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Fonctions N, Z, Q, R, C, intervalles réels finis et infinis. Quelques fonctions usuelles ln, sin, cos, tan, x^n. Fonctions, graphes. Parité, monotonie. Restrictions, prolongements. Opérations usuelles sur les fonctions: addition, multiplication, division. Image directe d'un ensemble. Composition de fonctions. |
8/9 |
Image réciproque. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Fonctions réciproques. Exemples et applications des notions. |
15/9 |
Limites Définition de limite finie en un point. Unicité. Théorème des gendarmes. Fonctions de référence. Quelques méthodes. |
16/9 |
Comportement local. Opérations usuelles. Limites infinies et/ou en l'infini. Comparaison et opérations usuelles. Continuité Continuité en un point. Fonction continue. |
22/9 |
Propriétés et opérations usuelles. Prolongement par continuité. Comportement local. Théorème des valeurs intermédiaires (admis). Conséquences du TVI (annulation, surjectivité, image d'un intervalle). |
23/9 |
Extrema. Fonctions minorées, majorées. Théorème de Weierstrass. Fonctions réciproques. Fonctions arcsin, arccos, arctan. Exercice limite et continuité détaillé. |
29/9 |
Dérivabilité Dérivabilité en un point. Interprétation géométrique. Fonctions dérivées. Dérivabilité des fonctions prolongées par continuité. Opérations usuelles. Compositions. |
30/9 |
Dérivée des fonctions réciproques. Dérivées usuelles. Extrema et points critiques. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Exemple d'utilisation (des inégalités des A.F.) Monotonie et signe de la dérivée. |
6/10 |
Tableau de variations. Fonctions hyperboliques. Dérivabilité d'ordre supérieur But et applications. Dérivées d'ordre supérieur. Développements limités. |
13/10 |
Formule de Taylor-Young. Interprétation géométrique. Formule de Taylor-Lagrange. |
14/10 |
Opérations sur les DL. Exemples. Applications des DL (limites, signes, position). |
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Intégration Motivation. Définition de l'intégrale (fonctions monotones ou continues). Propriétés de l'intégrale. Intégrale, primitive et dérivée. Théorème fondamental du calcul intégral. |
3/11 |
Intégration par parties. Changement de variables. DL et intégration. |
4/11 |
Fractions rationnelles (uniquement sur des exemples). Polynômes en cosinus et sinus. Équations différentielles (1) Équation différentielle à variables séparables. Exemple. |
5/11 |
Équation différentielle linéaire d'ordre 1 (EDL1) réelle. Résolution. Structure de l'espace des solutions. Unicité des solutions du problème de Cauchy (cas des EDL1). Variation de la constante. Équation non résolue. Exemple détaillé récapitulatif (EDL1 non résolue). |
9/11 |
(culture) Théorème de Cauchy-Lipschitz y'=f(t,y), avec f C¹. Nombres complexes Définition. Dictionnaire euclidien vs polaire. Interprétation géométrique. Propriétés principales. |
10/11 |
Similitudes (directes) du plan. Formule de Moivre. Formules de trigonométrie. Polynômes de degré 2 à coefficients réels. |
17/11 |
Fonctions complexes, généralités. Exponentielle complexe. Fonctions définies sur un intervalle de réel, à valeurs complexes. Équation différentielle z'=az. |
24/11 |
Équations différentielles linéaires d'ordre 2 Présentation et exemples. Structure de l'espace des solutions. Principe de superposition. Solutions de l'équation homogène. |
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Recherche d'une solution particulière : second membre du type P(t).exp(st), s complexe. Application aux seconds membres du type cos, sin, cos², etc. Solutions satisfaisant une condition initiale. Exemples. (culture) Des EDL2 aux systèmes différentiels d'ordre 1. |
8/12 |
Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Vitesse, longueur, abscisse curviligne, tangente. |
9/12 |
Fonctions de 2 (et 3) variables Fonctions de 2 variables: limites, continuité, différentiabilité. Différentielle et gradient. Dérivées partielles et formule de Taylor à l'ordre 1. Plan tangent. |
15/12 |
Dérivée le long d'une courbe. Travail d'une force dérivant d'un potentiel. Courbes de niveau f(x,y)=c. Liens avec le graphe de f. Tangente orthogonale au gradient. |
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Extrema et points critiques. Fonctions de 3 variables : un survol. |