Soit \(A\) un anneau commutatif. Soit \(φ \! :M → M'\) une application \(A\)-linéaire entre \(A\)-modules et \(N\) un sous-module de \(M\). Le lemme 3.1.8 assure que \(φ(M)\) est un sous-groupe de \(M'\). Il reste à voir la stabilité par multiplication scalaire. Soit \(n ∈ N\) et \(a ∈ A\). On \(aφ(n) = φ(an)\) et \(N\) est stable donc \(an ∈ N\) puis \(aφ(n) ∈ φ(N)\).

Soit \(N'\) un sous-module de \(M'\). Le même lemme assure que \(φ⁻¹(N')\) est un sous-groupe de \(M\). Soit \(n ∈ φ⁻¹(N')\) et \(a ∈ A\). On a \(φ(an) = aφ(n)\) et \(N'\) est stable donc \(aφ(n) ∈ N'\) puis \(an ∈ φ⁻¹(N')\).

Soit \(𝒩\) une famille de sous-modules de \(M\). Le lemme 3.1.8 assure que \(N₀ = \bigcap _{N ∈ 𝒩} N\) est un sous-groupe de \(M\). Soit \(n ∈ N₀\) et \(a ∈ A\). Pour tout \(N ∈ 𝒩\), \(n ∈ N\) et \(N\) est stable donc \(an ∈ N\). On a donc \(an ∈ N₀\).

Montrons maintenant la description du sous-module engendré par une partie \(S\) de \(M\). Notons \(N\) l’ensemble de l’énoncé. On a \(S ⊂ N\). De plus la stabilité par multiplication scalaire force \(as ∈ ⟨S⟩\) pour tout \(s ∈ S\) et \(a ∈ A\) puis la stabilité par somme force \(N ⊂ ⟨S⟩\). Ainsi il suffit de montrer que \(N\) est un sous-module de \(M\), ce qui est clair.

Le cas des produits est clair. Voyons comment la condition de finitude qui intervient dans la définition de la somme assure la propriété universelle. Soit \((Mᵢ)_{i ∈ ℐ}\) une famille de \(A\)-modules. Soit \(N\) un \(A\)-module et \((φᵢ \! :Mᵢ → N)_{i ∈ ℐ}\) une famille d’applications linéaires. Pour tout \(m ∈ \bigoplus _i M_i\), on pose \(φ(m) = ∑_i φᵢ(mᵢ)\). Cette somme n’a un sens que parce que tous les \(mᵢ\) sont nuls sauf un nombre fini.

Il y a déjà une unique structure de groupe sur \(M/N\) qui fasse de \(π\) un morphisme de groupes. Il s’agit donc de s’occuper de la multiplication scalaire. Soit \(a ∈ A\) et \(μ_a ∈ \operatorname{End}(M)\) la multiplication par \(a\). On veut compléter le diagramme

Le corollaire 3.3.12 assure l’unicité de \(\barμ_a\) et donne la condition nécessaire d’existence \(μ_a(N) ⊂ N\) qui est bien vérifié car \(N\) est un sous-module. Il reste à vérifier que \(a ↦ \barμ_a\) est un morphisme d’anneaux de \(A\) dans \(\operatorname{End}(M/N)\). Montrons que, en plus des propriétés de \(a ↦ μ_a\), cela découle de la commutativité du diagramme ci-dessus, de la surjectivité de \(π\) et du fait que \(π\) est un morphisme de groupes. Soit \(a\) et \(b\) dans \(A\). Pour tout \(m\) dans \(M\) on a \(\barμ_{a+b}(π(m)) = π(μ_{a + b}(m)) = π(μ_a(m) + μ_b(m)) = π(μ_a(m)) + π(μ_a(m)) = \barμ_a(π(m)) + \barμ_b(π(m))\). De même \(\barμ_{ab}(π(m)) = π(μ_{ab}(m)) = π(μ_a ∘ μ_b(m)) = \barμ_a(π(μ_b(m))) = \barμ_a(\barμ_b(π(m)))\) et \(\barμ_1(π(a)) = π(μ_1(a)) = π(a)\).

