Profil isopérimétrique des métriques périodiques ^{∗}

P. Pansu

March 18, 1999

RESUME. On précise le comportement asymptotique du profil isopérimétrique du revêtement universel d’un 2-tore riemannien.

ABSTRACT. An asymptotic expansion for the isoperimetric profile of the universal covering of a 2-torus is given.

1 Introduction

Définition 1 Soit M une variété riemannienne de volume A (éventuellement A = +∞). Pour 0 < a < A, on note I(a) la borne inférieure des volumes des bords des sous-variétés compactes de codimension 0 de M de volume a. On l’appelle profil isopérimétrique de M.

On s’intéresse au comportement asymptotique du profil isopérimétrique du revêtement universel T̃ d’un 2-tore T. Lorsque la métrique sur T est plate, T̃ est isopérimétrique au plan euclidien, dont le profil isopérimétrique est I_{eucl}(a) = \sqrt{4πa}. Pour une métrique quelconque g sur T, il existe une constante K telle que, sur T̃,

K^{−1}g_{eucl} ≤ g ≤ K g_{eucl}

d’où les inégalités

K^{−1}\sqrt{4πa} ≤ I(a) ≤ K \sqrt{4πa}.

On cherche à affiner cette estimation grossière.

Depuis [GLP] (voir aussi [Bu]), on sait que, à grande échelle, le revêtement universel d’un tore riemannien ressemble à l’espace vectoriel H_{1}(T, R) muni de la norme stable, définie comme suit, voir [F], [Ma].

Définition 2 Soit M une variété riemannienne. La masse

M(∑ λ_{i}σ_{i}) = ∑ |λ_{i}|Vol (σ_{i})

des cochaînes simpliciales lipschitziennes à coefficients réels induit une norme sur l’homologie H_{∗}(M, R), appelée norme stable.

On va montrer que le profil isopérimétrique du revêtement universel converge vers celui de l’espace H_{1}(T, R). Encore faut il préciser comment on mesure les aires dans cet espace normé. On utilise le volume de Liouville défini comme suit.

Définition 3 Soit N une variété de dimension n munie d’une métrique de Finsler. On munit le fibré cotangent de la norme duale. On note B^{∗}N le fibré en boules unités cotangentes, dα sa forme symplectique canonique. Alors pour tout ouvert U de N, on pose

Vol (U) = ∫_{B^{∗}U} dα^{n}.

∗Mots clé : Inégalité isopérimétrique, norme stable, homogénéisation. Mathematics Subject Classification :

53C20, 35B27, 52A38, 49Q20.

Théorème 1 Soit T un 2-tore riemannien. On note I le profil isopérimétrique de son revêtement universel. Alors la limite c_{∞} = lim_{a→+∞} I(a)/\sqrt{a} existe. Elle vaut

c_{∞} = 2\sqrt{\frac{Aire (T_{∞})}{Aire (T)}}

où T_{∞} = H_{1}(T, R)/H_{1}(T, Z) muni de la norme stable.

On peut se demander comment la constante isopérimétrique asymptotique c_{∞} varie avec la métrique riemannienne de T. Clairement, on peut toujours la rendre plus petite en augmentant la métrique dans un petit voisinage d’un point. En effet, cela augmente les aires sans changer sensiblement les longueurs. L’inégalité suivante résulte aisément d’un théorème profond de D. Burago et S. Ivanov.

Théorème 2 Soit T un 2-tore riemannien. La constante isopérimétrique asymptotique c_{∞} est toujours au plus égale à \sqrt{4π}, avec égalité si et seulement si la métrique de T est plate.

Je me remercie D. Burago qui m’a expliqué la notion de volume de Liouville, particulièrement bien adaptée au problème isopérimétrique.

2 Schéma de la preuve

Choisissons un difféomorphisme de T sur le tore quotient H_{1}(T, R)/H_{1}(T, Z) qui préserve l’aire à une constante près. On peut désormais voir le revêtement universel T̃ comme l’espace vectoriel H_{1}(T, R) muni d’une métrique riemannienne g invariante par les translations du réseau H_{1}(T, Z), dont l’élément d’aire est constant (i.e. invariant par toutes les translations). D’après [GLP], l’espace normé H_{1}(T, R) est le cône tangent à l’infini de T̃ au sens suivant. La distance riemannienne dist_{g}(x, y) et la distance banachique |x − y| satisfont

lim_{|x−y|→+∞} dist_{g}(x, y)/|x − y| = 1.

