\documentclass{article}
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\title{Profil isop\'erim\'etrique des m\'etriques p\'eriodiques
\footnote{Mots cl\'e : In\'egalit\'e isop\'erim\'etrique, norme stable, 
homog\'en\'eisation.
Mathematics Subject Classification : 
53C20, % Global Riemannian geometry
35B27, % Partial differential equations, Homogenization
52A38, % Convex geometry, Length, area and volume
49Q20. % Variational problems in a geometric measure-theoretic setting
}} 
\author{P. Pansu}

\newtheorem{theo}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lemme]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lemme]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lemme]{D\'efinition}
\newtheorem{rem}[lemme]{Remarque}
\def\preuve{\par\noindent {\bf Preuve.}\hskip1em}
\def\remarque{\par\noindent {\bf Remarque.}\hskip1em}
\def\exemple{\par\noindent {\bf Exemple.}\hskip1em}
\def\stheo{\par\noindent {\bf Th\'eor\`eme}}
\def\qed{~\vrule height .9ex width .8ex depth -.1ex}

\def\R{{\bf R}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\n#1{{\parallel #1 \parallel}}
\def\vol{{\rm Vol}\,}
\def\lng{{\rm Long}\,}
\def\aire{{\rm Aire}\,}
\def\ali{\medskip}
\def\con{{\rm const.}\,}
\def\dt{D_{t}}
\def\pdt{\partial D_{t}}
\def\ttt{{\tilde T}}
\def\d{\displaystyle}

\begin{document}
\maketitle
\begin{quote}
{\small 
RESUME. On pr\'ecise le comportement asymptotique du profil isop\'e\-ri\-m\'e\-tri\-que du
rev\^etement universel d'un $2$-tore riemannien.

ABSTRACT. An asymptotic expansion for the isoperimetric profile of the universal covering
of a $2$-torus is given.}
\end{quote}

\section{Introduction}
\begin{defi}
Soit $M$ une vari\'et\'e riemannienne de volume $A$ (\'eventuellement
$A=+\infty$). Pour $0<a<A$, on note $I(a)$ la borne inf\'erieure des volumes des bords
des sous-vari\'et\'es compactes de codimension $0$ de $M$ de volume $a$. On l'appelle
{\em profil isop\'erim\'etrique} de $M$.
\end{defi}

On s'int\'eresse au comportement asymptotique du profil isop\'erim\'etrique du
rev\^etement universel $\ttt$ d'un $2$-tore $T$. Lorsque la m\'etrique sur $T$ est
plate,
$\ttt$ est isop\'erim\'etrique au plan euclidien, dont le profil isop\'erim\'etrique est
$I_{eucl}(a)=\sqrt{4\pi a}$. Pour une m\'etrique quelconque $g$ sur $T$, il existe une
constante $K$ telle que, sur $\ttt$,
$$
K^{-1}g_{eucl}\leq g \leq K\,g_{eucl}
$$
d'o\`u les in\'egalit\'es
$$
K^{-1}\sqrt{4\pi a}\leq I(a)\leq K\,\sqrt{4\pi a}.
$$
On cherche \`a affiner cette estimation grossi\`ere.

\medskip

Depuis \cite{GLP} (voir aussi \cite{Burago}), on sait que, \`a grande \'echelle, le
rev\^etement universel d'un tore riemannien ressemble \`a l'espace
vectoriel $H_{1}(T,\R)$ muni de la {\em norme stable}, d\'efinie comme suit,
voir \cite{Federer}, \cite{Mather}.

\begin{defi}
Soit $M$ une vari\'et\'e riemannienne. La masse 
$$
M(\sum \lambda_{i}\sigma_{i})=\sum |\lambda_{i}|\vol(\sigma_{i})
$$ 
des cocha\^{\i}nes simpliciales lipschitziennes \`a coefficients r\'eels induit une
norme sur l'homologie $H_{*}(M,\R)$, appel\'ee {\em norme stable}.
\end{defi}

\medskip

On va montrer que le profil isop\'erim\'etrique du rev\^etement universel converge vers
celui de l'espace $H_{1}(T,\R)$. Encore faut il pr\'eciser comment on mesure les aires
dans cet espace norm\'e. On utilise le volume {\sl de
Liouville} d\'efini comme suit. 

\begin{defi}
\label{liouville}
Soit $N$ une vari\'et\'e de dimension $n$ munie d'une m\'etrique de Finsler. On munit le
fibr\'e cotangent de la norme duale. On note $B^{*}N$ le fibr\'e en boules unit\'es
cotangentes, $d\alpha$ sa forme symplectique canonique. Alors pour tout ouvert $U$ de
$N$, on pose
$$
\vol(U)=\int_{B^{*}U} d\alpha^{n}.
$$
\end{defi}


\begin{theo}
\label{thm}
Soit $T$ un $2$-tore riemannien. On note $I$ le profil iso\-p\'e\-ri\-m\'e\-tri\-que
de son rev\^etement universel. Alors la limite $c_{\infty}=\displaystyle \lim_{a\to
+\infty} I(a)/\sqrt{a}$ existe. Elle vaut
$$
c_{\infty}=2\sqrt{{\aire(T_{\infty})}\over{\aire(T)}}
$$
o\`u $T_{\infty}=H_{1}(T,\R)/H_{1}(T,\Z)$ muni de la norme stable.
\end{theo}

