Soit un graphe orienté fini. Cele signifie que est un ensemble fini vu comme ensemble des sommets de et est une partie de , un élément dans étant vu comme une arête reliant à . On note et . Soit défini par . On pose pour . Décrire la cohomologie du complexe . Énoncer la loi des mailles de l'électrocinétique comme une contrainte cohomologique.

Calculer la cohomologie de de Rham du cercle . En déduire la cohomologie de de Rham du plan épointé .

Le but de cet exercice est de calculer . Soit la projection canonique. Soit une -forme fermée sur . Montrer que est une forme exacte sur . Soit une primitive quelconque de . Montrer que est exacte si et seulement si est -périodique par rapport à toutes les variables. En utilisant le développement en série de Fourier des composantes de dans la base , montrer que est exacte si et seulement si aucune des composantes de n'a de terme constant dans son développement de Fourier. Conclure. Discuter si on peut espérer utiliser cette stratégie pour calculer avec .

Soit l'inclusion d'une sous-variété dans une variété . Est-ce que est nécessairement injectif de dans ? Et de dans ? Est-ce que est surjectif ? Que dire de si est surjective ?

Montrer que toute matrice dans (le groupe des matrices à coefficients entiers et de déterminant 1) induit un difféomorphisme de . En utilisant le calcul de dans l'exercice 7.3, montrer que ce difféomorphisme n'est homotope à l'identité que si la matrice est .

On dit qu'un espace topologie est simplement connexe s'il est connexe et si toute application continue de dans s'étend en application continue de dans . Si est une variété, le théorème de lissage du chapitre 3 montre qu'on obtient la même notion en remplaçant application continue par application (sous-entendue lisse) partout.

Montrer que si est simplement connexe alors . On pourra chercher à constuire une primitive de toute forme fermée en l'intégrant le long de chemins.

Soit une variété et une sous-variété compacte, sans bord, orientée, de dimension . Montrer que l'intégration des -formes différentielles sur induit une forme linéaire sur . En déduire que est de dimension au moins .

Soit une variété. Le but de cet exercice est d'expliquer une façon de calculer à partir de la combinatoire d'un bon recouvrement de . On suppose que est recouverte par des ouverts contractiles, et tels que les intersections et soient toutes vides ou contractiles. Pour , on note l'ensemble des -uplets ordonnés d'indices distincts dans . On note l'ensemble des fonctions de dans . On définit par

où est le -uplet obtenu à partir de en ommettant le -ième indice. Montrer que est un complexe. À toute -forme fermée sur on associe qui envoie sur la différence entre une primitive de sur et sur . Montrer qu'on obtient ainsi une application bien définie qui induit un isomorphisme en cohomologie.

En déduire où est la surface d'une bouée à deux places.