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\def\ex#1{\vskip 1truecm\centerline{#1}\vskip 0.2truecm}
\def\ques#1{\vskip 0.4truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}

\newtheorem{theo}{Th{\'e}or{\`e}me}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
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\newtheorem{priete}[lemme]{Propri\'et\'e}
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#1 \\ #2
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\def\qed{\vbox{\hrule height 5pt width 5pt}}
\def\d{\displaystyle}
\def\preuve{\par\medskip{\bf Preuve.}\hskip5pt}

\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2005-2006\par
\noindent{S5 IFIPS}\hfill Mathématiques : Probabilités et statistiques
\vskip1truecm
\centerline{\smc Feuille d'exercices n$^0$1 : Probabilités
%(avec corrigé)
}
\vskip1truecm

A - AUTO - ÉVALUATION A PROPOS DU COURS


\ques{A1.}	Vrai ou faux ?
\begin{enumerate}
  \item Si la réalisation d'un événement $A$ n'est pas influencée par celle d'un événement $B$, et inversement, $A$ et $B$ sont des événements incompatibles.
  \item Si l'événement $A$ est inclus dans l'événement $B$, la probabilité de $A$ est supérieure à celle de $B$.
  \item Un arrangement où l'ordre de présentation des éléments n'est pas pris en considération s'appelle permutation.
  \item Dans le cas d'une variable aléatoire continue, $p(a\leq x\leq b)=p(a\leq x<b)$.
  \item L'espérance mathématique d'une variable aléatoire indique la valeur moyenne de cette variable.
  \item Si on ajoute $C$ à chaque valeur d'une variable aléatoire $X$;
\begin{itemize}
  \item son espérance mathématique devient $E(X) + C$,
  \item sa variance devient $V(X) + C$.
\end{itemize}
  \item L'espérance mathématique d'une variable aléatoire centrée réduite est toujours égale à 1.
  \item Si deux variables aléatoires sont indépendantes, la covariance entre ces variables est né\-ces\-sai\-re\-ment nulle.
\end{enumerate}

\ques{A2.}	Que vaut $P(A\cap B)$, lorsque $A$ et $B$ sont :
\begin{itemize}
  \item incompatibles ?
  \item indépendants ?

\end{itemize} 

 \ques{A3.}	Supposons que les probabilités de divers éléments se présentent selon le tableau ci-dessous, les événements $A$, $B$, $C$  d'une part et $D$ et $E$  d'autre part étant incompatibles.
 \begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$\cap$ &	A&	B&	C&	TOTAL\\\hline
D&	&	&	0.16&	0.60\\\hline
E&	0.32&	&	0.04&\\\hline	
TOTAL&	0.40&&&\\			

\hline
\end{tabular}
\end{center}
 
a) Indiquer sur le tableau les probabilités manquantes.

b) Déterminer $p(C)$ ; $p(\bar{C})$ ; $p(\bar{C}\cap A)$. Évaluer $p(D)$; $p(C\cap D)$; $p(C\cup D)$.

\ques{A4.}	Exercices d'application directe du cours
 
a) En Ile de France, chaque véhicule automobile a un numéro minéralogique comportant quatre chiffres (au plus) et trois lettres. Combien de véhicules peut-on ainsi immatriculer en Ile de France?
 
b) Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot OIGNON ?

 Et avec le mot OGNON ? (vous pouvez voir là l'amorce d'une réforme de l'orthographe!)
 
c) Quelles fonctions parmi les suivantes sont acceptables comme fonction de densité d'une variable discrète dont les valeurs possibles sont 0, 1, 2, 3 ?
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
p(0) = 1/4	&	p(1) = 3/8	&	p(2) = 1/16	&	p(3) = 3/16\\
p(0) = 0	&	p(1) = 1/3	&	p(2) = 1/6	&	p(3) = 1/2\\
p(0) = 1/5&		p(1) = 1/4	&	p(2) = 1/3	&	p(3) = 1/2\\
p(0) =1/4	&	p(1) = 1/2	&	p(2) = -1/4	&	p(3) = 1/2\\
 \end{tabular}
\end{center}

d) Quelles fonctions parmi les suivantes sont acceptables comme fonction de densité d'une variable continue?

\begin{enumerate}
  \item \begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{2}{x^3} \textrm{ pour }1\leq x\leq 2,\\&=&0\textrm{ ailleurs.}
\end{eqnarray*}
  \item \begin{eqnarray*}
f(x)&=&2x^3 \textrm{ pour }-1\leq x\leq 1,\\&=&0\textrm{ ailleurs.}
\end{eqnarray*}
  \item \begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{1}{2}\cos x \textrm{ pour }-\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2},\\&=&0\textrm{ ailleurs.}
\end{eqnarray*}
  \item \begin{eqnarray*}
f(x)&=&2\sin x \textrm{ pour }-\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2},\\&=&0\textrm{ ailleurs.}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
 
e) Une variable $X$ a une espérance égale à 10 et un écart-type égal à 3. Déterminer $E(X^2 )$.
 
\vskip1truecm

\bigskip
 
B - DÉNOMBREMENT

\bigskip

\ques{B1.}	Contrôle de qualité

a) Dans un lot de vingt pièces fabriquées, on en prélève simultanément quatre. Combien de pré\-lè\-ve\-ments différents peut-on ainsi obtenir ?
 
b) On suppose alors que sur les vingt pièces, quatre sont mauvaises. Dans combien de pré\-lè\-ve\-ments : 
 
1. les quatre pièces sont bonnes ?
 
2. au moins une pièce est mauvaise ?
 
3. une et une seule est mauvaise ?
 
4. deux au moins sont mauvaises ?
 
\so{B1}{Pièces}{
  \begin{itemize}
    \item a) $\choose{4}{20}=\frac{20.19.18.17}{4!}=4845$.

  \item b) 
  \begin{enumerate}
  \item $\choose{4}{16}=\frac{16.15.14.13}{4!}=1820$.
  \item $4845-1820=3025$. \emph{Expliquer pourquoi $\choose{1}{4}\choose{3}{19}$ est faux, parce qu'on compte plusieurs fois la même chose.}
 \item $\choose{1}{4}\choose{3}{16}=4\frac{16.15.14}{3!}=2240$.
 \item Le nombre cherché est le nombre de prélèvements à au moins une mauvaise pièce, auquel on retranche le nombre de prélèvements avec exactement une mauvaise pièce, soit $3025-2240=785$.
\end{enumerate}
\end{itemize}
}

\ques{B2.} 	De combien de manières peut-on ranger quatre paires de chaussettes dans trois tiroirs ?

\so{B2}{Chaussettes}{
Pour chaque paire, il faut choisir l'un des 3 tiroirs. Il y a 3 choix à chaque fois, donc $3^4 =81$ manières possibles.
}

\ques{B3.} 	Une multinationale décide de lancer un dentifrice pour chien. Le nom de ce nouveau produit indispensable doit comporter trois lettres.
 
a) Combien de noms peut-on former avec toutes les lettres de l'alphabet ?
 
b) Combien de noms peut-on former comportant une consonne et deux voyelles ?
 
c) Combien de noms peut-on former comportant une consonne et deux voyelles différentes ?


\so{B3}{Dentifrice pour chiens}{
a) $26^{3}=17576$.

b) Il faut choisir la position de la consonne (3 choix). Puis choisir une consonne (20 choix), puis choisir une voyelle (6 choix), puis choisir une voyelle (6 choix). On trouve $3.20.6.6=2160$ noms différents.

c) Lors du dernier choix, une des 6 voyelles a déjà été tirée, donc il ne reste que 5 choix. On trouve $3.20.6.5=1800$ noms différents.
}

\ques{B4.} 	a) Combien de mots de 7 lettres peut-on former avec les lettres A, B, C, D, E, F, G, en les utilisant toutes ?
 
b) Combien y a-t-il de ces mots où les lettres CDE sont toujours ensemble
\begin{itemize}
  \item Dans cet ordre ?
  \item Dans un ordre quelconque ?
\end{itemize}

\so{B4}{Mots}{
a) Si on utilise toutes les lettres (il y en a 7) pour former un mot de 7 lettres, chacune est utilisée au moins une fois. Par conséquent, il s'agit de compter les permutations de 7 lettres. Il y en a $7!=7.6.5.4.3.2.1=5040$.

b) \begin{itemize}
  \item Il faut choisir la position de la lettre C (il y a 5 choix). Cela remplit 3 positions. Ensuite, pour chacune des 4 positions restantes, il faut choisir une lettre parmi A,B, F, G. On trouve ainsi $5.(4!) =320$ mots différents. Il revient au même de compter le groupe CDE comme une seule lettre $\alpha$, et de compter les permutations de l'ensemble $A,B,\alpha,F,G$, il y en a $5!=120$.
    \item A chaque mot où apparaît le groupe CDE dans cet ordre correspondent $3!=6$ mots où C, D, E apparaissent groupés mais dans un ordre différent. On trouve donc $6.120=720$ mots différents.
\end{itemize}
}

\ques{B5.}	Modèles en mécanique statistique

En mécanique statistique, on étudie la distribution de particules dans l'espace.
Il est pratique de considérer que l'espace est subdivisé en petites cellules.
Trois modèles uniformes différents ont été proposés.
\begin{enumerate}
  \item Le modèle de Maxwell-Boltzmann (M-B), supposant que l'on peut distinguer les particules et ne limitant pas le nombre de particules par cellule.
  \item Le modèle de Bose-Einstein (B-E), supposant que l'on ne peut distinguer les particules et ne limitant pas le nombre de particules par cellule.
  \item Le modèle de Fermi-Dirac (F-D), supposant que l'on ne peut distinguer les particules, avec au plus une particule par cellule.
\end{enumerate} 

Donner, en fonction des différents modèles, le nombre de façons de répartir 3 particules dans trois cellules.
  
\so{B5}{Physique statistique}{
\begin{enumerate}
  \item Dans le modèle M-B, on doit, pour chaque particule, choisir une cellule, il y a donc $3^3 =27$ répartitions différentes. 
  \item Dans le modèle B-E, une répartition consiste à se donner le nombre de particules dans chaque cellule, sachant que la somme des nombres doit être égale à 3. Les répartitions possibles sont $(3,0,0)$, $(2,1,0)$, $(2,0,1)$, $(1,2,0)$, $(1,1,1)$, $(1,0,2)$, $(0,3,0)$, $(0,2,1)$, $(0,1,2)$, $(0,0,3)$. Il y a donc $10$ répartitions différentes. 
  \item Dans le modèle F-D, il n'y a qu'une répartition possible, $(1,1,1)$.
\end{enumerate}
}

\vskip1truecm
\bigskip
  
C - PROBABILITÉS

\bigskip

\ques{C1.} 	Grand-père a trois bérets et une casquette. Quand il descend acheter sa baguette, il saisit un couvre-chef au hasard. Sachant qu'il prend une fois sur trois une baguette moulée et que deux fois sur cinq il oublie de chausser ses souliers, calculer la probabilité de le voir remonter en charentaises, un béret sur la tête et une baguette non moulée sous le bras.
  
\so{C1}{Grand-père}{
Notons $A=\{\textrm{baguette non moulée}\}$, $B=\{\textrm{charentaises}\}$, $C=\{\textrm{béret}\}$. L'énoncé suggère que ces trois évènements sont indépendants, et que $p(A)=2/3$, $p(B)=2/5$, $p(C)=3/4$. Par conséquent
\begin{eqnarray*}
p(A\cap B\cap C)=p(A)p(B)p(C)=\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{5}.
\end{eqnarray*}
}

\ques{C2.} 	On lance trois dés non pipés. On note le nombre de points (1,2,3,4,5 ou 6) qui apparaît sur la face supérieure de chaque dé. Calculer la probabilité d'avoir :

 
a) trois 3.		
  
b) deux 2 et un 1.		
  
c) un 1, un 3, un 5.
  
d) la somme des points égale à 9.	
  
e) la somme des points égale à 10.
 
Remarque : Ces calculs ont été effectués à l'origine par Galilée pour expliquer la différence entre d) et e).

\so{C2}{Galilée}{
a) Dés non pipés signifie que la probabilité de tirer 3 (ou tout autre chiffre) sur un dé est $1/6$. Les tirages étant indépendants, $p(3,3,3)=(1/6)^3 =1/216$.

b) Il y a trois manières d'obtenir deux 2 et un 1, et 216 tirages possibles, donc la probabilité cherchée est $3/216=1/72$.

c) Un total de 9 s'obtient par l'une des additions suivantes,
$$9=6+2+1=5+3+1=5+2+2=4+4+1=4+3+2=3+3+3,$$
où on a rangé les résultats d'un tirage par ordre décroissant. On rencontre l'addition 6+2+1 dans $3!=6$ tirages différents. De même pour 5+3+1 et 4+3+2. En revanche, 5+2+2 et 4+4+1 ne correspondent qu'à 3 tirages et 3+3+3 à un seul. Il y a donc 6+6+6+3+3+1=25 tirages qui donnent une somme de 9. La probabilité que la somme soit 9 vaut donc $25/216$.

d) Un total de 10 s'obtient par l'une des additions suivantes, 
$$10=6+3+1=6+2+2=5+4+1=5+3+2=4+4+2=4+3+3.$$ 
On rencontre les additions 6+3+1, 5+4+1, 5+3+2 dans $3!=6$ tirages différents. En revanche, 6+2+2, 4+4+2 et 4+3+3 ne correspondent qu'à 3 tirages. Il y a donc 6+6+6+3+3+3=27 tirages qui donnent une somme de 9. La probabilité que la somme soit 9 vaut donc $27/216$.
}

\ques{C3.} 	Une urne contient une boule rouge, trois boules vertes et seize boules blanches. La boule rouge permet de gagner 10 euros, chaque boule verte permet de gagner 5 euros et les boules blanches ne rapportent rien. Un joueur tire simultanément cinq boules. Quelle est la probabilité pour que ce joueur gagne exactement 10 euros ?

\so{C3}{Les boules}{
Pour gagner 10 euros, il faut avoir tiré exactement une boule rouge et 4 boules blanches, ou 2 boules vertes et 3 boules blanches. Ces deux évènements, notés $A$ et $B$, sont incompatibles. Ici l'univers $\Omega$ est l'ensemble des combinaisons de 5 boules, i.e. l'ensemble des parties à 5 éléments d'un ensemble de 20 boules. Les $\choose{5}{20}=\frac{20.19.18.17.16}{5!}=15504$ combinaisons sont équiprobables. Les éléments de l'évènement $A$ sont les combinaisons formées de la boule rouge et d'une combinaison de 4 boules blanches. Il y en a $\choose{4}{16}=\frac{16.15.14.13}{4!}=1820$. Par conséquent, $p(A)=\frac{1820}{15504}$. Les éléments de l'évènement $B$ sont les combinaisons formées d'une combinaison de deux boules vertes et d'une combinaison de 3 boules blanches. Il y en a $\choose{2}{3}\choose{3}{16}=3.\frac{16.15.14}{6!}=1680$. Par conséquent, $p(B)=\frac{1680}{15504}$.  La probabilité de gagner 10 euros est donc égale à $p(A)+p(B)= \frac{3500}{15504}\sim 0.225...$.
}

\ques{C4.} 	Deux chasseurs aperçoivent simultanément un lapin et tirent en même temps. La probabilité que le premier tue le lapin est $4/5$, celle du second est $3/4$. Quelle est la probabilité que le lapin soit tué ? 

\so{C4}{Chasse au lapin}{
Soit $A_i$ l'évènement ``le $i$-ème chasseur tue le lapin''. L'énoncé donne $p(A_1 )=4/5$, $p(A_2 )=3/4$ et suggère que $A_1$ et $A_2$ sont indépendants. Il en est de même pour les évènements contraires. La probabilité de survie du malheureux lapin est donc
\begin{eqnarray*}
p(\overline{A_1}\cap\overline{A_2})=p(\overline{A_1})p(\overline{A_2})=\frac{1}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{20},
\end{eqnarray*}
et la probabilité que le lapin soit tué est $1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$. Dur dur d'être lapin.
}

\ques{C5.}	 Réfléchissez bien !

1. On extrait treize cartes d'un jeu de 32 cartes : neuf noires et quatre rouges. On les met face contre table après les avoir mélangées. Avez-vous plus d'une chance sur deux de tirer deux noires~?
 
2. Pensez-vous que dans votre TD il y ait plus de 50\% de chances que deux d'entre vous puissent fêter leur anniversaire le même jour ?
 
 \so{C5}{Réfléchissez bien !}{
1. L'univers $\Omega$ est l'ensemble des combinaisons de 2 cartes parmi 13. Les $\choose{2}{13}=\frac{13.12}{2!}=78$ combinaisons sont équiprobables. Les éléments de l'évènement $A=$ ``tirer 2 noires'' sont les combinaisons de deux cartes noires, il y en a $\choose{2}{9}=\frac{9.8}{2!}=36$. Par conséquent, $p(A)=\frac{36}{78}<\frac{1}{2}$, donc il y a moins d'une chance sur deux de tirer deux cartes noires.

