Ce lemme découle immédiatement de la combinaison des lemmes 4.1.14 et 5.1.7.

On commence par l’unicité. On sait que chaque élément de \(A[M]\) s’écrit de façon unique comme somme \(∑_m a_m m\) pour une fonction \(a \! :M → A\) à support fini. Les axiomes d’anneau et de morphisme de monoïde forcent la formule de l’énoncé.

Réciproquement cette formule défini bien une loi de composition interne sur \(A[M]\) (la somme du membre de droite est bien finie car \((m, m') ↦ a_mb_{m'}\) est à support fini). L’inclusion de \(M\) dans \(A[M]\) est clairement compatible avec cette multiplication et l’élément neutre de \(M\), vu comme élément de \(A[M]\), est neutre. On voit aussi que les éléments de \(A\) sont envoyés sur des éléments qui commutent avec tous les éléments de \(A[M]\).

On peut vérifier directement les axiomes d’anneau sans difficulté (à condition de faire les choses dans un ordre judicieux, en particularité la distributivité avant l’associativité de la multiplication). Mais ce il est plus facile de passer par la propriété universelle des \(A\)-module libre \(A[M]\). Soit \(a\) dans \(A[M]\). L’application de \(M\) dans \(A[M]\) qui envoie \(m\) sur \(am\) (défini par la formule ci-dessus) admet une unique extension \(A\)-linéaire de \(A[M]\) dans \(A[M]\) et cette extension est bien donnée par notre formule. Son additivité montre la distributivité à gauche. De même l’additivité de l’extension de \(m ↦ ma\) montre la distributivité à droite. La compatibilité avec la multiplication scalaire de l’extension de \(m ↦ am\) montre que

De même en utilisant l’extension de \(m ↦ mc\), on obtient

et on conclut par l’associativité des multiplications dans \(A\) et \(M\).

Si \(M\) est commutatif, la formule de produit montre que \(A[M]\) est commutative. Réciproquement si \(A\) est non trivial et \(A[M]\) est commutative alors pour tout \(m\) et \(m'\) dans \(M\) on a \(mm' = m'm\) dans \(A[M]\) et on conclut par injectivité de \(M → A[M]\) (qui provient de l’hypothèse que \(A\) n’est pas trivial).

Montrons la propriété universelle. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre. En particulier \(B\) est un \(A\)-module. Soit \(φ \! :M → B\) un morphisme de monoïdes. La propriété universelle des \(A\)-modules libres permet d’étendre \(φ\) de façon unique en application \(A\)-linéaire \(\barφ \! :A[M] → B\). Soit \(a\) et \(b\) dans \(A[M]\). On calcule en utilisant la linéarité de \(\barφ\) et le fait qu’elle étend \(φ\) :

Ainsi \(\barφ\) est aussi compatible avec la multiplication.

Soit \(B'\) la sous-algèbre de \(B\) engendrée par l’image de \(φ\). L’hypothèse de commutation assure que \(B'\) est commutative. En particulier \((B', ×)\) est un monoïde commutatif.

La propriété universelle du monoïde commutatif libre \(M_ℐ\) sur \(ℐ\) assure l’existence d’un unique morphisme de monoïdes \(\tilde b\) de \(M_ℐ\) dans \(B'\) qui étend \(b\). La propriété universelle des algèbres de monoïdes appliquée à \(\tilde b\) fournit alors le morphisme \(\operatorname{ev}_b\) souhaité (plus exactement on obtient le morphisme souhaité en composant avec l’inclusion de \(B'\) dans \(B\)).

Comme d’habitude, l’unicité de \(\operatorname{ev}_b\) découle de l’unicité dans les deux propriétés universelles utilisées mais il faut faire un tout petit peu attention à l’inclusion de \(B'\) dans \(B\) qui complique très légèrement la discussion. Soit \(ψ \! :A[(X_i)_{i ∈ ℐ}] → B\) un morphisme d’algèbre tel que \(ψ ∘ j ∘ ι_S = b\). Comme \(A[(X_i)_{i ∈ ℐ}]\) est engendrée (en tant que \(A\)-algèbre) par \(j ∘ ι_S(ℐ)\), l’image de \(ψ\) est engendrée par \(ψ ∘ j ∘ ι_S(ℐ) = b(ℐ)\) donc c’est \(B'\). On peut donc oublier \(B\) et voir \(ψ\) comme morphisme de \(A[(X_i)_{i ∈ ℐ}]\) dans \(B'\) et dérouler l’unicité.

Montrons la dernière partie de l’énoncé. Soit \(φ \! :B → C\) un morphisme de \(A\)-algèbres. L’unicité dans la propriété universelle appliquée à \(φ ∘ b\) assure que, pour montrer que \(φ ∘ \operatorname{ev}_b = \operatorname{ev}_{φ ∘ b}\), il suffit de remarquer que \(φ ∘ \operatorname{ev}_b\) est un morphisme de \(A\)-algèbres et que, pour tout \(i\), \(φ ∘ \operatorname{ev}_b(X_i) = φ ∘ b(i)\).

Les opérations sur l’ensemble de fonctions de \(Bⁿ\) dans \(B\) sont définie ponctuellement donc il suffit de vérifier la compatibilité avec l’addition et la multiplication pour chaque point \((b₁, \dots , bₙ)\). Celles-ci sont immédiatement fournies par la propriété universelle. L’unité de \(A[X₁, \dots , Xₙ]\) est bien envoyée sur \(1\) et les polynômes constants (qui forment l’image de \(A → A[X₁, \dots , Xₙ]\)) sont bien envoyés sur les fonctions constantes correspondantes.