En fait, d’après [Bu], la différence dist_{g}(x, y) − |x − y| est bornée.

Notons δ_{t} l’homothétie de rapport t dans l’espace vectoriel H_{1}(T, R). En un sens faible (seules les distances convergent), les métriques g_{t} = t^{−2}δ_{t}^{∗}g convergent vers la norme stable, en gardant un élément d’aire constant. On montre que les inégalités isopérimétriques convergent, en faisant converger des domaines. C’est plus simple pour les disques, le cas général s’en déduit.

Il reste à déterminer l’inégalité isopérimétrique optimale dans un espace normé (calcul de la constante c_{∞}). La réponse est donnée par l’inégalité de Brunn-Minkowski.

Les détails de la preuve se trouvent au paragraphe 3. Au paragraphe 4 on rassemble les résultats nécessaires (classiques) sur l’inégalité isopérimétrique dans un espace normé. Enfin au paragraphe 5 on traduit le théorème 1 en termes d’inégalité de Sobolev et d’homogénéisation.

3 Preuve

3.1 Cas des disques

On utilisera des disques généralisés. On rappelle que l’indice d’un point x ∉ σ(S^{1}) par rapport à une courbe fermée du plan σ : S^{1} → R^{2} est le degré de la projection s ↦ s − x/|s − x|. On note A(σ) l’ensemble des points dont l’indice par rapport à σ vaut 1. Si σ est une courbe de Jordan, A(σ) est un disque.

Définition 4 Soit M une variété riemannienne difféomorphe au plan, d’aire infinie. Pour a > 0, on note I_{d}(a) la borne inférieure des longueurs des courbes fermées σ de M telles que l’aire de A(σ) soit a.

La première étape de la preuve est le cas particulier suivant du théorème 1.

Proposition 5 Soit T̃ le revêtement universel d’un 2-tore riemannien T. Soit I_{h} le profil isopérimétrique de l’espace vectoriel H_{1}(T, R) muni de la norme stable. Lorsque a tend vers +∞, le rapport I_{d}(a)/I_{h}(a) tend vers 1.

Pour alléger les notations, on supposera que Aire (H_{1}(T, R)/H_{1}(T, Z)) = Aire (T, g). On fixe un difféomorphisme de T sur H_{1}(T, R)/H_{1}(T, Z) qui préserve l’aire, de sorte que les métriques g, g_{t} et la norme stable soient toutes définies sur le même espace vectoriel. On indiquera par un indice g les grandeurs relatives à la métrique riemannienne g, par un indice t celles relatives à la métrique riemannienne g_{t} et par aucun indice celles relatives à la norme stable.

3.2 Lemmes préparatoires

Lemme 6 Si σ_{j} converge uniformément vers σ, alors l’aire de A(σ_{j}) converge vers celle de A(σ).

Preuve. Soit U_{ϵ} le voisinage tubulaire de largeur ϵ de σ. Si j est assez grand pour que σ_{j} soit contenu dans U_{ϵ}, alors A(σ_{j}) \ U_{ϵ} = A(σ) \ U_{ϵ}. Comme l’aire de U_{ϵ} tend vers 0 avec ϵ, on conclut que Aire A(σ) = lim Aire A(σ_{j}).

Lemme 7 Soit V un espace vectoriel normé de dimension 2. Alors I_{d}(a) = I(a) = c_{∞}\sqrt{a}.

Preuve. La comparaison avec une métrique euclidienne, donne c_{∞} = I(1) > 0. Par homogénéïté, I(a) = I(1)\sqrt{a}. Il reste à voir qu’en se limitant aux disques, on n’augmente pas le profil isopérimétrique. Soit Ω une sous-variété compacte à bord de codimension 0 dans V. Si Ω n’est pas connexe, alors une de ses composantes est plus performante du point de vue isopérimétrique. Cela résulte de la concavité de la fonction racine carrée. Si Ω est connexe, une des composantes σ de son bord englobe toutes les autres. Alors A(σ) est plus performant du point de vue isopérimétrique que Ω, car la fonction racine carrée est croissante.

Lemme 8 Soit g une métrique Z^{2}-périodique sur R^{2}, soit g_{t} = t^{−2}δ_{t}^{∗}g. Soit | · | la norme stable correspondante. Alors

1. il existe une constante K indépendante de t telle que pour tout x, y ∈ R^{2},

K^{−1} |x − y| ≤ dist_{g_{t}} ≤ K |x − y|;

2. pour tout ϵ > 0, il existe ϵ_{t} tendant vers 0 avec t tel que si |x − y| ≥ ϵ,

|\frac{dist_{g_{t}}(x, y)}{|x − y|} − 1| ≤ ϵ_{t}.