2. L'univers $\Omega$ est l'ensemble des suites possibles de dates de naissance pour les étudiants, i.e. des suites de 30 nombres pris entre 1 et 365. Il y en a $365^{30}$. Les dates de naissance de deux étudiants distincts étant indépendantes, les suites sont équiprobables. Soit $A$ l'ensemble des suites formées de dates toutes distinctes. Pour former un élément de $A$, on a 365 choix pour la première date, 364 pour la seconde,...,336 pour la 30ème. Par conséquent
\begin{eqnarray*}
p(A)=\frac{365.364\ldots 336}{365^{30}}\sim 0.2695...
\end{eqnarray*}
Pour s'en convaincre sans moyens de calcul puissant, on peut écrir
\begin{eqnarray*}
\ell n(p(A))&=&\ell n(1)+\ell n(1-\frac{1}{365})+\ell n(1-\frac{2}{365})+\cdots+\ell n(1-\frac{30}{365})\\
&\sim& -\frac{1}{365}-\frac{2}{365}-\cdots-\frac{30}{365}\\
&=&\frac{1}{365}(1+2+\cdots+30)\\
&=&-\frac{465}{365},
\end{eqnarray*}
ce qui donne la valeur approchée $p(A)\sim 0.279...$. On conclut qu'il y a près de 3 chances sur 4 que 2 étudiants aient la même date de naissance.
}


\vskip1truecm
\bigskip

D- DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS

\bigskip

\ques{D1.}	La distribution uniforme sur un intervalle $[a,b]$ décrit le phénomène qui consiste à prendre une valeur au hasard dans $[a,b]$. Elle a donc une fonction de densité constante sur l'intervalle $[a,b]$.

a) Déterminer la valeur de cette constante.

b) Quelle est la fonction de répartition de cette variable?

c) Quelle est la probabilité de tirer au hasard la valeur $\frac{a+b}{2}$ dans l'intervalle $[a,b]$ ?

d) Quelle est la probabilité de tirer au hasard une valeur de l'intervalle $[\frac{ 2a+b}{3},\frac{a+2b}{3}]$ ?

e) Application : En arrondissant un nombre réel au nombre entier le plus proche, on introduit une erreur comprise entre $-1/2$ et $+1/2$. En supposant que cette erreur suit une loi uniforme continue, calculer
\begin{itemize}
  \item $p(\textrm{erreur} = 0)$;
  \item $p(\textrm{erreur} < 0)$;

  \item $p(|\textrm{erreur}| < 1/4)$.

\end{itemize}

\so{D1}{Loi uniforme}{
a) C'est $1/|b-a|$, de sorte que l'intégrale sur $[a,b]$ soit égale à 1.

b) Par définition $\d F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{x-a}{b-a}$ pour $x\in[a,b]$, 0 pour $x<a$ et 1 pour $x>b$.

c) Elle est nulle.

d) C'est $\d\int_{\frac{ 2a+b}{3}}^{\frac{a+2b}{3}}\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{1}{3}$.

e) Dans ce cas, $[a,b]=[-1/2,1/2]$ et $1/|b-a|=1$. Il vient
\begin{itemize}
  \item $p(\textrm{erreur} = 0)=0$;
  \item $p(\textrm{erreur} < 0)=1/2$;

  \item $p(|\textrm{erreur}| < 1/4)=1/2$.

\end{itemize}
}

\ques{D2.}	Pierre vous propose le jeu suivant : il vous paiera une somme en dollars égale au résultat que vous obtiendrez en lançant un dé ordinaire à 6 faces. Pour chaque coup joué, Pierre exige un montant de 3\$.

a) Montrez que si vous jouez un suffisamment grand nombre de fois, vous mettrez Pierre en faillite.

b) Pierre décide de changer les règles de son jeu. Il vous donnera 3\$ si vous obtenez un cinq ou un six en lançant une fois le dé. Par contre, vous devrez lui verser une somme de 2.25\$ si vous obtenez un 1, un 2, un 3 ou un 4. Acceptez-vous de jouer avec Pierre ?

\so{D2}{Jeu inéquitable}{
a) Soit $X$ la variable aléatoire ``gain en dollars réalisé à l'issue d'un lancer de dé''. Ce gain prend en compte la mise de 3\$. Alors $X$ prend les valeurs $-2$, $-1$, $0$, 1, 2 et 3, et $E(X)=(-2-1+0+1+2+3)/6=1/2$. On peut s'attendre, au bout de $n$ parties, à un gain de $n/2$ dollars, donc Pierre a toutes les chances de vider ses poches (un énoncé plus précis nécessite la loi des grands nombres).

b) Soit $Y$ la variable aléatoire ``gain en dollars réalisé à l'issue d'un lancer de dé'' relative à la nouvelle règle du jeu. Alors $Y$ prend les valeurs $-2.25$ et 3, et $E(X)=(-2.25-2.25-2.25-2.25+3+3)/6=-1/2$. On peut s'attendre, au bout de $n$ parties, à une perte de $n/2$ dollars, donc on ne joue pas, bien sûr.
}

\ques{D3.}	En supposant que le rayon $R$ d'un cercle soit une variable de loi uniforme sur l'intervalle $[0,1]$, déterminer

a) L'espérance de la circonférence du cercle.

b) La variance de la circonférence du cercle.

\so{D3}{Cercles}{
a) On calcule $E(R)=\int_{0}^{1}x\,dx=1/2$, d'où $E(2\pi R)=2\pi E(R)=\pi$.

b) On calcule $V(R)=\int_{0}^{1}x^2\,dx-E(R)^2 =\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$, d'où $V(2\pi R)=4\pi^2 V(R)=\pi^2 /3$.
}

\ques{D4.}	On considère la fonction $f$ représentée ci-dessous.


\begin{center}
\includegraphics[width=2in]{f.eps}
\end{center}


a) Déterminer $a$ pour que $f$ soit la fonction de densité d'une variable continue $X$.

b) Quelles sont les valeurs de $p(X<1)$, $p(X>3/2)$, $p(1/2\leq X\leq 3/2)$ ?


\so{D4}{Densité continue}{
a) L'aire sous la courbe représentative de $f$ vaut $a$ (utiliser la formule pour l'aire d'un triangle). On peut aussi calculer 
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{2}f(x)\,dx&=&\int_{0}^{1}ax\,dx+\int_{1}^{2}(2a-ax)\,dx=a(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=a.
\end{eqnarray*}
On conclut que $\int_{0}^{2}f(x)\,dx=1$ si et seulement si $a=1$.

b) $p(X<1)$ est l'aire d'un triangle de base 1 et de hauteur 1, soit $\frac{1}{2}$. $p(X>\frac{3}{2})$ est l'aire d'un triangle de base $\frac{1}{2}$ et de hauteur $\frac{1}{2}$, soit $\frac{1}{8}$. $p(\frac{1}{2}\leq X\leq \frac{3}{2})=1-p(X<\frac{1}{2})-p(X>\frac{3}{2})=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$.
}

\ques{D5.}	On suppose que la distance entre deux stations-service consécutives le long d'une autoroute est de 50 km. On appelle $X$ la distance parcourue par une automobile qui tombe en panne entre deux stations-service depuis le passage devant la première. $X$ est donc comprise entre 0 et 50 km. On fait l'hypothèse qu'elle suit une loi uniforme sur $[0,50]$.

a) La distance entre le lieu de la panne et la station-service la plus proche est une fonction de $X$, notée $g(X)$. Donner l'expression de $g(x)$ en fonction de la valeur $x$ prise par la variable $X$, en prenant soin de distinguer deux cas.

b) Quelles sont l'espérance et la variance de $g(X)$ ?

c) Si une station-service demande un prix fixe de 40 euros plus 10 euros par km à parcourir pour effectuer un dépannage, quel est le coût moyen d'un dépannage ? Quel est l'écart-type de ce coût ?


\so{D5}{Panne d'essence}{
a) $g(x)=\min\{x,50-x\}=x$ si $x\leq 25$, $=50-x$ si $x\geq 50$.

b)
\begin{eqnarray*}
E(g(X))&=&\frac{1}{50}\int_{0}^{50}g(x)\,dx\\
&=&\frac{1}{50}\int_{0}^{25}x\,dx+\frac{1}{50}\int_{25}^{50}(50-x)\,dx\\
&=&\frac{1}{50}\int_{0}^{25}x\,dx+\frac{1}{50}\int_{0}^{25}x\,dx\\
&=&\frac{2}{50}\frac{25^2}{2}=\frac{25}{2}.
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
E(g(X)^2 )&=&\frac{1}{50}\int_{0}^{50}g(x)^2\,dx\\
&=&\frac{1}{50}\int_{0}^{25}x^2 \,dx+\frac{1}{50}\int_{25}^{50}(50-x)^2 \,dx\\
&=&\frac{1}{50}\int_{0}^{25}x^2 \,dx+\frac{1}{50}\int_{0}^{25}x^2\,dx\\
&=&\frac{2}{50}\frac{25^3}{3}=\frac{625}{3}.
\end{eqnarray*}
d'où $V(X)=E(g(X)^2 )-E(g(X))^2 =\frac{625}{3}-\frac{625}{4}=\frac{625}{12}$.

c) Soit $Y$ la variable aléatoire ``coût en euros du dépannage''. Alors $Y=40+10g(X)$, d'où $E(Y)=40+10E(g(X))=40+10\frac{25}{2}=165$ euros,
$\sigma(Y)=10\sigma(g(X))=10\sqrt{V(g(X))}=\frac{125}{\sqrt{3}}\sim 72.17$ euros.
}

\ques{D6.}	Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n'élève pas plus d'un chien et Sophie pas plus d'un chat. La probabilité pour que Charles ait un chien est de $0.2$. Si Charles n'a pas de chien, la probabilité pour que Sophie ait un chat est de $0.1$.
On note $X$ le nombre de chiens de Charles et $Y$ le nombre de chats de Sophie.

a) Calculer la probabilité pour qu'ils n'aient pas d'animaux.

Soit $Z$ le nombre d'animaux du couple. La probabilité que $Z$ soit égal à 1 est de $0.1$.

b) Calculer la probabilité pour que $Z$ soit égal à 2.

c) Déterminer $E(Z)$ et $\sigma(Z)$.

d) Établir la loi de probabilité du couple $(X,Y)$.

Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ?

e) Les variables $X$ et $Y$  sont-elles indépendantes ?


\so{D6}{Chiens et chats}{
a) Soit $A$ l'évènement ``Charles n'a pas de chien'' et $B$ l'évènement ``Sophie n'a pas de chat''. L'énoncé donne $p(B|A)=0.9$. Par conséquent, la probabilité pour que le ménage n'ait aucun animal est $p(A\cap B)=p(B|A)p(A)=0.9\times 0.8=0.72$.

b) $Z$ ne peut prendre que les valeurs 0, 1 et 2. L'évènement $\{Z=0\}$ coïncide avec $A\cap B$, donc $p(Z=0)=0.72$. Il vient $p(Z=2)=1-p(Z=0)-p(Z=1)=1-0.72-0.1=0.18$.

c)$E(Z)=0.p(Z=0)+1.p(Z=1)+2.p(Z=2)=0.1+0.36=0.46$. $E(Z^2 )=0^2 .p(Z=0)+1^2 .p(Z=1)+2^2 .p(Z=2)=0.1+0.72=0.82$, d'où $V(Z)=E(Z^2 )-E(Z)^2 =0.6084$, $\sigma(Z)=\sqrt{V(Z)}=0.78$.

d) On calcule $p(X=0\et Y=0)=p(Z=0)=0.72$, $p(X=1\et Y=1)=p(Z=2)=0.18$, 
\begin{eqnarray*}
p(X=0\et Y=1)=p(A\cap \bar{B})=p(\bar{B}|A)p(A)=(1-p(B|A))p(A)=0.1\times 0.8=0.08. 
\end{eqnarray*}
On complète le tableau en utilisant le fait que le somme des probabilités des évènements élémentaires vaut 1.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
&$Y=0$&$Y=1$&Total\\\hline
$X=0$&0.72&0.08&0.8\\\hline
$X=1$&0.02&0.18&0.2\\\hline
Total&0.74&0.26&1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La dernière ligne du tableau donne la loi de $Y$, $p(Y=0)=0.74$ et $p(Y=1)=0.26$.

e) On constate que $p(X=1\et Y=1)=0.18$ n'est pas égal à $p(X=1)p(Y=1)=0.2\times 0.26$, donc $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
}

\bigskip
\vskip1truecm

E - EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES


\vskip1truecm

DÉNOMBREMENT

\bigskip

\ques{E1.} 	Au loto, combien a-t-on de possibilités, en choisissant sept numéros (de 1 à 49), d'avoir :

a) Les six bons numéros plus le complémentaire ?

b) Six numéros ?

c) Cinq numéros plus le complémentaire ?

d) Cinq numéros ?

e) Quatre numéros ?

f) Trois numéros ?

Remarque : En dessous de cinq numéros le complémentaire ne joue aucun rôle.

\ques{E2.} 	Combien existe-t-il de mains différentes au poker (donnes de 5 cartes parmi 32) comportant :

a) Un brelan d'as ?

b) Un carré d'as ?

c) Une paire d'as et une paire de rois ?

d) Une quinte majeure (10,V,D,R,A) ?

e) Un carré ?

f) Au moins deux as ?

\ques{E3.} 	Julie a le choix entre quatre confitures différentes pour étaler sur une tartine, une biscotte et un toast. Combien a-t-elle de possibilités, sachant qu'elle peut éventuellement, en plus de la confiture, les beurrer?

\ques{E4.} 	Un club de football est composé de 20 joueurs dont 3 gardiens de but. Combien d'équipes différentes de 11 joueurs peut-on former ? (On ne tient pas compte de la place des joueurs sauf pour les gardiens qui ne peuvent jouer que dans les buts).

\ques{E5.} 	Quatre bridgeurs sont installés. En cours de partie, la répartition des cartes est la suivante :
\begin{center}
\begin{tabular}{lll}
&		$\clubsuit$ A,V&\\
&		$\diamondsuit$ 2&\\
&		$\heartsuit$ D,10&\\
&		$\spadesuit$ A,R,D&\\
		
$\clubsuit$ 2,3		&&	$\clubsuit$ R,D	\\
$\diamondsuit$ V	&&	$\diamondsuit$ A\\
$\heartsuit$ 9,8		&&	$\heartsuit$ A,R\\
$\spadesuit$ V,8,7	&&$\spadesuit$ 6,4,2\\
&		$\clubsuit$ 10,9 &\\
&		$\diamondsuit$ R &\\
&		$\heartsuit$ V,7 &\\
&		$\spadesuit$ 10,5,3 &\\
\end{tabular}
\end{center}
Combien y a-t-il de manières différentes de terminer la partie, sachant que les plis doivent être de la même couleur ?

Indication: On peut commencer par choisir un joueur, SUD par exemple, et compter de combien de façons il peut jouer ses cartes restantes. Puis, pour chaque carte jouée par SUD, compter combien de possibilités les autres joueurs ont de fournir à la couleur demandée.

\bigskip

PROBABILITÉS

\ques{E6.} 	Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont mélangé leurs bottes dans le couloir de l'auberge. D'Artagnan se lève le premier et prend deux bottes au hasard. Calculer la probabilité pour que :

a) Les deux bottes soient les siennes.

b) Les deux bottes forment une paire (une paire est la réunion d'un pied droit et d'un pied gauche).

c) Les deux bottes soient deux pieds droits.

d) Les deux bottes appartiennent à deux personnes différentes.

\ques{E7.} 	D'un jeu de 32 cartes, on extrait 6 cartes. Quelle est la probabilité d'avoir exactement 2 dames et 3 trèfles ?

\ques{E8.} 	Dans une transat à la voile, cinquante concurrents sont engagés. Il y a 30 multicoques dont 20\% menés par des femmes et 20 monocoques dont un seul des skippers est une femme. La probabilité de gagner pour un multicoque est supérieure de 10\% à celle des monocoques. Les chances des bateaux de même structure sont identiques. Il y a exactement un vainqueur.

a) Calculer la probabilité pour que le vainqueur soit sur un monocoque.

b) Calculer la probabilité pour que le bateau qui franchit en tête la ligne d'arrivée soit un multicoque dirigé par une femme.

c) Calculer la probabilité pour que le vainqueur soit une femme.

d) Sachant que le vainqueur est une femme, calculer la probabilité pour que son bateau soit un monocoque.

e) Sachant que le premier bateau est un monocoque, calculer la probabilité pour que son skipper soit une femme.

\ques{E9.} 	Un jeu de cubes se compose de treize cubes noirs et de deux cubes rouges. Combien faut-il en prendre simultanément pour que la probabilité d'avoir au moins un cube rouge dépasse $6/7$ ?

\ques{E10.}  Une urne contient trois boules blanches et quatre boules noires. On tire des boules une à une sans remettre les boules extraites dans l'urne. 

a) Calculer la probabilité de n'avoir que des boules noires dans l'urne en 3,4,5,6 tirages.

b) Que vaut la somme de ces probabilités ? Pourquoi ?

\ques{E11.}  On jette ensemble quatre dés.

a) Quelle est la probabilité d'obtenir un carré(a,a,a,a), un brelan (a,a,a,b), deux paires (a,a,b,b), une paire (a,a,b,c), une disposition quelconque (a,b,c,d) ?

b) Que vaut la somme de ces probabilités ?

\bigskip

DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS

\ques{E12.}  Durant la dernière année, un pâtissier a vendu jusqu'à 9 gâteaux d'anniversaire dans une même journée, mais il n'en a jamais vendu moins que 4. En analysant ses relevés de vente quotidiens, il constate qu'il a vendu 4 gâteaux dans 5\% des jours. Il décide donc d'utiliser cette donnée comme probabilité de vendre 4 gâteaux dans une même journée (voici un bel exemple de probabilité empirique). Par la même méthode des fréquences relatives, il a obtenu les autres probabilités suivantes :
\begin{eqnarray*}
	p(5\textrm{ gâteaux}) &=& 0.15,\quad		p(6\textrm{ gâteaux}) = 0.35,\quad		p(7\textrm{ gâteaux}) = 0.25\\
	p(8\textrm{ gâteaux}) &=& 0.12,\quad		p(9\textrm{ gâteaux}) = 0.08.
\end{eqnarray*}
Combien de gâteaux d'anniversaire peut-il espérer vendre en une journée cette année, si les habitudes de ses clients ne changent pas ?

\ques{E13.}  On lance un dé non pipé. Soit $X$ le nombre de points de la face supérieure.

a) Quelle est la valeur moyenne de $X$ ? Sa variance ?

b) On suppose qu'on reçoit 10 euros si on obtient 1, rien si on obtient 2 ou 3, et 4 euros si on obtient 5 ou 6. Quel est le prix honnête à payer pour lancer le dé une fois ?

c) On suppose maintenant qu'on reçoive 18 euros pour un 1 et rien sinon. Préférez-vous jouer au jeu décrit dans le b) où à celui-ci ? Pourquoi ?

d) On demande maintenant de miser 2 euros pour jouer au jeu du b) dans lequel les gains ont été divisés par deux. Quelle est l'espérance de votre gain net ? Et sa variance ?