Montrons maintenant la propriété universelle. Soit \(φ \! :M → M'\) une application \(A\)-linéaire telle que \(N ⊂ \ker φ\). Le théorème 3.3.9 assure que \(φ\) descend en morphisme de groupe \(\barφ \! :M/N → M'\). Il reste à vérifier que \(\barφ\) est \(A\)-équivariant. Soit \(m ∈ M\) et \(a ∈ A\). On a \(\barφ(aπ(m)) = \barφ(π(am)) = φ(am) = aφ(m) = a\barφ(π(m))\).

La dernière partie de l’énoncé découle directement de la partie précédente appliquée à \(π ∘ φ\).

Ces propriétés se démontrent exactement comme dans le cas particulier des idéaux qui fait l’objet de la proposition 4.2.15. Montrons l’associativité. Soit \(N\), \(N'\) et \(N''\) des sous-modules de \(M\). Vu l’associativité de la réunion, il suffit de montrer que \(N + (N' + N'') = ⟨N ∪ (N' ∪ N'')⟩\) et \((N + N') + N'' = ⟨(N ∪ N') ∪ N''⟩\). Soit \(P\) un sous-module de \(M\).

Donc le sous-module \(N + (N' + N'')\) vérifie la propriété universelle qui caractérise \(⟨N ∪ (N' ∪ N'')⟩\). Le cas de \((N + N') + N''\) fonctionne exactement de la même façon.

Le sous-module nul est neutre car \(N + 0 = ⟨N ∪ 0⟩ = ⟨N⟩ = N\) et de même \(0 + N = N\).

La commutativité découle directement de celle de la réunion puisque, pour tous sous-modules \(N\) et \(N'\), \(N + N' = ⟨N ∪ N'⟩ = ⟨N' ∪ N⟩ = N' + N\).

Le sous-module engendré par les \(im\) contient leurs sommes donc il suffit de montrer que l’ensemble des \(∑_λ i_λ m_λ\) est bien un sous-module. Il s’agit clairement d’un sous-groupe. Pour tout \(a\) dans \(A\) on a \(a∑_λ i_λ m_λ = ∑_λ (ai_λ) m_λ\) et chaque \(ai_λ\) est dans \(I\) car \(I\) est un idéal.

Soit \(I\) un idéal de \(A\) et \(N\) et \(N'\) des sous-modules de \(M\). Pour tout \(i\) dans \(I\), on note \(μ_i ∈ \operatorname{End}_A(M)\) la multiplication par \(i\). Montrons que \(I(N+N')\) vérifie la propriété universelle de \(IN + IN\). Soit \(P\) un sous-module de \(M\).

Ainsi \(I(N+N') = IN + IN'\). On montre de façon analogue que, pour tous idéaux \(I\) et \(J\) dans \(A\) et tout sous-module \(N\) de \(M\), \(I(JN) = (IJ)N\). Le fait que \(0N = 0\) est clair (mais cela ne découle pas immédiatement de l’additivité car les idéaux de \(A\) ne forment pas un groupe). Enfin, pour tout sous-module \(N\), \(1N = N\) car \(N\) est stable par multiplication scalaire donc \(IN ⊂ N\) pour tout \(I\) et \(1N ⊃ μ₁(N) = N\).

On passe maintenant à l’étude des quotients. Soit \(I\) un idéal de \(A\). On a déjà vu dans la proposition 5.2.1 d’où provient la structure de \(A\)-module sur \(M/IM\). Il s’agit de voir que le morphisme d’anneau \(μ\) de \(A\) dans \(\operatorname{End}_ℤ(M/IM)\) descend de façon unique à \(A/I\). D’après la propriété universelle des anneaux quotients, il suffit de vérifier que \(I ⊂ \ker μ\). Soit \(i ∈ I\) et \(x ∈ M/IM\). Soit \(m ∈ M\) tel que \(x = π(m)\). On a \(μ_i(x) = μ_i(π(m)) = π(μ_i(m)) = 0\) où la dernière égalité provient de \(μ_i(m) ∈ IM\).

