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\title{Cohomologie $L^{p}$~: invariance sous quasiisométries}

\author{P. Pansu}
\newtheorem{theo}{Théorème}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lemme]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lemme]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lemme]{Définition}
\newtheorem{rem}[lemme]{Remarque}
\def\preuve{\par\noindent {\bf Preuve.}\hskip1em}
\def\remarque{\par\noindent {\bf Remarque.}\hskip1em}
\def\exemple{\par\noindent {\bf Exemple.}\hskip1em}
\def\stheo{\par\noindent {\bf Théorème}}
\def\qed{~\vrule height .9ex width .8ex depth -.1ex}

\def\K{{\cal A}{\cal S}}
\def\F{{\cal F}}
\def\U{{\cal U}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\p{\parallel}
\def\chc{L^{p}{\check C}}
\def\chh{L^{p}{\check H}}
\def\fr{{\cal R}}
\def\cufr#1#2{{L^{p}{\check C}^{#1}(\U,\fr^{#2})}}
\def\ali{\bigskip}
\def\qi{qua\-si\-i\-so\-m\'e\-tri}
\def\mapright#1{\stackrel{#1}{\to}}
\def\mapdown#1{\downarrow #1}
\def\mapdu#1#2{#1 \uparrow\downarrow #2}
\def\maprl#1#2{\stackrel{#1,#2}{\rightleftharpoons}}
\def\d{\displaystyle}

\begin{document}
\maketitle
 
\begin{quote}
{\small 
RESUME :  On donne une d\'efinition de la cohomologie
$L^p$ d'un espace m\'etrique, on prouve son invariance sous quasiisom\'etries. On la relie \`a la cohomologie $L^p$ au sens de de Rham pour une vari\'et\'e riemannienne. On obtient ainsi une notion de cohomologie
$L^p$ pour un groupe discret de type fini.
\par\medskip
ABSTRACT: $L^p$ cohomology is defined for a metric space, and shown to be a quasiisometry invariant. This boils down to usual de Rham $L^p$ cohomology of manifolds. This yields $L^p$ cohomology of discrete finitely generated groups too.}
\end{quote}

\section{Introduction}
\label{intro}
Soit $M$ une vari\'et\'e riemannienne de dimension $n$, $k$ un entier compris
entre $0$ et $n$, $p$ un r\'eel sup\'erieur \`a $1$. L'espace de
{\sl cohomologie} $L^{p}H^{k}(M)$ est l'espace des classes de
$k$-formes ferm\'ees
$\alpha$ sur $M$ telles que $\vert \alpha \vert \in L^{p}$ modulo les
diff\'erentielles de $(k-1)$-formes $\beta$ telles que
$\vert \beta \vert \in L^{p}$ et $\vert d\beta \vert \in L^{p}$.

Par d\'efinition, la cohomologie $L^{p}$ est conserv\'ee par les
diff\'eomorphismes bilipschitziens~: s'il existe un diff\'eomorphisme 
$f : M \rightarrow N$ tel que, pour tout vecteur $X \in TM$,
$$
\hbox{const.}^{-1}\vert X \vert \leq \vert f_{*}X \vert \leq \hbox{ const. } \vert X \vert,
$$
alors $L^{p}H^{k}(M)$ est isomorphe \`a $L^{p}H^{k}(N)$ pour tous $p$
et $k$. Par exemple, si $V$ est une vari\'et\'e compacte, alors les
espaces $L^{p}H^{k}(\tilde V )$ sont des invariants diff\'erentiables de
$V$. 
\ali
Dans \cite{Dodziuk1}, J. Dodziuk montre que la cohomologie $L^{2}$ du
rev\^etement universel est un invariant homotopique des vari\'et\'es
compactes. Ce r\'esultat a \'et\'e \'etendu \`a $L^{p}$, $p\not=2$, par 
V. Gol'dshtein, V. Kuz'minov et I. Shvedov, \cite{GKS}.

On est conduit \`a se demander si la cohomologie $L^{p}$ ne d\'ependrait pas
seulement du groupe fondamental. C'est vrai en degr\'e un, \cite{Pansu}, pas
exactement en degr\'e sup\'erieur
(la formule de K\"unneth et la suite de Mayer-Vietoris, valables
en cohomologie $L^{p}$, montrent les limites de ce que l'on peut attendre
comme invariance).

Pourtant, il y a une cohomologie $L^{p}$ simpliciale pour tout groupe $\pi$
dont le $K(\pi,1)$ est fini en chaque dimension, et d'apr\`es \cite{Dodziuk1},
celle-ci ne d\'epend que du groupe. 
\ali
Suivant une voie indiqu\'ee par M. Gromov, \cite{Gromov}, \cite{GromovAsy}, nous pla{\c c}ons
cette question dans un contexte plus vaste~: le groupe fondamental 
$\pi_{1}(V)$ est un espace m\'etrique discret, \qi que au rev\^etement
universel $\tilde V$. Peut-on parler de cohomologie pour un espace
m\'etrique, et montrer son invariance sous \qi e ?

Nous nous proposons


\begin{enumerate}
  \item de d\'efinir une cohomologie $L^{p}$ ``asymptotique''
pour un espace m\'etrique muni d'une mesure, qui soit invariante par \qi e~;

\item dans le cas d'un groupe $\pi$, de la relier \`a la cohomologie 
$L^{p}$ d'un complexe simplicial ayant $\pi$ pour groupe fondamental~;

\item dans le cas d'une vari\'et\'e riemannienne \`a
g\'eom\'etrie born\'ee, de la relier \`a la cohomologie $L^{p}$ ordinaire.
\end{enumerate}

\subsection{D\'efinitions}
\label{defas}
Soit $M$ un espace m\'etrique muni d'une mesure $dx$. Fixons un 
$p\in [1,+\infty]$ et un rayon $t>0$. 

D\'efinissons un complexe simplicial $X_{t}$ dont les sommets sont les points
de $M$, et les $k$-simplexes les $k+1$-uplet de points de $M$ de diam\`etre
strictement inf\'erieur \`a $t$. 

On a une mesure sur l'espace des $k$-simplexes~:
$$
d\Delta=dx_{0}\cdots dx_{k}.
$$
\ali
On appelle {\sl complexe d'Alexander-Spanier de taille $t$ sur $M$}
le complexe des cocha\^{\i}nes simpliciales r\'eelles de $X_{t}$. 

On d\'efinit la norme $L^{p}$ d'une $k$-cocha\^{\i}ne~:
$$
\p \kappa \p_{p}^{p}=\int_{\{\Delta\in M^{k+1}\mid diam(\Delta)<t\}} 
\vert \kappa(\Delta)\vert^{p}\,d\Delta.
$$
Lorsque $p=\infty$, la norme $\p \kappa \p_{\infty}$ est simplement la borne
sup\'erieure des valeurs de $\kappa$ sur les simplexes de diam\`etre $\leq t$.
Pour $p\in [1,+\infty]$, on note $L^{p}AS_{t}^{k}(M)$ l'espace de
Banach des $k$-cocha\^{\i}nes d'Alexander-Spanier sur $M$, de taille $t$, muni
de la norme $L^{p}$. 

La cohomologie $L^{p}$ de taille $t$ de degr\'e $k$ est le quotient 
$$
L^{p}H_{t}^{k}(M)=(Ker\,d)\cap L^{p}AS_{t}^{k}(M)/d(L^{p}AS_{t}^{k-1}(M)). 
$$


La restriction des cocha\^{\i}nes de taille $t'$ aux simplexes de diam\`etre
$t<t'$ induit un op\'erateur born\'e
$$
L^{p}AS_{t'}^{k}(M)\to L^{p}AS_{t}^{k}(M)
$$
et la limite inverse 
$$
L^{p}AS_{lim}^{k}(M)=\lim_{\leftarrow} L^{p}AS_{t}^{k}(M)
$$
s'appelle le {\sl complexe $L^{p}$ asymptotique}. C'est un espace de
Fr\'echet. Sa cohomologie s'appelle {\sl cohomologie $L^{p}$ asymptotique} et
est not\'ee $L^{p}H_{lim}^{*}(M)$.
\ali
Soit $\pi$ un groupe discret de type fini. Chaque choix d'un syst\`eme
g\'en\'erateur fini de $\pi$ d\'etermine une distance invariante \`a gauche
$\delta_{S}$ sur $\pi$. On utilise, pour d\'efinir les normes $L^p$, la mesure de
comptage \'evidente.

\subsection{D\'efinition} La cohomologie $L^p$ d'un groupe discret $\pi$ de
type fini est par d\'efinition la cohomologie $L^p$ asymptotique de l'espace
m\'etrique $(\pi,\delta_{S})$, i.e., 
$$
L^{p}H^{*}(\pi):=L^{p}H_{lim}^{*}(\pi,\delta_{S}).
$$

Un autre choix de
syst\`eme g\'en\'erateur produit une distance quasiisom\'etrique \`a la
premi\`ere. La proposition suivante montre que la d\'efinition est sans
ambigu\"{\i}t\'e. 

\subsection{R\'esultats}
\label{resul}

Une \qi e entre des espaces m\'etriques $M$ et $N$ est la donn\'ee de deux
applications $f:M\to N$ et $g:N\to M$ telles que

\begin{itemize}
  \item pour toute boule $B$ de $M$, $f(B)$ et $f^{-1}(B)$ 
sont contenues dans des boules 
dont le rayon ne d\'epend que de celui de $B$~;

\item $g\circ f$ et $f\circ g$ sont \`a distance born\'ee de
l'identit\'e.
\end{itemize}

\ali
La cohomologie $L^{\infty}$ asymptotique est par construction m\^eme un invariant
de \qi e. Pour $p$ fini, $p\geq 1$, c'est vrai moyennant une hypoth\`ese sur la
mesure $dx$.

\begin{prop}
\label{inqi}
La cohomologie $L^{p}$ asymptotique est un invariant de \qi e
pour la classe des espaces m\'etriques $M$ munis d'une mesure telle que

\begin{enumerate}
\item $\inf \{vol\,B(x,r)\mid x\in M\}$ est positif pour tout $r$, 

\item $\sup \{vol\,B(x,r)\mid x\in M\}$ est fini pour tout $r$.
\end{enumerate}
\end{prop}

Il reste \`a relier $L^{p}H^{*}(\pi)$ \`a la cohomologie $L^p$ du rev\^etement
universel d'une vari\'et\'e ou d'un complexe simplicial dont $\pi$ est le
groupe fondamental.

Il y a une application tautologique $L^{p}H^{*}\to H^{*}$ de
la cohomologie  $L^{p}$ vers la cohomologie ordinaire~; on appelle {\sl
cohomologie exacte} et on note $EL^{p}H^{*}(M)$ le noyau de cette application.
Remarquer que la cohomologie asymptotique ne donne acc\`es, au mieux, qu'\`a ce
noyau. En effet, un cocycle $\kappa$ de taille $t$, restreint \`a la boule 
$B(x,t)$ est automatiquement exact~: si on pose 
$\lambda(x_{1},\ldots,x_{k})=\kappa(x,x_{1},\ldots,x_{k})$, alors 
$\kappa=d\lambda$. 