\ques{E14.}  Déterminer l'espérance et la variance du volume d'un cube dont le côté suit une loi uniforme sur $[0,1]$.

\ques{E15.}  Au restaurant, un individu a l'habitude de payer la note par le multiple de 1 euro im\-mé\-dia\-te\-ment supérieur au montant de la facture et de laisser la différence en pourboire. Le pourboire en euros suit une loi uniforme continue de 0 à 1. 	Calculer $p(0.3\leq \textrm{ pourboire }\leq 0.7)$, $p(\textrm{pourboire }<0.2)$, $p(\textrm{pourboire }>0.75)$.

\ques{E16.}  Anatole doit expédier deux objets dans un pays où un paquet sur dix n'arrive jamais à destination. Les objets valent respectivement 100 euros et 150 euros. Il hésite. Faut-il envoyer un seul paquet ou deux paquets séparés ?

Soit $X$ et $Y$ les valeurs des envois arrivés à bon port par chacune des méthodes. Déterminer les espérances mathématiques de ces deux variables aléatoires. Que peut-on en conclure ?

\ques{E17.}  Un phénomène est décrit par une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{x}{k}\si 0\leq x<10,\\
&=&\frac{20-x}{k}\si 10\leq x<20.
\end{eqnarray*}

a) Déterminer la valeur de la constante $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité.

b) Tracer cette densité de probabilité.

c) Donner l'expression de sa fonction de répartition $F$.

d) Déterminer la probabilité que $X$ prenne une valeur dans l'intervalle $[5,15]$.

e) Calculer $F(10)$. Que représente cette probabilité ?

f) A quoi correspond la valeur $x = 10$ comme caractéristique de position?

\ques{E18.}  Deux variables $X$ et $Y$, dont les distributions sont données ci-dessous, sont indépendantes.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x$&	0&	1&	2\\\hline
$p(X = x)$&	1/4&	1/2&	1/4\\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$y$&	0&	1&	2&	3\\\hline
$p(Y = y)$&	1/8&	2/8&	3/8&	2/8\\\hline

\end{tabular}
\end{center}

Déterminer :

a) La distribution conjointe de $X$ et $Y$.

b) La distribution conditionnelle de $Y$ suivant les valeurs de $X$.

c) $E(XY)$, $E(X+Y)$ et $V(X+Y)$.

\bigskip

%F - RÉPONSES AUX EXERCICES DU E

\bigskip

%DÉNOMBREMENT


\so{E1}{Loto}{	
a)  1		b)  42		c)  252		d)  5166		e)  185115		f)  2 468 200}

\so{E2}{Poker}{	a)  1512	b)  28		c)  864		d)  1024		e)  224		f)  21196.}
\so{E3}{Confiture}{	512.}
\so{E4}{Foot}{58344.}
\so{E5}{Bridge}{557 383 680.}

\bigskip

%PROBABILITÉS


\so{E6}{Bottes}{a)  1/28	b)  4/7		c)  3/14	d)  6/7.}
\so{E7}{Cartes}{15435.}
\so{E8}{Voile}{a)  0.019	b)  0.125	c)  0.143	d)  0.132	e)  0.05.}
\so{E9}{Cubes}{$n<9$.}
\so{E10}{Boules}{a)  en trois tirages : 0.029 ; 	en 4 tirages : 0.114 ; 	en 5 tirages : 0.286 ; 	en 6 tirages : 0.571
	b)  1.}
\so{E11}{Dés}{a)  carré : $1/216$  ; 	brelan : $20/216$  ;		2 paires : $15/216$  ;	1 paire : $120/216$ ; 		disposition quelconque : $60/216$. 					b)  1.}

\bigskip

%DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS


\so{E12}{Pâtisserie}{Entre 6 et 7 (6.48)}
\so{E13}{Jeu de dé}{a)  21/6  et  35/12;	b)  3euros;		c)  celui du (b);		d)  -5  et  325.}
\so{E14}{Cube}{E(volume) =1/4,  	V(volume) = 9/112 .}
\so{E15}{Pourboire}{0.4;		0.2;		0.25.}
\so{E16}{Paquets}{E(X) = E(Y) = 225 euros : cela revient au même.}
\so{E17}{Variable continue}{a) 100;		c)  ;
		d) 0.75;		e) 0.50;		f) mode, médiane, moyenne.}


\so{E18}{Loi jointe}{}

\vfill\eject

\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2005-2006\par
\noindent{S5 IFIPS}\hfill Mathématiques : Probabilités et statistiques
\vskip1truecm
\centerline{\smc Feuille d'exercices n$^0$2 : Principales distributions de probabilités
%(avec corrigé)
}
\vskip1truecm

A - AUTO-ÉVALUATION A PROPOS DU COURS

\ques{A1.} Vrai ou faux ?

1. Une variable qui suit une loi de Poisson peut prendre aussi bien de grandes valeurs que de petites valeurs (au fait, qu'appelle-t-on petites dans ce cas ?).

2. A mesure que $\lambda$ augmente, la distribution $P(\lambda)$ tend à devenir symétrique.

3. L'aire sous la courbe normale $N(m,\sigma)$ à l'extérieur de l'intervalle 
$[m-3\sigma,m+3\sigma]$ est négligeable.

4. La table de la loi normale centrée réduite permet d'obtenir directement la probabilité $p(-t<T<0)$ si $t$ est une valeur prise par la variable aléatoire $T$ distribuée suivant la loi $N(0,1)$.

5. Si la variable aléatoire $X$, nombre de succès au cours de $n$ épreuves indépendantes, suit une loi binomiale $B(n,p)$ alors la variable aléatoire $X/n$, proportion de succès au cours des $n$ épreuves, suit aussi une loi binomiale.

6. Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $B(n,p)$, alors la variable aléatoire $X/n$ a pour espérance $p$ et pour variance $p(1-p)/n$.

7. Dans un lot de 2000 transistors, il y a 3\% de transistors défectueux. Lorsque l'on prélève un échantillon de 100 transistors, la proportion de transistors défectueux est encore 3\%.

\so{A1}{Vrai ou faux}{
1) FAUX, les petites valeurs (0, 1, 2, 3) ont des probabilités beaucoup plus fortes que les grandes, lorsque $\lambda$ est petit.

2) VRAI.

3) VRAI.

4) VRAI, car $p(-t<T<0)=p(0<T<t)$ qui figure dans la table.

5) FAUX, $X/n$ n'est pas à valeurs entières.

6) VRAI.

7) FAUX, le proportion de transistors défectueux dans un échantillon tiré au hasard est une variable aléatoire, elle n'est pas constante.
}


\ques{A2.} Savez-vous répondre ?

1. Quelle est la propriété remarquable de la loi de Poisson concernant ses paramètres descriptifs ?

2. Si $\alpha$ est l'intensité d'un processus de Poisson observable pendant un intervalle de temps $\Delta t$, que représente $\alpha\Delta t$ ?

3. Si $X$ suit une loi $N(m,\sigma)$, quelle est la probabilité que $X$ soit supérieur à $m$ ?

4. Qu'appelle-t-on variable normale centrée réduite ?

5. L'aire sous la courbe normale centrée réduite et au-dessus de l'intervalle $[-1.96,1.96]$ est		\begin{center}
a) 0.6826\hskip2cm	b) 0.9544\hskip2cm	c) 0.9500.
\end{center}

6. Quelle est la valeur de $t$ vérifiant $p(T<t)=0.8413$ lorsque $T$ suit la loi $N(0,1)$ ?

7. Soient $X_1$, $X_2$, $X_3$, trois variables aléatoires normales indépendantes telles que $E(X_1 ) = 100$, $Var(X_1 ) = 100$, $E(X_2 ) = 20$, $Var(X_2 ) = 4$, $E(X_3 ) = 50$, $Var(X_3 ) = 25$. On forme la combinaison linéaire $Y=X_1 +2X_2 -X_3$.

 a)  Quelle est la distribution de $Y$ ?

 b)  Déterminer $E(Y)$ et $Var(Y)$.

8. Quelle est l'espérance d'une variable de loi géométrique dont la variance est égale à 12 ?

9. Si une variable de loi exponentielle a une probabilité $1/2$ d'excéder la valeur 1, quelle est son espérance ?

\so{A2}{Savez-vous répondre ?}{
1) $E(X)=Var(X)=\lambda$.

2) Lorsque $\Delta t$ est infiniment petit, $\alpha\Delta t$ représente la probabilité que le processus se réalise dans un intervalle de temps de longueur $\Delta t$. En général, $\alpha\Delta t$ représente le nombre moyen de réalisations dans un intervalle de temps de longueur $\Delta t$.

3) $0.5$.

4) C'est une variable aléatoire qui suit une loi normale dont l'espérance est nulle et l'écart-type vaut 1.

5) $0.95$.

6) La table donne $t=1$.

7) a) $Y$ suit une loi normale.

b) $E(Y)=E(X_1 ) +2E(X_2 )-E(X_3 )=90$, $Var(Y)=Var(X_1 ) +4Var(X_2 )+Var(X_3 )=141$.

8) $Var(X)=\frac{1-p}{p^2}=12 \Rightarrow E(X)=\frac{1}{p}=4$.

9) Pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$,
\begin{eqnarray*}
p(X\geq 1)=\int_{1}^{\infty}\lambda e^{-\lambda t}\,dt=e^{-\lambda},
\end{eqnarray*}
donc, ici, $\lambda=\ell n(2)$, d'où $E(X)=1/\ell n(2)$.
}

\vskip1cm

\bigskip

B - EXERCICES A TRAITER EN TRAVAUX DIRIGES

\bigskip

\ques{B1.}  L'entreprise Luminex fabrique une lampe miniature qui est utilisée comme lampe-témoin sur des panneaux de contrôle électronique. Le responsable du contrôle de la fabrication a établi que  80\% des lampes durent plus de 3000 heures. Des tests sont effectués sur des échantillons de taille $n = 15$. On s'intéresse au nombre de lampes dont la durée de vie est inférieure à 3000 heures dans un échantillon de taille 15.

a) Quelle est le nombre moyen de lampes qui ont une durée de vie inférieure à  3000 heures dans un échantillon de taille 15 ?

b) Quelle est la probabilité que toutes les lampes de l'échantillon durent plus de 3000 heures ?

c) Quelle est la probabilité que 13 lampes et plus, dans un échantillon de taille 15, durent plus de 3000 heures ?

\so{B1}{Luminex}{
a) Une lampe tirée au hasard a une probabilité de $0.2$ d'avoir une durée de vie inférieure à 3000 heures. Le nombre $X$ de lampes qui ont une durée de vie inférieure à 3000 heures dans un échantillon de taille 15 tiré au hasard est la somme de 15 variables de Bernoulli de paramètre $p=0.2$. Par conséquent, il suit une loi binomiale $B(15,0.2)$. Son espérance vaut $E(X)=15\times 0.2=3$.

b) C'est $p(X=0)=\choose{0}{15}(0.2)^0 (0.8)^{15}\sim 0.0352$.

c) C'est $p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)$
\begin{eqnarray*}
&=&\choose{0}{15}(0.2)^0 (0.8)^{15}+\choose{1}{15}(0.2)^1 (0.8)^{14}+\choose{2}{15}(0.2)^2 (0.8)^{13}\\&=&0.0352+0.1319+0.2309=0.398... .
\end{eqnarray*}
}

\ques{B2.}  L'opératrice d'un standard téléphonique reçoit en moyenne 2 appels par minute. Les appels sont répartis au hasard dans le temps.

a) Quelle est la loi de probabilité régissant le nombre d'appels reçus en 5 minutes ?

b) Quelle est la probabilité que ce nombre d'appels égale ou dépasse 15 ?

c) Quelle est la probabilité qu'il y ait entre 5 et 10 appels (bornes comprises) en 3 minutes ?

\so{B2}{Téléphone}{
a) C'est une loi de Poisson de paramètre $10$.

b) La table donne $p(X\leq 14)=0.9166$, d'où $p(X\geq 15)=0.0834$.

c) Soit $Y$ la variable aléatoire ``Nombre d'appels reçus en 3 minutes''. Alors $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre 6. La probabilité qu'il y ait entre 5 et 10 appels est $p(Y\leq 10)-p(Y\leq 4)=0.6723$.
}

\ques{B3.}  Une machine est conçue pour confectionner des paquets d'un poids de 500g. Elle a confectionné 1000 paquets mais ils n'ont pas exactement tous le même poids. On a constaté que la distribution des poids autour de la valeur moyenne de 500g avait un écart-type de 25g.

a) Combien de paquets pèsent entre 480g et 520g ?

b) Combien de paquets pèsent entre 480g et 490g ?

c) Combien pèsent plus de 450g ?

d) Entre quelles limites symétriques par rapport à la moyenne sont comprises les 9/10 de cette production ?

\so{B3}{Poids des paquets}{
a) L'énoncé suggère que le poids en grammes $P$ des paquets est une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance 500 et d'écart-type 25. Soit $X$ la variable aléatoire réduite correspondante, $Y=(X-500)/25$. Alors 
\begin{eqnarray*}
p(480\leq X\leq 520)&=&p(|Y|\leq 4/5)=2p(0\leq Y\leq 0.8)=0.576.
\end{eqnarray*}
On s'attend donc à ce que, sur 1000 paquets, il y en ait 576 dont le poids est compris entre 480g et 520g.

b)\begin{eqnarray*}
p(480\leq X\leq 490)&=&p(-0.8\leq Y\leq -0.4)\\
&=&p(0.4\leq Y\leq 0.8)\\
&=&p(Y\leq 0.8)-p(Y\leq 0.4)=0.1327.
\end{eqnarray*}
On s'attend donc à ce que, sur 1000 paquets, il y en ait 132 dont le poids est compris entre 480g et 490g.

c) \begin{eqnarray*}
p(450\leq X)&=&0.5+p(Y\leq 2)=0.5+0.4772=0.9772.
\end{eqnarray*}
On s'attend donc à ce que, sur 1000 paquets, il y en ait 977 dont le poids est supérieur à 450g.

d) Il faut trouver $t$ tel que $p(|Y|<t)=0.9$. La table donne $t=1.645$, puis $500+25t=541$, $500-25t=459$. Par conséquent, environ 90\% de la production a un poids compris entre 459g et 541g.
}

\ques{B4.}  On veut transmettre un message électronique composé des digits 0 et 1. Les conditions imparfaites de transmission font en sorte qu'il y a une probabilité égale à  0.1 qu'un 0 soit changé en un  1  et un  1  en un  0  lors de la réception, et ce de façon indépendante pour chaque digit. Pour améliorer la qualité de la transmission, on propose d'émettre le bloc  00000 au lieu de  0  et le bloc  11111  au lieu de  1  et de traduire une majorité de  0  dans un bloc lors de la réception par  0  et une majorité de  1  par  1.

a) Quelle est la probabilité de recevoir une majorité de 1 si 00000 est émis ?

b) Quelle est la probabilité de recevoir une majorité de 1 si 11111 est émis ?

\so{B4}{Redondance}{
a) Soit $X$ la variable aléatoire ``nombre d'erreurs commises lors de la transmission de 5 bits''. Alors $X$ suit une loi binomiale $B(5,0.1)$. Recevoir une majorité de 1 alors que 00000 a été émis correspond à l'évènement $X\geq 3$. Sa probabilité est
\begin{eqnarray*}
p(X=3)+p(X=4)+p(X=5)&=&\choose{3}{5}(0.1)^3 (0.9)^2 +\choose{4}{5}(0.1)^4 (0.9)^1 +
\choose{5}{5}(0.1)^5 (0.9)^0 \\
&=&0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.
\end{eqnarray*}

b) Recevoir une majorité de 1 alors que 11111 a été émis correspond à l'évènement $X\leq 2$, i.e. au complémentaire du précédent. Sa probabilité est donc $1-0.00856=0.99144$. Par conséquent, au prix de multiplier par 5 le temps de transmission, on améliore considérablement la fiabilité.
}

\ques{B5.}  Chaque année entre le  10  et le  14 août, la Terre traverse l'orbite de la comète Swift-Tuttle III, qui est jonchée de débris de toutes sortes (poussières microscopiques et cailloux de toutes tailles) qui pénètrent dans l'atmosphère terrestre à grande vitesse, occasionnant une pluie de météores ou d'``étoiles filantes''. On les appelle les Perseïdes parce qu'elles semblent émaner de la constellation de Persée. Dans cette période, on peut apercevoir jusqu'à 40 étoiles filantes par heure.

a) Montrer que le passage d'étoiles filantes est régi par un processus de Poisson. On suppose alors que l'intensité de ce processus est  40 étoiles par heure.

b) Combien d'étoiles filantes peut-on voir en moyenne en un quart d'heure ?

c) Quelle est la probabilité de voir passer au moins  10  étoiles en un quart d'heure ?

d) Quel est le nombre maximum d'étoiles que l'on peut voir passer en un quart d'heure dans  95 \%  des cas ?

e) Quel est le temps d'attente moyen entre deux passages successifs d'étoiles filantes ?

f) Quelle est la probabilité d'attendre au moins 3 minutes entre deux passages successifs ?