On peut se demander comment la {\sl constante isop\'erim\'etrique asymptotique}
$c_{\infty}$ varie avec la m\'etrique riemannienne de $T$. Clairement, on peut toujours
la rendre plus petite en augmentant la m\'etrique dans un petit voisinage d'un point.
En effet, cela augmente les aires sans changer sensiblement les longueurs.
L'in\'egalit\'e suivante r\'esulte ais\'ement d'un th\'eor\`eme profond de D. Burago et
S. Ivanov.

\begin{theo}
\label{2}
Soit $T$ un $2$-tore riemannien. 
La constante isop\'erim\'etrique asymptotique $c_\infty$ est toujours au plus
\'egale
\`a $\sqrt{4\pi}$, avec \'egalit\'e si et seulement si la m\'etrique de $T$ est plate.
\end{theo}

\medskip

Je me remercie D. Burago qui m'a expliqu\'e la notion de volume de Liouville,
particuli\`erement bien adapt\'ee au probl\`eme isop\'erim\'etrique.

\section{Sch\'ema de la preuve}

Choisissons un diff\'eomorphisme
de $T$ sur le tore quotient $H_{1}(T,\R)/H_{1}(T,\Z)$ qui pr\'eserve l'aire \`a une
constante pr\`es. On peut d\'esormais voir le rev\^etement universel $\ttt$ comme
l'espace vectoriel $H_{1}(T,\R)$ muni d'une m\'etrique riemannienne $g$ invariante par
les translations du r\'eseau $H_{1}(T,\Z)$, dont l'\'el\'ement d'aire est constant (i.e.
invariant par toutes les translations). D'apr\`es \cite{GLP}, l'espace norm\'e
$H_{1}(T,\R)$ est le c\^one tangent \`a l'infini de $\ttt$ au sens suivant. La distance
riemannienne
$dist_{g}(x,y)$ et la distance banachique $|x-y|$ satisfont 
$$
\lim_{|x-y|\to +\infty} dist_{g}(x,y)/|x-y| =1.
$$
En fait, d'apr\`es \cite{Burago}, la diff\'erence $dist_{g}(x,y)-|x-y|$ est born\'ee.

Notons $\delta_{t}$ l'homoth\'etie de rapport $t$ dans l'espace vectoriel
$H_{1}(T,\R)$. En un sens faible (seules les distances convergent), les m\'etriques
$g_{t}=t^{-2}\delta_{t}^{*}g$ convergent vers la norme stable, en gardant un \'el\'ement
d'aire constant. On montre que les in\'egalit\'es isop\'erim\'etriques
convergent, en faisant converger des domaines. C'est plus simple pour les disques, le
cas g\'en\'eral s'en d\'eduit. 

Il reste \`a d\'eterminer l'in\'egalit\'e isop\'erim\'etrique optimale dans un
espace norm\'e (calcul de la constante $c_\infty$). La r\'eponse est donn\'ee par
l'in\'egalit\'e de Brunn-Minkowski.

\medskip

Les d\'etails de la preuve se trouvent au paragraphe \ref{preuve}. Au paragraphe
\ref{brunn} on rassemble les r\'esultats n\'ecessaires (classiques) sur l'in\'egalit\'e
isop\'erim\'etrique dans un espace norm\'e. Enfin au paragraphe 
\ref{sobolev} on traduit le th\'eor\`eme \ref{thm} en termes d'in\'egalit\'e de Sobolev et
d'homo\-g\'e\-n\'e\-i\-sa\-ti\-on.


\section{Preuve}
\label{preuve}

\subsection{Cas des disques}

On utilisera des disques g\'en\'eralis\'es. On rappelle que l'indice d'un
point $x\notin \sigma(S^{1})$ par rapport \`a une courbe ferm\'ee du plan $\sigma :
S^{1}\to \R^2$ est le degr\'e de la projection $s\mapsto s-x/|s-x|$. On note $A(\sigma)$
l'ensemble des points dont l'indice par rapport \`a $\sigma$ vaut $1$. Si $\sigma$ est
une courbe de Jordan, $A(\sigma)$ est un disque. 

\begin{defi}
Soit $M$ une vari\'et\'e riemannienne diff\'eomorphe au plan, d'aire infinie. Pour
$a>0$, on note $I_{d}(a)$ la borne inf\'erieure des longueurs des courbes ferm\'ees
$\sigma$ de $M$ telles que l'aire de $A(\sigma)$ soit $a$.
\end{defi}

La premi\`ere \'etape de la preuve est le cas particulier suivant du th\'eor\`eme 1.

\begin{prop}
\label{disque}
Soit $\ttt$ le rev\^etement universel d'un $2$-tore riemannien $T$. Soit $I_{h}$ le
profil isop\'eri\-m\'e\-tri\-que de l'espace vectoriel $H_{1}(T,\R)$ muni de la norme
stable. Lorsque $a$ tend vers $+\infty$, le rapport $I_{d}(a)/I_{h}(a)$ tend vers
$1$.
\end{prop}

Pour all\'eger les notations, on supposera que
$\aire(H_{1}(T,\R)/H_{1}(T,\Z))=\aire(T,g)$. On fixe un diff\'eomorphisme de $T$ sur
$H_{1}(T,\R)/H_{1}(T,\Z)$ qui pr\'eserve l'aire, de sorte que les m\'etriques $g$, $g_t$
et la norme stable soient toutes d\'efinies sur le m\^eme espace vectoriel. On indiquera
par un indice $g$ les grandeurs relatives \`a la m\'etrique riemannienne $g$, par un
indice $t$ celles relatives \`a la m\'etrique riemannienne $g_t$ et par aucun indice
celles relatives \`a la norme stable.