Inversement, on peut comparer cohomologie $L^{p}$ asymptotique et cohomologie
$L^{p}$ en degr\'e $k$ lorsque la cohomologie ordinaire de $M$ s'annule en
degr\'es $\leq k$. On dit que $H^{k}(M,\R)=0$ {\sl uniform\'ement} si, pour
toute boule $B$, il existe une boule concentrique $B'$, dont le rayon ne
d\'epend que de celui de $B$, telle que la restriction
$H^{k}(B',\R)\to H^{k}(B,\R)$ s'annule. Par exemple, si $M$ est un
rev\^etement d'un espace compact, cette condition est v\'erifi\'ee d\`es 
que $H^{k}(M,\R)=0$.

\begin{theo}
\label{th}
Soit $p$ un r\'eel, $1\leq p\leq\infty$.

\begin{enumerate}
\item Soit $\pi$ un groupe discret de pr\'esentation finie. Soit $K$ un
complexe simplicial fini dont le groupe fondamental est $\pi$. Si $\pi_{i}(K)=0$
for $i=2,\ldots,k$,
alors la cohomologie $L^{p}$ exacte de $\tilde K$ - d\'efinie simplicialement -
co\"{\i}ncide avec la cohomologie $L^{p}$ de $\pi$ jusqu'en degr\'e $k+1$.
En particulier, sans conditions sur $K$, les espaces $L^{p}H^{1}(\tilde K)$
et $EL^{p}H^{2}(\tilde K)$ ne d\'ependent que de $\pi_{1}(K)$.

\item Soit $M$ une vari\'et\'e riemannienne connexe \`a g\'eom\'etrie
born\'ee. On suppose que, pour $1\leq j \leq k$, $H^{j}(M,\R)=0$ 
uniform\'ement. Alors
$$
L^{p}H_{lim}^{k+1}(M)\simeq EL^{p}H^{k+1}(M).
$$
\end{enumerate}
\end{theo}

{\bf Pr\'ecisions}

On obtient en r\'ealit\'e un r\'esultat plus pr\'ecis. Par exemple, si $M$ est
une vari\'et\'e riemannienne qui satisfait aux hypoth\`eses du
th\'eor\`eme \ref{th}, on montre que, pour tout $t>t'>0$, la
restriction des grandes cocha\^{\i}nes aux petits simplexes induit une
\'equivalence d'homotopie entre les complexes d'Alexander-Spanier
$L^{p}AS_{t}^{*}$ et $L^{p}AS_{t'}^{*}$ au sens suivant~:
il  existe des op\'erateurs born\'es $f:L^{p}AS_{t}^{*}\to L^{p}AS_{t'}^{*}$,
$g:L^{p}AS_{t'}^{*}\to L^{p}AS_{t}^{*}$ commutant avec les diff\'erentielles,
$B:L^{p}AS_{t}^{*}\to L^{p}AS_{t}^{*-1}$ $B':L^{p}AS_{t'}^{*}\to
L^{p}AS_{t'}^{*-1}$ tels que  $$ g\circ f=dB+Bd\quad\hbox{et}\quad f\circ
g=dB'+B'd. $$ De m\^eme, pour $t$ petit, le complexe $L^{p}AS_{t}^{*}(M)$ est
homotope au complexe de de Rham (resp. simplicial) et enfin, une quasiisom\'etrie
$M\to M'$ induit une \'equivalence d'homotopie entre les complexes
$L^{p}AS_{t}^{*}(M)$ et $L^{p}AS_{t}^{*}(M')$ pour $t$ assez grand. 

En particulier, la cohomologie $L^p$ avec sa semi-norme quotient est
invariante. Il y a donc des isomorphismes induits sur la cohomologie et
sur la cohomologie r\'eduite (d\'efinie au moyen de l'adh\'erence de l'image de
$d$). On peut aller plus loin. La classe d'\'equivalence de la presque
cohomologie (near-cohomology) au sens de M. Gromov et M. Shubin est un invariant
de quasiisom\'etrie, voir \cite{GromovShubin}. La presque cohomologie d'un
complexe $d:E\to E$ est la famille de c\^ones  $C_{\lambda}=\{\eta\in {\rm
Im}\,d\mid \parallel \eta\parallel\leq\lambda\parallel d^{-1}\eta\parallel\}$
o\`u $\lambda\in \R$ et on a not\'e abusivement $\parallel d^{-1}\eta\parallel =
\inf\{\parallel \theta\parallel\,\mid\theta\in E \,\hbox{et}\, d\theta=\eta\}$.

Lorsque $p=2$, la cohomologie $L^2$ et la presque cohomologie sont directement
reli\'ees au Laplacien $L^{2}$. Le th\'eor\`eme \ref{th} se traduit
par

\begin{cor}
\label{NS}
Sous les hypoth\`eses du th\'eor\`eme \ref{th}~(2), 

\begin{itemize}
  \item le noyau du Laplacien sur les $k+1$-formes $L^2$ exactes,

\item la pr\'esence d'un trou dans le spectre du Laplacien sur
$dL^{2}\Omega^{k}$ (i.e. d'un intervalle ouvert $]0,\epsilon[$
disjoint du spectre),
 \end{itemize}

\noindent sont des quantit\'es ou propri\'et\'es conserv\'ees par
quasiisom\'etrie.
\end{cor} 


\subsection{Avertissement}

\label{avert}
Lorsque $p=+\infty$, on risque de confondre la cohomologie $L^{\infty}$ et la
{\sl cohomologie grossi\`ere} (coarse cohomology) de J. Roe, \cite{Roe}. Notons
$AS_{t,c}^{k}(M)$ l'espace des $k$-cocha\^{\i}nes d'Alexander-Spanier de taille
$t$ {\sl \`a support relativement compact} comme fonctions sur $M^{k+1}$. Le
complexe de J. Roe est la limite inverse des $AS_{t,c}^{*}(M)$ 
lorsque $t$ tend vers $+\infty$. Il est aussi invariant sous quasiisom\'etries.

La cohomologie born\'ee d'un groupe discret $\pi$ est d\'efinie \`a
partir des cocha\^{\i}nes $L^{\infty}$ et $\pi$-invariantes du complexe
simplicial complet (sans restriction de diam\`etre) dont les sommets sont les
\'el\'ements de $\pi$, voir \cite{GromovVBC}. Je ne sais pas s'il est invariant
sous quasiisom\'etries.

\subsection{Organisation du texte}
\label{o}

La section \ref{qi} contient la preuve de la proposition
\ref{inqi}. 

Dans la section \ref{gen}, on montre que la cohomologie $L^p$ d'une vari\'et\'e riemannienne \`a g\'eom\'etrie born\'ee peut se calculer indiff\'eremment au moyen de formes diff\'erentielles, d'une
triangulation, d'un recouvrement ouvert, ou de cocha\^{\i}nes
d'Alexander-Spanier de petite taille. Il s'agit de contr\^oler des
normes $L^p$ dans le th\'eor\`eme de de Rham. Comme corollaire imm\'ediat, on 
obtient le fait que les applications uniform\'ement continues agissent sur
la cohomologie $L^{p}$, et, par cons\'equent, l'invariance homotopique de la
cohomologie $L^{p}$ des rev\^etements, \cite{Dodziuk1}, \cite{Dodziuk2},
\cite{GKS} ainsi que des invariants de Novikov-Shubin \cite{NovikovShubin},
prouv\'ee dans \cite{Efremov}, \cite{GromovShubin}.

\ali

Le point essentiel dans le th\'eor\`eme \ref{th}~est le fait que
l'espace de cohomologie \`a la Alexander-Spanier $L^{p}H_{t}^{k}(M)$
est ind\'ependant de $t$. Il s'agit d'\'etendre une petite cocha\^{\i}ne aux
grands simplexes. Nous proposons deux proc\'ed\'es. Le premier, qui
s'applique aux vari\'et\'es d'Hadamard (i.e., simplement connexes \`a 
courbure n\'egative ou nulle) consiste \`a
subdiviser les simplexes. En effet, dans une vari\'et\'e d'Hadamard,
le diam\`etre diminue lors d'une subdivision. C'est l'objet de la section
\ref{AS}. On trouve des consid\'erations voisines dans \cite{Hausmann},
\cite{Roe}.

\ali

Sous les hypoth\`eses plus g\'en\'erales du th\'eor\`eme \ref{th},
on doit utiliser un autre proc\'ed\'e. Il s'agit de montrer que 
le complexe simplicial $X_{t}$ a m\^eme cohomologie que $M$. 
Une approximation de $X_{t}$ est obtenue en consid\'erant le nerf $N_{T}$ du
recouvrements de
$M$ par les boules de rayon $T>t$ centr\'ees sur les points d'un
$\epsilon$-r\'eseau de $M$. Si $N_{T}$ \'etait acyclique, on aurait
imm\'ediatement $H^{*}(M)=H^{*}(N_{T})$. L'hypoth\`ese du th\'eor\`eme
\ref{th}~ donne seulement que $N_{T}$ est acyclique dans $N_{T'}$
pour un $T'$ ne d\'ependant que de $T$. N\'eanmoins, cela suffit \`a
conclure dans la section \ref{finpreuve}.

\ali
Enfin, on a rassembl\'e quelques exemples dans la section \ref{ex}.

\section{Quasiisom\'etries}
\label{qi}
Dans cette section, $p$ est un r\'eel fini, $p\geq 1$.
Soit $f:M\to N$ une \qi e. On a envie de d\'efinir son action sur les
cocha\^{\i}nes $\kappa$ par $f^{*}\kappa(\Delta)=\kappa(f\Delta)$. Il vient
$$
\p f^{*}\kappa \p_{p}^{p}=\int
\vert\kappa(\Delta_{N})\vert^{p}\,f_{*}(d\Delta_{M})(\Delta_{N}).
$$
On ne sait pas comparer directement les mesures $f_{*}d\Delta_{M}$ et 
$d\Delta_{N}$, mais on le pourra apr\`es avoir {\sl \'etal\'e}
les simplexes. 

