Polytech Paris-Sud 2014–2015 / PeiPA 1, S1 Mathématiques (extranet de Polytech Paris-Sud)

"Mon prof de maths est un génie." Xavi91x, élève PeiPA1, 2013–2014 (DTC). Et merci à la promo 2014–2015, pour ça.

Fiches d'exercices et contrôles:
fiche 1 – Fonctions | fiche 2 – Limites | fiche 3 – Continuité
Fin du programme du contrôle 1 (1er octobre 2014).
fiche 4 – Dérivabilité | fiche 5 – Dérivabilité d'ordre supérieur et DL
Fin du programme du contrôle 2 (22 octobre 2014).
fiche 6 – Intégration | fiche 7 – Équations différentielles (1) | fiche 8 – Nombres complexes
Fin du programme du contrôle 3 (3 décembre 2014).
fiche 9 – Équations différentielles linéaires d'ordre 2 | fiche 10 – Courbes paramétrées | fiche 11 – Fonctions de 2 et 3 variables
Fin du programme du contrôle 4 (6 janvier 2015).

Fiches de test:
test 1 (septembre) – Fonctions, limites | test 2 (octobre) – Dérivabilité, DL
test 3 (novembre) – Intégration, équations différentielles | test 4 (décembre) – Tout le reste

Contrôles:
contrôle 1 (octobre) et son corrigé | contrôle 2 (novembre) et son corrigé
contrôle 3 (décembre) et son corrigé | contrôle 4 (janvier) et son corrigé
contrôle de rattrapage (mars) et son corrigé

Compléments divers:
tables de dérivées, de développements limités et de primitives classiques | Rappel: preuve par récurrence
polys: Base du raisonnements, ensembles et applications (P. Pansu, S. Lelièvre) et Mathématiques (F. Santambrogio)
(Les polys sont là à titre de compléments. Nombreux changements – plus ou moins mineurs – de programme depuis.)

Programme indicatif. Les dates en gritalic sont des prévisions (probablement optimistes !).

1/9	Fonctions N, Z, Q, R, C, intervalles réels finis et infinis. Quelques fonctions usuelles ln, sin, cos, tan, x^n. Fonctions, graphes. Parité, monotonie. Restrictions, prolongements. Opérations usuelles sur les fonctions: addition, multiplication, division. Composition. Image directe d'un ensemble.
4/9*	Image réciproque. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Fonctions réciproques. Exemples et applications des notions. Limites Définition de limite finie en un point.
9/9	Unicité. Théorème des gendarmes. Fonctions de référence. Quelques méthodes. Comportement local.
10/9	Opérations usuelles. Limites infinies et/ou en l'infini. Comparaison et opérations usuelles. Continuité Continuité en un point. Fonction continue.
16/9	Propriétés et opérations usuelles. Prolongement par continuité. Comportement local. Théorème des valeurs intermédiaires (admis). Conséquences du TVI (annulation, surjectivité, image d'un intervalle). Types de démonstrations ("directe", par contradiction, par contraposée).
17/9	Extrema. Fonctions minorées, majorées. Théorème de Weierstrass. Fonctions réciproques. Fonctions arcsin, arccos, arctan. Exercice limite et continuité détaillé.
22/9	Dérivabilité Dérivabilité en un point. Interprétation géométrique. Fonctions dérivées. Dérivabilité des fonctions prolongées par continuité. Opérations usuelles. Compositions.
24/9	Dérivée des fonctions réciproques. Dérivées usuelles. Extrema et points critiques. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Exemple d'utilisation (des inégalités des A.F.) Monotonie et signe de la dérivée.
30/9	Tableau de variations. Fonctions hyperboliques. Dérivabilité d'ordre supérieur But et applications. Dérivées d'ordre supérieur.
7/10	Développements limités. Formule de Taylor-Young. Interprétation géométrique. Formule de Taylor-Lagrange.
8/10	Opérations sur les DL. Applications des DL (limites, signes, position).
14/10	Intégration Motivation. Présentation intuitive et propriétés générales. Définition. Propriétés. Cas des fonctions monotones et continues. Intégrale, primitive et dérivée.
15/10	Théorème fondamental du calcul intégral. Intégration par parties. Changement de variables.
21/10	DL et intégration. Fractions rationnelles (uniquement sur des exemples). Fractions rationnelles en cosinus et sinus.
4/11	Équations différentielles (1) Équation différentielle à variables séparables. Exemple. Équation différentielle linéaire d'ordre 1 (EDL1) réelle. Résolution. Structure de l'espace des solutions. Unicité des solutions du problème de Cauchy (cas des EDL1).
5/11	Variation de la constante. Équation non résolue. Exemple détaillé récapitulatif (EDL1 non résolue). (culture) Théorème de Cauchy-Lipschitz y'=f(t,y), avec f C¹.
12/11	Nombres complexes Définition. Dictionnaire euclidien vs polaire. Interprétation géométrique. Propriétés principales. Similitudes (directes) du plan.
18/11	Formule de Moivre. Formules de trigonométrie. Polynômes de degré 2 à coefficients réels. Fonctions complexes, généralités. Exponentielle complexe.
25/11	Fonctions définies sur un intervalle de réel, à valeurs complexes. Équation différentielle z'=az. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 [Nouveauté 2014 !] Présentation et exemples. Structure de l'espace des solutions.
26/11	Principe de superposition. Solutions de l'équation homogène. Recherche d'une solution particulière : second membre du type P(t).exp(st), s complexe.
2/12	Application aux seconds membres du type cos, sin, cos², etc. Solutions satisfaisant une condition initiale. Exemples. (culture) Des EDL2 aux systèmes différentiels d'ordre 1.
9/12	Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Vitesse, longueur, abscisse curviligne, tangente.
10/12	Fonctions de 2 et 3 variables Fonctions de 2 variables: limites, continuité, différentiabilité. Différentielle et gradient. Dérivées partielles et formule de Taylor à l'ordre 1. Plan tangent.
16/12	Dérivée le long d'une courbe. Travail d'une force dérivant d'un potentiel. Courbes de niveau f(x,y)=c. Liens avec le graphe de f. Tangente orthogonale au gradient.
17/12	Extrema et points critiques. Fonctions de 3 variables : un survol.

*cours de deux heures