Preuve. La comparaison à une métrique euclidienne donne la première inégalité. En vertu du théorème de D. Burago [Bu], on peut prendre ϵ_{t} = const. /tϵ.

3.3 Le profil de T̃ est inférieur à celui de l’homologie

D’après le lemme 7, pour tout c′ > c_{∞}, il existe une courbe fermée σ dans H_{1}(T, R) telle que Long σ = c′ et Aire (A(σ)) = 1. Fixons ϵ > 0 et plaçons des points p_{1}, …, p_{N} sur σ de sorte que |p_{i+1} − p_{i}| < ϵ. Pour chaque t, notons σ_{t} la courbe obtenue en remplaçant σ sur chaque intervalle [p_{i}, p_{i+1}] par une géodésique pour la métrique g_{t}.

Comme dist_{g_{t}}(x, y) ≤ const. |x − y| indépendamment de t, σ_{t} est contenu dans un voisinage de largeur const. ϵ de σ pour tout t. D’après le lemme 6, |Aire A(σ_{t}) − Aire A(σ)| tend vers 0 avec ϵ uniformément en t.

D’autre part, Long_{t}(σ_{t}) = ∑ dist_{t}(p_{i}, p_{i+1}) tend vers Long (σ) lorsque t tend vers +∞. Par conséquent, pour chaque a assez grand, on trouve une courbe de la forme δ_{t}σ_{t} dans T̃ qui englobe une aire a et dont la longueur divisée par \sqrt{a} tend vers c′. Ceci prouve que

lim sup_{a→∞} I_{d}(a)/\sqrt{a} ≤ c_{∞}.

3.4 Le profil de T̃ est supérieur à celui de l’homologie

Supposons au contraire qu’il existe une suite de courbes σ_{j} telle que a_{j} = Aire A(σ_{j}) tendent vers +∞ et Long (σ_{j})/\sqrt{a_{j}} < c′ < c_{∞}. On pose t_{j} = \sqrt{a_{j}} et on considère les courbes τ_{j} = δ_{1/t_{j}}σ_{j} dans H_{1}(T, R). Leur longueur pour la métrique g_{t_{j}} est bornée. Il en est de même pour la norme stable. Quitte à prendre une sous-suite, on peut supposer qu’elles convergent uniformément vers une courbe σ. D’après le lemme 6, Aire A(σ) = 1.

Vérifions que Long (σ) ≤ lim inf Long_{t_{j}}(τ_{j}). Par approximation, on peut supposer σ géodésique par morceaux, i.e., que σ est géodésique sur les N intervalles [s_{i}, s_{i+1}] d’une subdivision. Alors

Long (σ) = ∑_{i=1}^{N} |σ(s_{i+1}) − σ(s_{i})| = lim_{j→∞} ∑_{i=1}^{N} |τ_{j}(s_{i+1}) − τ_{j}(s_{i})|.

D’après 8, pour tout i,

||τ_{j}(s_{i+1}) − τ_{j}(s_{i})| − dist_{t_{j}}(τ_{j}(s_{i}), τ_{j}(s_{i+1}))| ≤ ϵ_{t_{j}}.

Enfin,

∑_{i=1}^{N} dist_{t_{j}}(τ_{j}(s_{i}), τ_{j}(s_{i+1})) ≤ Long_{t_{j}}(τ_{j}).

Il vient Long σ ≤ c′ < c_{∞}, contradiction.

3.5 Cas des sous-variétés connexes

Si Ω ⊂ T̃ est une sous-variété compacte connexe de codimension 0, alors parmi les composantes du bord ∂Ω, il y en a une, notée σ, qui englobe toutes les autres, i.e., Ω ⊂ A(σ). Alors Aire Ω ≤ Aire A(σ) et Long ∂Ω ≥ Long σ. Si a = Aire Ω est assez grand, Long ∂Ω/\sqrt{a} ≥ Long σ/\sqrt{Aire A(σ)} qui est proche de c_{∞}. On conclut que la fonction I_{c}(a), borne inférieure des longueurs des bords des domaines connexes d’aire a, satisfait lim_{a→+∞} I_{c}(a)/\sqrt{a} = c_{∞}.

3.6 Cas général

Il résulte du lemme suivant appliqué à la fonction I_{c}.