\so{B5}{Etoiles filantes}{
a) La répartition des débris dans la queue de la comète n'ayant aucune propriété particulière, le nombre d'étoiles filantes observées dans un intervalle court (quelques minutes), n'est en rien conditionné par les observations faites durant une période antérieure de même durée, et est proportionnel à cette durée (40 étoiles par heure). Il est très improbable que 2 étoiles filantes passent dans un même intervalle de temps très court (inférieur à une seconde). Par conséquent, le processus ``étoile filante'' vérifie les hypothèses qui caractérisent les processus de Poisson.

b) Le nombre d'étoiles filantes qu'on s'attend à voir en moyenne en un temps (mesuré en heures) $\Delta t=1/4$ est $\alpha\Delta t=40\times\frac{1}{4}=10$.

c) La variable aléatoire $X=$ ``nombre d'étoiles filantes observées en un quart d'heure'' suit une loi de Poisson de paramètre 10. La probabilité de voir passer au moins 10  étoiles en un quart d'heure vaut
\begin{eqnarray*}
p(X\geq 10)=1-p(X\leq 9)=1-0.458=0.542.
\end{eqnarray*}

d) La table donne $p(X\leq 14)=0.916542$ et $p(X\leq 15)=0.95126$. Observer 16 étoiles filantes ou plus en un quart d'heure est un évènement de probabilité inférieure à 0.05. Avec un risque d'erreur inférieur à 5\%, on peut affirmer qu'on voit passer au maximum 15 étoiles filantes en un quart d'heure.

e) Soit $Y$ la variable aléatoire ``Quel est le temps d'attente entre deux passages successifs d'étoiles filantes'', mesuré en heures. Elle obéït à une loi exponentielle de paramètre $\alpha=40$. Son espérance (temps moyen d'attente) est $E(Y)=1/\alpha=1/40$ème d'heure, soit 1.5mn.

f) La probabilité d'attendre au moins 3 minutes entre deux passages successifs est
\begin{eqnarray*}
p(Y>2/\alpha)=\int_{2/\alpha}^{\infty}\alpha e^{-\alpha t}\,dt=\int_{2}^{\infty}e^{-u}\,du=e^{-2}=0.135.
\end{eqnarray*}

}

\ques{B6.}  Guy est distrait : quand il s'arrête pour prendre de l'essence, il y a une chance sur cinq pour qu'il reparte sans sa passagère, descendue pour visiter les lieux. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'étapes que Guy parcourt en compagnie de sa passagère.

a) Combien d'étapes Guy parcourt-il, en moyenne, en compagnie de sa passagère ?

b) Quelle est la probabilité qu'il parcoure au moins trois étapes avec elle ?

c) Quel est le nombre maximum d'étapes que peut comporter le voyage pour que la passagère arrive à destination dans la voiture de Guy avec une probabilité supérieure à  0.6 ?

\so{B6}{Conducteur distrait}{
a) Soit $X_n$ la variable de Bernoulli qui vaut 1 si Guy abandonne sa passagère au $n$-ème arrêt, 0 sinon. Ces variables sont indépendantes. Le nombre $N$ d'étapes parcourues avec la passagère est le nombre de fois qu'il faut répéter l'épreuve $X_n$ avant d'obtenir un succès. Il suit donc une loi géométrique de paramètre $0.2$. Son espérance, temps moyen avant que la passagère soit abandonnée, vaut $E(N)=1/p=5$.

b) La probabilité que Guy parcoure au moins trois étapes avec sa passagère est
\begin{eqnarray*}
p(N\geq 3)=1-p(N=1)-p(N=2)=1-p-qp=0.64.
\end{eqnarray*}

c) D'après b), si le trajet comporte 3 étapes ou moins, la probabilité que la passagère soit restée en rade avant l'arrivée est $0.64>0.6$. On se souvient du calcul qui justifie le fait que la loi géométrique est ``sans mémoire" : $p(N>n)=(1-p)^n$. On calcule $p(N>3)=(0.8)^3 =0.512<0.6$. Par conséquent, si le trajet comporte 4 étapes ou plus, la probabilité que la passagère n'arrive pas au bout du voyage est $<0.6$.
}

\ques{B7.}  La distribution statistique suivante donne la répartition du nombre de jours sans accident, avec un accident,..., avec quatre accidents pour une période de  50  jours dans une ville.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre d'accidents $x_i$&	0&1&2&3&4&Total\\\hline
Nombre de jours $n_i$&21&18&7&3&1&50\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

a) Calculer le nombre moyen d'accidents par jour pendant la période de 50 jours.

b) On veut ajuster la distribution précédente à l'aide d'une loi théorique. On choisit la loi de Poisson. Justifier ce choix. Calculer la probabilité pour qu'il arrive 0 accident, 1, 2, 3, 4  accidents. En déduire le nombre théorique $Nth_{i}$ de jours où auront lieu  0, 1, 2, 3, 4  accidents.

c) Comparer $Nth_{i}$  et $n_{i}$ ainsi que la variance de la loi théorique et la variance de la loi empirique. Conclure.

d) Combien y aura-t-il de jours sans accident pendant une période de 365 jours ?

\so{B7}{Accidents de la route}{
a) Le nombre moyen d'accidents par jour est $\frac{1}{50}\sum_{i=0}^{4}x_i n_i=\frac{45}{50}=0.9$.

b) Le nombre moyen d'accidents pendant un court intervalle de temps est indépendant de ce qui a pu se passer plus tôt, et est proportionnel à la durée considérée. De plus, il est très rare que deux accidents se produisent pendant le même intervalle de temps très court. Par conséquent, il satisfait aux axiômes qui caractérisent les processus de Poisson. On prend pour intensité de ce processus le nombre moyen d'accidents par jour qui a été mesuré, à savoir $\alpha=0.9$. On modélise donc le nombre d'accidents par jour par une variable aléatoire $N$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda=\alpha\Delta t=0.9$. On a $p(N=i)=e^{-\lambda}\lambda^{i}/i!$. Naïvement, on propose comme prédiction $Nth_i$ pour le nombre de jours avec $i$ accidents au cours d'une période de 50 jours le nombre entier le plus proche du produit $Nth_i =50 p(N=i)$.
Cela donne le tableau suivant.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$p(N=0)$&$p(N=1)$&$p(N=2)$&$p(N=3)$&$p(N=4)$\\\hline
0.407&0.366&0.165&0.05&0.01\\
20.3$\sim$20&18.3$\sim$18&8.2$\sim$8&2.5$\sim$3&0.56$\sim$1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

c) La corrélation est plutôt bonne. La variance empirique du nombre d'accidents par jour sur l'échantillon est
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{50}\sum_{i=0}^{4}x_{i}^{2}n_i -(0.9)^2 =1.78-0.81=0.97.
\end{eqnarray*}
La variance théorique est $Var(N)=E(N)=0.9$, qui est très proche de la variance empirique. On étudiera plus tard des méthodes (e.g. test du $\chi^2$) pour mesurer la qualité de l'ajustement.

d) Sur 365 jours, $Nth_0$ devient $365p(N=0)=356\times  
0.4066=148$ jours.
}

\ques{B8.} Comparaison du temps de fonctionnement de deux systèmes.

1. Deux éléments d'un système sont montés en parallèle. Le système fonctionne tant qu'au moins l'un des deux éléments fonctionne. On suppose que les temps de fonctionnement des éléments, $X_{1}$ et $X_{2}$, suivent une loi exponentielle et sont indépendants. $X_{1}$ et $X_{2}$ ont respectivement pour espérance  1000h  et  1500h. Calculer et comparer :

a) La probabilité que le premier élément fonctionne un temps inférieur à  900h.

b) La probabilité que le deuxième élément fonctionne un temps inférieur à  900h.

c) La probabilité que le système fonctionne un temps inférieur à  900h.

2. Les deux éléments sont maintenant montés en série. Le système fonctionne seulement lorsque les deux éléments fonctionnent. Calculer la probabilité que le système fonctionne un temps inférieur à  900h. Comparer avec les probabilités calculées au problème précédent.

\so{B8}{Fiabilité}{
1.a) Comme $X_1$ suit une loi exponentielle de paramètre $1/1000$, 
\begin{eqnarray*}
p(X_1 \leq 900)=\int_{0}^{900}\frac{1}{1000}e^{-t/1000}\,dt=\int_{0}^{0.9}e^{-u}\,du=1-e^{-0.9}=0.593.
\end{eqnarray*}


b) Comme $X_2$ suit une loi exponentielle de paramètre $1/1500$, 
\begin{eqnarray*}
p(X_2 \leq 900)=\int_{0}^{900}\frac{1}{1500}e^{-t/1500}\,dt=\int_{0}^{0.6}e^{-u}\,du=1-e^{-0.6}=0.451.
\end{eqnarray*}


c) L'évènement $A=$ ``le système en parallèle fonctionne moins de 900h'' s'écrit $A=\{X_1 \leq 900\}\cap\{X_2 \leq 900\}$. Comme $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes, les probabilités se multiplient, et $p(A)=0.593\times 0.451=0.268$.

2. Dans le cas d'un branchement en série, l'évènement $B=$ ``le système en série fonctionne moins de 900h'' s'écrit $B=\{X_1 \leq 900\}\cup\{X_2 \leq 900\}$, d'où
\begin{eqnarray*}
p(B)&=&p(X_1 \leq 900)+p(X_2 \leq 900)-p(A)\\
&=&0.593+0.451-0.268=0.776.
\end{eqnarray*}
Ca fait une grosse différence.
}

\ques{B9.}  Le diamètre d'un palier supportant un arbre de transmission doit excéder de  5 à  20 mm le diamètre de l'arbre pour que l'assemblage soit fonctionnel. En supposant que le diamètre de l'arbre suit une loi normale de moyenne  10 cm et d'écart-type  1 mm et que le diamètre du palier suit une loi normale de moyenne  11 cm et d'écart-type  2 mm, calculer la probabilité que l'assemblage d'un palier et d'un arbre pris au hasard de façon indépendante soit fonctionnel.

\so{B9}{Paliers et arbres}{
Soit $X$ la variable aléatoire ``diamètre de l'arbre'' en mm, soit $Y$ la variable aléatoire ``diamètre du palier'' en mm. Alors $X$ suit une loi $\mathcal{N}(100,1)$ et $Y$ suit une loi $\mathcal{N}(110,2)$. Alors la différence $Z=Y-X$ suit une loi normale d'espérance $E(Z)=E(Y)-E(X)=10$ et de variance $Var(Z)=Var(X)+Var(Y)=1+4=5$. Soit $R=(Z-10)/\sqrt{5}$ la variable centrée réduite correspondante. L'évènement $A=\{5\leq Z\leq 20\}$ s'écrit aussi $\{-\sqrt{5}\leq R\leq 2\sqrt{5}$. Il vient
\begin{eqnarray*}
p(A)&=&p(-\sqrt{5}\leq R\leq 0)+p(0\leq R\leq 2\sqrt{5})\\
&=&p(0\leq R\leq 2.236)+p(0\leq R\leq 4.472)\\
&=&0.487+0.5=0.987.
\end{eqnarray*}
}

\ques{B10.} Un transporteur aérien a observé que  10\% en moyenne des personnes ayant réservé un siège pour un vol ne se présentent pas au départ. S'il accepte jusqu'à  240  réservations alors qu'il ne dispose que de  230  sièges pour ce vol, quelle est la probabilité que toutes les personnes qui se présentent au départ aient un siège ?


\so{B10}{Surbooking}{
On suppose que les voyageurs ont des comportements indépendants. Alors le nombre $N$ de clients qui se présentent au départ est la somme de 240 variables de Bernoulli indépendantes, donc il suit une loi binomiale $B(240,0.9)$. Faute de table de la loi binomiale avec d'aussi grands paramètres, on approxime $N$ par une variable $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}(216,\sqrt{21.6})$ de même espérance et même variance. On vérifie que les conditions nécessaires d'approximation
\begin{eqnarray*}
240=n\geq 30,\quad 216=np\geq 15,\quad 24=n(1-p)\geq 15
\end{eqnarray*}
sont satisfaites. Soit $R=(X-216)/\sqrt{21.6})$ la variable centrée réduite correspondante. L'évènement $A=$ ``toutes les personnes présentes au départ ont un siège'' s'écrit $A=\{N\leq 230\}\sim\{R\leq 14/\sqrt{21.6}=3.01$. La table de la loi normale donne $p(A)\sim 0.9987$. Si on applique la correction de continuïté,  on approche $A$ par $\{X\leq 230.5\}$, ce qui donne $p(A)\sim 0.9991$. 
}

\ques{B11.} Un compteur, placé au voisinage d'une source radioactive, enregistre en moyenne 5 impulsions par minute.

a) On effectue un comptage pendant deux minutes. Quelle est la probabilité d'observer un nombre $r$ d'impulsions dans les trois cas suivants ? 
\begin{eqnarray*}
 r = 10,\quad 9\leq r\leq 11,\quad 7\leq r\leq 13.
\end{eqnarray*}
 
b) On effectue un comptage pendant six minutes. Quelle est la probabilité d'observer un nombre $r$ d'impulsions lorsque $r = 30$ ? lorsque $28\leq r\leq 32$ ?

\so{B11}{Radioactivité}{
a) Le nombre $X$ d'impulsions enregistrées pendant deux minutes est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre $\alpha\Delta t=5\times 2=10$. Par conséquent
\begin{eqnarray*}
p(X=10)&=&e^{-10}\frac{10^{10}}{10!}=0.125,\\
p(9\leq X\leq 11)&=&e^{-10}(\frac{10^{9}}{9!}+\frac{10^{10}}{10!}+\frac{10^{11}}{11!})=0.364,\\
p(7\leq X\leq 13)&=&0.364+e^{-10}(\frac{10^{7}}{7!}+\frac{10^{8}}{8!}+\frac{10^{12}}{12!}+\frac{10^{13}}{13!})=0.734.
\end{eqnarray*}

(En réalité, on utilise la table).

b) Le nombre $Y$ d'impulsions enregistrées pendant six minutes est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre $\alpha\Delta t=5\times 6=30$. Faute de table pour une loi de Poisson avec un paramètre aussi grand, on approche $Y$ par une variable $Z$ suivant la loi normale $\mathcal{N}(30,\sqrt{30})$ de même espérance et même variance. Comme $30=\lambda\geq 16$, on a la droit de le faire. Soit $R=(Z-30)/\sqrt{30})$ la variable standardisée correspondante. Cela donne (avec la correction de continuïté),
\begin{eqnarray*}
p(Y=30)&\sim &p(29.5\leq Z\leq 30.5)=p(|Z|\leq 0.091)=0.0727,\\
p(28\leq Y\leq 32)&\sim &p(28.5\leq Z\leq 32.5)=p(|Z|\leq 0.456)=0.352.
\end{eqnarray*}
}

\ques{B12.} L'entreprise Simtech fabrique des tubes de verre pour l'entreprise Gescom. Gescom utilise ces tubes dans la fabrication d'un de ses produits. Gescom exige que les lots livrés par Simtech contiennent au plus  1\%  de défectueux. Elle considère également qu'un lot présentant  6\%  (ou plus) de tubes de verre défectueux est inacceptable et devrait avoir très peu de chances d'être accepté. Les lots sont habituellement constitués de  5000 tubes de verre. Le qualiticien de l'entreprise Gescom a mis au point le plan de contrôle suivant qui est utilisé pour réceptionner chaque livraison de Simtech.
A chaque livraison, prélever au hasard  200 tubes de verre. Si dans cet échantillon, on trouve  4  tubes de verre (ou moins) défectueux, le lot est considéré comme bon. Si l'on trouve  5  tubes de verre (ou plus) défectueux, le lot est  refusé et sera retourné à l'entreprise Simtech sans plus d'inspection.

a) On suppose que la proportion de tubes défectueux dans le lot est de  1\%. Identifier la loi de la variable aléatoire qui intervient dans ce plan de contrôle. Par quelle loi peut-on l'approcher ? Pourquoi ?

b) Avec ce plan de contrôle, quelle est la probabilité pour Simtech de se voir refuser un lot contenant  1\%  de défectueux au contrôle de réception de Gescom ?

c) Quelles sont les chances sur  1000 que Gescom accepte un lot comportant  6\%  de défectueux avec son plan de contrôle ?


\so{B12}{Contrôle qualité}{
a) La variable aléatoire pertinente est le nombre $X$ de tubes défectueux obtenus lorsqu'on tire au hasard 200 tubes parmi 5000. Elle suit une loi binomiale $B(200,0.01)$. Comme $np=2$ est petit, on ne peut pas approcher la loi binomiale par une loi normale. En revanche, 
\begin{eqnarray*}
200=n>20,\quad 2=np\leq 5,\quad 0.01=p\leq 0.1,
\end{eqnarray*}
donc on peut approcher $B(200,0.01)$ par la loi de Poisson $\mathcal{P}(2)$ de même espérance.

b) Sous l'hypothèse que le lot contient 1\% de tubes défectueux, on peut utiliser la modélisation de la question a). L'évènement $A=$ ``lot rejeté'' s'écrit $A=\{X\geq 5\}$, donc
\begin{eqnarray*}
p(A)=1-p(X\leq 4)=1-0.947=0.0526.
\end{eqnarray*}

c) Désormais, on fait l'hypothèse que le lot considéré contient 6\% de tubes défectueux. Soit $Y$ la variable aléatoire ``nombre de tubes défectueux obtenus lorsqu'on tire au hasard 200 tubes parmi les 5000 de ce lot". Elle suit une loi binomiale $B(200,0.06)$. Cette fois, $np=12$ est entre deux eaux : trop grand pour la loi de Poisson, trop petit pour la loi normale. On essaie les deux. L'évènement $B=$ ``lot accepté'' s'écrit $B=\{Y\leq 4\}$. 
La loi de Poisson $\mathcal{P}(12)$ donne $p(B)\sim 0.0076$. L'approximation par une variable $Z$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}(12,\sqrt{11.28})$ donne
\begin{eqnarray*}
p(B)\sim p(Z\leq 4.5)=p(\frac{Z-12}{\sqrt{11.28}}\leq -2.23)=0.0128.
\end{eqnarray*}
Gescom ne prend pas grand risque.
}

\ques{B13.} Une personne sur  100  est daltonienne. Au conseil de révision pour le service militaire, la visite médicale permet de recenser les daltoniens. On note $F_{n}$ le pourcentage de daltoniens sur $n$ conscrits. En utilisant une approximation de loi, déterminer une valeur de $n$ à partir de laquelle ce pourcentage se trouve dans l'intervalle $[0.009,0.011]$ avec une probabilité supérieure à 0.9.

