Soit un espace vectoriel réel de dimension . Une forme dans est dite décomposable si elle s’écrit comme produit extérieur de formes linéaires. Dans le cas contraire, on dit qu'elle est indécomposable. Montrer que toute forme de degré ou est décomposable (indication : pour une -forme non nulle sur , on pourra considérer l'application linéaire de dans ). Soit une forme linéaire sur . Montrer qu'ne forme s'écrit si et seulement si . Soient , , et des formes linéaires indépendantes sur . Montrer que est indécomposable.

Soit et des formes multilinéaires antisymétriques sur un espace vectoriel , soit et des vecteurs de . Comparer et . Calculer .

Montrer qu'une variété de dimension est orientable si et seulement si elle admet une forme différentielle de degré qui ne s'annule nulle part. Une telle forme est appelée forme volume.

Soit une forme volume sur une variété orientée . Montrer que est non nulle.

Soit une variété orientée et la même variété munie de l'orientation opposée. Montrer que, pour toute forme à support compact et de degré maximal sur , (on pourra montrer que si est un atlas orienté de et une réflexion hyperplane dans alors est un atlas orienté pour ).

On note l'application de dans définie par et la 1-forme sur définie par : Calculer . Calculer l'intégrale de sur le cercle unité centré en l'origine. Est-ce que est la différentielle d'une fonction ? Et si on retire à une demi-droite issue de l'origine ? Calculer la dérivée extérieure de .

Soit une surface dans et une section unitaire du fibré vectoriel (unitaire et orthogonal se rapportent au produit scalaire euclidien canonique sur ). On oriente de sorte que suivi d'une base directe de donne une base directe de en tout point de . On note la forme volume . Montrer que est une 2-forme sur qui ne s'annulle nulle part. Soit un paramétrage local de , c'est à dire une immersion d'un ouvert du plan dans dont l'image est contenue dans et y définit la bonne orientation. Les cours de géométrie différentielle élémentaires définissent l'intégrale d'une fonction sur par rapport à la « mesure de surface » de comme l'intégrale sur de la fonction où désigne ici le produit vectoriel sur . Montrer que cette intégrale n'est autre que l'intégrale sur de .

Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de non-rétraction de Brouwer (et donc aussi son corollaire le théorème de point fixe de Brouwer) comme conséquence de la formule de Stokes.

Soit une variété compacte à bord non vide et orientable. D'après l'exercice 6.3, porte une forme différentielle de degré qui ne s'annulle nulle part. Montrer que l'intégrale de sur est non nulle. On suppose par l'absurde qu'il existe une rétraction de sur son bord, c'est à dire une application de dans qui est l'identité en restriction à . On note l'inclusion de dans . Montrer que est l'identité de . En utilisant la formule de Stokes, montrer que l'intégrale de sur est nulle.

Le but de cet exercice est d'expliciter la façon dont la théorie des formes différentielles contient le calcul différentiel vectoriel usuel dans .

Soit la forme volume standard sur . Soit un ouvert de et l'espace vectoriel des champs de vecteurs sur . Soit . Montrer qu'il existe une unique fonction telle que et calculer en fonction des dérivées partielles des composantes de .

On pose où désigne le produit scalaire canonique sur . Ainsi est une 1-forme différentielle sur . Montrer que cette procédure définit un isomorphismes entre et . On note son inverse.

On suppose maintenant que vaut . Montrer que définit un isomorphisme de vers . Montrer que définit un isomorphisme entre et .

Décrire les flèches anonymes dans le diagramme commutatif suivant :

Montrer que les formules de Green-Ostrogradski et de Kelvin-Stokes sont des cas particuliers de la formule de Stokes.

Soit et des variétés orientées. On munit de sa structure de variété discutée dans les exercices du chapitre un, avec son orientation produit. Soit et les projections de sur et respectivement. Soit et des formes différentielles à support compact de degré maximal sur et respectivement. Montrer que