Lemme 9 Soit J une fonction sur [0, +∞[ qui satisfait J(a) ≥ c_{1}\sqrt{a}, c_{1} > 0, et lim_{a→+∞} J(a)/\sqrt{a} =

c_{∞} > 0. Posons

j(a) = inf{∑ J(a_{i}) | a_{1}, …, a_{N} ≥ 0, ∑ a_{i} = a}.

Alors lim_{a→+∞} j(a)/\sqrt{a} = c_{∞}.

Preuve. Fixons c_{2} < c_{∞}. Il existe α > 0 tel que J(a) > c_{2}\sqrt{a} pour a ≥ α. Soit a > α. Soient 0 ≤ a_{1} ≤ ⋯ ≤ a_{N} tels que ∑ a_{i} = a. Supposons que a_{k} < α ≤ a_{k+1}. Notons x = ∑_{i≤k} a_{i}, y = ∑_{i≥k+1} a_{i}. Alors

c_{1}x = ∑_{i≤k} c_{1}\sqrt{a_{i}}\sqrt{a_{i}} ≤ \sqrt{α} ∑_{i≤k} c_{1}\sqrt{a_{i}} ≤ \sqrt{α} ∑_{i≤k} J(a_{i})

et

c_{2}^{2}y = ∑_{i≥k+1}(c_{2}\sqrt{a_{i}})^{2} ≤ ( ∑_{i≥k+1} c_{2}\sqrt{a_{i}})^{2} ≤ ( ∑_{i≥k+1} J(a_{i}))^{2}.

Il vient

∑_{i=1}^{N} J(a_{i}) ≥ \frac{c_{1}}{\sqrt{α}}x + c_{2}\sqrt{y}.

Comme la fonction x ↦ βx + γ\sqrt{a − x} est concave sur [0, a], elle atteint son minimum aux bornes. Pour a > α(c_{2}/c_{1})^{2}, on a donc l’inégalité

\frac{c_{1}}{\sqrt{α}}x + c_{2}\sqrt{a − x} ≥ c_{2}\sqrt{a}

d’où j(a) ≥ c_{2}\sqrt{a}.

3.7 Fin de la preuve du théorème 1

On a ramené, modulo ajustement des aires de T et de T_{∞}, le problème isopérimétrique dans le revêtement universel T̃, à celui de T̃_{∞}, un espace vectoriel normé de dimension 2. Ce dernier problème va être résolu dans le paragraphe suivant, proposition 12.

4 Inégalité isopérimétrique dans un espace vectoriel normé de dimension finie

Dans ce paragraphe, on se pose le problème suivant. Quels sont les domaines de V de volume 1 dont le bord a un volume minimum ? La réponse ne dépend pas de la normalisation du volume ndimensionnel, mais dépend fortement du choix de normalisation des volumes n − 1-dimensionnels. Elle est connue depuis le siècle dernier, [Br], [W].

Soit V un espace vectoriel de dimension n. Pour parler de volume pour les domaines de V, il suffit de fixer une n-forme alternée ω ∈ Λ^{n}V^{∗}. Elle oriente V. On pose alors Vol_{ω} (Ω) = ∫_{Ω} ω.

Pour parler de volume pour les hypersurfaces de V, il faut se donner un intégrand F, i.e., une fonction positive, paire, positivement homogène de degré 1 sur Λ^{n−1}V. Si

f : R^{n−1} → V

paramètre une hypersurface W, alors

Vol (W) = ∫_{R^{n−1}} F (\frac{∂f}{∂x_{1}} ∧ … ∧ \frac{∂f}{∂x_{n−1}} ).

De manière invariante, si W est orientée, on appelle forme volume de W en w la (n − 1)-forme ϕ_{F} ∈ Λ^{n−1}T_{w}^{∗}W telle que

ϕ_{F} (v_{1}, …, v_{n−1}) = F (v_{1} ∧ … ∧ v_{n−1})

pour toute base directe (v_{1}, …, v_{n−1}) de T_{w}W. Le volume de W est Vol_{F} (W) = ∫_{W} ϕ_{F}.

Exemple. Un intégrand convexe n’est rien d’autre qu’une norme sur Λ^{n−1}V. En dimension 2, une norme sur V est un intégrand convexe qui donne la longueur des courbes.

4.1 Inégalité de Sobolev

Il est classique en géométrie riemannienne (voir [Fa], [K], [M]) que l’inégalité isopérimétrique I(a) ≥ c a^{n−1/n} équivaut à l’inégalité de Sobolev suivante. Pour toute fonction u lisse à support compact,

∥ u ∥_{L^{n/n−1}} ≤ \frac{1}{c}∥ du ∥_{L^{1}}.