\so{B13}{Daltonisme}{
Soit $X_n$ la variable aléatoire ``nombre de daltoniens parmi $n$ conscrits tirés au hasard''. Elle suit une loi binomiale $B(n,0.01)$. Pour $n$ très grand (la visite médicale concerne plusieurs centaines de milliers de jeunes gens), on peut approcher $X_n$ par une variable $Y$ qui suit une loi normale $\mathcal{N}(0.01\times n,\sqrt{0.0099\times n})$. $F_n =X_n /n$ est approchée par $Y/n$ qui suit une loi normale $\mathcal{N}(0.01,\sqrt{0.0099/n})$. Alors 
\begin{eqnarray*}
p(0.009\leq F_n \leq 0.011)&\sim& p(0.009\leq Y/n\leq 0.011)\\
&=& p(|\frac{Y-0.01\times n}{\sqrt{0.0099\times n}}|\leq \frac{0.001\times n}{\sqrt{0.0099\times n}}).
\end{eqnarray*}
Or $R=\frac{Y-0.01\times n}{\sqrt{0.0099\times n}}$ est normale standard, l'équation $p(|R|\leq t)=0.9$ a pour solution $t=1.645$. Si $n\geq 26789$, $\frac{0.001\times \sqrt{n}}{\sqrt{0.0099}}\geq 1.645$, donc $p(0.009\leq F_n \leq 0.011)\geq 0.1$.
}

\bigskip

\vskip1cm

C- EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

\bigskip

\ques{C1.}  A un jeu avec un adversaire, on a une probabilité $p$ de gagner, $q$ de perdre, et $r$ de faire une partie nulle. Dans ce dernier cas, on détermine qui sera gagnant par tirage au sort en lançant une pièce de monnaie non pipée. On joue une suite de parties indépendantes dans les même conditions.

a) Quelle est la relation entre $p$, $q$, $r$ ?

b) Déterminer la loi exacte des variables aléatoires suivantes :
\begin{enumerate}
  \item Le nombre de parties jusqu'à la première partie nulle.

  \item Le nombre de parties jusqu'à la première partie gagnée par tirage au sort.

  \item Le nombre de parties jusqu'à la première partie gagnée.
\end{enumerate}

\ques{C2.} Des billes produites par un manufacturier ont un diamètre (en cm) qui suit une loi de moyenne  1  et d'écart-type  0.02. Les billes qui ont un diamètre qui n'est pas compris entre  0.96  et  1.05  sont rejetées. Quelle est la proportion des billes qui sont rejetées ?

\ques{C3.}  Soit  X  une variable de loi normale  $\mathcal{N}(20,16)$. Trouver 2 nombres réels  $a$  et  $b$  tels que $p(a\leq X\leq b)  = 0.50$.

Remarque : Il y a une infinité de solutions.

\ques{C4.}  Selon le Chevalier de Méré (1607-1685), la probabilité d'obtenir au moins  1 fois une face avec  1 point en lançant de façon indépendante  4 fois un dé est la même que la probabilité d'obtenir au moins une fois  2 faces avec un point chacune en lançant de façon indépendante  24 fois  2  dés. En supposant des dés standard à  6 faces non pipés, le raisonnement est le suivant : en lançant un dé, on a une chance sur  6  d'obtenir  1  face avec  1 point, donc en le lançant  4 fois on aura  4 chances sur  6  d'obtenir au moins  1 face avec  1 point; de façon analogue, en lançant  2  dés, on a une chance sur 36 d'obtenir  2 faces avec  1 point chacune, donc en les lançant  24 fois on aura  24 chances sur 36 d'obtenir au moins une fois 2 faces avec 1 point chacune. Or 24/36=4/6=2/3. Mais en fait, le raisonnement est faux. Trouver l'erreur dans le raisonnement et déterminer les probabilités correctes des deux événements.

\ques{C5.}  L'entreprise Tubex fabrique des tubes de verre qui sont utilisés par une autre usine, filiale de Tubex. D'après le département d'assurance Qualité, la proportion de tubes de verre défectueux se situe à  5 \%.

a) Quelle est la probabilité que le 4ème tube de verre contrôlé s'avère le premier défectueux ?

b) Combien de tubes doit-on contrôler, en moyenne, pour observer le premier tube défectueux ?


\ques{C6.} Datation

Les principales méthodes de datation s'appuient sur l'hypothèse que le temps de vie d'un isotope radioactif, appelé isotope mère, suit une loi exponentielle avant de se désintégrer par l'éjection d'une ou plusieurs particules de son noyau en un isotope stable, appelé isotope fille. Le paramètre $\alpha$ de la loi exponentielle, appelé taux de désintégration, dépend du type d'isotope radioactif.

a) Montrer que la probabilité que l'isotope radioactif ne soit pas encore désintégré après un temps $t$ est $e^{-\alpha t}$.

b) Si l'on suppose à l'origine un grand nombre $N_0$ d'isotopes radioactifs du même type, de taux de désintégration $\alpha$, avec des temps de vie indépendants et si l'on suppose que le nombre d'isotopes radioactifs qui restent après un temps $t$ est $N$, déterminer la relation approchée reliant $N$, $N_{0}$, $\alpha$  et $t$.

c) La demi-vie représente le temps nécessaire pour diminuer de moitié le nombre d'isotopes radioactifs dans un échantillon (roche ou parcelle d'origine organique). Cette demi-vie est notée $t_{1/2}$. $\alpha$  étant toujours le taux de désintégration des isotopes, trouver la relation entre $\alpha$ et $t_{1/2}$.

Le nombre $N$ d'isotopes radioactifs d'un type donné présent aujourd'hui dans un échantillon est obtenu directement par l'observation de ce nombre dans l'échantillon. Le nombre $N_{0}$ d'isotopes radioactifs de ce type présents originellement dans l'échantillon est obtenu principalement de deux façons.
\begin{itemize}
  \item On compte le nombre $\tilde{N}$ d'isotopes filles dans l'échantillon (lorsqu'on a de bonnes raisons de croire que ceux-ci n'ont pas été dispersés à l'extérieur et qu'il proviennent tous de la désintégration d'isotopes mères dans l'échantillon) et on l'ajoute au nombre d'isotopes toujours radioactifs dans l'échantillon pour obtenir	$N=N_0 +\tilde{N}$.	 
  \item On compte le nombre d'isotopes radioactifs du même type dans un échantillon de même nature mais d'âge 0  et on admet que ce nombre est celui à l'origine dans l'échantillon d'âge inconnu, donc égal à $N_{0}$ (cette méthode est employée par exemple pour le carbone-14 dont l'isotope fille, l'azote-14, se mélange instantanément à l'azote-14 environnant).
\end{itemize}

d) L'isotope fille de l'uranium-238 est le plomb-206. La demi-vie de  l'uranium-238 est $4.51\times 10^9$ années. Dans un échantillon on a dénombré $4\times 10^{12}$ isotopes d'uranium-238 et 1012 isotopes de plomb-206. Déterminer l'âge de l'échantillon.

\ques{C7.} Un automobiliste doit dévisser dans le brouillard les boulons d'une roue de sa voiture. Il utilise une croix dont les quatre extrémités sont des clés de taille différentes indiscernables au toucher.

a) Il procède au hasard, sans méthode. Calculer la probabilité de faire trois essais pour trouver la bonne clé. Généraliser à $n$ essais. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'essais. Quelle sont son espérance et sa variance ?

b) Il procède au hasard, en éliminant les extrémités déjà testées. Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d'essais. Quelle est sa loi de probabilité ? Calculer son espérance.

\ques{C8.}  Une firme construit un appareil électronique en grande série. Cet appareil est formé de divers éléments que l'on supposera infiniment résistants, sauf deux d'entre eux, que l'on baptisera $E_{1}$ et $E_{2}$, dont la durée de vie est courte.
Les durée de vie de $E_{1}$ et $E_{2}$ sont connues par leurs distributions de probabilité qui sont approximativement normales et dont les caractéristiques sont les suivantes.
\begin{itemize}
  \item Pour $E_{1}$ : durée moyenne de vie 1500h, écart-type 150h.
  \item Pour $E_{2}$ : durée moyenne de vie 1800h, écart-type 200h.
\end{itemize}
 
a) On prend un appareil au hasard et on le fait fonctionner. Quelle est la probabilité qu'il soit encore en marche sans avoir eu de panne au bout de  1400h ? de  1600h ?

b) Quelle est la probabilité qu'au bout de  1600h  on ait dû changer un élément et un seul ?

c) Quelle est la probabilité qu'au bout de  1600h  on ait dû changer au moins un élément?

\ques{C9.}  Une voie d'accès est reliée à une autoroute en un point  A. Les véhicules arrivent par la voie d'accès, au point  A, au taux de  3 véhicules par minute et de l'autoroute, au taux de 7 véhicules par minute. 

a) Quelle est la loi de probabilité régissant le nombre total de passages au point  A  en 1 minute ?

b) Quel est le nombre moyen de passages au point  A  en  5 minutes ?

c) Quel est le nombre total de passages au point  A  le plus probable au cours d'une période de 1 minute ? Est-il unique ?

d) Quelle est la probabilité pour qu'il se présente entre  5 et 10 véhicules (bornes incluses) au point  A  au cours d'une période de  1 minute ?

e) Quel est le temps moyen d'attente entre le passage de deux véhicules au point  A ?

\ques{C10.}  Une confiture est qualifiée de ``pur sucre'' si elle contient entre  420  et  520g de sucre par kg. Un fabriquant vérifie  200 pots de  1 kg. Il trouve que le poids moyen de sucre est  465g avec un écart-type de  30g.

a) En considérant l'échantillon comme représentatif, calculer le pourcentage de la production du fabricant qui ne doit pas porter la mention ``pur sucre'' en considérant que le poids du sucre suit une loi normale.

b) Afin d'améliorer la qualité ``pur sucre'' le fabriquant souhaite éliminer  15\% de sa production. Déterminer un intervalle $[a,b]$, centré sur la moyenne, tel que $p(a\leq X\leq b) = 0.85$.

c) Un magasin diététique lui propose d'acheter les pots à condition qu'ils aient  moins de  495g de sucre, mais au minimum $x_{0}$g. Déterminer $x_{0}$ sachant que le fabriquant refusera la vente au dessous de  20\% de chute.

\ques{C11.}  Une société minière exploite deux gisements. Le premier a une production journalière moyenne de  2000 tonnes avec un écart-type de  150 tonnes. Le deuxième  a une production journalière moyenne de  3000 tonnes avec un écart-type de  200 tonnes. Quelle est la probabilité que la production journalière moyenne de la société excède 5200 tonnes? (On admettra que les production journalière des deux gisements sont normales et indépendantes).

\ques{C12.} En condition normale de fonctionnement, une machine produit des pièces défectueuses dans une proportion constante égale à  1/10000. Un client reçoit un lot tiré au hasard de  30000 pièces usinées par cette machine.

a) Quelle est la probabilité qu'il trouve strictement moins de  3 pièces défectueuses dans le lot?

b) Quelle est la probabilité qu'il y trouve au moins  7 pièces défectueuses?

\ques{C13.} Dans la région de Trois- Rivières, il semble que  40\% de la population soit en faveur de la mise en application d'un ``ticket modérateur'' pour les services de santé. Quelle est la probabilité que, dans un échantillon de  200 individus de cette région, une majorité soit en faveur de ce ticket modérateur ?

\ques{C14.} Supposons que l'erreur sur une mesure d'observation suive une loi $\mathcal{N}(0,4)$. 
Déterminer : 

a) La probabilité que l'erreur sur une mesure d'observation soit positive.

b) L'espérance et la variance du nombre d'erreurs positives sur  100 mesures d'observation indépendantes.

c) La probabilité que  60 erreurs positives ou plus soient faites sur  100 mesures d'observation indépendantes.

\ques{C15.}  En Tapségonie, le ministre de l'Éducation décide de donner le bac à   80\% des enfants dès la naissance. Pour chaque nouveau-né, on tire un numéro au hasard entre  1  et  10.
\begin{itemize}
  \item Si c'est un multiple de 5, le bébé est recalé.
  \item Si c'est un sept, il obtient la mention ``très bien''.
  \item Si c'est un multiple de 4, il obtient la mention ``bien''.
  \item Si c'est un multiple de  3, il obtient la mention ``assez bien''.
  \item Sinon, il obtient la mention ``passable''.
\end{itemize} 

a) Calculer la probabilité pour un nouveau-né d'obtenir le bac avec la mention ``passable''.

Le village natal du ministre attend sept naissances pour l'année qui suit. On sait qu'il y aura trois filles et quatre garçons. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de garçons bacheliers et $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de filles bachelières parmi ces bébés.

b) Déterminer les lois de probabilité de $X$ et $Y$.

c) Calculer la probabilité d'avoir strictement plus de bachelières que de bacheliers.

d) Calculer la probabilité pour que ce village dépasse l'objectif du ministre.

e) La ville dont le ministre est maire attend six cents naissances. Calculer la probabilité pour qu'il y ait moins de 500 bacheliers parmi ces bébés.


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\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2005-2006\par
\noindent{S5 IFIPS}\hfill Mathématiques : Probabilités et statistiques
\vskip1truecm
\centerline{\smc Feuille d'exercices n$^0$3 : Intervalles de confiance
%(avec corrigé)
}
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A - AUTO-ÉVALUATION A PROPOS DU COURS


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\bigskip



\textbf{Vrai ou faux ?}
\bigskip


\ques{A1.} Les paramètres d'une population sont des quantités aléatoires.

\ques{A2.} Lorsqu'un paramètre d'une population est estimé par un seul nombre, déduit des résultats de l'échantillon, ce nombre est appelé une estimation ponctuelle du paramètre.

\ques{A3.} ``L'estimation'' est la valeur numérique que prend l'estimateur selon les observations de l'échantillon.

\ques{A4.}  L'estimation ponctuelle ne fournit aucune information concernant la précision de l'estimation effectuée.

\ques{A5.} Dans le processus d'estimation par intervalle de confiance, on peut dire avant la réalisation de l'expérience, que les limites de l'intervalle de confiance sont des valeurs fixes.

\ques{A6.}  Un intervalle de confiance est toujours centré sur la valeur de l'estimateur du paramètre.

\ques{A7.} P\-lus le niveau de confiance associé à l'intervalle est élevé, plus l'amplitude de l'intervalle est grande.

\ques{A8.}  Pour le même niveau de confiance et le même écart-type, plus la marge d'erreur est requise est faible, plus la taille de l'échantillon sera élevée.

\ques{A9.} A mesure que le nombre de degrés de liberté augmente, la distribution de Student tend à s'approcher de la loi normale centrée réduite.

\ques{A10.} Le nombre de degrés de liberté est une quantité qui est associée à une somme de carrés.

\bigskip

\bigskip

\textbf{Savez vous répondre ?}

\bigskip


\ques{A11.}  Quel théorème important donne un résultat général concernant la distribution d'é\-chan\-til\-lon\-nage de la variable aléatoire $\bar{X}$ ? Quelle règle pratique est nécessaire pour appliquer ce théorème ?

\ques{A12.}  Si la population que nous échantillonnons est distribuée selon une loi normale, que peut-on dire de la distribution de la moyenne $\bar{X}$ ? Existe-t-il une restriction sur la taille d'échantillon que l'on doit prélever de la population ?

\ques{A13.}  Quel est l'axe de symétrie de la distribution de Student ? A celle de quelle distribution sa forme est-elle comparable ?

\ques{A14.}  Quel est le paramètre de la loi de Student ?

\ques{A15.}  A quoi a-t-on recours lorsqu'on doit estimer une valeur en indiquant la précision de l'estimation ?

\bigskip

\vskip1cm

B - EXERCICES A TRAITER EN TRAVAUX DIRIGES

\bigskip


\ques{B1.}  On mesure $n$ fois une certaine grandeur physique $G$.
Les résultats des mesures sont corrigés des erreurs systématiques de façon à ne laisser subsister que les erreurs aléatoires.

Soient  $g_{1}, g_{2}, g_{3},\ldots,g_{n}$ ces résultats. La vraie valeur $G_{v}$ de $G$ est la moyenne des $g_{i}$ dans une population infinie de mesures.

a) On suppose connue la précision de l'appareil de mesure. Cette précision est caractérisée par l'écart-type $\sigma_{pop}$ des $G_{i}$ dans une population infinie de mesures : $\sigma_{pop}=4.3\,10^{-3}$	(unité arbitraire).

\textbf{a1}.	On effectue une seule détermination $G_{1}$ de $G$. On trouve $g_{1} = 1.364$.
Donner la meilleure estimation possible de $G_{v}$.
Déterminer au seuil de  90\%  l'intervalle de confiance relatif à $G_{v}$.

\textbf{a2}	On effectue 10 déterminations. On trouve : 


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1.365&1.371&1.368&1.359&1.362\\\hline
1.366	&1.365&1.367&1.363&1.364\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
 
 Donner la meilleure estimation possible de $G_{v}$.
 Déterminer au seuil de  90\%  l'intervalle de confiance relatif à $G_{v}$.
 
b) On ignore la précision de l'appareil de mesure. Déterminer au seuil de 90\% l'intervalle de confiance de  $G_{v}$ à partir de la série de mesures de la question \textbf{a2}.

c) A partir de la série de mesures de la question \textbf{a2}, déterminer au seuil de 90\% l'intervalle de confiance relatif à $\sigma_{pop}$.


\so{B1}{Mesure physique}{
\textbf{a1}. On dispose d'un échantillon de taille 1. La meilleure estimation de $G_v =E(G)$ est la valeur moyenne mesurée, $\bar{g}=g_1 =1.364$. Pour donner un intervalle de confiance, on fait l'hypothèse que $G$ suit une loi normale d'espérance $G_v$ et d'écart-type $\sigma_{pop}$. La probabilité que l'intervalle $[g_1 -1.645\sigma_{pop},g_1 +1.645\sigma_{pop}]$ ne contienne pas $G_v$ est inférieure à $0.1$. On conclut que $[1.357,1.371]$ est un intervalle de confiance relatif à $G_v$ au seuil de 90\%.