\subsection{Lemmes pr\'eparatoires}

\begin{lemme}
\label{limite}
Si $\sigma_j$ converge uniform\'ement vers $\sigma$, alors l'aire de $A(\sigma_{j})$
converge vers celle de $A(\sigma)$.
\end{lemme}

\preuve 
Soit $U_\epsilon$ le voisinage tubulaire de largeur $\epsilon$ de $\sigma$. Si $j$ est
assez grand pour que $\sigma_j$ soit contenu dans $U_\epsilon$, alors
$A(\sigma_{j})\setminus U_{\epsilon}=A(\sigma)\setminus U_{\epsilon}$. Comme l'aire de
$U_\epsilon$ tend vers $0$ avec $\epsilon$, on conclut que $\aire A(\sigma) =\lim
\aire A(\sigma_{j})$.\qed

\begin{lemme}
\label{banach}
Soit $V$ un espace vectoriel norm\'e de dimension $2$. Alors
$I_{d}(a)=I(a)=c_{\infty}\sqrt{a}$.
\end{lemme}

\preuve
La comparaison avec une m\'etrique euclidienne, donne $c_{\infty}=I(1)>0$. Par
homog\'en\'e\"{\i}t\'e, $I(a)=I(1)\sqrt{a}$. Il reste \`a voir qu'en se limitant aux
disques, on n'augmente pas le profil iso\-p\'e\-ri\-m\'e\-tri\-que. Soit $\Omega$ une
sous-vari\'et\'e compacte \`a bord de codimension $0$ dans $V$. Si $\Omega$ n'est pas
connexe, alors une de ses composantes est plus performante du point de vue
isop\'erim\'etrique. Cela r\'esulte de la concavit\'e de la fonction racine carr\'ee. Si
$\Omega$ est connexe, une des composantes $\sigma$ de son bord englobe toutes les autres.
Alors $A(\sigma)$ est plus performant du point de vue isop\'erim\'etrique que $\Omega$,
car la fonction racine carr\'ee est croissante.\qed

\begin{lemme}
\label{gt}
Soit $g$ une m\'etrique $\Z^2$-p\'eriodique sur $\R^2$, soit
$g_{t}=t^{-2}\delta_{t}^{*}g$. Soit $|\cdot|$ la norme stable correspondante. Alors 
\begin{enumerate}
\item il existe une constante $K$ ind\'ependante de $t$ telle que pour tout $x$, $y\in
\R^2$,
$$
K^{-1}\,|x-y|\leq dist_{g_{t}} \leq K\,|x-y|;
$$
\item pour tout $\epsilon>0$, il existe $\epsilon_{t}$ tendant vers $0$ avec $t$ tel que
si $|x-y|\geq \epsilon$,
$$
|{{dist_{g_{t}}(x,y)}\over{|x-y|}}-1|\leq \epsilon_{t}.
$$
\end{enumerate}
\end{lemme}

\preuve
La comparaison \`a une m\'etrique euclidienne donne la premi\`ere in\'e\-ga\-li\-t\'e. En
vertu du th\'eor\`eme de D. Burago \cite{Burago}, on peut prendre
$\epsilon_{t}=\con/t\epsilon$.\qed


\subsection{Le profil de $\ttt$ est inf\'erieur \`a celui de l'homologie}

D'apr\`es le lemme \ref{banach}, pour tout $c'>c_{\infty}$, il existe une courbe
ferm\'ee $\sigma$ dans $H_{1}(T,\R)$ telle que $\lng{\sigma}=c'$ et
$\aire(A(\sigma))=1$. Fixons $\epsilon>0$ et pla\c cons des points $p_{1},\ldots,p_{N}$
sur $\sigma$ de sorte que $|p_{i+1}-p_{i}|<\epsilon$. Pour chaque $t$, notons $\sigma_t$
la courbe obtenue en rempla\c cant $\sigma$ sur chaque intervalle $[p_{i},p_{i+1}]$ par
une g\'eod\'esique pour la m\'etrique $g_t$. 

Comme $dist_{g_t}(x,y)\leq \con |x-y|$ ind\'ependamment de
$t$, $\sigma_t$ est contenu dans un voisinage de largeur $\con\epsilon$ de $\sigma$ pour
tout $t$. D'apr\`es le lemme \ref{limite}, $|\aire A(\sigma_{t})-\aire A(\sigma)|$ tend
vers $0$ avec $\epsilon$ uniform\'ement en $t$.

D'autre part, $\lng_{t}(\sigma_{t})= \sum dist_{t}(p_{i},p_{i+1})$ tend vers
$\lng(\sigma)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. Par cons\'equent, pour chaque $a$ assez
grand, on trouve une courbe de la forme $\delta_{t}\sigma_{t}$ dans $\ttt$ qui englobe
une aire $a$ et dont la longueur divis\'ee par $\sqrt{a}$ tend vers $c'$. Ceci prouve que
$$
\lim\sup_{a\to\infty} I_{d}(a)/\sqrt{a}\leq c_{\infty}.
$$

\subsection{Le profil de $\ttt$ est sup\'erieur \`a celui de l'homologie}
Supposons au contraire qu'il existe une suite de courbes $\sigma_j$ telle que
$a_{j}=\aire A(\sigma_{j})$ tendent vers $+\infty$ et
$\lng(\sigma_{j})/\sqrt{a_{j}}<c'<c_\infty$. On pose $t_{j}=\sqrt{a_{j}}$ et on
consid\`ere les courbes
$\tau_{j}=\delta_{1/t_{j}}\sigma_j$ dans $H_{1}(T,\R)$. Leur longueur pour la m\'etrique
$g_{t_{j}}$ est born\'ee. Il en est de m\^eme pour la norme stable. Quitte \`a prendre
une sous-suite, on peut supposer qu'elles convergent uniform\'ement vers une courbe
$\sigma$. D'apr\`es le lemme \ref{limite}, $\aire A(\sigma)=1$.