Ce principe s’applique à des intégrands convexes généraux.

Proposition 10 Soit V un espace vectoriel de dimension n muni d’un volume ω et d’un intégrand convexe F (i.e. d’une norme sur Λ^{n−1}V). L’application Λ^{n−1}V → V^{∗}, μ ↦ ι_{μ}ω est un isomorphisme, qui transporte la norme F sur Λ^{n−1}V en une norme notée | · |_{F^{∗}} sur V^{∗}. Alors l’inégalité isopérimétrique

c (Vol_{ω} Ω)^{n−1/n} ≤ Vol_{F} (∂Ω)

équivaut à l’inégalité de Sobolev

c (∫ |f|^{n/n−1}ω)^{n−1/n} ≤ ∫ |df|_{F^{∗}} ω

pour les fonctions lisses à support compact.

Preuve. Il suffit d’écrire la formule de la coaire.

Fixons un point v de V où f est une submersion. Soit ϕ_{F} la forme volume de la fibre de f passant par v. Alors le produit extérieur ϕ_{F} ∧ df est bien défini au voisinage de v. Soit μ ∈ Λ^{n−1}V le multivecteur tel que d_{v}f = ι_{μ}ω. Alors μ ∈ Λ^{n−1}Ker d_{v}f. Soit w ∉ Ker d_{v}f. Alors

(ϕ_{F} ∧ df)(μ ∧ w) = ϕ_{F} (μ) df(w) = F (μ)ω(μ ∧ w)

donc ϕ_{F} ∧ df = F (μ)ω = |df|_{F^{∗}} ω. La formule de la coaire s’écrit donc

∫_{V} |df|_{F^{∗}} ω = ∫_{R} dt ∫_{{f=t}} ϕ_{F} = ∫_{R} Vol_{F} {f = t}dt.

Supposons l’inégalité de Sobolev connue. Appliquons la à une approximation de la fonction caractéristique d’un domaine lisse Ω, par exemple à la fonction f qui vaut 1 sur Ω, 0 en dehors du voisinage tubulaire de largeur ϵ de Ω, et 1 − g/ϵ dans ce voisinage, où g est la distance à Ω mesurée au moyen de la norme | · |_{F} sur V duale de | · |_{F^{∗}}. Alors |df|_{F^{∗}} = 1/ϵ et

∫_{R} Vol_{F} \{f = t\}dt = \frac{1}{ϵ} ∫_{0}^{ϵ} Vol_{F} \{g = t\}dt

converge vers Vol_{F} ∂Ω. On obtient l’inégalité isopérimétrique annoncée.

L’argument réciproque sera donné en 13.

4.2 L’inégalité de Brunn

L’inégalité de Sobolev optimale dans un espace normé est connue depuis 1887, [Br]. Théorème (H. Brunn). Soit V un espace vectoriel normé de dimension n. On note | · |^{∗} la norme duale sur V^{∗}. Normalisons le volume de sorte que la boule unité de V soit de volume 1. Alors pour toute fonction f ∈ L^{n/n−1}(V) dont les dérivées (au sens des distributions) sont dans L^{1},

n (∫ |f|^{n/n−1})^{n−1/n} ≤ ∫ |df|^{∗}.

L’égalité a lieu si et seulement si f est un multiple de la fonction caractéristique d’une boule de V.

On trouvera une preuve moderne de l’inégalité de Brunn dans [MS], appendice de M. Gromov page 126.

Corollaire 11 Soit V un espace vectoriel de dimension n muni d’un volume ω et d’un intégrand convexe F. Notons | · |_{F} la norme sur V définie comme suit.

|w|_{F} = sup\{\frac{ω(μ ∧ w)}{F (μ)} | μ ∈ Λ^{n−1}V, μ ≠ 0\}.

Alors la boule unité B_{F} de |·|_{F} minimise le F -volume du bord parmi les domaines de même volume. On a

Vol_{F} ∂B_{F} = nVol_{ω} B_{F} .

Preuve. Notons λ = Vol_{ω} B_{F}. Alors le théorème de Brunn s’applique avec comme volume la forme λ^{−1}ω,

n (∫ |f|^{n/n−1}λ^{−1}ω)^{n−1/n} ≤ ∫ |df|_{F^{∗}} λ^{−1}ω

Avec la proposition 10, il vient, pour tout domaine Ω de V,

c (Vol_{ω} Ω)^{n−1/n} ≤ Vol_{F} (∂Ω)

avec c = nλ_{1/n}. L’égalité a lieu pour B_{F}, donc Vol_{F} (∂Ω) = nλ_{1/n}(Vol_{ω} B_{F})^{n−1/n} = nVol_{ω} B_{F}.