\textbf{a2}.	On dispose maintenant d'un échantillon de taille 10. La meilleure estimation de $G_v$ est la valeur moyenne mesurée, $\bar{g}=\frac{1}{10}(g_1 +\cdots+g_{10})=1.365$. Comme $\frac{1}{10}(G_1 +\cdots+G_{10})$ suit une loi normale d'espérance $E(G)=G_v$ et de variance $\frac{1}{100}(Var(G_1 )+\cdots+Var(G_{10}))=\frac{1}{10}\sigma_{pop}^{2}$, la probabilité que l'intervalle $[\bar{g} -1.645\frac{\sigma_{pop}}{\sqrt{10}},\bar{g} +1.645\frac{\sigma_{pop}}{\sqrt{10}}]$ ne contienne par $G_v$ est inférieure à $0.1$. On conclut que $[1.3627,1.3672]$ est un intervalle de confiance relatif à $G_v$ au seuil de 90\%.

 
\textbf{b}. Faute de connaître $\sigma_{pop}$, on doit l'estimer. La variance 
\begin{eqnarray*}
\Sigma_{ech}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(G_i -G_v )^2
\end{eqnarray*}
d'un échantillon de taille $n$ d'une variable $\mathcal{N}(G_v ,\sigma_{pop})$ est une variable aléatoire dont l'espérance vaut $\d\frac{n-1}{n}\sigma_{pop}^{2}$, on remplace donc la constante inconnue $\sigma_{pop}$ par la variable $\sqrt{\frac{10}{9}}\Sigma_{ech}$. La variable aléatoire
\begin{eqnarray*}
T=\sqrt{9}\frac{\bar{G}-G_v}{\Sigma_{ech}}
\end{eqnarray*}
ne suit pas une loi normale, mais la loi de Student à $9$ degrés de liberté. En effet, au dénominateur, il y a $10$ carrés de quantités reliées par une relation (leur somme vaut 0). La table de cette loi donne $p(|T|>1.833)<0.1$. Par conséquent, la probabilité que l'intervalle $[\bar{g}-1.833\sigma_{ech}/3,\bar{g}+1.833\sigma_{ech}/3]$ ne contienne pas $G_v$ est inférieure à $0.1$. Comme $\sigma_{ech}=\sqrt{10}10^{-3}=0.00316$, on conclut que $[1.363,1.3669]$ est un intervalle de confiance relatif à $G_v$ au seuil de 90\%.

\textbf{c}. La variable aléatoire
\begin{eqnarray*}
Y=\frac{10\Sigma_{ech}^{2}}{\sigma_{pop}^{2}}
\end{eqnarray*}
suit une loi $\chi^{2}_{9}$ de Pearson. La table de cette loi donne $p(Y>16.919)=0.05$ et $p(Y>3.325)=0.95$. Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
p(Y\notin[3.325,16.919])<0.1.
\end{eqnarray*}
Il en résulte que la probabilité que l'intervalle $[\sigma_{ech}/\sqrt{1.6919},\sigma_{ech}/\sqrt{0.3325}]$ ne contienne pas $\sigma_{pop}$ est inférieure à $0.1$. On conclut que $[0.00256,0.00577]$ est un intervalle de confiance relatif à $\sigma_{pop}$ au seuil de 90\%.
}

\ques{B2.}  A la veille d'une consultation électorale concernant deux candidats, on a interrogé 100 électeurs constituant un échantillon représentatif. 58 d'entre eux ont déclaré avoir l'intention de voter pour le candidat DUPONT.

a) Indiquer avec une probabilité de  0.95  entre quelles limites se situe la proportion du corps électoral favorable à DUPONT au moment du sondage.


Peut-on en déduire, avec la même probabilité de  0.95  que DUPONT serait élu si les opinions ne se modifiaient pas ?
 
b) Avec une même fréquence observée d'électeurs favorables à DUPONT, quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour pouvoir affirmer, avec un risque de  5\%  que DUPONT sera élu ?

\so{B2}{Sondage à la veille d'une consultation électorale}{
a) On note $p$ la proportion inconnue. Soit $X_i$ la variable qui vaut 1 si le $i$-ème électeur interrogé déclare avoir l'intention de voter pour Dupont, 0 sinon. Les $X_i$ sont indépendantes et suivent une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$, donc le nombre $Z=\sum_{i=1}^{100}$ d'électeurs favorables à Dupont dans un échantillon de 100 électeurs suit une loi binomiale $\mathcal{B}(p,100)$. Comme $p$ semble de l'ordre de 0.5, on peut approcher $\mathcal{B}(p,100)$ par $\mathcal{N}(100p,10\sqrt{p(1-p)})$. De nouveau, comme $n=100$ est grand, on peut estimer $p$ par la fréquence $f=0.58$ observée dans l'échantillon, et supposer que l'écart-type de la variable fréquence d'échantillon $F=Z/100$ vaut $\sqrt{p(1-p)}/10=0.0494$. Comme la variable $\d \frac{F-p}{0.0494}$ est normale standard, la probabilité que l'intervalle $[f-1.96\times 0.0494,f+1.96\times 0.0494]$ ne contienne pas $p$ est inférieure à 0.05. On conclut que $[0.483,0.677]$ est intervalle de confiance relatif à $p$ au seuil de 95\%.

Comme l'intervalle de confiance contient des nombres $<0.5$, on ne peut pas affirmer, à ce niveau de confiance, que Dupont sera élu.

b) Il s'agit d'estimer la probabilité $p(F-p>0.58-0.5)$. Si l'échantillon tiré est de taille $n$, $\d \sqrt{n}\frac{F-p}{0.494}$ est normale standard, 
$p(F-p>0.08)=p(\sqrt{n}\frac{F-p}{0.494}>0.162\sqrt{n})$ est inférieure à 0.05 dès que 
$0.162\sqrt{n}>1.645$. On trouve $n=104$.

Attention, pour que la largeur de l'intervalle de confiance, symétrique par rapport à $f$, soit inférieure à 0.08, il faut au moins 147 sondés. Mais cela donne une information supplémentaire (que Dupont ne recueille pas plus de 66\% des voix), qui n'est pas demandée.
}

\ques{B3.}  La firme Comtec vient de développer un nouveau dispositif électronique qui entre dans la fabrication d'appareils de traitement de texte. Avant de mettre en production ce nouveau dispositif, on veut effectuer des essais préliminaires pour être en mesure d'en estimer la fiabilité en termes de durée de vie. D'après le bureau de Recherche et Développement de l'entreprise, l'écart-type de la durée de vie de ce nouveau dispositif électronique serait de l'ordre de  100 heures.

a) Déterminer le nombre d'essais requis pour estimer, avec un niveau de confiance de 95\%, la durée de vie moyenne d'une grande production de sorte que la marge d'erreur dans l'estimation n'excède pas  50 heures.
 
b) Pour le même niveau de confiance, quelle doit être le nombre d'essais de sorte que la marge d'erreur dans l'estimation de la durée de vie moyenne n'excède pas  20 heures ?

\so{B3}{Estimation de durée de vie}{
On suppose que la variable $X=$ ``durée de vie d'un appareil'' suit une loi normale d'espérance $m_{pop}$ et d'écart-type $\sigma_{pop}=100$h. Si on fait $n$ essais indépendants, alors $T=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-m_{pop}}{\sigma_{pop}}$ suit une loi normale standard, donc $p(|T|>1.96)<0.05$. Au niveau de confiance 95\%, on peut affirmer que l'intervalle $[\bar{x}-1.96\frac{100}{\sqrt{n}},\bar{x}+1.96\frac{100}{\sqrt{n}}]$ contient la durée de vie moyenne cherchée $m_{pop}$. 

a) La marge d'erreur n'excède pas 50h dès que $1.96\frac{100}{\sqrt{n}}<50$, i.e. si $n\geq 16$.

b) La marge d'erreur n'excède pas 20h dès que $1.96\frac{100}{\sqrt{n}}<20$, i.e. si $n\geq 97$.
}

\bigskip

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C - EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

\bigskip


\ques{C1.}  Dans un atelier mécanique, on a vérifié le diamètre de tiges tournées autour d'un tour automatique. Le diamètre des tiges peut fluctuer selon le réglage du tour. Vingt tiges prélevées au hasard, ont été mesurées avec un micromètre de précision. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
39.5&	39.9&	39.7&	40.0&	40.65&	39.1&	39.4&	38.4&	40.0&	41.5\\\hline
42.6&	41.1&	37.8&	38.5&	40.0&	41.3&	39.4&	41.2&	38.4&	40.8\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

a) En supposant que le diamètre des tiges est distribué selon une loi normale, estimer par intervalle de confiance le diamètre moyen des tiges de cette fabrication avec des niveaux de confiance de  90\%, de  95\% et de  99\%.
 
b) Si le diamètre moyen des tiges doit être de 40 mm, doit-on envisager, selon les résultats de cet échantillon, de modifier le réglage du tour ?

\so{C1}{Tiges}{
a) On cherche à estimer la moyenne $m_{pop}$ du diamètre de l'ensemble des tiges produites. On calcule $\bar{x}=39.9625$ et $\sigma_{ech}=1.1932$. On ne connaît pas l'écart-type $\sigma_{pop}$ de la population entière de tiges. On doit donc l'estimer par $\sqrt{\frac{20}{19}}\sigma_{ech}$. Cela conduit à utiliser la variable
$$
T=\frac{\bar{X}-m_{pop}}{\frac{\Sigma_{ech}}{\sqrt{19}}}
$$
qui suit une distribution de Student à 19 degrés de liberté. La table donne
$$
p(|T|>1.729)<0.1,\quad p(|T|>2.093)<0.05,\quad p(|T|>2.861)<0.01.
$$
Avec une probabilité $>0.9$, l'intervalle $[\bar{X}-1.729\times\frac{\Sigma_{ech}}{\sqrt{19}},\bar{X}-1.729\times\frac{\Sigma_{ech}}{\sqrt{19}}]$ contient $m_{pop}$. On conclut que $[39.4892,40.4358]$ est un intervalle de confiance relatif à $m_{pop}$ au seuil de 90\%. De même, $[39.3896,40.5354]$ est un intervalle de confiance relatif à $m_{pop}$ au seuil de 95\%, et $[38.1793,40.7457]$ est un intervalle de confiance relatif à $m_{pop}$ au seuil de 99\%.

b) Non, ne surtout rien changer, puisque l'intervalle de confiance contient 40mm. Avec forte probabilité, un autre échantillon de 20 tiges aurait pu donner une moyenne supérieure à 40mm.
}

\ques{C2.}  Dans une municipalité, on a effectué un sondage pour connaître l'opinion des contribuables sur un nouveau règlement d'emprunt. D'une liste informatisée de  6000 payeurs de taxes, on a prélevé, par tirage au sort, 150 noms. Sur ces  150, 45  étaient en faveur du nouveau règlement d'emprunt. Déterminer un intervalle de confiance pour  p, la proportion vraie de contribuables de cette municipalité qui sont en faveur du nouveau règlement d'emprunt, avec les niveaux de confiance de  90\%, de  95\% et de  99\%.


\bigskip
\vskip1cm


 D - RÉPONSES AUX EXERCICES DU C

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C1 	a)	 à  90\% 	 
		à  95\%		 
		à  99\%		 
	b)	Non

C2	à  90\% 		 
	à  95\%		 
	à  99\%		 


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\vskip1truecm
\centerline{\smc Feuille d'exercices n$^0$4 : Tests d'hypothèses
%(avec corrigé)
}
\vskip1truecm



A - AUTO-EVALUATION A PROPOS DU COURS


\bigskip

\bigskip

\textbf{Vrai ou faux ?}

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\ques{1.} Lorsqu'on veut comparer deux variances, on a recours à la distribution de Fisher-Snédécor.

\ques{2.} La quantité 
\begin{eqnarray*}
F=\frac{\frac{\chi^{2}_{\nu_{1}}}{\nu_{1}}}{\frac{\chi^{2}_{\nu_{2}}}{\nu_{2}}}
\end{eqnarray*}
est distribuée selon la loi de Fisher avec $\nu_{1}$ et $\nu_{2}$ degrés de liberté.

\ques{3.} La quantité $F$ définie à la question précédente prend ses valeurs sur $\R$.

\ques{4.} Lorsqu'on veut juger de la qualité d'ajustement d'une distribution théorique, on a recours à un test de Pearson ou test du khi-deux.

\ques{5.} On dit que les écarts observés entre les fréquences théoriques et les fréquences observées sont significatifs lorsque la valeur calculée du $\chi^2$ est plus faible que la valeur critique $\chi^{2}_{\alpha,\nu}$.

\ques{6.} Dans un tableau de contingence comportant  $r$  lignes et $k$ colonnes, le nombre de degrés de liberté du khi-deux est $(r - 1)(k - 1)$.


\bigskip

\bigskip

\textbf{Savez vous répondre ?}
\bigskip



\ques{1.} Dans un test de comparaison de moyennes, quelle est la statistique qui convient pour le test ?

\ques{2.} Dans un test d'ajustement, on perd toujours un degré de liberté dans le calcul du nombre de degrés de liberté du $\chi^2$. Pourquoi ?

\ques{3.} La distribution du khi-deux est-elle une distribution centrée ?

\ques{4.} En supposant qu'il y ait concordance parfaite entre la distribution observée et la distribution théorique dans un test du khi-deux, quelle valeur prendrait le $\chi^2$ ?

\bigskip

\vskip1cm

B - EXERCICES A CHERCHER EN TRAVAUX DIRIGES

\bigskip

\ques{B1.} On règle une machine pour fabriquer des pièces de diamètre  50 mm. On prélève sur la fabrication  10 pièces. On trouve dans cet échantillon un diamètre moyen de  50.2 mm et un écart-type de  0.1mm. Peut-on en conclure au seuil de  5\%  que la machine est bien réglée ?

\so{B1}{Comparaison d'une moyenne expérimentale à une moyenne théorique : réglage d'une machine}{
Il s'agit d'un test sur une moyenne.

Soit $X$ la variable aléatoire ``diamètre d'une pièce''.

1. On fait l'hypothèse $H_0$ : la valeur moyenne de $X$ sur l'ensemble de la production est égale à 50mm. 

2. Comme on ignore la variance $\sigma_{pop}^{2}$ de $X$ sur l'ensemble de la production, et comme l'échantillon est petit ($n=10$), on choisit comme fonction discriminante du test la variable $\d T=\frac{\bar{X}_{ech}-m_{pop}}{\Sigma_{ech}/\sqrt{n}}$. On suppose que $X$ suit une loi normale. Alors $T$ suit une loi de Student à $n-1=9$ degrés de liberté. 

3. La table de cette loi donne que $p(|T|>2.262)<0.05$. 

4. Or, sur l'échantillon mesuré, la variable $T$ prend la valeur $t=3\frac{50.2-50}{0.1}=6>2.262$. L'échantillon se trouve dans la région de rejet. On rejette donc l'hypothèse $H_0$, et on recommande de vérifier le réglage de la machine.
}

\ques{B2.} On réceptionne deux lots d'acier et on veut déterminer s'ils sont de qualités semblables. Pour cela, on prélève dans chaque lot des éprouvettes que l'on soumet à des essais de traction. On trouve : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
nombre d'éprouvettes	&150&125\\\hline
résistance moyenne à la rupture (kg/mm$^2$)&105&	101\\\hline
écart-type sur la résistance à la rupture (kg/mm$^2$)	&12	&14\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Peut-on dire au seuil de  5\%  que ces deux lots sont semblables ?

\so{B2}{Comparaison de deux moyennes : lots d'acier}{
On choisit de comparer les moyennes des deux échantillons.

1. On fait l'hypothèse $H_0$ : les deux échantillons sont des tirages de variables indépendantes ayant la même espérance $m_{pop}$. 

2. Les échantillons étant de grande taille ($n_1$, $n_2 \geq 30$), on peut supposer que $\bar{X}_{1}$ et $\bar{X}_{2}$ suivent des lois normales. La différence $D=\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}$ suit une loi normale d'espérance nulle et de variance \begin{displaymath}
Var(D)=Var(\bar{X}_{1})+Var(\bar{X}_{2})=\frac{\sigma_{pop1}^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_{pop2}^{2}}{n_2}.
\end{displaymath}
Comme les échantillons sont grands, les fluctuations de cette variance sont négligeables, on peut considérer qu'on connaît la variance de $D$, obtenue à partir des échantillons : on utilise $\sqrt{\frac{n_{1}}{n_{1}-1}}\sigma_{ech1}$ comme estimateur sans biais de $\sigma_{pop1}$, d'où
\begin{displaymath}
Var(D)\sim\frac{\sigma_{ech1}^{2}}{n_1 -1}+\frac{\sigma_{ech2}^{2}}{n_2 -1}=2.55.
\end{displaymath}
On choisit comme fonction discriminante du test la variable
\begin{displaymath}
T=\frac{D}{\sqrt{2.55}},
\end{displaymath}
qui suit une loi normale standard. 

3. La table donne $p(|T|>1.96)<0.05$. 

4. Or, sur l'échantillon mesuré, la variable $T$ prend la valeur $t=\frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\sqrt{2.55}}=2.51$. L'échantillon est dans la zone de rejet. On rejette donc l'hypothèse $H_0$, et on conclut que les deux lots sont de qualités significativement différentes au seuil de 5\%.}

\ques{B3.} Sur un lot de  700 boulons soumis à des essais de rupture, 300  ont résisté. Sur un second lot de  225, 125  ont résisté. Peut-on admettre, au seuil de  5\%, que ces deux lots appartiennent à la même population ?

\so{B3}{Comparaison de deux fréquences : boulons}{

On choisit de comparer les fréquences observées sur les deux échantillons.

1. On fait l'hypothèse $H_0$ : les deux échantillons sont des tirages de variables de Bernoulli indépendantes ayant la même espérance $p_{pop}$. 