V\'erifions que $\lng(\sigma)\leq \lim\inf \lng_{t_{j}}(\tau_{j})$. Par approximation, on
peut supposer $\sigma$ g\'eod\'esique par morceaux, i.e., que $\sigma$ est g\'eod\'esique
sur les $N$ intervalles $[s_{i},s_{i+1}]$ d'une subdivision. Alors
$$
\lng(\sigma)=\sum_{i=1}^{N} |\sigma(s_{i+1})-\sigma(s_{i})|=\lim_{j\to \infty}
\sum_{i=1}^{N} |\tau_{j}(s_{i+1})-\tau_{j}(s_{i})|.
$$
D'apr\`es \ref{gt}, pour tout $i$,
$$
||\tau_{j}(s_{i+1})-\tau_{j}(s_{i})|- dist_{t_{j}}(\tau_{j}(s_{i}),\tau_{j}(s_{i+1}))|
\leq\epsilon_{t_{j}}.
$$
Enfin, 
$$
\sum_{i=1}^{N} dist_{t_{j}}(\tau_{j}(s_{i}),\tau_{j}(s_{i+1}))\leq 
\lng_{t_{j}}(\tau_{j}).
$$

Il vient $\lng\sigma \leq c'<c_\infty$, contradiction.\qed

\subsection{Cas des sous-vari\'et\'es connexes}

Si $\Omega\subset \ttt$ est une sous-vari\'et\'e compacte connexe de codimension $0$,
alors parmi les composantes du bord $\partial \Omega$, il y en a une, not\'ee $\sigma$,
qui englobe toutes les autres, i.e., $\Omega\subset A(\sigma)$. Alors
$\aire\Omega\leq\aire A(\sigma)$ et $\lng\partial\Omega\geq\lng\sigma$. Si
$a=\aire\Omega$ est assez grand, $\lng\partial\Omega/\sqrt{a}\geq \lng\sigma/\sqrt{\aire
A(\sigma)}$ qui est proche de $c_\infty$. On conclut que la fonction
$I_{c}(a)$, borne inf\'erieure des longueurs des bords des domaines {\em connexes} d'aire
$a$, satisfait $\displaystyle\lim_{a\to +\infty} I_{c}(a)/\sqrt{a}=c_\infty$.


\subsection{Cas g\'en\'eral}
Il r\'esulte du lemme suivant appliqu\'e \`a la fonction $I_c$.

\begin{lemme}
Soit $J$ une fonction sur $[0,+\infty[$ qui satisfait $J(a)\geq c_{1}\sqrt{a}$,
$c_{1}>0$, et
$\displaystyle\lim_{a\to +\infty} J(a)/\sqrt{a} = c_{\infty}>0$. Posons
$$
j(a)=\inf\{\sum J(a_{i})~|~a_{1},\ldots,a_{N}\geq 0,~\sum a_{i} = a\}.
$$
Alors $\displaystyle\lim_{a\to +\infty} j(a)/\sqrt{a} = c_{\infty}$.
\end{lemme}

\preuve
Fixons $c_{2}< c_\infty$. Il existe $\alpha>0$ tel que $J(a)>c_{2}\sqrt{a}$ pour
$a\geq\alpha$. Soit $a>\alpha$. Soient $0\leq a_{1}\leq\cdots\leq a_{N}$ tels que 
$\sum a_{i} =a$. Supposons que $a_{k}<\alpha\leq a_{k+1}$.
Notons $x=\sum_{i\leq k} a_i$, $y=\sum_{i\geq k+1} a_{i}$.
Alors
$$
c_{1}x=\sum_{i\leq k} c_{1}\sqrt{a_{i}}\sqrt{a_{i}}\leq \sqrt{\alpha}\sum_{i\leq k}
c_{1}\sqrt{a_{i}}\leq\sqrt{\alpha}\sum_{i\leq k} J(a_{i})
$$
et
$$
c_{2}^{2}y=\sum_{i\geq k+1} (c_{2}\sqrt{a_{i}})^{2}
\leq (\sum_{i\geq k+1} c_{2}\sqrt{a_{i}} )^{2}
\leq (\sum_{i\geq k+1} J(a_{i}) )^{2}.
$$
Il vient
$$
\sum_{i=1}^{N} J(a_{i})\geq {{c_{1}}\over\sqrt{\alpha}}x+c_{2}\sqrt{y}.
$$
Comme la fonction $x\mapsto \beta x + \gamma \sqrt{a-x}$ est concave sur $[0,a]$, elle
atteint son minimum aux bornes. Pour $a>\alpha(c_{2}/c_{1})^{2}$, on a donc
l'in\'egalit\'e
$$
{{c_{1}}\over\sqrt{\alpha}}x+c_{2}\sqrt{a-x}\geq c_{2}\sqrt{a}
$$
d'o\`u $j(a)\geq c_{2}\sqrt{a}$.\qed

\subsection{Fin de la preuve du th\'eor\`eme \ref{thm}}
On a ramen\'e, modulo ajustement des aires de $T$ et de $T_{\infty}$, le probl\`eme
isop\'erim\'etrique dans le rev\^etement universel $\tilde T$, \`a celui de ${\tilde
T}_{\infty}$, un espace vectoriel norm\'e de dimension $2$. Ce dernier probl\`eme va
\^etre r\'esolu dans le paragraphe suivant, proposition \ref{deux}.