4.3 Cas des espaces vectoriels normés de dimension deux

Si V est un espace vectoriel normé de dimension 2, on utilise la norme de V comme intégrand.

Proposition 12 Soit V est un espace vectoriel normé de dimension 2. Alors on a l’inégalité isopérimétrique

2 (Aire Ω)^{1/2} ≤ Long (∂Ω)

où on utilise l’élément d’aire “de Liouville” défini en 3.

Preuve. Le corollaire 11 donne, pour un choix d’élément d’aire ω quelconque,

c (Aire_{ω}Ω)^{1/2} ≤ Long (∂Ω)

où c = 2\sqrt{∫_{B_{F}} ω} et B_{F} est la boule unité de la norme w ↦ |ι_{w}ω|^{∗}. Il reste à montrer que lorsque

ω est l’élément d’aire de Liouville, ∫_{B_{F}} ω = 1.

Un élément d’aire ω sur V détermine un élément d’aire ω^{∗} sur V^{∗}, celui tel que l’élément de volume ω ∧ ω^{∗} sur V × V^{∗} coïncide avec celui défini par la structure symplectique naturelle. Alors ω est l’élément d’aire de Liouville si et seulement si ∫_{B^{∗}} ω^{∗} = 1 (où B^{∗} désigne la boule unité de V^{∗}).

Notons ι : V → V^{∗}, v ↦ ι_{v}ω. Alors ι^{∗}ω^{∗} = ω. En effet, choisissons des coordonnées (q_{1}, q_{2}) sur V telles que ω = dq_{1} ∧ dq_{2}. Soient (p_{1}, p_{2}) les coordonnées induites sur V^{∗}. Alors ω^{∗} = dp_{1} ∧ dp_{2}, ι(q_{1}, q_{2}) = (p_{1}, p_{2}) avec p_{1} = −q_{2} et p_{2} = q_{1} donc ι^{∗}ω^{∗} = d(−q_{2}) ∧ dq_{1} = ω.

Enfin, B_{F} = ι^{−1}(B^{∗}) donc

∫_{B_{F}} ω = ∫_{ι^{−1}(B^{∗})} ι^{∗}ω^{∗} = ∫_{B^{∗}} ω^{∗} = 1.

4.4 Preuve du théorème 2

Fixons un point x du revêtement universel T̃ et notons Aire (r) l’aire de la boule de centre x et de rayon r. Notons Aire_{∞}(r) l’aire (de Liouville) d’une boule de rayon r dans l’espace normé V = T̃_{∞}. Alors

lim_{r→+∞} \frac{Aire (r)}{Aire_{∞}(r)} = \frac{Aire (T)}{Aire (T_{∞})}.

D’autre part, d’après D. Burago et S. Ivanov, [BI],

lim_{r→+∞} Aire (r)/r^{2} ≥ π

avec égalité si et seulement si T est plat. On conclut que

\frac{Aire (T)}{Aire (T_{∞})} ≥ \frac{π}{Aire (B)}

où B désigne la boule unité de V. Avec le théorème 1, il vient

c_{∞} ≤ 2\sqrt{\frac{Aire (B)}{π}},

avec égalité seulement si T est plat.

Enfin, l’inégalité de Blaschke-Santalo (voir [B], [S] et [H] page 165) entraîne que parmi tous les espaces normés de même dimension finie, le produit Vol (B)Vol (B^{∗}) est maximum exactement pour l’espace de Hilbert. Par conséquent, comme Aire (B^{∗}) = 1, Aire (B) ≤ π^{2} donc

c_{∞} ≤ 2\sqrt{π},

avec égalité seulement si T est plat.

5 Inégalité de Sobolev

5.1 Version asymptotique

Proposition 13 Soit p > 2. La propriété isopérimétrique asymptotique

lim inf_{a→+∞} I(a)/\sqrt{a} ≥ c_{∞}

équivaut à l’inégalité de Sobolev asymptotique suivante. Pour tout C > 1/c_{∞}, il existe un C′ tel que, pour toute fonction u lisse à support compact,

∥ u ∥_{L^{2}} ≤ C ∥ du ∥_{L^{1}} + C′ ∥ u ∥_{L^{p}}.