2. Sous l'hypothèse $H_{0}$, l'effectif $n_{i}F_{i}$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(p_{pop},n_{i})$. Les échantillons étant de grande taille ($n_1$, $n_2 \geq 30$), on peut supposer que $F_{i}$ suit une loi normale $\mathcal{N}(p_{pop},\sqrt{p_{pop}(1-p_{pop})/n_{i}})$. De plus, pour le calcul de la variance, on peut estimer $p_{pop}$ au moyen de l'ensemble des données disponibles, i.e.
\begin{eqnarray*}
p_{pop}\sim \frac{300+125}{700+225}=0.46.
\end{eqnarray*}
La différence $D=F_{1}-F_{2}$ suit une loi normale d'espérance nulle et de variance
\begin{eqnarray*}
Var(D)=Var(F_{1})+Var(F_{2})=p_{pop}(1-p_{pop})(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}})\sim 0.2484(\frac{1}{700}+\frac{1}{225})=0.00146.
\end{eqnarray*}
Par conséquent, on choisit comme fonction discriminante $T=D/\sqrt{0.00146}=D/0.0382$, qui suit une loi normale standard.

3. La table donne $p(|T|>1.96)=0.05$.

4. Or, sur l'échantillon mesuré, la variable $T$ prend la valeur $t=\frac{-0.127}{0.0382}=-3.324$. Comme $|t|>1.96$, on rejette $H_{0}$. On conclut, avec au plus 5\% de chances de se tromper, que les deux lots de boulons ne sont pas tirés de la même population.}


\ques{B4.} Une population de souris présente un taux de cancer spontané de  20\%. On se demande si un traitement donné modifie ce taux. On applique ce traitement à  100  souris. On en trouve  11  cancéreuses.

a) Le traitement est-il efficace au seuil de  1\% ? Au seuil de  5\% ?

b) Sur combien de souris l'étude doit-elle porter pour qu'une différence de  2\% entre la proportion de cancéreux dans l'échantillon et dans la population soit significative au seuil de  5\% ?

\so{B4}{Comparaison unilatérale d'une fréquence : souris cancéreuses}{
a) Ici, ce qui nous intéresse, c'est de savoir si le traitement diminue ounonla fréquence du cancer. On choisit donc de faire un test unilatéral sur les fréquences.

1. On teste l'hypothèse $H_0$ : l'échantillon est tiré d'une population où la proportion de malades est 0.2,

\noindent contre l'hypothèse $H_1$ : l'échantillon est tiré d'une population où la proportion de malades est $<0.2$.

2. Sous l'hypothèse $H_0$, l'effectif des souris malades $100F$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(0.2,100)$, qu'on approximale par une distribution normale $\mathcal{N}(np,\sqrt{np(1-p)})=\mathcal{N}(20,4)$, donc $F$ suit une loi $\mathcal{N}(0.2,0.04)$. On choisit comme fonction discriminante $T=\frac{F-0.2}{0.04}$, qui suit une loi $\mathcal{N}(0,1)$.

3. La table donne $p(T<-2.33)=0.01$, $p(T<-1.645)=0.05$.

4. Sur l'échantillon mesuré, la variable $T$prend la valeur $t=-2.25$. Comme $t<-1.645$, on rejette l'hypothèse $H_0$ au seuil de 5\%. En revanche, comme $t>-2.33$, on ne peut pas rejeter $H_0$ au seuil de 1\%. Autrement dit, si on déclare que le traitement est efficace, on a moins de 5\% mais plus de 1\% de chances de se tromper.

b) L'énoncé concerne la situation où la fréquence de la maladie dans l'échantillon est 0.18. Si la taille de l'échantillon est $n$, la fonction discriminante est $T=(F-0.2)/\sqrt{p(1-p)/n}$. Elle suit une loi normale standard. Dans l'échantillon, elle prend la valeur $t=-\sqrt{n}/20$. Pour que la différence soit significative au seuil de 5\%, il faut que $p(T<-\sqrt{n}/20)\leq 0.05$, i.e. que $-\sqrt{n}/20\leq -1.645$, soit $n\geq 1082.4$. On conclut qu'il faut étudier au moins 1083 souris.
}


\ques{B5.} Deux méthodes de dosage de l'azote sont comparées du point de vue de leur précision. Une mesure répétée  25  fois en utilisant la méthode A donne
\begin{eqnarray*}
\bar{x}_{1}=42.08,\quad s_{1}^{2}=5.16.
\end{eqnarray*}
La même mesure répétée  30  fois en utilisant la méthode B donne
\begin{eqnarray*}
\bar{x}_{2}=42.1,\quad s_{2}^{2}=1.96.
\end{eqnarray*}
Peut-on dire au seuil de  5\%  que les deux méthodes ont la même précision ?

\so{B5}{Comparaison de deux variances : azote}{
Comme les deux échantillons ont presque la même moyenne, on choisit de faire un test de comparaison de deux variances.

1. On fait l'hypothèse $H_0$ : les deux échantillons sont tirés de populations où les mesures ont même moyenne $m_1 =m_2$ et même écart-type $\sigma_1 =\sigma_2$.

2. Comme estimateur sans biais de $\sigma_{1}^{2}$, on utilise $S_{1}^{2}=\frac{n_1}{n_1 -1}\Sigma_{ech1}^{2}$. Sous l'hypothèse $H_0$, $\sigma_1 =\sigma_2$, donc $T=S_{1}^{2}/S_{2}^{2}$ suit une loi de Fisher-Snedecor à $n_1 -1=24$ et $n_2 -1=29$ degrés de liberté. On peut donc prendre $T$ comme fonction discriminante.

3. La table donne $p(T>1.9)=0.05$.

4. Sur l'échantillon mesuré, $t=s_{1}^{2}/s_{2}^{2} =2.63>1.9$, donc on rejette $H_0$. Au seuil de 5\%, la différence des variances est significative, les deux méthodes ont des précisions significativement différentes. 
}

\ques{B6.} La série statistique suivante obéit-elle à une loi normale ayant pour espérance mathématique et pour écart-type les valeurs de la moyenne et de l'écart quadratique moyen de la série  (7800 et 39) ?
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
classes&$[7700,7720[$&$[7720,7740[$&$[7740,7760[$&$[7760,7780[$&$[7780,7800[$\\\hline
effectifs&2&1&4&8&9\\\hline
classes&$[7800,7820[$&$[7820,7840[$&$[7840,7860[$&$[7860,7880[$&$[7880,7900[$\\\hline
effectifs&10&9&4&2&1\\\hline

\end{tabular}
\end{center}

\so{B6}{Test d'ajustement à la loi normale (khi-deux)}{
On fait un test d'ajustement à une loi normale. On commence par regrouper les classes extrêmes, pour n'avoir que des classes d'effectif $\geq 5$.

1. On fait l'hypothèse $H_0$ : la série est une réalisation de $n=50$ tirages indépendants d'une variable $X$ qui suit une loi normale $\mathcal{N}(7800,39)$. 

2. On pose $T=\frac{X-7800}{39}$. On calcule les limites de classes $t_i$, on trouve les probabilités $p_i =p(t_i <T<t_{i+1})$ dans la table et on calcule les effectifs théoriques $n_{i,t}=np_i$.

\begin{center} 
\begin{tabular}{|l|ccccccccccccc|}
\hline
$t_i$ &-2.564&&-1.025&&-0.513&&0&&0.513&&1.025&&2.564\\\hline
$p_i$ &&0.1475&&1.1513&&0.196&&0.196&&0.1513&&0.1475&\\\hline
$n_{i,t}$ &&7.37&&7.565&&9.8&&9.8&&7.565&&7.37&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

On utilise $\d\chi^2 =\sum_{i=1}^6 \frac{(n_i -n_{i,t})^2}{n_{i,t}}$ comme fonction discriminante. Elle suit une loi de Pearson à $k-3=3$ degrés de liberté. En effet, l'espérance et la variance de $X$ ne sont pas connues a priori, il a fallu les estimer au moyen des données. Autre façon (mnémotechnique) d'arriver à ce résultat~: les effectifs $n_i$, l'espérance et la variance ne sont pas indépendants, ils sont sujets à 3 relations, $\sum n_i =n$, $\frac{1}{n}\sum n_i x_i = \bar{x}$, $\frac{1}{n}\sum n_i (x_i - \bar{x})^2 =\sigma_{ech}^{2}$.

3. La table donne $p(\chi_{3}^{2} >7.815)=0.05$.

4. Sur l'échantillon mesuré, $\chi^2 =0.4045<7.815$, donc on accepte $H_0$. En fait, l'adéquation de la série à la loi normale est excellente.
}

\ques{B7.} On se propose de comparer les réactions produites par deux vaccins désignés par  A  et B. Pour cela, un groupe de  348  patients est divisé en deux sous-groupes. L'un est vacciné avec le vaccin  A, l'autre avec le vaccin  B. On trouve : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Vaccin&Réaction légère&Réaction moyenne&Ulcération&Abcès&Total\\\hline
A&12&156&8&1&177\\\hline
B&29&135&6&1&171\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Les répartitions diffèrent-elles significativement au seuil de  5\% ?

\so{B7}{Test d'homogénéité de plusieurs populations : vaccins}{
On fait un test d'homogénéité de $r=2$ populations. On regroupe les deux classes extrêmes, d'effectifs trop faibles. Il reste $k=3$ classes.

1. On fait l'hypothèse $H_0$ : les proportions respectives de chaque classe sont les mêmes dans les deux populations d'où les échantillons ont été extraits.

2. On estime les 3 proportions $p_1$ ($=p_{11}=p_{21}$), $p_2$ et $p_3$ en utilisant l'ensemble des données disponibles,
$$
p_1 =\frac{n_{11}+n_{12}}{n_{.1}+n_{.2}}=\frac{12+29}{177+171}, \quad p_2 =\frac{156+135}{177+171}, \quad p_3 =\frac{9+7}{177+171}.
$$

Pour chaque classe $i$ et chaque échantillon $j$, on calcule un effectif théorique $n_{ij,t}=p_i n_{.j}$,
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Vaccin&Réaction légère&Réaction moyenne&Ulcération ou Abcès\\\hline
A&20.853&148&8.138\\\hline
B&20.146&142.99&7.862\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On utilise $\d\chi^2 =\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^2 \frac{(n_{ij} -n_{ij,t})^2}{n_{ij,t}}$ comme fonction discriminante. Elle suit une loi de Pearson à $(r-1)(k-1)=2$ degrés de liberté.

3. La table donne $p(\chi_{2}^{2} >5.991)=0.05$.

4. Sur l'échantillon mesuré, $\chi^2 =8.707>5.991$ donc on rejette $H_0$. Les deux distributions sont significativement différentes, les vaccins ont des effets différents. 
}

\bigskip

 \vskip1cm

C - EXERCICE SUPPLÉMENTAIRE

\bigskip


\bigskip

Le tableau suivant donne le classement de  200  naissances en fonction de la parité (primipare = femme ayant un premier enfant ; multipare = femme ayant un deuxième, troisième, etc...enfant) et du poids du nouveau né.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
&	Poids $< 3$kg&$3 <$ Poids $< 4$kg&Poids $> 4$kg\\\hline
Primipares&26&61&8\\\hline
Multipares&20&63&22\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\ques{1.} Peut-on dire au seuil de  5\%  que la parité a une influence sur le poids du nouveau-né ?

\ques{2.} Voulant préciser cette dépendance, on détermine la moyenne et l'écart-type du poids du nouveau né pour cet ensemble de naissances. On trouve : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Primipares&95 naissances&$P_{moy} = 3197$g&$\sigma_p =458$g\\\hline
Multipares&105 naissances&$P_{moy} = 3410$g&$\sigma_p =505$g\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
En comparant moyennes et variances, toujours au seuil de 5\%, aboutit-on à la même conclusion qu'au  1 ?

\so{C}{Comparaison de deux séries statistiques : bébés}{

\ques{1.} On effectue un test d'homogénéïté sur $r=2$ échantillons répartis en $k=3$ classes.

1. On fait l'hypothèse $H_0$ : les proportions respectives de chaque classe sont les mêmes dans les deux populations d'où les échantillons ont été extraits.

2. On estime les 3 proportions $p_1$ ($=p_{11}=p_{21}$), $p_2$ et $p_3$ en utilisant l'ensemble des données disponibles,
$$
p_1 =\frac{n_{11}+n_{12}}{n_{.1}+n_{.2}}=\frac{26+20}{95+105}=0.23, \quad p_2 =\frac{61+63}{95+105}=0.62, \quad p_3 =\frac{8+22}{95+105}=0.15.
$$

Pour chaque classe $i$ et chaque échantillon $j$, on calcule un effectif théorique $n_{ij,t}=p_i n_{.j}$,
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Parité&	Poids $< 3$kg&$3 <$ Poids $< 4$kg&Poids $> 4$kg\\\hline
Primipares&21.85&58.9&14.25\\\hline
Multipares&24.15&65.1&15.75\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On utilise $\d\chi^2 =\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^2 \frac{(n_{ij} -n_{ij,t})^2}{n_{ij,t}}$ comme fonction discriminante. Elle suit une loi de Pearson à $(r-1)(k-1)=2$ degrés de liberté.

3. La table donne $p(\chi_{2}^{2} >5.991)=0.05$.

4. Sur l'échantillon mesuré, $\chi^2 =5.704<5.991$ donc on accepte $H_0$. La parité n'influence pas significativement le poids des nouveaux-nés au seuil de 5\%.

\ques{2.} On effectue d'abord un test de comparaison de moyennes.

1. On fait l'hypothèse $H_0$ : les deux échantillons sont extraits de populations de nouveaux-nés où le poids moyen est le même, $m_1 = m_2$. 

2. Comme les effectifs sont grands ($n_i \geq 30$), on peut estimer la variance de chaque population au moyen de $\frac{n_i}{n_i -1}\sigma_{ech,i}^{2}$. On considère que la moyenne d'échantillon $\bar{X}_i$ suit une loi normale $\mathcal{N}(m_i,\sqrt{\frac{1}{n_i -1}}\sigma_{ech,i})$. Par conséquent, sous l'hypothèse $H_0$, $D=\bar{X}_1 -\bar{X}_2$ suit une loi normale $\mathcal{N}(0,\sqrt{\frac{1}{n_1 -1}\sigma_{ech,1}^{2}+\frac{1}{n_2 -1}\sigma_{ech,2}^{2}})=\mathcal{N}(0,84.47)$. On prend pour fonction discriminante $T=D/84.47$ qui suit une loi normale standard.

3. La table donne $p(|T|>1.96)=0.05$.

4. Sur les échantillons mesurés, $t=(3197-3410)/84.47=-2.521<-1.96$. On conclut que les moyennes diffèrent significativement.

\medskip

On continue avec un test de comparaison de variances.

1. On fait l'hypothèse $H_0$ : les deux échantillons sont extraits de populations de nouveaux-nés où la variance du poids moyen est la même, $\sigma_1^{2} = \sigma_{2}^{2}$. 

2. Comme estimateur sans biais de $\sigma_{1}^{2}$, on utilise $S_{1}^{2}=\frac{n_1}{n_1 -1}\Sigma_{ech1}^{2}$. Sous l'hypothèse $H_0$, $\sigma_1 =\sigma_2$, donc $T=S_{1}^{2}/S_{2}^{2}$ suit une loi de Fisher-Snedecor à $n_1 -1=94$ et $n_2 -1=104$ degrés de liberté. On peut donc prendre $T$ comme fonction discriminante.

3. La table donne $p(T>1.45)=0.05$.

4. Sur l'échantillon mesuré, $\d t=s_{1}^{2}/s_{2}^{2} =(\frac{95}{94}458^{2})/\frac{105}{104}505^{2}=0.823$. Comme $t<1.45$ et $1/t=1.214<1.45$, on accepte $H_0$. Au seuil de 5\%, les variances ne sont pas significativement différentes. 
}

\bigskip

D - RÉPONSES A L'EXERCICE DU C

\ques{1.} oui.

\ques{2.} les moyennes sont différentes au seuil de  5\%, et les écarts-types semblables.

\vfill\eject

\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2005-2006\par
\noindent{S5 IFIPS}\hfill Mathématiques : Probabilités et statistiques
\vskip1truecm
\centerline{\smc Feuille d'exercices n$^0$5 : Régression
%(avec corrigé)
}
\vskip1truecm



A - AUTO - ÉVALUATION A PROPOS DU COURS


\bigskip

\bigskip

\textbf{Vrai ou faux ?}


\bigskip


\ques{1.} Dans un problème de régression, pour chaque valeur $x_{i}$, la composante $\alpha +\beta x_{i}$ a un comportement aléatoire.

\ques{2.} Dans le modèle linéaire simple de régression, on emploie le qualificatif ``simple'' parce que le modèle ne comporte qu'une seule variable dépendante.

\ques{3.} Pour un échantillon donné, il peut exister plusieurs droites d'ajustement qui permettent de minimiser $\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}$ par la méthode des moindres carrés.

\ques{4.} La droite de régression ne passe pas toujours par le point $(\bar{x},\bar{y})$.

\ques{5.} La variance $Var(B)$ de la variable $B$ a tendance à augmenter lorsque la variance des résidus diminue.

\ques{6.} Si la dispersion des valeurs de la variable explicative est faible, la variance $Var(B)$ est élevée.

\ques{7.} La valeur du coefficient de corrélation $r$ varie entre  0  et  1.

\ques{8.} Lorsqu'on veut tester l'hypothèse selon laquelle il y a absence de corrélation linéaire entre deux variables aléatoires, on pose comme hypothèse nulle $H_{0}:\rho=0$.

\ques{9.} La distribution d'échantillonnage du coefficient de corrélation $r$ est symétrique dans le cas où $\rho=0.5$.

\ques{10.} Si on effectue des observations de  2  variables indépendantes, on s'attend à ce que le coefficient de corrélation linéaire soit proche de  0.

\ques{11.} Un coefficient de corrélation linéaire négatif signifie une faible corrélation.

\ques{12.} Si deux variables sont corrélées linéairement, alors nécessairement la variation de l'une est la cause de la variation de l'autre.

\ques{13.} Si, à un ensemble de $n$ points $(x_{i}, y_{i} )$ pour  $i = 1,\ldots, n$, on ajoute $m$ points tous égaux à $(\bar{x},\bar{y})$ , alors le coefficient de corrélation linéaire reste le même.
 
