Les racines des composantes hyperboliques de M sont des quarts d’entiers algébriques Thierry Bousch, février 1996

Théorème. On suppose que z est périodique pour le polynôme z ↦ z^{2} + c, avec multiplicateur ρ. Alors ρ est un entier algébrique si et seulement si 4c est un entier algébrique.

Corollaire. Si c est une racine de composante hyperbolique de l’ensemble de Mandelbrot, alors 4c est un entier algébrique.

Notations. On pose C = 4c, et f(z) = z^{2} + c. Considérons l’équation f^{n}(z) = z comme équation en z sur le corps K = C(c) ; cette équation admet N = 2^{n} solutions distinctes dans la clôture algébrique de K, que nous noterons z_{1}, … z_{N}. Si on pose Z_{i} = 2z_{i}, alors le multiplicateur ρ_{i} de l’orbite de z_{i} est donné par

\begin{aligned}ρ_{i} & = 2z_{i} × 2f(z_{i}) × ⋯ × 2f^{n−1}(z_{i}) \\ & = Z_{i_{0}}Z_{i_{1}} ⋯ Z_{i_{n−1}} \end{aligned}

où z_{i_{k}} = f^{k}(z_{i}). Une des implications du théorème est facile à démontrer ; nous l’énoncerons sous la forme suivante :

Lemme 1. Les Z_{i} sont des entiers algébriques sur Z[C]. Par conséquent, les ρ_{i} aussi. En particulier, si C est un entier algébrique, alors les Z_{i} et les ρ_{i} seront aussi des entiers algébriques.

Preuve du Lemme 1. Pour simplifier les notations, on considèrera uniquement une orbite de période exactement n et on supposera qu’elle s’écrit simplement (z_{0}, z_{1}, … z_{n}). Les z_{i} vérifient alors les relations suivantes,

\{ \begin{matrix}z_{0}^{2} + c & = z_{1} \\ z_{1}^{2} + c & = z_{2} \\ ⋯ \\ z_{n−1}^{2} + c & = z_{0} \end{matrix}

que l’on peut réécrire sous forme équivalente

\{ \begin{matrix}Z_{0}^{2} + C & = 2Z_{1} \\ (2Z_{1})^{2} + 4C & = 8Z_{2} \\ ⋯ \\ (2^{(2^{k}−1)}Z_{k})^{2} + 2^{(2^{k+1}−2)}C & = 2^{(2^{k+1}−1)}Z_{k+1} \\ ⋯ \\ (2^{(2^{n−1}−1)}Z_{n−1})^{2} + 2^{(2^{n}−2)}C & = 2^{(2^{n}−1)}Z_{0} \end{matrix}

Il est maintenant facile d’éliminer Z_{1}, … Z_{n−1} dans le système ci-dessus, ce qui donne l’équation suivante vérifiée par Z_{0} :

(⋯ ((Z_{0}^{2} + C)^{2} + 4C)^{2} + ⋯)^{2} + 2^{2^{n}−2}C = 2^{2^{n}−1}Z_{0}.

Cette équation est monique en Z_{0} et à coefficients dans Z[C], donc Z_{0} est un entier algébrique sur l’anneau Z[C]. Evidemment, il en est de même pour tous les autres Z_{i}. Ceci démontre le lemme 1.

La réciproque du théorème sera donnée par le

Lemme 2. Le paramètre C est un entier algébrique sur Z[ρ]. En particulier, si ρ est en entier algébrique sur Q, alors il en est de même de C.

Preuve du Lemme 2. Nous avons vu que les ρ_{i} (il y en a N) sont des entiers algébriques sur Z[c]. Ils vérifient donc une équation de la forme

∏_{i=1}^{N}(ρ − ρ_{i}) = ρ^{N} + λ_{1}(C)ρ^{N−1} + ⋯ + λ_{N}(C) = 0,

où les λ_{i} sont des polynômes à coefficients entiers. Pour prouver le lemme 2, il suffit de voir que le coefficient dominant de C dans l’équation ci-dessus est égal à ±1.

Lemme 2a. Le polynôme λ_{N} est de degré Nn/2 et son coefficient dominant est égal à ±1. Tous les λ_{k} sont de degré au plus kn/2.

En effet, quand C est très grand, les Z_{i} sont approximativement égaux à ±\sqrt{−C}. Les ρ_{i} sont donc de l’ordre de ±(−C)^{n/2}. Le polynôme λ_{k}(C) étant (au signe près) la fonction symétrique élémentaire de degré k en les ρ_{i}, on a la majoration

λ_{k}(C) = O(|C|^{kn/2}) quand |C| → ∞.

Donc le degré de λ_{k} est au plus kn/2. Pour k = N on peut dire un peu mieux :

λ_{N}(C) = (−1)^{N} ∏_{i=1}^{N} ρ_{i} ∼ ±(−C)^{Nn/2} quand |C| → ∞,

ce qui prouve le lemme 2a, et ceci termine la démonstration du lemme 2 et du théorème.