Preuve. Supposons que lim inf I(a)/\sqrt{a} ≥ c_{∞} et soit C > 1/c_{∞}. Il existe un α tel que \sqrt{a} < C I(a) pour a > α. Soit u une fonction lisse à support compact. Comme |d|u|| ≤ |du|, on peut supposer que u ≥ 0. Soit τ ∈ R tel que Aire {u > t} ≥ α pour t < τ et Aire {u > τ} ≤ α. Notons v = min{u, τ}. Pour t < τ, notons χ_{t} la fonction caractéristique de l’ensemble de niveau {u > t}. Alors pour tout point x,

v(x) = ∫_{0}^{τ} χ_{t}(x) dt.

Il vient

∥ v ∥_{L^{2}} ≤ ∫_{0}^{τ} ∥ χ_{t} ∥_{L^{2}} dt
= ∫_{0}^{τ} \sqrt{Aire \{u > t\}} dt
≤ C ∫_{0}^{τ} Long {u = t} dt
= C ∥ du ∥_{L^{1}}.

Comme u − v est à support dans le domaine {u > τ} d’aire inférieure à α, l’inégalité de Hölder donne

∥ u − v ∥_{L^{2}} ≤ α^{p−2/2p}∥ u − v ∥_{L^{p}}

d’où

∥ u ∥_{L^{2}} ≤ C ∥ du ∥_{L^{1}} + C′ ∥ u ∥_{L^{p}}

avec C′ = α^{p−2/2p}.

Inversement, appliquons l’inégalité de Sobolev asymptotique à (une approximation de) la fonction caractéristique d’un domaine Ω. On trouve

Aire (Ω)^{1/2} ≤ C Long (∂Ω) + C′ Aire (Ω)^{1/p},

d’où, si \frac{1}{p} = \frac{1}{2} − ϵ,

I(a) ≥ \frac{1}{C} \sqrt{a}(1 − CC′a^{−ϵ}).

Ceci entraîne bien que lim inf_{a→+∞} I(a)/\sqrt{a} ≥ c_{∞}.

5.2 Homogénéisation

Définition 14 Soit (M, g) une variété riemannienne. Notons C(M, g) la meilleure constante C dans l’inégalité de Sobolev

∥ u ∥_{L^{2}} ≤ C ∥ du ∥_{L^{1}}

pour les fonctions lisses à support compact sur M.

Notons C_{∞}(M, g) la meilleure constante C′ telle que l’inégalité

∥ u ∥_{L^{2}} ≤ C′ ∥ du ∥_{L^{1}}

soit satisfaite pour toute fonction u lisse, à support compact sur M, et telle que ∥ du ∥_{L^{∞}} ≤ 1.

Etant donné une métrique périodique g sur R^{2}, considérons la famille des métriques dilatées g_{t} = t^{−2}δ_{t}^{∗}g. Comme les métriques g_{t} sont homothétiques, la constante de Sobolev C(R^{2}, g_{t}) est indépendante de t. Elle vaut sup\{\sqrt{(}a)/I(a) | a > 0\} où I désigne le profil isopérimétrique de (R^{2}, g). En revanche, la constante modifiée C_{∞}(R^{2}, g_{t}) dépend de t. Lorsque t tend vers 0, elle tend vers C(R^{2}, g).

Proposition 15 lim sup_{t→+∞} C_{∞}(R^{2}, g_{t}) ≤ 1/c_{∞}.

Preuve. Le profil isopérimétrique I_{t} de g_{t} satisfait I_{t}(a) = t^{−1}I(t^{2}a). La fonction I_{t}(a)/\sqrt{(}a) converge donc vers c_{∞} lorsque a tend vers +∞ d’autant plus vite que t est grand. Par conséquent, pour chaque C > 1/c_{∞} et p > 2 fixés, la constante C′ de l’inégalité de Sobolev asymptotique 13 pour la métrique g_{t} tend vers 0 lorsque t tend vers +∞. Autrement dit, il existe des constantes C_{t} tendant vers c_{∞} et C′_{t} tendant vers 0 telles que

∥ u ∥_{L^{2}(g_{t})} ≤ C_{t} ∥ du ∥_{L^{1}(g_{t})} + C′_{t} ∥ u ∥_{L^{p}(g_{t})}.