\bigskip

\bigskip

\textbf{Savez-vous répondre ?}

\bigskip



\ques{1.} Dans une étude de régression, quel est le nom de la variable qui possède un caractère aléatoire?
 
\ques{2.} Attribuer à chacun des graphiques suivants, les énoncés qui vous semblent plausibles :


a)  Modèle linéaire d'ordre un avec pente positive.

 
b)  Modèle linéaire d'ordre un avec pente négative

  
c)  Aucune liaison.

   
d)  Modèle linéaire dont l'ordre est supérieur à un.
 
\ques{3.} Selon les hypothèses du modèle linéaire simple, préciser ce que valent les expressions suivantes :
\begin{eqnarray*}
E(\epsilon_i ),\quad V(\epsilon_i ),\quad E(Y_i ),\quad V(\alpha +\beta x_i ),\quad V(Y_i ).
\end{eqnarray*}		
 
\ques{4.} Dans le modèle de régression linéaire simple, quelle hypothèse fondamentale précise-t-on concernant la variance des erreurs $\epsilon_i $ ?
 
\ques{5.} Lorsqu'on connaît le coefficient $b$ de la droite de régression, quelle expression nous permet de calculer rapidement $a$ ?
 
\ques{6.} Sous quelles conditions la variable $T=\frac{B-\beta}{V(B)}$ est-elle distribuée selon une loi de Student à $n-2$ degrés de liberté?
 
\ques{7.} Si on veut tester l'hypothèse nulle $H_{0} : \alpha  = 0$ (la droite de régression passe par l'origine), quelle condition est requise quant aux observations pour que ce test ait une signification réelle?

\ques{8.} Soit les données suivantes qui représentent les productions mensuelles ($x_{i}$ en milliers d'unités) et les coûts de production correspondants ($y_{i}$ en milliers de dollars) d'une entreprise au cours d'une année ($i = 1, 2,\ldots, 12$).
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$i$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline
$x_{i}$&5&4&7&8&6&7&9&8&6&7&5&3\\\hline
$y_{i}$&70&60&90&80&70&80&90&75&80&75&75&60\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

a) L'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ est  $y=47.42 +4.48 x$. Interpréter l'ordonnée à l'origine de cette droite.

b) Estimer le coût de production de  10000 unités à l'aide de la droite déterminée à la question précédente. Peut-on se fier à ce nombre?

c) On détermine que
\begin{itemize}
  \item la variance des coûts mensuels de production expliquée par la droite de régression est $s_{E}^{2}=57.33$ ;
  \item la variance résiduelle de ces coûts est  $S_{R}^{2}=27.91$.
\end{itemize}
Quelle conclusion tirer à la lumière de ces renseignements ?

\vskip1cm


\bigskip

B - EXERCICES A TRAITER EN TRAVAUX DIRIGÉS

\bigskip

\ques{B1.} Voici la représentation graphique de  4  points dans le plan.

a) Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$. Représentez la sur la figure.

b) Calculer le coefficient de corrélation.

c) On ajoute les points de coordonnées  (5,5), (6,5), (6,7), (7,7) à ceux déjà tracés. Sans faire de calculs, répondre aux questions suivantes.
\begin{itemize}
  \item Est-ce que la droite de régression de  y en  x  reste la même? Sinon, sa pente est-elle plus grande ou plus petite ?
  \item Vous attendez-vous à un coefficient de corrélation inférieur, égal ou supérieur à celui calculé au  b) ?
\end{itemize}

\so{B1}{Droite de régression de 4 points}{
a) On calcule $\bar{x}=\bar{y}=2$, puis $\d b=\frac{\sum(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})}{\sum(x_i -\bar{x})^2}=1$, $a=\bar{y}-b\bar{x}=0$. La droite de régression a pour équation $y=x$.

b) $\d r=\frac{\sum(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i -\bar{x})^2}{\sqrt{\sum(x_i -\bar{x})^2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

c) Le nouveau paquet de points s'obtient à partir du premier par translation. Il en est de même pour les droites de régression. Les deux paquets de points ayant la même droite de régression, c'est la droite de régression de l'ensemble du nuage. Le coefficient de régression ne peut qu'augmenter, puisque le nuage se resserre autour de la droite de régression.
}

\ques{B2.} Sous polarisation directe le courant d'une diode Schottky est donné par la relation
\begin{eqnarray}\label{Schottky}
I=I_S e^{\frac{qV}{nkT}},
\end{eqnarray}
où $I_{S}$ est le courant de saturation, $q$ la charge élémentaire, $T$ la température thermodynamique, 
$k$ la constante de Boltzmann, $n$ le paramètre de non-idéalité, $V$ la tension appliquée.

On mesure le courant d'une diode Schottky en fonction de la tension directe, et on trouve
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$V$(en mv)&100&150&200&250&300&350&400\\\hline
$I$ (en A)&$1.66 .10^{-4}$&$1.11 .10^{-3}$&$7.5 .10^{-3}$&$5.02 10^{-2}$&$3.37 .10^{-1}$&$2.26$&$15.20$\\\hline

\end{tabular}
\end{center}

1. Transformer la relation \ref{Schottky} de manière à obtenir une relation linéaire entre une fonction de $I$ et $V$.

2. En utilisant la méthode des moindres carrés, déterminer le paramètre de non idéalité $n$ et le courant de saturation  $I_{S}$ (on a $\frac{kT}{q}=25$mV).

\ques{B3.} On cherche à déterminer si deux variables aléatoires sont liées entre elles. Pour cela, on mesure ces deux variables pour 8 événements. On obtient :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X&52&47&42&35&34&36&37&46&51\\\hline
Y&30&29&27&23&22&23&24&25&28\\\hline
X&45&50&53&50&45&48&40&43&38\\\hline
Y&26&27&28&29&28&27&24&25&23\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

a) Calculer le coefficient de corrélation.

b) Déterminer au seuil de  5\%  si les deux variables sont liées entre elles.

c) Donner les équations des deux droites de régression :
$y = a + bx$ et $x = a' + b'y$.

\ques{B4.} L'agence de publicité ABC constate qu'il existe une relation entre les budgets de publicité de ses clients (en milliers de francs) et le montant de leurs ventes (en centaines de milliers de francs).
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Client&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline
Montant des ventes
(en centaines de milliers de F)&6&7&9&9&7&8&6&12\\\hline
budgets de publicité
(en milliers de francs)&45&80&70&85&60&55&75&90\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

a) Déterminer l'équation de régression suivant le critère des moindres carrés.

b) En effectuant un test sur la pente peut-on conclure qu'il existe une relation entre les variables au seuil de  5\%?

c) Calculer les coefficients de détermination et de corrélation. Comment les interpréter?


\bigskip

\vskip1cm

C - EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES


\bigskip

\ques{C1.} 
a) Étant donné un ensemble de points $(x_{1} ,y_{1}),........, (x_{n} , y_{n})$, déterminer par la méthode des moindres carrés la droite de la forme $y = bx$ qui approche le mieux ces points.
 
b) Effectuer les calculs pour les points suivants.
\begin{displaymath}
(0, 1),\quad(1, 2),\quad(1, 1),\quad(-2, 0),\quad(-2, -2),\quad(2, 1),\quad(0, -1),\quad(2, 0).
\end{displaymath}

c) Représenter le nuage de points et la droite sur un graphique.

\ques{C2.} On fait passer un examen écrit à  10 conducteurs pour vérifier leurs connaissances sur la conduite automobile (compréhension des signes routiers...). Le tableau ci-dessous indique le résultat obtenu à l'examen ainsi que le nombre d'années d'expérience de la conduite automobile.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Résultats (\%)&60&65&70&67&75&75&80&78&85&82\\\hline
nombre
d'années&6&4&7&9&4&10&6&7&4&8\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre ces deux variables.

b) Est-ce que la valeur de $r$ est suffisamment élevée, au seuil $\alpha  = 0.05$, pour conclure que ces deux variables sont corrélées?
 
\ques{C3.} Une étude sur le taux de mortalité due au cancer du poumon et sur la consommation de cigarettes dans certains états des États-Unis a permis d'obtenir le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
État&\vbox{\hsize=4cm Consommation annuelle
de cigarettes par habitant}&\vbox{\hsize=4cm Taux de mortalité due au cancer du poumon pour 100000 habitants}\\\hline
Delaware&3400&24\\\hline
Indiana&2600&20\\\hline
Iowa&2200&17\\\hline
Montana&2400&19\\\hline
New Jersey&2900&26\\\hline
Washington&2100&20\\\hline
Moyenne&2600&21\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

a) Tester au niveau de  5\%  l'hypothèse que la consommation de cigarettes ne modifie pas le taux de mortalité due au cancer du poumon.

b) La décision est-elle la même avec un niveau de signification de  1\%?

\ques{C4.} Si un échantillon de  2 variables couplées est de taille  30, quelle est la plus grande valeur absolue du coefficient de corrélation qui permet de conclure à l'indépendance possible des  2 variables en cause au niveau de  10\%?

\bigskip

\vskip1cm

 D - RÉPONSES AUX EXERCICES DU C


\bigskip

\ques{C1.} 	a)  $\d b=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$. 		

b) $y=\frac{1}{2}x$. Remarque : la droite de régression de $y$ en $x$ a pour équation $y=0.13+0.48 x$  si on ne lui impose pas de passer par $(0,0)$.


\ques{C2.} 	a)  r = - 0.0359.

b)  non.


\ques{C3.}	a)  on rejette $H_{0}$.
		
b)  on accepte $H_{0}$.


\ques{C4.}	0.3060.

\end{document}


\vfill\eject

\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2005-2006\par
\noindent{S5 IFIPS}\hfill Mathématiques : Probabilités et statistiques
\vskip1truecm
\centerline{\smc Feuille d'exercices n$^0$7
(avec corrigé)
}
\vskip1truecm

A ? CHAINES DE MARKOV

A1. Une unité de production dispose de deux machines automatiques fonctionnant indépendamment et ayant chacune une fiabilité  p  au cours d'une journée. Lorsqu'elle tombe en panne elle est réparée pendant la nuit et se retrouve donc en état de marche le lendemain. Mais une seule machine peut être réparée à la fois. Soit  Xn  le nombre de machines en panne au début de la  n-ième journée.
a) Dessiner le graphe des transitions correspondant.
b) Etablir la matrice des transitions.
c) On suppose les deux machines sont au départ  en état de marche. Calculer les probabilités de l'état  1, puis celles de l'état  2.

A2. Soit un dispositif technique comprenant deux éléments montés en parallèle et fonctionnant indépendamment. Chaque élément a une fiabilité égale à  p  au cours d'une journée, et ne peut pas être réparé. Soit  Xn  le nombre de machines en panne au début de la n-ième journée.
a) Dessiner le graphe des transitions correspondant et établir la matrice des transitions.
b) Déterminer la distribution stationnaire de cette chaîne de Markov. Est-elle une distribution limite?
c) Montrer que cette chaîne de Markov est absorbante.
d) On suppose maintenant que  p = 0,9. Combien de jours faut-il en moyenne pour que le dispositif technique ne fonctionne plus, si les deux machines sont au départ  en état de marche?

A3. Les données de l'exercice  A1  restent valables mais maintenant on ne répare plus une machine tombée en panne que le lendemain.
a) Dessiner le graphe des transitions correspondant.
b) Etablir la matrice des transitions.
c) Déterminer la distribution stationnaire de cette chaîne de Markov. Est-elle une distribution limite?

A4. Soit une chaîne de Markov à deux états dont la matrice de transition est :
P =  
où  0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1  et  0 < a + b < 2.
a) Calculer  Pn.
b) En déduire la distribution notée  ?( n )  de  Xn.
c) Montrer que la chaîne de Markov définie par  P  est convergente et déterminer la limite  ?.
d) Existe-t'il une distribution stationnaire? Est-elle unique?
e) Que se passe-t'il dans le cas où  a + b ? { 0, 1 }?
A5. Considérons une chaîne de Markov de matrice	P = 
Déterminer le régime permanent du processus stochastique ainsi défini.

A6. Soit la chaîne de Markov définie par		P =  
a) Déterminer les classes transitoires et récurrentes  de cette chaîne de Markov
b) Existe-il une distribution stationnaire? une distribution limite?

A7. Soit la chaîne de Markov définie par le graphe suivant :
 



 
 




a) Etablir la matrice des transitions.
b) Montrer que la chaîne de Markov ainsi définie est absorbante.
c) Déterminer la distribution du nombre de transitions jusqu'à l'absorption en partant de l'état  1. En déduire le temps moyen d'absorption en partant de l'état  1.
d) Retrouver directement ce dernier résultat.

A8. Dans une production en série, les articles passent par  3  étapes de fabrication; ils sont inspectés à la fin de chaque étape. Ils peuvent alors présenter 3 états possibles : totalement défectueux (probabilité  p; l'article est jeté), légèrement défectueux (probabilité  q; il passe une seconde fois par la même étape), en bon état (probabilité  r avec  p + q + r = 1 ).
Déterminer, en prenant  p = 0,1  et  q = 0,3 , la durée moyenne jusqu'à ce qu'un article quitte la machine ainsi que la probabilité qu'en quittant la machine cet article soit en bon état.

A9. Un scarabée se déplace sur les arêtes d'un tétraèdre régulier dont les sommets sont numérotés de 1  à  4. Initialement il est en  1  et une arête est parcourue en une unité de temps. De chaque sommet le choix de parcourir une des trois arêtes voisines est équiprobable. Calculer le temps moyen nécessaire  ?  pour atteindre le sommet  4  pour la première fois, puis la probabilité  p  d'atteindre  4 si l'on rajoute de la colle au sommet 2.

A10. Dans une station service équipée d'une seule pompe, on a observé que le nombre de voitures arrivant au cours du  n-ième intervalle de temps [ n-1, n ] est une variable aléatoire Yn de distribution  p ( Yn = 0 ) = p ( Yn = 1 ) = 0,4  et p ( Yn = 2 ) = 0,2  pour tout  n ? 1. On suppose que chaque service dure exactement une unité de temps; les services commencent (si au moins une voiture est présente) aux instants  1, 2 ...La station dispose de deux places d'attente. On note  Xn  le nombre de voitures se trouvant dans la station immédiatement après l'instant  n.
a) Vérifier que ( Xn ) forme bien une chaîne de Markov.
b) Dessiner le graphe des transitions correspondant.
c) Etablir la matrice des transitions.
d) Pendant quel pourcentage de temps, la station est-elle en moyenne inoccupée?
e) Si au départ la station est inoccupée, quelle est la durée moyenne jusqu'à ce que les deux places soient occupées pour la première fois?


B ? PROCESSUS STOCHASTIQUES A TEMPS CONTINU

B1. On suppose que la durée de vie d'un type de dispositif technique est exponentielle de paramètre  ? = 1h-1.Dés qu'un dispositif tombe en panne, il est immédiatement remplacé par un dispositif identique.
Quelle est la probabilité d'avoir plus de  3  pannes en  2  heures?
Quelle est la distribution de l'instant d'occurrence de la première panne sachant que le deuxième dispositif fonctionne encore au bout de  3  heures?
Si l'on dispose de  9  dispositifs, quelle est la probabilité que le temps total de service soit au moins égal à  12 h?

B2. Dans un système d'attente du type  M/M/1  un client arrive en moyenne toutes les  12 minutes et la durée moyenne de service est de  8  minutes.
a) Calculer la probabilité  pour  que  2  clients au moins attendent d'être servis.
b) Calculer le nombre moyen de clients dans le système?
c) Déterminer le temps de séjour moyen d'un client dans le système?
d) Quelle est la probabilité pour qu'un client attende moins de  30  minutes avant d'être servi? qu'il séjourne moins de  30  minutes dans le système?
e) Le taux d'arrivée des clients augmente de 20\%. Calculer le pourcentage de l'augmentation du nombre et du temps de séjour moyen des clients dans le système.

B3. Dans un système d'attente du type  M/M/1  le système accueille en moyenne  20 clients par heure.
a) Quelle doit être la durée moyenne de service pour que la probabilité qu'un client qui arrive et doit attendre ne dépasse pas  0,5 ?
b) Quelle est alors la probabilité qu'un client qui arrive et doit attendre ait devant lui une file d'attente formée de  n  clients?

B4. Dans un cabinet médical, l'arrivée des patients est décrite par un processus de Poisson de paramètre  ? = 4h-1. La durée de traitement suit une loi exponentielle de moyenne 
12 min. La salle d'attente ne contenant qu'un client, calculer la probabilité qu'une personne qui arrive soit traitée :

B5. Un atelier comprend  3  machines automatiques qui sont entretenues par un opérateur qui ne peut réparer qu'une machine à la fois. La durée de bon fonctionnement de chaque machine suit une distribution exponentielle de paramètre  ?, et le temps de réparation une distribution exponentielle de paramètre  ?. Pour  ? =  calculer :
? la probabilité que l'opérateur soit libre
? le nombre moyen de machines qui fonctionnent.
B6. L'arrivée des clients dans une banque suit un processus de poisson dont le taux moyen est de 9 clients par heure. La durée de service par client suit une loi exponentielle de moyenne 10 min.
a) Calculer le nombre minimal  a  de guichets nécessaires pour assurer un régime stationnaire de ce processus, puis le temps d'attente moyen si  s = a  ou si  s= a+1.
b) Dans cette question  s = a + 1.
1. Quelle est la probabilité qu'un client n'attende pas ?
2. Calculer la probabilité que le temps d'attente soit inférieur à  5  minutes.

B7. Un central téléphonique d'une petite entreprise comprend deux lignes d'entrée. Les appels suivent un processus de Poisson dont le taux moyen est  ?, la durée des appels suit une loi exponentielle de paramètre  ?.
a) Calculer la distribution stationnaire du système.
b) Si  ? = ?  calculer le pourcentage d'appels perdus.
c) On remplace les opérateurs par un répondeur. On a calculé que  ? = 10 et on veut que le pourcentage d'appels perdus n'excède pas  10\%. Déterminer la durée maximale du message à enregistrer.


\end{document}