\subsection{Etalement des simplexes}
\label{etal}

Un {\sl noyau} est une fonction positive $\phi$ sur $M\times M$ telle que

\begin{enumerate}
\item  $\phi$ est born\'ee~;

\item pour tout $x\in M$, 
$$
\int_{M} \phi(x,y)\,dy=1~;
$$

\item $\phi$ est nulle en dehors d'un voisinage born\'e de 
la diagonale.
\end{enumerate}

Si le volume des boules de rayon $r$ est born\'e inf\'erieurement sur $M$, 
on construit ais\'ement un noyau~: $\phi(x,y)=(vol\,B(x,R))^{-1}$ si 
$d(x,y)<r$, $0$ sinon.
\ali
Etant donn\'e un noyau $\phi$ sur $M\times M$, on construit un noyau 
$\phi(\Delta,\Delta')$ sur les simplexes en posant
$$
\phi(x_{0},\ldots,x_{k};x'_{0},\ldots,x'_{k})=
\prod_{i=0}^{k}\phi(x_{i},x'_{i}).
$$
Etant donn\'e un simplexe $\Delta$, son {\sl \'etalement} est la cha\^{\i}ne
r\'eelle
$$
\Delta*\phi=\int \Delta' \phi(\Delta,\Delta')\,d\Delta'.
$$

\begin{lemme}
\label{eq}
L'\'etalement est une \'equivalence de complexes~: on a
$$
\partial(\Delta*\phi)=(\partial\Delta)*\phi,
$$
et il existe un op\'erateur $B$ sur les cha\^{\i}nes tel que
$$
\Delta*\phi - \Delta=\partial(B \Delta)+B(\partial \Delta).
$$
\end{lemme}

On v\'erifie ais\'ement que, pour tout $j$,
$$
\partial_{j}(\Delta*\phi)=(\partial_{j}\Delta)*\phi.
$$
On construit le {\sl prisme} $b(\Delta,\Delta')$ de bases $\Delta$ et 
$\Delta'$. Il s'agit de trianguler le produit d'un simplexe et d'un
intervalle, cela donne
$$
b(x_{0},\ldots,x_{k};x'_{0},\ldots,x'_{k})=
\sum_{i=0}^{k} (-1)^{i}(x_{0},\ldots,x_{i-1},x_{i},x'_{i},x'_{i+1},\ldots,x'_{k})
$$
et on a
$$
\partial b(\Delta,\Delta')=\Delta'-\Delta-\sum_{j=0}^{k} 
(-1)^{j}b(\partial_{j}\Delta,\partial_{j}\Delta').
$$
On pose
$$
B(\Delta)=\int b(\Delta,\Delta')\phi(\Delta,\Delta')\,d\Delta'.
$$
Comme
\begin{eqnarray*}
\int b(\partial_{j}\Delta,\partial_{j}\Delta')\phi(\Delta,\Delta')\,d\Delta'
&=&
\int
b(\partial_{j}\Delta,\Delta_{k-1})\phi(\partial_{j}\Delta,\Delta^{k-1})\phi(x_{j},x'_{j})\,d\Delta^{k-1}\,dx'_{j}\\
&=&
B(\partial_{j}\Delta),
\end{eqnarray*}
on a bien, en prolongeant $B$ lin\'eairement aux cha\^{\i}nes,
$$
\Delta*\phi-\Delta=(\partial B+B\partial)\Delta.\qed
$$
\ali
Nous arrivons \`a la preuve de la proposition 
\ref{inqi}.

\begin{prop}
\label{preuveqi}
Soit $f,g$ une \qi e de $M$ sur $N$. On suppose que le volume des boules est
born\'e inf\'erieurement et sup\'erieurement dans $M$ et $N$. Fixons $t>0$
et des noyaux $\phi$ et $\phi'$ sur $M$ et $N$. 
Il existe des r\'eels $T$ et $T'$ tels que les applications
\begin{eqnarray*}
f^{*}:L^{p}AS_{T'}^{k}(N)\to L^{p}AS_{T}^{k}(M),&& g^{*}:L^{p}AS_{T}^{k}(M)\to L^{p}AS_{t}^{k}(N)\\
f^{*}\kappa(\Delta)=\kappa((f\Delta)*\phi),&& g^{*}\kappa(\Delta)=\kappa((g\Delta)*\phi')
\end{eqnarray*}
induisent des op\'erateurs born\'es en cohomologie. Alors l'op\'erateur
$$
g^{*}f^{*}:L^{p}H_{T'}^{k}(M)\to L^{p}H_{t}^{k}(M)
$$
coincide avec la restriction.
\end{prop}

Si $T=\sup\{ diam\,f(\Delta_{M})\mid diam\,\Delta_{M}<t\}$, $f^{*}$ envoie
les cocha\^{\i}nes de taille $T$ sur des cocha\^{\i}nes de taille $t$. 
On calcule
$$
\vert f^{*}\kappa(\Delta_{M})\vert^{p}
\leq \int \vert
\kappa(\Delta_{N})\vert^{p}\phi(f\Delta_{M},\Delta_{N})\,d\Delta_{N}
$$
puis
$$
\p f^{*}\kappa\p_{p}^{p}
=\int \vert \kappa(\Delta)\vert^{p}\psi(\Delta)\,d\Delta
$$
o\`u 
$$
\psi(\Delta_{N})=\int_{\{diam\,\Delta_{M}<t\}}
\phi(f\Delta_{M},\Delta_{N})\,d\Delta_{M}.
$$
On v\'erifie que $\psi$ est born\'ee et s'annule pour des
simplexes trop grands, et on conclut que $f^{*}$ est born\'e.

On calcule ensuite $g^{*}f^{*}$~: pour un simplexe $\Delta$ dans $M$,
\begin{eqnarray*}
g((f\Delta)*\phi)*\phi'
&=&
\int
\Delta_{M}\,\phi(f\Delta,\Delta_{N})\phi'(g\Delta_{N},\Delta_{M})\,d\Delta_{N}\,d\Delta_{M}\\
&=&\Delta*\phi''
\end{eqnarray*}
o\`u
$$
\phi''(\Delta,\Delta')=\int
\phi(f\Delta,\Delta_{N})\phi'(g\Delta_{N},\Delta'')\,d\Delta_{N}.
$$
On voit que la fonction $\phi''$ sur les simplexes est issue d'un noyau.
On a donc
$$
1-g^{*}f^{*}=dA+Ad
$$
o\`u $1$ d\'esigne en fait la restriction des grandes cocha\^{\i}nes aux
petits simplexes, et $A\kappa(\Delta)=\kappa(B_{\phi''}\Delta)$.
On v\'erifie ais\'ement que $A$ est born\'e, ce qui ach\`eve la preuve. 
\qed
\subsection{Remarque}
Combin\'ee avec la proposition \ref{grand}, ce r\'esultat
montre que, dans certaines condition, le complexe $L^{p}$ en tant que
complexe d'espaces de Banach (et pas seulement de Fr\'echet) est un invariant
de \qi e.


\section{G\'en\'eralit\'es}
\label{gen}
Dans cette section, on reproduit en introduisant des normes $L^p$ quelques
principes de th\'eorie des faisceaux (voir par exemple \cite{Godement}).
Un point \`a ne pas n\'egliger est le fait est qu'un complexe d'espaces de
Banach, a \'equivalence d'ho\-mo\-to\-pie pr\`es, contient plus d'information que
sa seule cohomologie.

 \subsection{Complexes et bicomplexes d'espaces de
Banach} 

Soient $$
0\mapright{d}E^{-1}\mapright{d}E^{0}\mapright{d}E^{1}
\mapright{d}\cdots\quad\hbox{et}\quad
0\mapright{d'}F^{-1}\mapright{d'}F^{0}\mapright{d'}F^{1} \mapright{d'}\cdots
$$
deux complexes d'espaces de Banach. On dit que $E^{*}$ et $F^{*}$ sont {\sl
homotopes jusqu'en degr\'e $k$} s'il existe pour tout $j\leq k$ des
op\'erateurs born\'es $f_{j}:E^{j}\to F^{j}$, $g_{j}:F^{j}\to E^{j}$,
$h_{j}:E^{j}\to E^{j-1}$ et $h'_{j}:F^{j}\to F^{j-1}$ tels que, 
pour $j<k$,
$$
d'f_{j}=f_{j+1}d,\quad dg_{j}=g_{j+1}d'~;
$$
$$
1-g_{j}\circ f_{j}=dh_{j}+h_{j+1}d,\quad 1-f_{j}\circ
g_{j}=d'h'_{j}+h'_{j+1}d'~;
$$ 
et, pour $j=k$,
$$
1-g_{k}\circ f_{k}=dh_{k}\quad\hbox{sur}\quad {\rm ker}\,d,\quad 1-f_{k}\circ
g_{k}=d'h'_{k}\quad\hbox{sur}\quad {\rm ker}\,d'.
$$

\ali

On dit que le complexe $E^{*}$ est {\sl compl\'ement\'e} jusqu'en
degr\'e $k$ s'il est homotope jusqu'en degr\'e $k$ \`a un complexe dont la
diff\'erentielle est nulle. Autrement dit, s'il existe des op\'erateurs born\'es
$r_{j}:E^{j}\to E^{j}$, $h_{j}:E^{j}\to E^{j-1}$ pour $j\leq k-1$ et
$r_{k}:E^{k}\cap {\rm ker}\,d\to E^{k}$, $h_{k}:E^{k}\cap {\rm ker}\,d\to
E^{k-1}$ tels que $rd=dr=0$, $1-r=hd+dh$ sur $E^{j}$, $j\leq k-1$ et $1-r=dh$
sur $E^{k}\cap {\rm ker}\,d$. Cela revient \`a dire que ${\rm im}\,d$ est un
facteur direct dans ${\rm ker}\,d$. En particulier, si $E^{*}$ est un espace de
Hilbert, cela signifie simplement que l'image $d(E^{*\leq k})$ est ferm\'ee.

\ali
Enfin, on dit que le complexe $E^{*}$ est {\sl acyclique} jusqu'en degr\'e $k$
s'il est compl\'ement\'e avec $r=0$.


\begin{lemme}
\label{god}
Soit $(C^{k,\ell},d',d'')$, $k\geq 0$, $\ell\geq 0$, un bicomplexe d'espaces de
Banach, i.e., le degr\'e de $C^{k,\ell}$ est $k+\ell$ et $d'\circ d'=d''\circ
d''=(d'+d'')\circ(d'+d'')=0$. On suppose les complexes $(C^{*,\ell},d')$
acycliques jusqu'en degr\'e $k$, i.e., il existe, pour $j\leq k$ et tout
$\ell\geq 0$ un op\'erateur born\'e $h':C^{j,\ell}\to C^{j-1,\ell}$ tel que
$1=d'h'+h'd'$ (resp. $1=d'h'$ sur $C^{k,\ell}\cap{\rm ker}\,d'$). Alors
l'inclusion $(C^{0,*}\cap{\rm ker}\,d',d'')\to (C^{*,*},d'+d'')$ induit une
\'equivalence d'homotopie jusqu'en degr\'e $k$.
\end{lemme} 

La preuve est \'el\'ementaire. On se ram\`ene \`a un complexe acyclique en tous
degr\'es en rempla\c cant $C^{i,j}$ par $C^{i,j}\cap{\rm
ker}\,d'$ lorsque $i+j=k$, et par $0$ lorsque $i+j>k$.

Puis on v\'erifie que 

$$ 
(d'+d'')h'+h'(d'+d'')=1-b\quad\hbox{o\`u}\quad b=-d''h'-h'd''.
$$

L'op\'erateur born\'e $b$ induit donc une \'equivalence d'homotopie du complexe
$(C^{*\leq k,*},d'+d'')$ sur le sous-complexe $(C^{*\leq k-1,*},d'+d'')$. En
it\'erant $k+1$ fois, on obtient une \'equivalence d'homotopie de 
$(C^{*\leq k,*},d'+d'')$ sur $(C^{-1,*\leq k}\cap{\rm ker}\,d',d'')$. \qed


\ali

Ce lemme va servir \`a comparer deux mani\`eres de calculer la cohomologie
d'un faisceau~: au moyen d'une r\'esolution, ou au moyen d'un recouvrement
acyclique. Cela n\'ecessite quelques d\'efinitions. Les espaces m\'etriques
consid\'er\'es sont des vari\'et\'es riemanniennes (non n\'e\-ces\-sai\-rement
compl\`etes) ou des complexes simpliciaux localement finis (un complexe
simplicial est toujours muni de la m\'etrique de longueur pour laquelle chaque
simplexe est isom\'etrique au simplexe euclidien standard).