\section{In\'egalit\'e isop\'erim\'etrique dans un espace vectoriel norm\'e de dimension
finie}
\label{brunn}

Dans ce paragraphe, on se pose le probl\`eme suivant. Quels sont les domaines de $V$
de volume $1$ dont le bord a un volume minimum ? La r\'eponse ne d\'epend pas de la
normalisation du volume $n$-dimensionnel, mais d\'epend fortement du choix de
normalisation des volumes $n-1$-dimensionnels. Elle est connue depuis le si\`ecle
dernier, \cite{Brunn}, \cite{Wulff}.

\ali
\def\volo{{\rm Vol}_{\omega}\,}

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$. Pour parler de volume pour les
domaines de $V$, il suffit de fixer une $n$-forme altern\'ee $\omega \in
\Lambda^{n}V^*$. Elle oriente $V$. On pose alors $\volo(\Omega)=\int_{\Omega} \omega$. 

Pour parler de volume pour les hypersurfaces de
$V$, il faut se donner un {\sl int\'egrand} $F$, i.e., une fonction positive, paire,
positivement homog\`ene de degr\'e $1$ sur
$\Lambda^{n-1}V$. Si 
$$
f : \R^{n-1}\to V
$$
param\`etre une hypersurface $W$, alors
\def\pdx#1{{{\partial f}\over{\partial x_{#1}}}} 
\def\volf{{\rm Vol}_{F}\,}
$$
\vol(W)=\int_{\R^{n-1}} F(\pdx{1}\wedge\ldots\wedge\pdx{n-1}).
$$
De mani\`ere invariante, si $W$ est orient\'ee, on appelle {\em forme volume} de $W$ en
$w$ la $(n-1)$-forme $\phi_{F}\in \Lambda^{n-1}T_{w}^{*}W$ telle que 
$$
\phi_{F}(v_{1},\ldots,v_{n-1})=F(v_{1}\wedge\ldots\wedge v_{n-1})
$$
pour toute base directe $(v_{1},\ldots,v_{n-1})$ de $T_{w}W$. Le {\em
volume} de $W$ est $\volf(W)=\int_{W} \phi_{F}$.

\ali

\exemple Un int\'egrand {\em convexe} n'est rien d'autre qu'une norme sur
$\Lambda^{n-1}V$. En dimension $2$, une norme sur $V$ est un int\'egrand convexe qui
donne la longueur des courbes.


\subsection{In\'egalit\'e de Sobolev}

Il est classique en g\'eom\'etrie riemannienne (voir \cite{Faber}, \cite{Krahn},
\cite{Mazya}) que l'in\'egalit\'e isop\'erim\'etrique $I(a)\geq c\, a^{n-1/n}$ \'equivaut
\`a l'in\'egalit\'e de Sobolev suivante. Pour toute fonction $u$ lisse \`a support
compact,
$$
\n{u}_{L^{n/n-1}}\leq {1\over c}\n{du}_{L^{1}}.
$$
Ce principe s'applique \`a des int\'egrands convexes g\'en\'eraux.

\begin{prop}
\label{sobisop}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$ muni d'un volume $\omega$ et d'un
int\'egrand convexe $F$ (i.e. d'une norme sur $\Lambda^{n-1}V$). L'application
$\Lambda^{n-1}V\to V^*$, $\mu\mapsto \iota_{\mu}\omega$ est un isomorphisme, qui
transporte la norme $F$ sur $\Lambda^{n-1}V$ en une norme {\em not\'ee}
$|\cdot|_{F^{*}}$ sur $V^*$. Alors l'in\'egalit\'e isop\'erim\'etrique
$$
c\,(\volo\Omega)^{n-1/n}\leq \volf(\partial\Omega)
$$
\'equivaut \`a l'in\'egalit\'e de Sobolev
$$
c\,(\int |f|^{n/n-1}\omega)^{n-1/n}\leq \int |df|_{F^{*}}\,\omega
$$
pour les fonctions lisses \`a support compact.
\end{prop}

\preuve
Il suffit d'\'ecrire la formule de la coaire. 

Fixons un point $v$ de $V$ o\`u $f$ est une submersion. Soit $\phi_{F}$ la forme volume de 
la fibre de $f$ passant par $v$. Alors le produit ext\'erieur $\phi_{F}\wedge df$
est bien d\'efini au voisinage de $v$. Soit $\mu\in\Lambda^{n-1}V$ le
multivecteur tel que $d_{v}f=\iota_{\mu}\omega$. Alors $\mu\in\Lambda^{n-1}{\rm
Ker}\,d_{v}f$. Soit $w\notin {\rm Ker}\,d_{v}f$. Alors
$$
(\phi_{F}\wedge df)(\mu\wedge w)=\phi_{F}(\mu)\,df(w)=F(\mu)\omega(\mu\wedge w)
$$
donc $\phi_{F}\wedge df=F(\mu)\omega=|df|_{F^{*}}\,\omega$. La formule de la coaire
s'\'ecrit donc
$$
\int_{V} |df|_{F^{*}}\,\omega=\int_{\R} dt\int_{\{f=t\}} \phi_{F}=\int_{\R}
\volf{\{f=t\}}dt.
$$

