Topologie différentielle

3.1 Partitions de l'unité et plongements

Le théorème suivant est la clef permettant des constructions globales à partir de constructions locales.

Théorème 3.1
Pour tout recouvrement d'une variété par des ouverts , il existe une famille de fonctions lisses vérifiant les conditions suivantes:
  • le support de chaque est contenu dans

  • chaque point de possède un voisinage n'intersectant qu'un nombre fini de supports des

  • .

Démonstration

Le fait fondamental est l'existence d'une fonction cloche lisse.

Lemme 3.2
Il existe une fonction qui est , strictement positive en l'origine et à support compact.
Démonstration
En dimension un, on peut choisir la fonction qui, sur envoie sur et s'annule ailleurs. Une récurrence facile montre que cette fonction est lisse partout. En dimension on peut utiliser .
En composant à droite par une homothétie, on peut imposer au support d'une cloche d'être contenu dans une boule de rayon arbitrairement petit. En utilisant un atlas, on obtient donc que, pour tout point d'une variété et tout ouvert contenant , il existe une fonction positive qui est strictement positive en et dont le support est contenu dans . Une telle fonction sera appelée cloche en à support dans .

Supposons que n'est pas compacte (le cas plus facile où est compacte est laissé en exercice). Par hypothèse de -compacité dans la définition des variétés, il existe des compacts dont la réunion recouvre . On pose . Chaque est compact, et, quitte à extraire une sous-suite, est dans l'intérieur de . Pour tout dans l'adhérence de , on choisit un ouvert suffisamment petit pour être inclus dans l'un des et dans . Soit une cloche en à support dans . On pose . Les ouverts recouvrent le compact donc on peut en extraire une famille finie. L'union sur de ces ouverts fournit un recouvrement dénombrable localement fini de par des où chaque est inclus dans un et de la forme pour une fonction lisse, positive et à support dans . La condition de finitude montre que la série converge (c'est une somme finie en restriction à n'importe quel compact). La condition de recouvrement montre que la somme est partout strictement positive. On pose

qui a bien les propriétés annoncées.

Voici un premier corollaire important de l'existence de partitions de l'unité.

Théorème 3.3
Toute variété compacte se plonge dans un espace affine .

Démonstration

Soit un atlas d'une variété compacte . Par compacité, on peut supposer que cet atlas est fini: . Le théorème 3.1 fournit une partition de l'unité subordonnée au recouvrement par les . On va tronquer les pour les rendre constantes sur des ouverts recouvrant . Comme , pour tout de , il existe tel quel . On fixe une fonction lisse qui s'annule pour et vaut un pour . On peut par exemple construire une telle fonction en composant à gauche et à droite par des applications affines une primitive de la fonction du lemme 3.2 s'annulant au voisinage de (pour ). On pose . Par construction, les sont des ouverts inclus dans les qui recouvrent , chaque est à support compact et vaut un sur . En passant des aux , on perd le contrôle de la somme mais on gagne des ouverts sur lesquels les sont constantes.

On considère sur les applications

qui sont lisses de dans et des difféomorphismes locaux sur les correspondants. Puis on considère à valeur dans . Enfin on considère de dans . Il s'agit d'une immersion car tout point de est dans un et est injective donc a fortiori aussi. Elle est injective car, si alors pour tout donc en particulier pour . Ainsi est aussi dans et l'égalité entraîne alors puis par injectivité des cartes .

Ainsi est une immersion injective. Comme est compacte, est un plongement. En effet, l'image réciproque d'un fermé de par est égale à son image directe par . Or est compact comme fermé d'un compact donc est compact donc fermé.

En fait l'hypothèse de compacité n'est pas nécessaire (mais la retirer nécessite de la technologie qui ne sera introduite que dans le chapitre suivant). On verra dès la section suivante que ce théorème de plongement est utile pour démontrer des résultats généraux. Mais il n'aide pas vraiment à comprendre les variétés qui, comme les espaces projectifs ou la bouteille de Klein, ne se présentent pas naturellement comme sous-variétés de .