\subsection{Faisceaux d'espaces de Banach}
\label{Banach}

On entend par l\`a la donn\'ee d'un faisceau $\F$ et, pour chaque ouvert $U$
d'une norme $\vert \cdot \vert_{U}$ sur l'espace, not\'e $\Gamma(U,F)$, 
des sections de $\F$ sur $U$. On fait les hypoth\`eses suivantes~:

\begin{itemize}
\item  si $U\subset V$ et $f\in \Gamma(V,\F)$, alors
$$
\vert f_{\mid U} \vert_{U} \leq \vert f \vert_{V}~;
$$

\item si $f\in \Gamma(U\cup V,\F)$, alors
$$
\vert f \vert_{U\cup V}
\leq 
const.\,(\vert f_{\mid U} \vert_{U} + \vert f_{\mid V}\vert_{V}).
$$
\end{itemize}

\subsection{Recouvrements uniformes}
\label{recou}

On dit que le recouvrement $\U$ de $M$ 
est {\sl uniforme} si

\begin{enumerate}
\item pour un $\epsilon>0$, les ouverts
$$
{\tilde U}_{\alpha}^{\epsilon} =\{x\in U_{\alpha}~\mid~d(x,M\setminus 
U_{\alpha})>\epsilon\}
$$
recouvrent encore $M$~;

\item chaque ouvert $U_{\alpha}$
ne rencontre qu'un nombre born\'e d'ouverts 
$U_{\alpha'}$~;

\item le diam\`etre des $U_{\alpha}$ est born\'e.
\end{enumerate}

On dit qu'un complexe simplicial $X$ est ``\`a g\'eom\'etrie
born\'ee'' si chaque simplexe ne rencontre qu'un nombre born\'e d'autres
simplexes. Le recouvrement $U_{\alpha}=st(\alpha), \alpha\in X^{0}$ form\'e
des \'etoiles des sommets est uniforme.

On dit qu'une vari\'et\'e riemannienne est ``\`a g\'eom\'etrie born\'ee'' si
elle est compl\`ete et si sa courbure sectionnelle et son rayon d'injectivit\'e
sont born\'es. Dans ce cas il existe des recouvrements uniformes par des boules
de m\^eme rayon.

\subsection{Norme $L^{p}$}
\label{nlp}
Pour chaque recouvrement uniforme $\U$ de $M$, on d\'efinit une norme $L^{p}$
pour les sections globales de $\F$. Si $p<\infty$,
$$
\p f \p_{p,\U}=\left( \sum_{\alpha\in I} \vert f_{\mid U_{\alpha}} 
\vert_{U_{\alpha}}^{p}\right)^{1/p}.
$$
Si $p=\infty$,
$$
\p f \p_{\infty,\U}= \sup_{\alpha\in I} \vert f_{\mid U_{\alpha}} 
\vert_{U_{\alpha}}.
$$
On v\'erifie ais\'ement que, si $M$ est une vari\'et\'e riemannienne \`a
g\'eom\'etrie born\'ee, deux recouvrements uniformes donnent des normes
\'equivalentes, si bien qu'on ne fera plus appara\^{\i}tre le recouvrement dans
la notation. On note $L^{p}\Gamma(M,\F)$ l'espace des sections globales $L^{p}$
de $\F$ muni de la norme $L^{p}$.

Soit
$$
0\mapright{d}\fr^{-1}\mapright{d}\fr^{0}\mapright{d}\fr^{1}
\mapright{d}\cdots
$$
un complexe de faisceaux d'espaces de Banach sur 
$M$, i.e., $d$ est born\'e et $d\circ d=0$. Sa cohomologie est not\'ee
$$
L^{p}H^{k}(M,\fr^{*})=(Ker\,d)\cap
L^{p}\Gamma(M,\fr^{k})/d\,L^{p}\Gamma(M,\fr^{k-1}). 
$$ 


\subsection{Cohomologie de \v Cech}
\label{Cech}
Soit $\U= (U_{\alpha})_{\alpha\in I}$ un recouvrement ouvert de $M$. 
Pour $k\geq -1$, on note $I^{k}$ l'ensemble des $k+1$-uplets d'indices
$\beta=(\alpha_{0},\ldots,\alpha_{k})$ tels que l'intersection
$U_{\beta}=U_{\alpha_{0}}\cap\cdots\cap U_{\alpha_{k}}$ soit non vide. 
Ainsi, l'ensemble $I$ devient un complexe simplicial 
(le {\sl nerf} du recouvrement $\U$).
\ali
Si $\cal F$ est un faisceau d'espaces de Banach sur $M$, une 
$k$-cocha\^{\i}ne de \v Cech \`a valeurs dans $\cal F$ est une fonction
antisym\'etrique $c_{\beta}$ o\`u, pour 
$\beta=(\alpha_{0},\ldots,\alpha_{k})\in I^{k}$,
$$
c_{\beta}\in {\cal F}(U_{\beta})={\cal F}(U_{\alpha_{0}}\cap\cdots\cap
U_{\alpha_{k}}).
$$
On note $L^{p}{\check C}^{k}(\U,{\cal F})$ l'espace des $k$-cocha\^{\i}nes de \v
Cech \`a valeurs dans $\cal F$, muni de la norme $L^{p}$ suivante~:
$$
\p c \p_{p}^{p}=\sum_{\beta\in I^{k}} \vert c_{\beta}\vert_{U_{\beta}}^{p},
$$
si $p<\infty$, et 
$$
\p c \p_{\infty}=\sup_{\beta\in I^{k}} \vert c_{\beta}\vert_{U_{\beta}},
$$
si $p=\infty$.

Le cobord
$$
(\delta c)_{\beta}=c_{\partial \beta}
$$
est un op\'erateur born\'e de $L^{p}{\check C}^{k}(\U,{\cal F})$ dans
$L^{p}{\check C}^{k+1}(\U,{\cal F})$. 

On compl\`ete le complexe $\delta$ en
cr\'eant un
$$
L^{p}{\check C}^{-1}(\U,{\cal F})=L^{p}\Gamma(M,\F),
$$
et, pour une section globale $f$ de $\cal F$, $\delta f$ est la
$0$-cocha\^{\i}ne 
$$
(\delta f)_{\alpha}= f_{\vert U_{\alpha}}.
$$
Si le recouvrement $\U$ est uniforme, $\delta$ est un op\'erateur born\'e.
\ali
La cohomologie de \v Cech (r\'eduite) du recouvrement $\U$, \`a valeurs dans
$\F$, not\'ee $L^{p}{\check H}^{*}(\U,\F)$, est la cohomologie du complexe
$$
0\to L^{p}{\check C}^{-1}(\U,{\cal F})\mapright{\delta}L^{p}{\check
C}^{0}(\U,{\cal F})\mapright{\delta}\cdots
$$
Lorsqu'on oublie la contrainte de norme $L^{p}$ finie, on retrouve le
complexe de \v Cech ordinaire~; on a donc une application
$$
L^{p}{\check H}^{*}(\U,\F)\to {\check H}^{*}(\U,\F).
$$
On appelle {\sl cohomologie exacte} de $\U$ \`a valeurs dans $\F$, et on note
$EL^{p}{\check H}^{*}(\U,\F)$, le noyau de cette application.

\subsection{Cohomologie simpliciale}
\label{simpl}
Soit $M$ un complexe simplicial \`a g\'e\-o\-m\'e\-trie bor\-n\'ee. Une
cocha\^{\i}ne simpliciale r\'eelle de degr\'e $k$ est une fonction
%antisym\'etrique 
$\sigma$ sur les
$k$-simplexes orient\'es $\Delta$ de $M$. La norme $L^{p}$
$$
\p \sigma \p_{p}^{p}=\sum_{\Delta} \vert \sigma(\Delta)\vert^{p}.
$$
donne lieu \`a une cohomologie $L^{p}$ not\'ee $L^{p}H_{simpl}^{*}(M)$.

On voit que le complexe des cocha\^{\i}nes simpliciales r\'eelles sur $M$
n'est rien d'autre que le complexe de \v Cech associ\'e au recouvrement
canonique par les \'etoiles des sommets, et au faisceau 
constant $\R$. Inversement, la cohomologie de \v Cech d'un recouvrement $\U$ est
la cohomologie simpliciale du nerf de $\U$.

\subsection{Finesse}
\label{fin}
Un faisceau sur une vari\'et\'e est {\sl fin} si on peut multiplier 
ses sections par des fonctions de classe $C^{\infty}$.
La cohomologie de \v Cech d'un faisceau fin est automatiquement nulle. 
En effet, soit $\U$ un recouvrement et $\chi_{\alpha}$ une partition de
l'unit\'e subordonn\'ee \`a $\U$~; la formule
$$
(\eta c)_{\beta}=\sum_{\alpha\in I} \chi_{\alpha}c_{\beta \alpha}
$$
d\'efinit une homotopie
$$
\eta:\chc^{k}(\U,\F)\to \chc^{k-1}(\U,\F).
$$
Pour que l'op\'erateur $\eta$ soit born\'e, il faut faire l'hypoth\`ese que
l'action des fonctions $C^{\infty}$ soit continue (c'est une condition sur 
le faisceau $\F$) et que les normes 
$C^{\infty}$ des fonctions $\chi_{\alpha}$ soient uniform\'ement born\'ees
(c'est une condition sur le recouvrement $\U$).
Si le recouvrement $\U$ est uniforme, une partition de l'unit\'e 
born\'ee existe, et on conclut que la cohomologie 
de \v Cech $L^{p}$ d'un faisceau fin est nulle.

\def\fr{{\cal R}}

\subsection{D\'efinition}{}{
\label{retra}

Etant donn\'e un complexe de faisceaux $\fr^{*}$ sur $M$, on dit que le 
recouvrement $\U$ est {\sl uniform\'ement acyclique} (resp. {\sl uniform\'ement
compl\'ement\'e}) en degr\'es $\leq k$ si, d'une part, il est uniforme au sens du
paragraphe  \ref{recou}, 
d'autre part, si sur chaque intersection $U_{\beta}$, le complexe
$L^{p}\Gamma(U_{\beta},\fr^{*})$ est acyclique (resp. compl\'ement\'e) en
degr\'es $\leq k$ avec des normes $\p r_{\beta,j}\p_{p}$, $\p h_{\beta,j}\p_{p}$ 
born\'ees uniform\'ement.




\begin{prop} 
\label{diag}
Soit $M$ une vari\'et\'e riemannienne (resp. un complexe simplicial \`a
g\'eom\'etrie born\'ee), $d:\fr^{*}\to \fr^{*}$ un complexe de  faisceaux
d'espaces de Banach tel que $\fr^{k}$ est fin pour $k\geq 0$. Soit $\U$ un
recouvrement de $M$. 

\begin{enumerate}
\item On suppose que $\U$ est uniform\'ement
acyclique pour le  complexe $\fr^{*}$ en degr\'es $\leq k$.
Alors il existe une \'equivalence d'homotopie d\'efinie en degr\'es $\leq k$ du
complexe de \v Cech $\cufr{*}{-1}$ vers le complexe
$\cufr{-1}{*}=L^{p}\Gamma(M,\fr^{*})$ des sections globales de $\fr{*}$.