Supposons l'in\'egalit\'e de Sobolev connue. Appliquons la \`a une approximation de la
fonction caract\'eristique d'un domaine lisse $\Omega$, par exemple \`a la fonction
$f$ qui vaut $1$ sur $\Omega$, $0$ en dehors du voisinage tubulaire de
largeur $\epsilon$ de $\Omega$, et $1-g/\epsilon$ dans ce voisinage, o\`u
$g$ est la distance \`a $\Omega$ mesur\'ee au moyen de la norme $|\cdot|_{F}$ sur $V$
duale de $|\cdot|_{F^{*}}$. Alors $|df|_{F^{*}}=1/\epsilon$ et 
$$
\int_{\R} \volf{\{f=t\}}dt={1\over\epsilon}\int_{0}^{\epsilon} \volf{\{g=t\}}dt
$$
converge vers $\volf\partial\Omega$. On obtient l'in\'egalit\'e isop\'erim\'etrique
annonc\'ee.

L'argument r\'eciproque sera donn\'e en \ref{asym}.\qed

\subsection{L'in\'egalit\'e de Brunn}

L'in\'egalit\'e de Sobolev optimale dans un espace norm\'e est connue depuis 1887,
\cite{Brunn}.

\stheo~(H. Brunn).
{\em Soit $V$ un espace vectoriel norm\'e de dimension $n$. On note $|\cdot|^*$ la norme
duale sur $V^*$. Normalisons le volume de sorte que la boule unit\'e de $V$ soit
de volume $1$. Alors pour toute fonction $f\in L^{n/n-1}(V)$ dont les d\'eriv\'ees (au
sens des distributions) sont dans $L^1$,
$$
n\,(\int |f|^{n/n-1})^{n-1/n}\leq \int |df|^{*}.
$$
L'\'egalit\'e a lieu si et seulement si $f$ est un multiple de la fonction
caract\'eristique d'une boule de $V$.}

\medskip

On trouvera une preuve moderne de l'in\'egalit\'e de Brunn dans
\cite{MilmanSchechtman}, appendice de M.~Gromov page 126.

\begin{cor}
\label{F*}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$ muni d'un volume $\omega$ et d'un
int\'egrand convexe $F$. Notons
$|\cdot|_{F}$ la norme sur $V$ d\'efinie comme suit.
$$
|w|_{F}=\sup \{ {{\omega(\mu\wedge w)}\over{F(\mu)}}~|~ \mu\in\Lambda^{n-1}V,
~\mu\not=0\}.
$$
Alors la boule unit\'e $B_F$ de $|\cdot|_{F}$ minimise le $F$-volume du bord parmi
les domaines de m\^eme volume. On a
$$
\volf\partial B_{F}=n\volo B_{F}.
$$
\end{cor}

\preuve
Notons $\lambda=\volo B_{F}$. Alors le th\'eor\`eme de Brunn s'applique avec comme volume
la forme $\lambda^{-1}\omega$, 
$$
n\,(\int |f|^{n/n-1}\lambda^{-1}\omega)^{n-1/n}\leq \int |df|_{F^{*}}\,\lambda^{-1}\omega
$$
Avec la proposition \ref{sobisop}, il vient, pour tout
domaine $\Omega$ de $V$,
$$
c\,(\volo \Omega)^{n-1/n}\leq \volf(\partial\Omega)
$$
avec $c=n\lambda_{1/n}$. L'\'egalit\'e a lieu pour $B_F$, donc
$\volf(\partial\Omega)=n\lambda_{1/n}(\volo B_{F})^{n-1/n}=n\volo B_{F}$.\qed

\subsection{Cas des espaces vectoriels norm\'es de dimension deux}
\label{norme}

Si $V$ est un espace vectoriel norm\'e de dimension $2$, on utilise la norme de $V$ 
comme int\'egrand.

\begin{prop}
\label{deux}
Soit $V$ est un espace vectoriel norm\'e de dimension $2$. Alors on a l'in\'egalit\'e
isop\'erim\'etrique
$$
2\,(\aire\Omega)^{1/2}\leq \lng(\partial\Omega)
$$
o\`u on utilise l'\'el\'ement d'aire ``de Liouville'' d\'efini en \ref{liouville}.
\end{prop}

\preuve
Le corollaire \ref{F*} donne, pour un choix d'\'el\'ement d'aire $\omega$ quelconque,
$$
c\,(\aire_{\omega}\Omega)^{1/2}\leq \lng(\partial\Omega)
$$
o\`u $c=2\sqrt{\int_{B_{F}} \omega}$ et $B_F$ est la boule unit\'e
de la norme $w\mapsto |\iota_{w}\omega|^*$. Il reste \`a montrer que lorsque $\omega$
est l'\'el\'ement d'aire de Liouville, $\int_{B_{F}} \omega=1$.

Un \'el\'ement d'aire $\omega$ sur $V$ d\'etermine un \'el\'ement d'aire $\omega^*$ sur
$V^*$, celui tel que l'\'el\'ement de volume $\omega\wedge\omega^*$ sur $V\times V^*$
co\"{\i}ncide avec celui d\'efini par la structure symplectique naturelle. Alors
$\omega$ est l'\'el\'ement d'aire de Liouville si et seulement si $\int_{B^{*}}
\omega^{*}=1$ (o\`u $B^*$ d\'esigne la boule unit\'e de $V^*$). 