Posons q = 2p/2 + p. En vertu de 8, l’inégalité de Sobolev

∥ u ∥_{L^{p}(g_{t})} ≤ C′′ ∥ du ∥_{L^{q}(g_{t})}

est satisfaite avec une (mauvaise) constante indépendante de t. Si u satisfait ∥ du ∥_{L^{∞}(g_{t})} ≤ 1, on majore

∥ du ∥_{L^{q}(g_{t})} ≤ ∥ du ∥_{L^{1}(g_{t})}

d’où

∥ u ∥_{L^{p}(g_{t})} ≤ C′′ ∥ du ∥_{L^{1}(g_{t})}

et on obtient

∥ u ∥_{L^{2}(g_{t})} ≤ (C_{t} + C′_{t}C′′) ∥ du ∥_{L^{1}(g_{t})}

et la constante tend vers 1/c_{∞} lorsque t tend vers +∞. Remarque. On peut interpréter cette proposition comme un énoncé sur l’homogénéisation de l’équation des minimisantes de la norme L_{1}^{1} à norme L^{2} fixée en dimension 2 (cf. [SS], chapitre 5). Supposant g = f g_{eucl} conforme à une métrique euclidienne (en dimension 2, ce n’est pas une restriction), on considère des fonctions u uniformément lipschitziennes pour la métrique euclidienne et on examine le comportement asymptotique de la quantité

sup \frac{\sqrt{∫ f(tx)^{2}u(x)^{2} dx}}{∫ f(tx)|∇u|(x) dx}.

5.3 Cristallographie

Le théorème 1 énonce que dans un environnement périodique, les grandes bulles de savon prennent une forme convexe et “cristalline”, comparer à [W].

References

[B] W. BLASCHKE, Über affine Geometrie VII : Neue Extremeigenschaften von Ellipse und Ellipsoid. Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl. 69, 306 − 318 (1917).

[BI] D. Yu. BURAGO, S. IVANOV, On asymptotic volume of tori. Geom. Funct. Anal. 5, 800 − 808 (1995).

[Br] H. BRUNN, Über Ovale und Eiflächen. Inaug. Diss. München (1887).

[Bu] D. Yu. BURAGO, Periodic metrics. Representation theory and dynamical systems, Adv. Sov. Math. 9, 205 − 210 (1992).

[Fa] G. FABER, Beweis dass unter allen homogenen membranen von gleicher Flache und gleicher Spanne, die Kreisformige den tiefsten Grundton gibt. S. B. Math. Kl. Bayer. Akad. Wiss. 169 − 172 (1923).

[F] H. FEDERER, Real flat chains, cochains and variational problems. Indiana Univ. Math. J.. 24, 351 − 407 (1974).

[G] M. GROMOV, Filling Riemannian manifolds. J. Differ. Geom. 18, 1 − 147 (1983).

[GLP] M. GROMOV, Structures métriques pour les variétés riemanniennes. Rédigé par J. Lafontaine et P. Pansu. Textes Mathématiques, 1. Cedic/Fernand Nathan, Paris (1981).

[H] P.M. GRUBER and J.M. WILLS, (ed.) Handbook of convex geometry. Volume A. North-Holland, Amsterdam (1993).

[K] E. KRAHN, Über eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft der Kreise. Math. Ann. 94, 97 − 100 (1924).

[M] V. MAZYA, Classes of domains and embedding theorems for function spaces. Dokl. Akad. Nauk USSR 133, 527 − 530 (1960).

[Ma] J. MATHER, Action minimizing invariant measures for positive definite Lagrangian systems. Math. Z. 207, 169 − 207 (1991).

[MS] V. MILMAN and G. SCHECHTMAN, Asymptotic theory of finite dimensional normed spaces. Lect. Notes in Math. 1200, Springer, Berlin (1986).

[R] Y. RESHETNYAK, An extremal problem from the theory of convex curves. Uspekhi Mat. Nauk 8, (6) 125 − 126 (1953).

[S] L.A. SANTALO, Un invariante afin para los cuerpos convexos del espacio de n dimensiones. Portugaliae Math. 8, 155 − 161 (1949).

[SS] J. SANCHEZ-HUBERT et E. SANCHEZ-PALENCIA, Introduction aux méthodes asymptotiques et à l’homogénéisation. Masson, Paris (1992).

[W] G. WULFF, Zur Frage der Geschwindigkeit des Wachtums und der Auflösung der Krystalflächen. Z. Krystallogr. Mineral. 34, 499 (1901).

U.R.A. D1169 du C.N.R.S. Mathématiques, Bâtiment 425 Université Paris-Sud 91405 Orsay France

Pierre.Pansu@math.u-psud.fr