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Fonctions N, Z, Q, R, C, intervalles réels finis et infinis. Quelques fonctions usuelles ln, sin, cos, tan, x^n. Fonctions, graphes. Parité, monotonie. Restrictions, prolongements. Opérations usuelles sur les fonctions: addition, multiplication, division. |
6/9 |
Images directe et réciproque d'un ensemble. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Composition de fonctions et fonctions réciproques. |
13/9 |
Exemples et applications des notions. Notion de contraposée. Limites Définitions de voisinage (ouvert), de points intérieur et adhérent. Définition de limite finie en un point adhérent. Unicité de la limite. |
14/9 |
Théorème des gendarmes. Fonctions de référence. Quelques méthodes. Comportement local. Opérations usuelles. Limites infinies et/ou en l'infini. |
20/9 |
Comparaison et opérations usuelles. Continuité Continuité en un point. Fonction continue. Propriétés et opérations usuelles. Prolongement par continuité. Comportement local. Théorème des valeurs intermédiaires (admis). |
21/9 |
Conséquences du TVI (annulation, surjectivité, image d'un intervalle). Extrema. Fonctions minorées, majorées. Théorème de Weierstrass. Fonctions réciproques. Fonctions arcsin, arccos, arctan. |
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Exemple d'utilisation du TVI, de Weierstrass. Dérivabilité Dérivabilité en un point. Interprétation géométrique. Fonctions dérivées. Dérivabilité des fonctions prolongées par continuité. |
28/9 |
Opérations usuelles. Compositions. Dérivée des fonctions réciproques. Dérivées usuelles. Extrema et points critiques. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. |
4/10 |
Utilisation des inégalités des A.F. Monotonie et signe de la dérivée. Tableau de variations. Exemples: Fonctions hyperboliques. Dérivabilité d'ordre supérieur But et applications. Dérivées d'ordre supérieur. |
11/10 |
Développements limités. Formule de Taylor-Young. Interprétation géométrique. Formule de Taylor-Lagrange. |
12/10 |
Opérations sur les DL. Exemples. Applications des DL (limites, signes, position). |
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Intégration Motivation. Définition de l'intégrale (fonctions monotones ou continues). Propriétés de l'intégrale. Intégrale, primitive et dérivée. Théorème fondamental du calcul intégral. |
25/10 |
Intégration par parties. DL et intégration. Changement de variables: formule usuelle. |
26/10 |
Changement de variables: reconnaître la dérivée d'une composition. Fractions rationnelles (uniquement sur des exemples). Polynômes en cosinus et sinus. |
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Équations différentielles (1) Équation différentielle linéaire d'ordre 1 (EDL1) réelle. Résolution. Structure de l'espace des solutions. Unicité des solutions du problème de Cauchy (cas des EDL1). Variation de la constante. Équation non résolue. Exemple détaillé récapitulatif (EDL1 non résolue). |
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(culture) Théorème de Cauchy-Lipschitz y'=f(t,y), avec f C¹. Équation différentielle à variables séparables. Exemple. Nombres complexes Définition. Dictionnaire euclidien vs polaire. Interprétation géométrique. Propriétés principales. |
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Similitudes (directes) du plan. Formule de Moivre. Formules de trigonométrie. |
22/11 |
Polynômes de degré 2 à coefficients réels. Fonctions complexes, généralités. Exponentielle complexe. Fonctions trigonométriques (et hyperboliques) complexes. Fonctions définies sur un intervalle réel, à valeurs complexes. |
23/11 |
Équations différentielles linéaires d'ordre 2 Présentation et exemples. Structure de l'espace des solutions. Principe de superposition. Solutions de l'équation homogène. |
29/11 |
Recherche d'une solution particulière : second membre du type P(t).exp(st), s complexe. Application aux seconds membres du type cos, sin, cos², etc. Solutions satisfaisant une condition initiale. Exemples. |
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Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Vitesse, longueur, abscisse curviligne, tangente. |
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Fonctions de 2 (et 3) variables Fonctions de 2 variables: limites, continuité, différentiabilité. Différentielle et gradient. Dérivées partielles et formule de Taylor à l'ordre 1. |
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Plan tangent. Dérivée le long d'une courbe. Travail d'une force dérivant d'un potentiel. Courbes de niveau f(x,y)=c. Liens avec le graphe de f. |
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Tangente orthogonale au gradient. Extrema et points critiques. Fonctions de 3 variables : un survol. |