Notons $\iota:V\to V^{*}$, $v\mapsto \iota_{v}\omega$. Alors
$\iota^{*}\omega^{*}=\omega$. En effet, choisissons des coordonn\'ees $(q_{1},q_{2})$
sur $V$ telles que $\omega=dq_{1}\wedge dq_{2}$. Soient $(p_{1},p_{2})$ les
coordonn\'ees induites sur $V^*$. Alors $\omega^{*}=dp_{1}\wedge dp_{2}$,
$\iota(q_{1},q_{2})=(p_{1},p_{2})$ avec $p_{1}=-q_{2}$ et $p_{2}=q_{1}$ donc
$\iota^{*}\omega^{*}=d(-q_{2})\wedge dq_{1}=\omega$. 

Enfin, $B_{F}=\iota^{-1}(B^{*})$ donc
$$
\int_{B_{F}} \omega=\int_{\iota^{-1}(B^{*})} \iota^{*}\omega^{*}=\int_{B^{*}}
\omega^{*}=1.\qed
$$

\subsection{Preuve du th\'eor\`eme \ref{2}}

Fixons un point $x$ du rev\^etement universel $\tilde T$ et notons $\aire(r)$ l'aire de
la boule de centre $x$ et de rayon $r$. Notons $\aire_{\infty}(r)$ l'aire (de
Liouville) d'une boule de rayon $r$ dans l'espace norm\'e $V={\tilde T}_{\infty}$. Alors 
$$
\lim_{r\to +\infty}
{{\aire(r)}\over{\aire_{\infty}(r)}}={{\aire(T)}\over{\aire(T_{\infty})}}.
$$
D'autre part, d'apr\`es D. Burago et S. Ivanov, \cite{BuragoIvanov},
$$
\lim_{r\to +\infty} \aire(r)/r^{2}\geq\pi
$$
avec \'egalit\'e si et seulement si $T$ est plat. On conclut que 
$$
{{\aire(T)}\over{\aire(T_{\infty})}}\geq {{\pi}\over{\aire(B)}}
$$
o\`u $B$ d\'esigne la boule unit\'e de $V$. Avec le th\'eor\`eme \ref{thm}, il vient
$$
c_{\infty}\leq 2\sqrt{{\aire(B)}\over{\pi}},
$$
avec \'egalit\'e seulement si $T$ est plat.

Enfin, l'in\'egalit\'e de Blaschke-Santalo (voir \cite{Blaschke}, \cite{Santalo} et
\cite{convex} page 165) entra\^{\i}ne que parmi tous les espaces norm\'es de m\^eme
dimension finie, le produit $\vol(B)\vol(B^{*})$ est maximum exactement pour l'espace de
Hilbert. Par cons\'equent, comme $\aire(B^{*})=1$, $\aire(B)\leq\pi^2$ donc
$$
c_{\infty}\leq 2\sqrt{\pi},
$$
avec \'egalit\'e seulement si $T$ est plat.\qed

\section{In\'egalit\'e de Sobolev}
\label{sobolev}

\subsection{Version asymptotique}

\begin{prop}
\label{asym}
Soit $p>2$. La propri\'et\'e isop\'erim\'etrique asymptotique 
$$
\lim\inf_{a\to +\infty} I(a)/\sqrt{a} \geq c_{\infty}
$$
\'equivaut  \`a l'in\'egalit\'e de Sobolev asymptotique suivante. Pour tout
$C>1/c_{\infty}$, il existe un $C'$ tel que, pour toute fonction $u$ lisse \`a support
compact,
$$
\n{u}_{L^{2}}\leq C\,\n{du}_{L^{1}}+C'\,\n{u}_{L^{p}}.
$$
\end{prop}

\preuve
Supposons que $\lim\inf I(a)/\sqrt{a} \geq c_{\infty}$ et soit $C>1/c_{\infty}$. Il existe
un
$\alpha$ tel que $\sqrt{a}< C\,I(a)$ pour $a>\alpha$.
Soit $u$ une fonction lisse \`a support compact. Comme $|d|u||\leq |du|$, on peut
supposer que $u\geq 0$. Soit $\tau\in\R$ tel que $\aire\{u>t\}\geq\alpha$ pour $t<\tau$
et $\aire\{u>\tau\}\leq\alpha$. Notons $v=\min\{u,\tau\}$.
Pour $t<\tau$, notons $\chi_t$ la fonction
caract\'eristique de l'ensemble de niveau $\{u>t\}$. Alors pour tout point $x$,
$$
v(x)=\int_{0}^{\tau} \chi_{t}(x)\,dt.
$$
Il vient
\begin{eqnarray*}
\n{v}_{L^{2}}
&\leq & \int_{0}^{\tau} \n{\chi_{t}}_{L^{2}}\,dt\\
&=& \int_{0}^{\tau} \sqrt{\aire\{u>t\}}\,dt\\
&\leq& C \int_{0}^{\tau} \lng\{u=t\}\,dt\\
&=& C\,\n{du}_{L^{1}}.
\end{eqnarray*}
Comme $u-v$ est \`a support dans le domaine $\{u>\tau\}$ d'aire inf\'erieure \`a
$\alpha$, l'in\'egalit\'e de H\"older donne
$$
\n{u-v}_{L^{2}}\leq \alpha^{p-2/2p}\n{u-v}_{L^{p}}
$$
d'o\`u
$$
\n{u}_{L^{2}}\leq C\,\n{du}_{L^{1}}+C'\,\n{u}_{L^{p}}
$$
avec $C'=\alpha^{p-2/2p}$.

