2.1 Espaces fibrés
Soit , et des variétés et un sous-groupe de . Un fibré d'espace total , de fibre , de base et de groupe structural est une application lisse telle qu'il existe un recouvrement de par des ouverts et des difféomorphismes, dits de trivialisation locale, rendant commutatif le diagramme:
et tels que, sur tous les , vérifie pour tout .Lorsque est un espace vectoriel et , on dit que est un fibré vectoriel de rang .
La fibre de en un point de est .
Une section d'un fibré est une application lisse vérifiant .
Dans la pratique, il est utile de disposer de raccourcis de langage et de notations, lorsque qu'il n'y a pas de risque d'ambiguité. Lorsque le groupe structural est tout , on omet de le mentionner. On utilise aussi le mot fibré pour désigner l'espace total , lorsque l'application est claire dans le contexte, et on note la fibre de en . On note ou même simplement l'ensemble des sections de .
On dit aussi que est une fibration localement triviale. Lorsqu'on veut préciser le groupe , on utilise aussi le vocabulaire de -fibré ou -fibration. Bien sûr, si , tout -fibré est a fortiori un -fibré.
Un morphisme de fibrés entre deux fibrés et au-dessus de est une application entre les espace totaux qui est compatible avec les projections : . Un isomorphisme de fibrés est un morphisme de fibrés qui est un difféomorphisme. Un léger abus de vocabulaire désigne par fibré trivial tout fibré isomorphe à une projection comme dans l'exemple précédant.
Dans le cas particulier très important des fibrés vectoriels, chaque fibre est munie d'une structure d'espace vectoriel. En effet la structure d'espace vectoriel évidente sur d'une trivialisation locale quelconque est préservée par les changements de trivialisation . Par exemple, la suspension d'une application linéaire est un fibré vectoriel. Dans le cas où et , on obtient le ruban de Möbius (ouvert). Un (iso)-morphisme de fibrés vectoriel est un (iso)-morphisme de fibré qui est linéaire en restriction à chaque fibre.
La méthode de recollement de la section 1.3.2 s'étend au recollements des fibrés. Pour rester simple, on se contente de recoller des fibrés triviaux (mais le fibré recollé ne le sera pas forcément !). Étant donné une collection de variétés et des données de recollement , on appelle donnée de recollements des pour le groupe toute collection d'applications lisses telles que, pour tout fixé dans , l'application soit dans et les envoyant sur vérifient la relation de cocycle. La proposition suivante est une variante facile de la proposition 1.11.