Pour la première partie, on applique la propriété universelle de \(A[(X_i)_{i ∈ ℐ}]\) à l’application naturelle de \(ℐ\) dans \(B[(X_i)_{i ∈ ℐ}]\). Pour la seconde on voit \(A[X₁, \dots , Xₙ₊₁]\) comme \(A[X₁, \dots , Xₙ]\)-algèbre via l’inclusion induite par l’inclusion de \(\{ 1, \dots , n\} \) dans \(\{ 1, \dots , n+1\} \) et on envoie \(Xₙ₊₁\) sur... \(Xₙ₊₁\) (mais l’autre). Bref, ces anneaux sont « égaux ».

Supposons \(A\) intègre. Pour tout ensemble \(ℐ\) et tout diviseur de zéro \(P\) dans \(A[(X_i)_{i ∈ ℐ}]\), il existe un ensemble \(𝒥 ⊂ ℐ\) fini tel que \(A[𝒥]\) contient ce diviseur de zéro et un élément \(Q\) non nul tel que \(PQ = 0\) (en effet chaque élément de \(A[(X_i)_{i ∈ ℐ}]\) est contenu dans un tel sous-anneau). Il suffit donc de montrer le lemme pour des anneaux de polynômes n’ayant qu’un nombre fini d’indéterminées.

On raisonne par récurrence sur le nombre d’indéterminées. Le cas de base est notre hypothèse sur \(A\). Supposons par récurrence que \(A[X₁, \dots , Xₙ]\) est intègre. Supposons qu’il existe un diviseur de zéro \(P\) non nul dans \(A[X₁, \dots , Xₙ₊₁]\). Soit \(Q\) non nul tel que \(PQ = 0\). En utilisant l’isomorphisme \(A[X₁, \dots , Xₙ₊₁] = A[X₁, \dots , Xₙ][Xₙ₊₁]\), on écrit \(P = ∑_{i=0}^d Pᵢ Xₙ₊₁ⁱ\) et \(Q = ∑_{j=0}^{d'} Q_j Xₙ₊₁^j\) où les \(P_i\) et \(Q_j\) sont dans \(A[X₁, \dots , Xₙ]\), \(P_d ≠ 0\) et \(Q_{d'} ≠ 0\) (on utilise ici que \(P\) et \(Q\) sont non nuls). Le coefficient de \(Xₙ₊₁^{d+d'}\) dans \(PQ\) est \(P_d Q_{d'}\) donc \(P_d Q_{d'} = 0\). Comme \(A[X₁, \dots , Xₙ]\) est intègre par hypothèse de récurrence, \(P_d = 0\) ou \(Q_d' = 0\), ce qui est contradictoire.

L’existence et l’unicité provient de la propriété universelle des modules libres. L’application \((P, Q) ↦ (PQ)'\) est \(A\)-bilinéaire (c’est à dire \(A\)-linéaire par rapport à \(P\) quand \(Q\) est fixé et inversement) car chaque application partielle est composée d’applications linéaires. Il suffit donc de vérifier la formule de Leibniz pour \(P = X^k\) et \(Q = X^l\) pour tous \(k\) et \(l\) dans \(ℕ\). C’est un calcul immédiat.

Chaque coefficient \((M{}^t{\operatorname{co}(M)})_{i, j}\) est clairement l’évaluation en les \(M_{k, l}\) d’un polynôme \(P_{i, j}\) de \(ℤ[X₁₁, \dots , Xₙₙ]\). De même \({}^t{\operatorname{co}(M)}M\) et \(\det (M)I_n\) correspondent à des familles de polynômes \(Q_{i, j}\) et \(R_{i, j}\). Les calculs qui sont habituellement présentés comme une démonstration du résultat pour des matrices à coefficient dans un corps montrent en fait que \(P_{i, j} = Q_{i, j} = R_{i, j}\) pour tous \(i\) et \(j\). En évaluant ces égalités sur les coefficients d’une matrice \(M\) on obtient le résultat général.

Le deuxième résultat se démontre de la même façon mais plus simplement car il n’y a qu’un polynôme par côté de l’égalité.

On présente d’abord la démonstration habituelle pour \(A = ℝ \text{ ou } ℂ\). On observe que \(M(I_n + NM) = M + MNM = (I_n + MN)M\) donc la multiplicativité du déterminant donne \(\det (M)\det (I_n + NM) = \det (I_n + MN)\det (M)\). Si \(M\) est inversible, on peut diviser \(\det (M)\) et obtenir le résultat. On en déduit le cas général par densité des matrices inversibles et continuité de \((M, N) ↦ \det (I_n + NM)\) et \((M, N) ↦ \det (I_n + MN)\).

Cet argument topologique est sans espoir dans un anneau commutatif général (particulièrement s’il n’est pas intègre donc ne se plonge pas dans un corps). Soit \(R = ℤ[X₁₁, \dots , Xₙₙ, Y₁₁, \dots , Yₙₙ]\). Soit \(M₀\) et \(N₀\) les matrices à coefficients dans \(R\) définies par \(Xᵢⱼ\) et \(Yᵢⱼ\) respectivement. Soit \(P₀ = \det (I_n + M₀N₀) ∈ R\) et \(Q₀ = \det (I_n + N₀M₀) ∈ R\). Le même argument que dans le premier paragraphe montre que \(\det (M₀)P = Q\det (M₀)\). Or \(\det (M₀) ≠ 0\) et \(R\) est intègre d’après le lemme 6.3.9, donc \(P₀ = Q₀\). Or, pour tout anneau commutatif \(A\) et toutes matrices \(M\) et \(N\), \(\det (I_n + MN) = P₀(M₁₁, \dots , Nₙₙ)\) et \(\det (I_n + NM) = Q₀(M₁₁, \dots , Nₙₙ)\) donc la formule générale est démontrée.