Inversement, appliquons l'in\'egalit\'e de Sobolev asymptotique \`a (une approximation de)
la fonction caract\'eristique d'un domaine $\Omega$. On trouve
$$
\aire(\Omega)^{1/2}\leq C\,\lng(\partial\Omega) + C'\,\aire(\Omega)^{1/p},
$$
d'o\`u, si ${1\over p}={1\over 2}-\epsilon$,
$$
I(a)\geq {1\over C}\sqrt{a}(1-CC'a^{-\epsilon}).
$$
Ceci entra\^{\i}ne bien que 
$\displaystyle \lim\inf_{a\to +\infty} I(a)/\sqrt{a} \geq c_{\infty}$.\qed

\subsection{Homog\'en\'eisation}

\begin{defi}
Soit $(M,g)$ une vari\'et\'e riemannienne. Notons $C(M,g)$ la meil\-leu\-re
constante $C$ dans l'in\'egalit\'e de Sobolev 
$$
\n{u}_{L^{2}}\leq C\,\n{du}_{L^{1}}
$$
pour les fonctions lisses \`a support compact sur $M$.

Notons $C_{\infty}(M,g)$ la meilleure
constante $C'$ telle que l'in\'egalit\'e
$$
\n{u}_{L^{2}}\leq C'\,\n{du}_{L^{1}}
$$
soit satisfaite pour toute fonction $u$ lisse, \`a support compact sur $M$, {\em et
telle que} $\n{du}_{L^{\infty}}\leq 1$.
\end{defi}

Etant donn\'e une m\'etrique p\'eriodique $g$ sur
$\R^2$, consid\'erons la famille des m\'etriques dilat\'ees
$g_{t}=t^{-2}\delta_{t}^{*}g$. Comme les m\'etriques $g_t$ sont homoth\'etiques, la
constante de Sobolev
$C(\R^{2},g_{t})$ est ind\'ependante de $t$. Elle vaut $\sup\{\sqrt(a)/I(a)~|~a>0\}$
o\`u $I$ d\'esigne le profil isop\'erim\'etrique de $(\R^{2},g)$. En revanche, la
constante modifi\'ee $C_{\infty}(\R^{2},g_{t})$ d\'epend de $t$. Lorsque $t$ tend vers
$0$, elle tend vers $C(\R^{2},g)$.


\begin{prop}
$\displaystyle\lim\sup_{t\to +\infty} C_{\infty}(\R^{2},g_{t})\leq 1/c_{\infty}$.
\end{prop}

\medskip

\preuve
Le profil isop\'erim\'etrique $I_t$ de $g_t$ satisfait $I_{t}(a)=t^{-1}I(t^{2}a)$. La
fonction $I_{t}(a)/\sqrt(a)$ converge donc vers $c_{\infty}$ lorsque $a$ tend vers
$+\infty$ d'autant plus vite que $t$ est grand. Par cons\'equent, pour
chaque $C>1/c_{\infty}$ et $p>2$ fix\'es, la constante $C'$ de l'in\'egalit\'e de
Sobolev asymptotique \ref{asym} pour la m\'etrique $g_t$ tend vers $0$ lorsque $t$ tend
vers $+\infty$. Autrement dit, il existe des constantes $C_t$ tendant vers $c_{\infty}$
et $C'_t$ tendant vers $0$ telles que
$$
\n{u}_{L^{2}(g_{t})}\leq C_{t}\,\n{du}_{L^{1}(g_{t})}+C'_{t}\,\n{u}_{L^{p}(g_{t})}.
$$

Posons $q=2p/2+p$. En vertu de \ref{gt}, l'in\'egalit\'e de Sobolev 
$$
\n{u}_{L^{p}(g_{t})}\leq C''\,\n{du}_{L^{q}(g_{t})}
$$
est satisfaite avec une (mauvaise) constante ind\'ependante de $t$. Si $u$ satisfait
$\n{du}_{L^{\infty}(g_{t})}\leq 1$, on majore 
$$
\n{du}_{L^{q}(g_{t})}\leq \n{du}_{L^{1}(g_{t})}
$$ 
d'o\`u
$$
\n{u}_{L^{p}(g_{t})}\leq C''\,\n{du}_{L^{1}(g_{t})}
$$
et on obtient
$$
\n{u}_{L^{2}(g_{t})}\leq (C_{t}+C'_{t}C'')\,\n{du}_{L^{1}(g_{t})}
$$
et la constante tend vers $1/c_{\infty}$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.\qed

\remarque 
On peut interpr\'eter cette proposition comme un \'enonc\'e sur
l'ho\-mo\-g\'e\-n\'e\-isation de l'\'equation des minimisantes de la norme $L_{1}^1$ \`a
norme $L^2$ fix\'ee en dimension $2$ (cf.
\cite{Sanchez}, chapitre 5). Supposant
$g=f\,g_{eucl}$ conforme \`a une m\'etrique euclidienne (en dimension $2$, ce n'est pas
une restriction), on consid\`ere des fonctions $u$ uniform\'ement lipschitziennes pour
la m\'etrique euclidienne et on examine le comportement asymptotique de la quantit\'e
$$
\sup{\sqrt{\int f(tx)^{2} u(x)^{2}\,dx}\over{\int f(tx) |\nabla u|(x)\,dx}}.
$$

\subsection{Cristallographie}
Le th\'eor\`eme \ref{thm} \'enonce que dans un environnement p\'eriodique, les grandes
bulles de savon prennent une forme convexe et ``cristalline'', comparer \`a \cite{Wulff}.


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U.R.A. D1169 du C.N.R.S.\\
Math\'ematiques, B\^atiment 425\\
Universit\'e Paris-Sud\\
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{\tt\small Pierre.Pansu@math.u-psud.fr}

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