On indique d'abord pourquoi la première partie de la proposition est tautologique. On note la section nulle de et l'origine de . La section précédente a décrit une décomposition pour tout . Elle induit un isomorphisme . Par construction, la hessienne d'une fonction en un point critique est la forme quadratique associée à la composition de et de la projection . La transversalité de sur est donc équivalente à la surjectivité de cette composition. Vu l'égalité des dimensions de et , cette surjectivité est équivalente à la non-dégénérescence de la hessienne.

On passe maintenant à la construction des cartes de Morse. Le lemme crucial est que l'action de sur les formes bilinéaires symétriques admet des sections locales au voisinage de toute forme non dégénérée.

On revient maintenant au lemme de Morse. On commence avec une carte quelconque centrée en et on cherche un changement de carte. D'après la formule de Taylor avec reste intégral, on a où

En particulier est non dégénérée (et de même indice que ). Le lemme précédent fournit alors une application d'un voisinage de l'origine vers vérifiant . Ainsi où . Comme la différentielle de en l'origine vaut qui est inversible, il existe un difféomorphisme entre voisinages de l'origine tel que . Par ailleurs le théorème d'inertie de Sylvester fournit une base dans laquelle est représentée par une matrice diagonale dont la diagonale est constituée de puis de , en nombres dictés par l'indice de . La composée de avec le changement de base correspondant donne le changement de carte recherché.

Comme au début de la démonstration de la proposition 5.4, on revient à la hessienne vue comme application linéaire de dans , ce dernier étant identifié à . D'après le lemme 5.1, la hessienne de est bien représentée dans chaque carte par la hessienne classique de l'application de dans représentant (là encore cette hessienne est vue comme allant de dans plutôt que comme forme bilinéaire sur ). En utilisant une carte de Morse fournie par la proposition 5.4, on obtient donc comme représentation l'application suivante de dans , modulo un facteur deux qui ne change rien aux questions d'orientation : Par construction de l'orientation sur , le nombre d'intersection local est le signe du déterminant de la matrice apparaissant, c'est à dire . En faisant la somme de ces contributions locales on obtient, par définition du nombre d'intersection global : Or est homotope à la section nulle , on peut prendre comme homotopie . Ainsi le théorème 4.10 d'invariance du nombre d'intersection par homotopie assure que . Il reste à remarquer qu'il existe un difféomorphisme de sur envoyant section nulle sur section nulle en préservant les orientations, ce qui garantit . L'existence d'un tel isomorphisme découle par exemple du théorème 3.3 qui permet de plonger dans . En effet le produit scalaire euclidien sur induit alors sur chaque un produit scalaire permettant d'identifier et .

On montre d'abord l'ouverture. Soit une fonction de Morse sur . Comme est transversale sur la section nulle, ses zéros sont isolés. Par compacité de , il n'y en a qu'un nombre fini. En chacun de ces points , la transversalité est équivalente à l'inversibilité d'une application linéaire de la forme . Il en découle que la condition de Morse est ouverte en topologie .

Soit un atlas fini de , des ouverts tels que est aussi la réunion de et qu'il existe des fonctions plateau à support dans les et valant un sur les (on construit les et comme dans la démonstration du théorème 3.3). On considère l'espace de paramètres et, pour tout , la famille définie par :

Comme d'habitude, cette formule a un sens car s'annule partout où n'est pas défini. D'après la proposition 4.6, il suffit de montrer que est transversale sur la section nulle de mais, comme annoncé, il s'agit en fait d'une submersion (elle est donc transversale sur toute sous-variété de ). On note que chaque est une section de , la différentielle partielle de dans la direction de suffit donc à atteindre la « moitié horizontale » de . De plus, pour tout de , il existe contenant . La dérivée partielle de par rapport au correspondant envoie tout vecteur sur , ce qui permet bien d'atteindre toutes les directions tangentes aux fibres de .