\item On suppose de plus le recouvrement $\U$ compl\'ement\'e pour le 
complexe $\fr^{*}$ en degr\'es $\leq k+1$.
 \end{enumerate}

Alors la cohomologie
exacte $EL^{p}{\check H}^{k+1}(\U,\fr^{-1})$ est isomorphe \`a 
$EL^{p}H^{k+1}(M,\fr^{*})$.
\end{prop}

Les hypoth\`eses sont r\'esum\'ees dans le diagramme
$$
\begin{array}{ccccccccc}
&&0&&0&&0&&\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\
0&\rightarrow&\cufr{-1}{-1}&\mapright{\delta}&\cufr{0}{-1}&\mapright{\delta}&\cufr{1}{-1}&\mapright{\delta}&\ldots\\
&&\mapdown{d}&&\mapdu{h}{d}&&\mapdu{h}{d}&&\\
0&\rightarrow&\cufr{-1}{0}&\maprl{\eta}{\delta}&\cufr{0}{0}&\maprl{\eta}{\delta}&\cufr{1}{0}&\maprl{\eta}{\delta}&\ldots\\
&&\mapdown{d}&&\mapdu{h}{d}&&\mapdu{h}{d}&&\\
0&\rightarrow&\cufr{-1}{1}&\maprl{\eta}{\delta}&\cufr{0}{1}&\maprl{\eta}{\delta}&\cufr{1}{1}&\maprl{\eta}{\delta}&\ldots\\
&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&
\end{array}
$$
o\`u l'on a les relations
$$
\delta d=d\delta,\quad 1=dh+hd,\quad 1=\eta\delta+\delta\eta.
$$
sur $\cufr{i}{j}$ pour $i\geq 0$ et $j\geq 0$, ainsi que $1=\eta\delta$
pour $i=-1$, $j\geq 0$ et $1=h\delta$ pour $j=-1$, $i\geq 0$.

D\'efinissons le bicomplexe $C^{i,j}=\cufr{i}{j}$ si $i\geq 1$ et $j\geq 1$,
$C^{0,j}=\cufr{0}{j}\cap{\rm ker}\,\delta$ et 
$C^{i,0}=\cufr{i}{0}\cap{\rm ker}\,d$. On applique deux fois le 
lemme \ref{god}, d'abord avec $d'=d$,
$d''=(-1)^{k+\ell}\delta$, ensuite en \'echangeant les r\^oles de $d$ et
$\delta$. On obtient l'\'equivalence d'homotopie annonc\'ee.

Sous l'hypoth\`ese (ii), on \'elargit l'espace
$C^{i,j}$ simplement en oubliant la condition $L^p$ si $(i,j)\not=(0,k+1)$ ou
$(k+1,0)$, et en plus en se restreignant aux \'elements exacts si $(i,j)=(0,k+1)$
ou $(k+1,0)$. Le m\'ecanisme du lemme \ref{god}~fonctionne en
degr\'e $k+1$. En effet, une seule des relations ci-dessus a chang\'e~: sur
$\cufr{0}{k+1}\cap{\rm ker}\,d$, on a maintenant $1-r=dh$ mais $rd=0$, $r$ est
nul sur les \'el\'ements exacts donc sur $C^{0,k+1}$ on a $1=dh$. \qed


% (i) On v\'erifie
%que, pour $j\leq k$, $$
%\phi_{j}=(h\delta)^{j+1}:\cufr{-1}{j}\to \cufr{j}{-1}
%$$
%et
%$$
%\psi_{j}=(\eta d)^{j+1}:\cufr{j}{-1}\to \cufr{-1}{j}
%$$
%satisfont
%$$
%\phi_{j+1}\circ d=(-1)^{j}\delta\circ\phi_{j}
%$$
%et
%$$
%\psi_{j+1}\circ \delta=(-1)^{j}d\circ\psi_{j}~;
%$$
%ils envoient les cocycles dans les cocycles et les cobords dans les cobords,
%donc induisent un morphisme 
%$$
%L^{p}H^{j}(M,\fr^{*})\to\chh^{j}(\U,\fr^{-1})
%$$
%(resp. $\chh^{j}(\U,\fr^{-1})\to L^{p}H^{j}(M,\fr^{*})$).
%Ces morphismes sont clairement born\'es. 
%
%Montrons qu'ils sont inverses l'un de l'autre.
%Posons, pour $\ell\leq j$,
%$$
%\eqalign{
%S_{j,\ell}&=\eta(d\eta)^{\ell-1}(h\delta)^{\ell}:\cufr{-1}{j}\to\cufr{-1}{j-1},\cr
%E_{j,\ell}&=(\eta
%d)^{\ell+1}(h\delta)^{\ell+1}:\cufr{-1}{j}\to\cufr{-1}{j},\cr
%F_{j,\ell}&=(\eta
%d)^{\ell}\eta\delta(h\delta)^{\ell}:\cufr{-1}{j}\to\cufr{-1}{j},\cr}
%$$
%de sorte que
%$$
%E_{j,j}=\psi_{j}\circ\phi_{j}.
%$$
%
%On a, pour $\ell\leq j$,
%$$
%S_{j+1,\ell+1}\circ d=(-1)^{\ell+1}(E_{j,\ell}-F_{j,\ell}),
%$$
%$$
%d\circ S_{j,\ell}=(-1)^{\ell}(F_{j,\ell}-E_{j,\ell-1}),
%$$
%d'o\`u, si l'on pose
%$$
%P_{j}=\sum_{\ell=1}^{j} (-1)^{\ell+1}S_{j,\ell},
%$$
%$$
%dP_{j}-P_{j+1}d
%=F_{j,0}-E_{j,j}
%=1-\psi_{j}\circ\phi_{j}.
%$$
%Par sym\'etrie, $\phi_{j}\circ\psi_{j}$ est aussi homotope \`a zero.
%(ii) En ce qui concerne la cohomologie exacte, on gagne un cran. En effet,
%en g\'en\'eral,
%$$
%\phi_{k+2}\circ d\not=(-1)^{k+1}\delta\circ\phi_{k+1}
%$$
%si bien qu'il n'est pas clair que $\phi_{k+1}$ envoie les cocycles dans les
%cocycles, mais cela reste \'evidemment vrai pour les cobords, donc on a
%un morphisme induit $EL^{p}H^{k+1}(M,\fr^{*})\to E\chh^{k+1}(\U,\fr^{-1})$. 

%Ensuite on observe que
%$$
%E_{k+1,k+1}\circ d=F_{k+1,k+1}\circ d,
%$$
%sur $\cufr{-1}{k}$, donc $\psi_{k+1}\circ \phi_{k+1}$ co\"{\i}ncide avec
%$F_{k+1,k+1}$ sur les cocycles exacts.

%Enfin, on a toujours
%$$
%d\circ S_{k+1,k+1}=(-1)^{k+1}(F_{k+1,k+1}-E_{k+1,k})
%$$
%donc
%$$
%1-F_{k+1,k+1}=dP_{k}+P_{k+1,\ell}.
%$$

%(iii) Si $R:\cufr{j}{-1}\to\cufr{j}{-1}$
%et $H:\cufr{j}{-1}\to\cufr{j-1}{-1}$, $j\leq k$, d\'efinissent une
%r\'etraction born\'ee du complexe de \v Cech, la r\'etraction induite sur
%les sections globales du complexe $\fr^{*}$ est donn\'ee par la formule
%$$
%h_{j}=P_{j}+(-1)^{j}(\eta d)^{j}\circ H\circ (h\delta)^{j+1}
%$$
%et
%$$
%r_{j}=(\eta d)^{j+1}\circ R\circ (h\delta)^{j+1}.\qed
%$$

\subsection{R\'esolutions}
\label{resol}
Une r\'esolution d'un faisceau d'espaces de Banach $\F$ est un complexe
$$
0\to\fr^{-1}=\F\mapright{d}\fr^{0}\mapright{d}\fr^{1}\mapright{d}\dots
$$
qui est ``uniform\'ement exact'' au sens suivant~: il existe des 
$\epsilon>\epsilon'>0$ tels que,
pour tout ouvert $U$ qui est l'intersection d'un nombre fini de boules
de rayon inf\'erieur \`a $\epsilon$, et contient une boule de rayon
$\epsilon'$, le complexe $L^{p}\Gamma(U,\fr^{*})$ est acyclique avec une norme
$\p h_{U}\p_{p}$ ind\'ependante de $U$.

Par construction, un recouvrement uniforme par des boules assez petites
est uniform\'ement acyclique pour toute r\'esolution. On en d\'eduit que la
cohomologie $L^{p}$ d'un faisceau d'espaces de Banach ne d\'epend pas du
choix de r\'esolution fine. 

Pour montrer que la cohomologie $L^{p}$ ne d\'epend pas du choix de
recouvrement uniforme, il reste \`a exhiber au moins une r\'esolution fine.
Dans les deux procha\^{\i}nes sections, on v\'erifiera que les formes
diff\'erentielles d'une part, et les cocha\^{\i}nes d'Alexander-Spanier de
taille assez petite d'autre part, constituent une r\'esolution fine du faisceau
constant $\R$.

\begin{cor}
\label{indif}
La cohomologie $L^{p}$ \`a coefficients constants $\R$ peut \^etre calcul\'ee
indiff\'eremment au moyen d'un recouvrement uniforme, d'une triangulation
ou d'une r\'esolution (formes diff\'erentielles ou cocha\^{\i}nes 
d'Alexander-Spanier de taille assez petite).
\end{cor}



%\begin{Corollaire}{}{
%\label{retr}
%Soit $M$ une vari\'et\'e riemannienne \`a g\'eom\'etrie born\'ee, $U$ un
%ouvert de $M$, $\F$ un faisceau d'espaces de Banach sur $M$, $\fr^{*}$ une
%r\'esolution de $\F$. Quitte \`a remplacer $U$ par un $\epsilon$-voisinage, il
%existe une r\'etraction du complexe $\Gamma(U,\fr^{*})$ qui est born\'ee
%uniquement en fonction du diam\`etre de $U$.}
%En effet, il existe un recouvrement d'un ouvert voisin de $U$ par des boules
%de rayon $\epsilon$ dont le nerf est born\'e par le diam\`etre de $U$.
%Le complexe de \v Cech $\cufr{*}{\F}$ est de dimension finie en chaque
%degr\'e, donc admet une r\'etraction born\'ee par la complexit\'e du nerf.
%\qed

\section{Formes diff\'erentielles}
\label{forme}
Dans cette section, on v\'erifie que les formes diff\'erentielles constituent
une r\'esolution du faisceau constant. 
\ali
Soit $M$ une vari\'et\'e riemannienne 
(non n\'e\-ces\-sai\-rement com\-pl\`e\-te).
On note $L^{p}\Omega^{k}(U)$ l'espace de Banach des formes
dif\-f\'e\-ren\-tiel\-les de degr\'e $k$, muni de la norme
$$
\p \omega \p_{p}^{p}=\int_{U} \vert \omega \vert^{p}\,dx
+\int_{U} \vert d\omega \vert^{p}\,dx.
$$
(resp. $\sup_{x\in U} \vert \omega(x)\vert+\vert d\omega(x)\vert$ si $p=\infty$.
C'est un faisceau d'espaces de Banach.

