Matthieu JOSEPH

Prépublications :

  • • Nouveauté On dissociated infinite permutation groups (avec R. Barritault et C. Jahel)

    ArXiv

    Le but de cet article est triple. Premièrement, nous décrivons la notion de dissociation pour les sous-groupes fermés du groupe des permutations d’un ensemble dénombrable et expliquons ses nombreuses conséquences sur les représentations unitaires (classification des représentations unitaires, propriété (T), propriété de Howe-Moore, etc.) ainsi que sur les actions ergodiques (inexistence d’actions non singulières de type III, rigidité des stabilisateurs, etc.). Certains des résultats présentés ici sont nouveaux, d’autres ont été démontrés dans des contextes différents. Deuxièmement, nous introduisons une nouvelle méthode pour démontrer la dissociation. Elle repose sur un renforcement de la notion classique d’amalgamation forte, où l’on permet l’amalgamation sur des ensembles dénombrables. Troisièmement, nous appliquons cette technique d’amalgamation pour fournir de nouveaux exemples de groupes de permutations fermés dissociés, y compris les groupes d’isométries de certains graphes métriquement homogènes, les groupes d’automorphismes de diversités, etc.
  • • Unitary representations of the isometry groups of Urysohn spaces (avec R. Barritault et C. Jahel)

    ArXiv

    Nous obtenons une classification complète des représentations unitaires continues du groupe d'isométries de l'espace d'Urysohn rationnel ℚ𝕌. Nous en déduisons que Isom(ℚ𝕌) a la propriété (T). Nous obtenons aussi plusieurs conséquences de nature ergodique : (i) toute action préservant une mesure de probabilité de Isom(ℚ𝕌) est soit essentiellement libre, soit essentiellement transitive, (ii) toute mesure de probabilité ergodique, Isom(ℚ𝕌)-invariante sur [0,1]ℚ𝕌 est une mesure produit. Nous obtenons les mêmes résultats pour les groupes d'isométries de variations de ℚ𝕌, comme la sphère rationnelle d'Urysohn ℚ𝕌1, l'espace d'Urysohn entier ℤ𝕌, etc.
  • • Stabilizers for ergodic actions and invariant random expansions of non-archimedean Polish groups (avec C. Jahel)

    accepté à Int. Math. Res. Not.
    ArXiv

    Soit G un groupe de permutation fermé d'un ensemble dénombrable Ω, qui agit transitivement mais pas hautement transitivement. Si G est oligomorphe, n'a pas d'algébricité et élimine faiblement les imaginaires, nous démontrons que toute action p.m.p. ergodique G ↷ (X, µ) est soit essentiellement libre, soit essentiellement transitive. Une notion clé que nous développons dans notre approche est celle d'expansions aléatoires invariantes, qui sont des mesures de probabilité G-invariantes sur l'espace des expansions de la structure canonique associée à G. Nous initions aussi l'étude des sous-groupes aléatoires invariants pour les groupes polonais et démontrons que – bien que le résultat pour les actions p.m.p. ergodiques est faux pour le groupe Sym(Ω) des permutations de Ω – tout sous-groupe aléatoire invariant ergodique de Sym(Ω) est essentiellement transitif.
  • • Isometric orbit equivalence for probability-measure preserving actions

    ArXiv

    Dans cet article, on introduit la notion d'équivalence orbitale isométrique pour les actions de groupes qui préservent une mesure de probabilité (pmp). Deux actions pmp de groupes sont OE isométriques si les graphages de Schreier des actions sont isomorphes. On démontre dans un premier temps que si le groupe d'automorphismes du graphe de Cayley d'un groupe est discret, alors toute action pmp libre de ce groupe est rigide du point de vue de l'équivalence orbitale isométrique. Dans un second temps, on introduit une méthode pour démontrer qu'un certain nombre de groupes admettent des actions pmp libres OE isométriques mais non conjuguées. C'est par exemple le cas pour le groupe libre de rang fini, muni d'un système de générateurs libre.

