge?

\info{On fait enlever les ficelles, sauf peut-\^etre
la derni\`ere, trop longue.  On les compare pour voir
qu'\`a chaque fois \c a devient nettement plus long}

\info{Les longueurs th\'eoriques sont : ($1 \Rightarrow 2,16$),
($2 \Rightarrow 2,88$), ($3 \Rightarrow 3,84$),
($4 \Rightarrow 5,12$)}

Est-ce que vous avez remarqu\'e que la longueur augmente
par un peu pr\`es un tiers \`a chaque fois?

\info{On peut le montrer en comparant chaque ficelle
avec la suivante}

En fait, si on faisait plus d'approximations, la longueur
continuerait d'augmenter par un tiers \`a chaque fois.

\info{Les prochaines approximations sont quelque
chose comme : ($5 \Rightarrow 6,82$),
($6 \Rightarrow 9,10$), ($7 \Rightarrow 12,14$),
($8 \Rightarrow 16,18$), ($9 \Rightarrow 21,58$),
($10 \Rightarrow 28,77$)}

Plus on s'approche du flocon final,
plus \c ca devient long.
Si on calcule la longueur de la centi\`eme approximation,
elle d\'epasse $30$ fois la distance de la terre au soleil!
Les longueurs augmentent vers l'infini ; on
voit que la longueur du flocon est infinie.

Comme le flocon \`a une longueur infinie, sa dimension est
plus grande que $1$.  Comme son aire est $0$, il a une
dimension plus petite que $2$.  Je n'ai pas expliqu\'e
comment chiffrer \c ca, comment calculer la dimension
pr\'ecis\'ement, mais \c ca peut se faire.  On obtient
que la dimension du flocon est autour de $1,26$.

\info{En fait sa dimension est $\log 4 / \log 3$}
\\[15pt]
\info{S'il reste du temps, on continue avec la c\^ote
de la Corse}

On peut calculer la dimension de plein de choses.
Voici une carte de la Corse.
La c\^ote a un look fractale.  Comment mesurer
sa longueur pour voir si elle est infinie ou non?

\info{Si on a le temps, on peut demander comment faire}

Essayons d'approximer la c\^ote.  Voici un compas;
je r\`egle l'\'ecart entre les branches \`a dix
centim\`etres.

\info{On suit la c\^ote en faisant des pas avec le compas}

\c Ca fait $5$ pas, donc avec un pas d'approximation de
$10$ centim\`etres, on obtient une longueur de $50$ centim\`etres.

\info{Si on a le temps, on peut demander \`a quelqu'un
de mesurer la c\^ote avec un pas de $5$cm}

Nous avons mesur\'e la longueur qu'on obtient avec
diff\'erents pas.  Cela donne:

\info{Sur le tableau on marque la longueur du pas et
la longueur mesur\'ee de la c\^ote.  pas de $10 \Rightarrow
50$, pas de $5 \Rightarrow 59$, pas de $3 \Rightarrow 74$,
pas de $1 \Rightarrow 84$.}

Vous voyez, plus le pas est petit, mieux on approxime
la c\^ote et plus la longueur est grande.  C'est ce
qu'on attend si la c\^ote est fractale.
En fait sa dimension est autour de $1,2$.  C'est pour
\c ca qu'il est agr\'eable de se promener en Corse!

\info{On peut remarquer que la m\^eme
m\'ethode aurait march\'ee pour mesurer la longueur du
flocon}

\info{Il y a un graphe logarithmique du
nombre de pas contre la longueur du pas.  Sa pente est
la dimension de la c\^ote}
\\[15pt]
\info{Voici quelques question qui risquent d'\^etre pos\'ees}

Question : A quoi \c ca sert?

\'El\'ements de r\'eponse : \`a mieux mod\'eliser la r\'ealit\'e :
la c\^ote de la Corse ressemble plus a un fractale
qu'\`a un demi-cercle!  D'ailleurs avec les fractales on
peut g\'en\'erer des paysages qui ressemblent \`a de vrais
paysages.  On en voit dans les jeux vid\'eos et dans
certains films.

\info{Le logiciel xmountains g\'en\`ere des paysages fractales.
Il y a aussi des images de paysages fractales}








\end{document}