La diff\'erentielle ext\'erieure est un op\'erateur born\'e
$$
d:L^{p}\Omega^{k}(U)\to L^{p}\Omega^{k+1}(U).
$$

On compl\`ete le complexe $d$ en posant
$L^{p}\Omega^{-1}=\R$, le faisceau des fonctions localement constantes
(muni de la norme $L^{p}$),
et $d:L^{p}\Omega^{-1}\to L^{p}\Omega^{0}$ consiste simplement 
\`a consid\'erer une fonction localement constante comme une fonction
dans $W_{loc}^{1,p}$. On obtient un r\'esolution fine du faisceau
constant $\R$~:
$$
0\to\R=L^{p}\Omega^{-1}\mapright{d}L^{p}\Omega^{0}\mapright{d}L^{p}\Omega^{1}\mapright{d}\cdots.
$$

\begin{lemme}{\em (H. Poincar\'e)}
\label{ellipt}
Soit $p$ un r\'eel, $1\leq p\leq +\infty$. Soit $B^{n}$ la boule unit\'e de 
$\R^{n}$. Le complexe
$L^{p}\Omega^{*}(B^{n})$ est acyclique.
\end{lemme}

On utilise la formule d'homotopie de H. Poincar\'e~: pour chaque point 
$x\in B^{n}$, on a une homotopie lin\'eaire de l'identit\'e \`a la
constante $x$
$$
\phi_{x}(t,y)=ty+(1-t)x
$$
Notons $\tau_{s}$ la translation de $s$ sur $[0,1]\times B^{n}$.
Pour $\omega\in \Omega^{k}(B)$, $k\geq 1$, on pose
$$
\chi_{x}(\omega)=\int_{0}^{1} i_{\partial/\partial
t}\tau_{s}^{*}\phi_{x}^{*}\omega\,ds,
$$
o\`u $i$ d\'esigne la contraction par un champ de vecteurs.
Alors
\begin{eqnarray*}
(d\chi_{x}+\chi_{x}d)(\omega)
&=&
\int_{0}^{1}
(di_{\partial/\partial t}+i_{\partial/\partial t}d)\tau_{s}^{*}\phi_{x}^{*}\omega\,ds\\
&=&
\int_{0}^{1} {\cal L}_{\partial/\partial t}
\tau_{s}^{*}\phi_{x}^{*}\omega\,ds\\
&=&
\omega.
\end{eqnarray*}
On pose enfin
$$
h(\omega)={{1}\over{vol(B^{n})}}\int_{B^{n}} \chi_{x}(\omega)_{\mid \{0\}\times M}\,dx.
$$
Par exemple, lorsque $k=1$, $\chi_{x}\omega(y)$ est l'int\'egrale curviligne
de la $1$-forme $\omega$ sur le segment $[x,y]$.

On calcule
$$
h(\omega)(y)={{1}\over{vol(B^{n})}}\int_{B^{n}}\int_{0}^{1}
i_{y-x}\omega(sx+(1-s)y)\,ds\,dx~;
$$
posant $u(z)=\vert\omega\vert(z)$ pour $z\in B^{n}$, $u(z)=0$ sinon, il
vient, \`a une constante pr\`es,
\begin{eqnarray*}
vol(B^{n})\vert h(\omega)(y)\vert
&\leq& 
\int_{\vert x\vert<1,\quad 0<s<1}\vert y-x \vert u(sx+(1-s)y)\,ds\,dx\\
&\leq& 
\int_{\vert z-y\vert<2} \vert z-y \vert u(z)s^{-n-1}\,ds\,dz\\
&\leq& 
\int_{\vert z-y \vert<2} \vert z-y \vert^{1-n} u(z)\,dz
\end{eqnarray*}
puis, avec l'in\'egalit\'e de H\"older,
$$
vol(B^{n})^{p}\vert h(\omega)(y) \vert^{p}
\leq (2^{n/p}\,n\,vol(\partial B^{n}))^{p-1}~\int_{\vert z-y\vert<2} u^{p}(z)\,dz
$$
et enfin
$$
\p h(\omega) \p_{p} \leq \hbox{const.}\,(n,p)\,\p \omega \p_{p}.
$$
Comme $dh=1-hd$, on conclut que $h$ est born\'e sur $L^{p}\Omega^{k}(B^{n})$
pour $k\geq 1$.

Lorsque $\omega=df$ est la diff\'erentielle d'une fonction, on constate que
$$
hdf=f-{{1}\over{vol(B^{n})}}~\int_{B^{n}} f,
$$
ce qui conduit \`a d\'efinir 
$h:L^{p}\Omega^{0}(B^{n})\to L^{p}\Omega^{-1}(B^{n})$ par
$$
hf={{1}\over{vol(B^{n})}}\int_{B^{n}} f,
$$
qui est clairement born\'e sur $L^{p}$. L'identit\'e $hd=1$ est aussi
satisfaite sur l'espace $L^{p}\Omega^{-1}(B^{n})$. \qed

\begin{cor}
\label{omega}
Le complexe des formes diff\'erentielles $L^{p}\Omega^{*}$ est une
r\'e\-solution du faisceau localement constant $\R$.
\end{cor}

En effet, dans une vari\'et\'e \`a g\'eom\'etrie born\'ee, toute
intersection de boules de rayon $\geq\epsilon$ contenant une boule de rayon
$\geq \epsilon'$ diff\`ere de la boule unit\'e par un diff\'eomorphisme de
d\'eriv\'ee born\'ee, qui transporte l'homotopie construite sur $B^{n}$
en une homotopie born\'ee.

\remarque
Si $M$ est une vari\'et\'e simplement connexe \`a courbure strictement
n\'egative, la formule de Poincar\'e peut \^etre utilis\'ee pour montrer
que la cohomologie $L^p$ est nulle en degr\'e $\geq 2$ pour $p$ assez grand.

\section{Cocha\^{\i}nes ``\`a la Alexander-Spanier''}
\label{AS}
Dans cette section, on v\'erifie que les cocha\^{\i}nes \`a la Alexander-Spanier
constituent une r\'esolution du faisceau constant.
\ali
Soit $M$ un espace m\'etrique muni d'une mesure $dx$. On a d\'e\-fi\-ni en
\ref{defas}~
l'es\-pa\-ce $L^{p}AS_{t}^{k}(M)$ cocha\^{\i}nes de taille $t$ sur $M$, muni de la
norme $L^{p}$. Pour chaque ouvert $U$ de $M$, on a un espace
$L^{p}AS_{t}^{k}(U)$ des $k$-cocha\^{\i}nes
sur $U$, de taille $t$, muni de la norme $L^{p}$. 
Les $L^{p}AS_{t}^{k}$ ne forment pas exactement un faisceau, mais les
raisonnements des paragraphes 
\ref{Cech}~\`a
\ref{diag}~s'\'etendent et on peut suivre le param\`etre $t$.
\ali
De nouveau, on compl\`ete le complexe $d$. Notant
$L^{p}AS_{t}^{-1}=\R$ le faisceau constant (muni de 
la norme $L^{p}$), on a un complexe
$$
0\to L^{p}AS_{t}^{-1}\mapright{d} L^{p}AS_{t}^{0}\mapright{d}\cdots
$$
o\`u $d:L^{p}AS_{t}^{-1}\to L^{p}AS_{t}^{0}$ consiste simplement \`a consid\'erer une
fonction localement constante comme une fonction sur les $0$-simplexes.

\subsection{Finesse}
\label{asfin}
Si $\kappa\in L^{p}AS_{t}^{k}(U)$, $k\geq 0$, et $\chi$ est une fonction 
born\'ee, on peut multiplier $\kappa$ par $\chi$ selon la formule
$$
\chi\kappa(x_{0},\ldots,x_{k})=\left({{1}\over{k+1}} \sum_{i=0}^{k}
\chi(x_{i})\right)\kappa(x_{0},\ldots,x_{k}).
$$
Pour un recouvrement $\U$ $\epsilon$-uniforme, on obtient une homotopie
$$
\eta:\chc^{j}(\U,L^{p}AS_{t}^{k})\to \chc^{j-1}(\U,L^{p}AS_{\min(t,\epsilon)}^{k}).
$$

\begin{lemme}
\label{asresol}
Dans la boule unit\'e $B^{n}$, il existe pour chaque $k\geq 0$ 
une \'equivalence d'homotopie de complexes 
$$
E: L^{p}AS_{t}^{k}(B^{n})\to L^{p}AS_{2}^{k}(B^{n}).
$$
D'autre part, le complexe $L^{p}AS_{2}^{*}(B^{n})$ est acyclique. Par
cons\'equent, le complexe $L^{p}AS_{t}^{*}(B^{n})$, $t>0$ l'est aussi.
\end{lemme}

Sur $L^{p}AS_{2}^{k}(B^{n})$, on construit un op\'erateur $h$ comme suit
$$
(h\kappa)(\Delta)=\kappa(c_{0}\Delta)
$$
o\`u $c_{0}\Delta$, le ``c\^one de sommet $0$ sur $\Delta$'', est le simplexe
dont le premier sommet est l'origine et la premi\`ere face $\Delta$.
Comme
$$
1=\partial c_{0} + c_{0}\partial,
$$
$h$ satisfait $1=hd+dh$.
\ali
L'\'equivalence de complexes
$$
E: L^{p}AS_{t}^{*}(B^{n})\to L^{p}AS_{2}^{*}(B^{n})
$$
est obtenue en subdivisant les simplexes en simplexes plus petits.

Choisissons, pour chaque simplexe $\delta$ de $B^{n}$, un point 
$s(\Delta)\in B^{n}$. On d\'efinit par r\'ecurrence un op\'erateur 
$\sigma=\sigma_{s}$
sur les cha\^{\i}nes comme suit. Sur les $0$-cha\^{\i}nes, $\sigma$ est
l'identit\'e. Ensuite, on pose
$$
\sigma(\Delta)=c_{s(\Delta)}\sigma(\partial\Delta).
$$
Notant ${\tilde b}$ l'op\'erateur sur les cha\^{\i}\-nes don\-n\'e, sur un 
simplexe $\Delta$, par
$$
{\tilde b}(\Delta)=c_{s(\Delta)}(\Delta),
$$
on v\'erifie ais\'ement par r\'ecurrence les relations
$$
\partial\sigma\partial=0
$$
puis
$$
\sigma\partial=\partial\sigma
$$
et
$$
(1-\sigma)(\Delta)=(\partial {\tilde b} + {\tilde b}\partial)(\Delta) -
\partial c_{s(\Delta)}{\tilde b}(\partial\Delta).
$$
On d\'efinit un op\'erateur $b=b_{s}$ sur les cha\^{\i}nes par sa valeur sur
les simplexes~:
$$
b(\Delta)={\tilde b}(\Delta)-c_{s(\Delta)}{\tilde b}(\partial\Delta),
$$
et alors
$$
1-\sigma=\partial b+b\partial.
$$

Pour chaque simplexe $\Delta$ de $B^{n}$, choisissons une mesure de
probabilit\'e $\mu_{\Delta}$ sur $B^{n}$. La mesure produit, sur l'espace
des applications $s:\Delta\mapsto s(\Delta)\in B^{n}$, est not\'ee $ds$.
On pose
$$
\Sigma=\int \sigma_{s}\,ds.
$$
Notant $B=\int b_{s}\,ds$, on a encore
$$
\partial\Sigma=\Sigma\partial
$$
et
$$
1-\Sigma=\partial B + B\partial.
$$
Par dualit\'e, on obtient des op\'erateurs $E={}^{t}\hskip-1.5pt\Sigma$ et
$A={}^{t}\hskip-2ptB$ sur les cocha\^{\i}nes qui satisfont $Ed=dE$ et $1-E=dA+Ad$.

