10.2 Formule de décomposition de la diagonale

Soit une variété orientée compacte sans bord. Le théorème de finitude (théorème 9.6) assure l'existence d'une base finie de . Pour tout , on note l'image inverse par la dualité de Poincaré du -ème vecteur de la base duale. Ainsi les sont des formes fermées dont la classe de cohomologie est caractérisée par

Proposition 10.8

Soit

une variété orientée compacte sans bord. Soit

la diagonale

dans

. Avec les notations ci-dessus, on a

On commence par une remarque qui sera utile dans la démonstration de la proposition mais aussi dans celle du théorème 10.2.

Soit et les projections de sur ses deux facteurs. Si on note l'application de dans qui envoie sur , on a donc, pour toutes formes et sur ,

Démonstration de la proposition 10.8

On commence par remarquer que les

forment aussi une base de

. Le théorème de Künneth assure alors que les

forment une base de

. Ainsi il existe des coefficients réels

tels que

Le même théorème assure aussi que les

forment une base de

. Il suffit donc de tester

contre ces classes de cohomologie pour calculer les

. D'une part on a, par définition de la dualité de Poincaré :

Et d'autre part, en fonction des coefficients

inconnus :

Ainsi

est nul si

et sinon vaut

La caractérisation cohomologique de la caractéristique d'Euler découle immédiatement de la formule de décomposition de Künneth de la diagonale et du lien entre intersection et dualité de Poincaré.

Démonstration du théorème 10.2

N'importe laquelle de ces projections induit un isomorphisme de fibrés vectoriels entre

donc il suffit de calculer

. D'après le théorème 10.1 et la proposition 10.8 (dont on reprend les notations), on a