Publications :

  • • Amenable wreath products with non almost finite actions of mean dimension zero

    Trans. Amer. Math. Soc., 377, No. 2, 1321-1333 (2024).
    Version publiée | ArXiv | Vidéo

    La notion de "presque finitude a été introduite par Kerr comme un analogue dynamique de la notion de Z-stabilité dans la conjecture de Toms-Winter. Dans cet article, nous fournissons les premiers examples d'actions minimales de groupes moyennables, qui ont une dimension moyenne nulle et qui ne sont pas presque finies. Plus précisément, on démontre qu'il existe une famille infinie de produits en couronne moyennables qui admettent des actions topologiquement libres, minimales, profinies sur l'espace de Cantor qui ne sont pas presque finie. Ces actions vérifient par ailleurs la propriété de comparaison dynamique. Cet intriguant phénomène montre que l'analogue dynamique de la conjecture de Toms-Winter du à Kerr est faux pour les actions minimales, topologiquement libre de groupes moyennables. La notion de groupes allostériques est le principal outil dans cet article. Un groupe est allostérique s'il admet une action minimale sur un espace compact, avec une mesure de probabilité invariante ergodique, qui est topologiquement libre mais pas essentiellement libre. On étudie l'allostérie des produits en couronne et l'on donne les premiers examples de groupes allostériques moyennables.
  • • Belinskaya's Theorem is optimal (avec A. Carderi, F. Le Maître et R. Tessera)

    Fund. Math., 263 (2023), n°1, 51-90.
    Version publiée | ArXiv | Vidéo (par F. Le Maître) 

    Étant donnée une transformation ergodique T, le théorème de Belinskaya affirme que n'importe quelle autre transformation ergodique qui définit la même partition en orbite que celle de T, avec un cocycle L1, est en fait flip-conjugué à T. Notre résultat principal montre que ce théorème est optimal : pour tout p<1, la condition d'intégrabilité du cocycle ne peut pas être remplacée par la condition Lp. Cela nous permet de répondre à une question de Kerr et Li : pour les transformations ergodiques, l'équivalence orbitale Shannon ne se réduit pas à la flip-conjugaison.
  • • Continuum of allosteric actions for non-amenable surface groups

    Erg. Th. Dyn. Syst., 44, No. 6, 1581-1596 (2024).
    Version publiée | ArXiv

    Soit Σ une surface fermée autre que la sphère, le tore, le plan projectif ou la bouteille de Klein. Nous construisons un continuum d'actions profinies ergodique minimales du groupe fondamental de Σ, qui sont topologiquement libres mais pas essentiellement libres. Cette propriété est nommée allostérie. Par ailleurs, les IRS obtenus grâce à ces actions sont deux à deux distincts.
  • • Products of snowflaked Euclidean lines are not minimal for looking down (avec T.Rajala)

    Anal. Geom. Metr. Spaces, 5 (2017), no. 1, 78-97.
    Version publiée | ArXiv

    On étudie dans cet article une notion d'auto-similarité dans les espaces métriques, appelée BPI (Big Pieces of Itself). Pour classifier les différentes géométries BPI, David et Semmes ont introduit la notion de "looking down". Dans cet article, on démontre que le produit d'un nombre fini de droites réelles munies chacune de la distance (x,y)→|x-y|p avec p<1 n'est pas minimal pour cette notion de "looking down".

Thèse de doctorat :

  • Dynamique topologique et mesurée : allostérie, équivalence orbitale quantitative

    Effectuée sous la direction de Damien Gaboriau.

    TEL | Version pdf

    Cette thèse se situe à l’interface entre dynamique topologique et dynamique mesurée. Premièrement, j’y étudie la notion d’action allostérique. Ce sont des actions génériquement libres au sens topologique mais pas génériquement libres au sens de la mesure. Ce comportement étonnant met en valeur les nuances entre sous-groupes aléatoires invariants et sous-groupes uniformément récurrents. Un second sujet d’étude est l’équivalence orbitale quantitative, qui renforce l’équivalence orbitale. Il s’agit de comprendre comment les structures métriques sur les orbites des actions peuvent être distordues par équivalence orbitale. Une grande partie des travaux de cette thèse gravite autour d’un des théorèmes fondateurs de cette théorie : le théorème de Belinskaya.