On v\'erifie que $E$ et $A$ sont born\'es en norme $L^{p}$ d\`es que, pour
tout simplexe $\Delta$, 
$$
d\mu_{\Delta}(x)\leq const.\,dx.
$$
Lorsque, pour chaque $\Delta$, $\mu_{\Delta}$ est la masse de Dirac
concentr\'ee au barycentre de $\Delta$, l'op\'erateur $\Sigma$ consiste \`a
remplacer $\Delta$ par la somme des simplexes r\'esultant de la premi\`ere
subdivision barycentrique de $\Delta$. Chacun de ces simplexes a donc un
diam\`etre inf\'erieur \`a $(1-\lambda)\,diam(\Delta)$ o\`u $\lambda>0$.
Fixant $\lambda'<\lambda$, on choisit pour $\mu_{\Delta}$ la mesure de
probabilit\'e uniforme port\'ee par la boule centr\'ee au barycentre et de
rayon $\lambda'\,\max(t,diam(\Delta))$. Alors, pour presque tout $s$, les
simplexes intervenant dans $\sigma_{s}(\Delta)$ ont un diam\`etre
inf\'erieur \`a $(1-\lambda')\,\max(t,diam(\Delta))$, donc, pour tout
$t'\geq (1-\lambda')^{-1}t$, $E$ envoie
$L^{p}AS_{(1-\lambda')t'}^{k}(B^{n})$ dans $L^{p}AS_{t'}^{k}(B^{n})$.
Quitte \`a prendre une puissance de $E$ (et \`a modifier $A$), on peut
supposer que $E$ envoie
$L^{p}AS_{t}^{k}(B^{n})$ dans $L^{p}AS_{2}^{k}(B^{n})$. \qed


\subsection{Espaces \`a courbure n\'egative ou nulle}
\label{neg}
La preuve ci-dessus repose sur la propri\'et\'e g\'eom\'etrique suivante de la
boule euclidienne~: si $\Delta'$ est l'un des simplexes de la subdivision
barycentrique d'un $k$-simplexe $\Delta$, alors
$$
{\rm diam}\,\Delta' \leq {k\over{k+1}}\,{\rm diam}\,\Delta.
$$
Cette propri\'et\'e s'\'etend aux vari\'et\'es riemanniennes simplement
connexes \`a courbure n\'egative ou nulle, et plus g\'en\'eralement encore, aux
espaces satisfaisant la condition CAT(0) d'Alexandrov, voir \cite{Haefliger}.
Par cons\'equent, on obtient une preuve du th\'eor\`eme \ref{th}~pour
ces espaces.

\section{Preuve du th\'eor\`eme \ref{th}}
\label{finpreuve}

\begin{prop}
\label{grand}
Soit $M$ une vari\'et\'e riemannienne (resp. un
complexe simplicial) \`a g\'eom\'etrie born\'ee. On suppose que, pour $1\leq
j\leq k$, la cohomologie $H^{j}(M,\R)$ s'annule ``uniform\'ement'', i.e., pour
toute boule $B$, il existe une boule concentrique dont le rayon ne d\'epend que
de celui de $B$ telle que la restriction
$$
H^{j}(B',\R)\to H^{j}(B,\R)
$$
soit nulle.

Alors, pour tout $t>0$, la cohomologie $L^{p}$ en degr\'e
$k$ (exacte en degr\'e $k+1$) du complexe d'Alexander-Spanier est 
ind\'ependante de la taille $t$~: pour $t<t'$, la restriction
$$
L^{p}AS_{t'}^{*}(M)\to L^{p}AS_{t}^{*}(M)
$$
induit une \'equivalence d'homotopie de complexes en degr\'es $\leq k$ et un
isomorphisme
$$
EL^{p}H_{t'}^{k+1}(M)\simeq EL^{p}H_{t}^{*}(M).
$$
\end{prop}

\subsection{Preuve} 

On discr\'etise d'abord $M$. Si $M$ est une vari\'et\'e
riemannienne \`a g\'eom\'etrie born\'ee, on choisit un recouvrement uniforme et
on remplace $M$ par le nerf de ce recouvrement. On est ramen\'e au cas d'un
complexe simplicial. On note $X$ le $0$-squelette.

D'apr\`es le corollaire \ref{indif}, les cocha\^{\i}nes de
taille $1$ pour l'espace discret $X$ calculent la cohomologie $L^p$ de de Rham
ou simpliciale de $M$. On ne perd donc pas de g\'en\'eralit\'e en supposant
$t\geq 1$. Fixons $t'>1$. Une cocha\^{\i}nes de taille $t'$ est en gros une
cocha\^{\i}ne du recouvrement de $X$ par les boules de rayon $t'$. Pour
prolonger une cocha\^{\i}ne de taille $t=1$ en une cocha\^{\i}ne de taille
$t'$, on va utiliser le m\^eme m\'ecanisme que celui de la proposition
\ref{diag}. 

On construit un double complexe $C_{s}^{k,\ell}$
comme suit. Soit $s>1$. Un \'el\'ement de $C_{s}^{k,\ell}$ est une fonction de
$k+1+\ell+1$ variables $x'_{0},\ldots,x'_{k},x''_{0},\ldots,x''_{\ell}$ o\`u les
distances sont limit\'ees, 
$$
d(x'_{i},x'_{j})\leq t,\quad d(x'_{i},x''_{j})\leq s,\quad
d(x''_{i},x''_{j})\leq t'.
$$
La norme $L^p$ s'obtient en int\'egrant (sommant puisque $X$ est discret) par
rapport \`a toutes les variables. On dispose de deux diff\'erentielles $d'$ (\`a
la Alexander-Spanier sur les variables $x'_{i}$ seulement) et $d''$ (agit sur les
variables  $x''_{j}$ seulement, vaut $(-1)^{k}$ fois la diff\'erentielle
d'Alexander-Spanier) formant un bicomplexe. Les complexes $(C_{s}^{*,\ell},d')$
sont compl\'ement\'es en tout degr\'e. En effet, lorsqu'on g\`ele les variables
$x''_{j}$, on obtient un complexe de dimension finie born\'ee
$AS_{t}(\cap_{j=0}^{\ell} B(x''_{j},s))$, et, lorsque les $x''_{j}$ varient, on
ne rencontre qu'un nombre fini d'op\'erateurs $d'$ diff\'erents. On dispose
donc d'op\'erateurs 
$r':C_{s}^{k,\ell}\to C_{s}^{k,\ell}$, $h':C_{s}^{k,\ell}\to C_{s}^{k-1,\ell}$
tels que $1-r'=d'h'+h'd'$, et dont la norme $L^p$ est born\'ee en fonction de
$s$ seulement.

\ali

Pr\'esentons d'abord informellement la preuve.

Etant donn\'e un cocycle $c\in
C_{s}^{k+1,-1}$, $L^{p}$ et exact, on veut lui faire correspondre un cocycle
$Fc\in C_{s}^{-1,k+1}$. C'est un cocycle d'Alexander-Spanier de taille $s$,
on montre que sa restriction aux simplexes de taille de $t$ satisfait $c-Fc\in
dL^{p}$.

Le
candidat pour $Fc$ est $h'b^{k+1}d''c$ o\`u $b=-h'd''-d''h'$. Relisons la preuve
du lemme \ref{god}. $b$ est une \'equivalence d'homotopie
$b=-h'd''-d''h'$ de $C_{s}^{*\leq k+1,*}\to C_{s}^{*\leq k,*}$.  A l'origine de
l'homotopie $1-b=(d'+d'')hc$, il y a la relation $1=h'd'+d'h'$. Or celle-ci est
satisfaite sur $d''c$ car $d''c$ est $d'$-exact, donc $r'd''c=0$. Elle n'est pas
satisfaite a priori sur $bd''c$, car celui-ci est $d''$-exact, $d'+d''$-exact,
mais pas $d'$-exact en g\'en\'eral.

Toutefois, si on g\`ele les variables $x''_{0}$ et $x''_{1}$, $bd''c\in
AS_{t}(B(x''_{0},s)\cap B(x''_{1}))$ est d\'efini sur toute la boule
$B(x''_{0},s-t')$. Si on a choisi $s$ suffisamment grand, la restriction
de $bd''c$ \`a la boule $B(x''_{0},s_{k})$ est $d'$-exacte, o\`u, en vertu de
l'hypoth\`ese d'annulation uniforme de cohomologie, $s=s_{k+1}$ ne d\'epend que de
$s_{k}$. Par cons\'equent, si on accepte de voir la taille des cocha\^{\i}nes
diminuer, on peut copier le lemme \ref{god}.

Pour rendre la construction rigoureuse, il suffit de construire la suite
$s_{0}$, $s_{1}$,..., $s_{k+1}$ par r\'ecurrence. On pose $s_{0}=t'$ et
on peut prendre $s_{1}=s_{0}+t'=2t'$ car les boules sont connexes,
$H^{0}(B(x,R),\R)=\R$. Soit $j\geq 1$. D'apr\`es l'hypoth\`ese d'annulation
uniforme de $H^{j}(M,\R)$, il existe $R>s_{j}$ tel que pour tout $x\in X$, la
restriction $H^{j}(B(x,R),\R)\to H^{j}(B(x,s_{j}),\R)$ soit nulle. On choisit
$s_{j+1}=R+t'$. 

On pose $C^{k,\ell}=C_{s_{k}}^{k,\ell}$ et ${\tilde b}:C^{k,\ell}\to
C^{k-1,\ell+1}$ vaut $-h'd''-d''h'$ suivi de la restriction
$C_{s_{k}}^{k-1,\ell+1}\to C_{s_{k-1}}^{k-1,\ell+1}$. Sur les cocycles
$d'$-exacts, on a la relation $1-{\tilde b}=(d'+d'')h'$ et ${\tilde b}$ envoie
cocycles exacts sur cocycles exacts. En it\'erant $\tilde b$ $k+1$-fois, on
obtient, pour $c\in C^{k+1,-1}$ exact,
$$
d''c-{\tilde b}^{k+1}d''c=(d'+d'')Hd''c\quad\hbox{o\`u}\quad
H=h'\sum_{j=0}^{k} {\tilde b}^{j}.
$$

Il s'agit maintenant de transformer cette identit\'e en $c-Fc=d{\tilde H}c$
o\`u $Fc=h'{\tilde b}^{k+1}d''c$. On va utiliser pour cela l'expression du
cup-produit en cohomologie simpliciale. Si $Z$ est un complexe simplicial et
$C^{*}(Z)$ le complexe des cocha\^{\i}nes simpliciales r\'eelles, le cup-produit
est une application $\smile:C^{k}\otimes C^{\ell}\to C^{k+\ell}$ qui a les
propri\'et\'es suivantes

\begin{itemize}
\item Si $k$ ou $\ell$ vaut $0$, alors $\smile$ est l'identit\'e~;

\item $d(a\smile b)=da\smile b + (-1)^{k}a\smile db$ modulo l'image de $d$.
\end{itemize}


Il est donn\'e par la formule
$$
a\smile
b\,(x_{0},\ldots,x_{k+\ell})=a(x_{0},\ldots,x_{k})b(x_{k},\ldots,x_{k+\ell}).
$$

Pour notre bicomplexe $C^{*,*}$, la m\^eme formule donne une application
$\smile:C^{j,\ell}\to C^{j+\ell,-1}$ ayant les propri\'et\'es suivantes

\begin{itemize}
\item $\smile$ est l'identit\'e sur $C^{k+1,-1}$, et sur $C^{-1,k+1}$, c'est
la restriction $AS_{t'}^{k+1}\to AS_{t'}^{k+1}$~;

\item $\smile\circ d''$ est l'identit\'e sur $C^{k+1,-1}$~;

\item $\smile\circ(d'+d'')=d\circ\smile$.
\end{itemize}

En appliquant $\smile$ \`a l'\'equation (*), il vient, pour $c\in C^{k+1,-1}$
exact,
$$
c-\smile {\tilde b}^{k+1}d''c=d\smile Hd''c,
$$
i.e., quitte \`a restreindre $Fc$ aux simplexes de taille $t$,
$c-Fc=d{\tilde H}c$ o\`u $H=\smile Hd''$ est born\'e sur $L^p$. 

\ali

Notons $R_{t',t}$ la restriction $R_{t,t'}:L^{p}AS_{t'}^{*}(M)\to
L^{p}AS_{t}^{*}(M)$. On a construit un inverse $F=F_{t,t'}:L^{p}AS_{t}^{*}(M)\to
L^{p}AS_{t'}^{*}(M)$ et montr\'e que $F_{t,t'}R_{t',t}=1$ en cohomologie. En
fait, on obtient simultan\'ement l'identit\'e $R_{t',t}F_{t,t'}=1$. En effet,
comme l'op\'erateur $F_{t,t'}=F_{t'}$ ne d\'epend que du param\`etre $t'$ et non
de $t$, si $c$ est une cocha\^{\i}ne de taille $t'$, alors
$F_{t,t'}R_{t',t}c=F_{t',t'}c=F_{t',t'}R_{t',t'}c$. D'autre part, au niveau de la
cohomologie, $F_{t',t'}R_{t',t'}=1$ (cas particulier $t=t'$ du r\'esultat
pr\'ec\'edent). Ceci ach\`eve la preuve de la proposition
\ref{grand}~et donc du th\'eor\`eme \ref{th}. \qed

\section{Exemples}
\label{ex}
\subsection{L'espace hyperbolique}
Cet exemple est riche, \`a la fois en cohomologie $L^p$ et en
quasiisom\'etries. La cohomologie $L^p$ et les quasiisom\'etries peuvent \^etre
d\'ecrites assez explicitement. 
\ali
Soit $M$ l'espace hyperbolique de dimension $n$. On a
$L^{\infty}H^{0}(M)=\R$ et $L^{p}H^{0}(M)= 0$ pour $p$ fini. 
\ali
L'espace $L^{\infty}H^{1}(M)$ est non nul mais difficile \`a
d\'ecrire. Il n'est pas s\'epar\'e.

En revanche, $L^{p}H^{1}(M)=0$ pour $1\leq p \leq n-1$. 

Pour $n-1<p<+\infty$,
l'espace $L^{p}H^{1}(M)$ est non nul, il s'identifie \`a l'espace des
$1$-formes ferm\'ees sur le bord \`a l'infini $\partial M$ (une sph\`ere
$S^{n-1}$) dont les coefficients sont dans l'espace de Besov $B^{a}_{p,p}$ o\`u
$a={{n-1}\over{p}}-1$ (en gros cela signifie qu'elles ont $a$ d\'eriv\'ees dans
$L^{p}$). Cet espace fonctionnel est assez gros (il contient toutes les
$1$-formes ferm\'ees $L^{p}$ de $\partial M$). Une quasiisom\'etrie $f$ de $M$ se
prolonge en un hom\'eomorphisme $\partial f$ de la sph\`ere \`a l'infini, de
sorte que le diagramme $$ \begin{array}{ccc}
L^{p}H^{1}(M)&\rightarrow&B_{p,p}^{a}(\partial M)\\
\mapdown{f^{*}}&&\mapdown{\partial f^{*}}\\
L^{p}H^{1}(M)&\rightarrow&B_{p,p}^{a}(\partial M)
\end{array}
$$
commute, voir \cite{Pansu}. Inversement, un hom\'eomorphisme de $\partial M$ qui
pr\'eserve l'espace $B_{p,p}^{a}(\partial M)$ pour un $p>n-1$ est
quasiconforme, et se prolonge en une quasiisom\'etrie de $M$. C'est
particuli\`erement \'evident si $p=n$, car on peut utiliser l'invariance
conforme de la cohomologie r\'eduite $L^{n}{\overline H}^{1}$ en dimension $n$.
\ali
Si $2\leq k\leq n-1$, on a $L^{\infty}H^{k}(M)=0$ et $L^{p}H^{k}(M)=0$ pour
$p\geq {{n-1}\over{k-1}}$ et pour $1\leq p \leq {{n-1}\over{k}}$. Si
$p={{n-1}\over{k-1}}$, l'espace $L^{p}H^{k}(M)$ n'est pas s\'epar\'e, voir
\cite{GKScalculs}.

Lorsque ${{n-1}\over{k}}<p<{{n-1}\over{k-1}}$, on peut \`a
nouveau identifier l'espace de cohomologie $L^p$ en degr\'e $k$ \`a un espace
de Besov de $k$-formes ferm\'ees sur la sph\`ere \`a l'infini $\partial M$, de
fa\c con compatible avec le produit ext\'erieur. On voit alors que le
cup-produit en cohomologie $L^p$ est non nul en g\'en\'eral. Pour l'action des
quasiisom\'etries, il y a certainement un diagramme commutatif comme lorsque
$p=1$, mais je ne sais pas encore le montrer.

\ali
Enfin, si $k=n$,
$L^{p}H^{n}(M)=0$ pour tout $p$, $1<p\leq +\infty$ mais $L^{1}H^{n}(M)\not=0$.
En g\'en\'eral, pour une vari\'et\'e riemannienne compl\`ete de
dimension $n$, l'int\'egrale des formes $L^1$, $\int:L^{1}H^{n}(M)\to\R$
combin\'ee avec le cup-produit permet de d\'efinir une dualit\'e de Poincar\'e
en cohomologie r\'eduite. C'est un diff\'eomorphisme de $L^{p}{\overline
H}^{k}(M)$ sur  $L^{p'}{\overline H}^{k'}(M)$ o\`u $k+k'=n$ et
${1\over{p}}+{1\over{p'}}=1$. Dans le cas de l'espace hyperbolique, on obtient
une transformation int\'eressante entre formes sur le bord. Lorsque $n=p=p'=2$,
$k=k'=1$, il s'agit de la transformation de Hilbert. 

L'op\'erateur $\int$ (et par cons\'equent la dualit\'e de
Poincar\'e) est certainement invariant par les quasiisom\'etries qui
pr\'eservent l'orientation \`a grande \'echelle, mais je ne sais pas encore
le montrer.


\subsection{Groupes quasiisom\'etriques}
Si deux groupes discrets apparaissent comme groupes cocompacts
d'iso\-m\'e\-tries d'un m\^eme espace, ils sont quasiisom\'etriques. Mais il y a
des exemples moins triviaux.

S. Gersten a remarqu\'e que
si $\Gamma$ est une extension centrale cyclique de $\Gamma'$ d\'efinie par un
$2$-cocycle {\sl born\'e} de $\Gamma'$ (au sens de la cohomologie born\'ee, voir
\ref{avert}), alors $\Gamma$ est quasiisom\'etrique \`a
l'extension triviale $\Gamma\times{\bf Z}$. Lorsque $\Gamma'$ est un groupe de
surface, on trouve ainsi d'innombrables exemples. D'apr\'es le th\'eor\`eme
\ref{th}, ces groupes ont tous la m\^eme cohomologie $L^p$, donn\'ee
par le th\'eor\`eme de K\"unneth de \cite{GKSKunneth}.

\subsection{Groupes libres}
P. Papasoglu a montr\'e que tous les arbres homog\`enes de valence $\geq 3$
sont deux \`a deux bilipschitz (i.e. il existe une bijection bilipschitzienne
entre les $0$-squelettes).
Notre proposition \ref{inqi}~ne semble donc pas d'une grande
utilit\'e pour les arbres. Ce n'est pas vrai~: il existe des quasiisom\'etries
entre arbres qui ne sont pas proches de bijections bilipschitziennes.

\section{Addendum (août 2004)}

L'invariance par quasiisométries de la cohomologie $L^{p}$ pour les espaces {\em uniformément contractiles} est due à M. Gromov, \cite{GromovAsy}. Des versions grossières de la cohomologie $L^{p}$, et donc des variantes du théorème \ref{th}, ont été développées indépendamment par G. Elek \cite{Elek} et P. Fan \cite{Fan}.

En pr\'esence d'un groupe cocompact d'isom\'etries, on peut, en utilisant la
dimension de Von Neumann, d\'efinir des nombres de Betti $L^{2}$. Bien qu'invariants par équivalence mesurable à proportionalité près, \cite{Gaboriau}, ces nombres ne sont pas des invariants de quasiisométrie.

On peut aussi définir la fonction densit\'e du spectre du laplacien, et
celle-ci est d\'etermin\'ee par la presque cohomologie. L'invariant de
Novikov-Shubin \cite{NovikovShubin}, est le degr\'e de d\'ecroissance
polynomiale de la densit\'e du spectre au voisinage de $0$. Les invariants de Novikov-Shubin des groupes moyennables sont des invariants de quasiisométrie, \cite{Sauer}, s'inspirant d'idées de \cite{Shalom}. La cas général (groupes non moyennables) est ouvert.

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\vskip1cm
\noindent
Pierre Pansu\\
Laboratoire de Mathématique d'Orsay\\
UMR 8628 du C.N.R.S.\\
Bâtiment 425\\
Université Paris-Sud - 91405 Orsay (France)\\
\smallskip\noindent
{\tt\small Pierre.Pansu@math.u-psud.fr}\\
http://www.math.u-psud.fr/$\sim$pansu

\end{document}