Pour la dernière partie, on considère une application \(A\)-linéaire \(φ \! :M → M'\). On veut la descendre en application \(A\)-linéaire de \(M/IM\) dans \(M'/IM'\). Toujours d’après la même proposition 5.2.1, il s’agit de vérifier que \(φ(IM) ⊂ IM'\). Puisque \(IM'\) est un sous-module, il suffit de vérifier que, pour tout \(i\) dans \(I\) et \(m\) dans \(M\), \(φ(im) ∈ IM'\), ce qui est clair par linéarité de \(φ\). La fonctorialité découle de l’unicité comme d’habitude (voir par exemple la démonstration du corollaire 3.4.5).

Montrons d’abord que \(ι(S)\) engendre \(M\). La projection canonique de \(M\) sur \(M/⟨ι(S)⟩\) et le morphisme nul entre ces modules étendent tous deux la fonction nulle de \(S\) dans \(M/⟨ι(S)⟩\). Par unicité dans la propriété universelle, ces deux morphismes sont égaux. Or la projection est surjective donc \(M/⟨ι(S)⟩ = \{ 0\} \).

Soit \(x\) un élément de \(M\). Le paragraphe précédent et le lemme 5.1.7 assurent l’existence d’une écriture de \(x\) comme annoncé. Supposons maintenant que \(x\) s’écrive \(∑_{s ∈ S} a_s ι(s)\) et \(∑_{s ∈ S} b_s ι(s)\) pour deux fonctions \(a\) et \(b\) à support fini. Pour tout \(s\) dans \(S\), on considère la fonction \(δ_s \! :S → A\) qui vaut un en \(s\) et zéro ailleurs. On note \(Δ_s\) son extension à \(M\) promise par la propriété universelle. En appliquant \(Δ_s\) aux deux sommes on obtient \(a_s = b_s\).

Réciproquement, supposons maintenant que \((M, ι)\) vérifie cette condition d’écriture unique. Soit \(M'\) un \(A\)-module et \(f\) une fonction de \(S\) dans \(M'\). Montrons d’abord l’unicité de \(\bar f\) car cela aidera pour l’existence. Soit \(x ∈ M\). Par hypothèse on peut écrire \(x = ∑_s a_s ι(s)\). On calcule :

Donc la valeur de \(\bar f(x)\) est uniquement spécifiée par nos contraintes.

Pour l’existence de \(\bar f\), on peut utiliser l’unicité de l’écriture comme somme pour définir \(\bar f\) par la formule ci-dessus. Il reste à montrer qu’on obtient bien une application linéaire. Soit \(x\) et \(y\) dans \(M\). Comme \((M, +)\) est abélien, on peut écrire \(x + y = ∑_s (a_s + b_s)ι(s)\) et calculer :

La compatibilité avec la multiplication par un scalaire est encore plus directe à vérifier.

La vérification des axiomes de module pour \(A[S]\) est immédiate à partir des axiomes de module de \(A\). La proposition assure le reste.

Pour obtenir \(A[f]\), on applique la propriété universelle de \(A[S]\) à l’application \(δ ∘ f \! :S → A[S']\). Comme \(\operatorname{Id}_{A[S]} ∘ ι = ι ∘ \operatorname{Id}_S\), l’unicité dans la propriété universelle assure \(A[\operatorname{Id}_S] = \operatorname{Id}_{A[S]}\). Pour la formule de composition, on contemple le diagramme suivant

Comme les deux carrés commutent, le grand rectangle commute. L’unicité dans la définition de \(A[g ∘ f]\) assure alors que \(A[g ∘ f] = A[g] ∘ A[f]\).

Il suffit d’appliquer les résultats de cette section à \(A = ℤ\) et à \(A = ℕ\) respectivement, en utilisant la remarque 5.3.5 pour ce dernier cas.

Soit \(N\) un \(A/I\) module et \(φ \! :S → N\) une fonction. Comme \(N\) est un \(A/I\)-module, c’est aussi un \(A\)-module. Par liberté de \((M, i)\), \(φ\) s’étend en application \(A\)-linéaire \(\tildeφ \! :M → N\).

Pour montrer que \(\tildeφ\) descend à \(M/IM\), il suffit de montrer que, pour tout \(i ∈ I\) et \(m ∈ M\), \(\tildeφ(im) = 0\) (car \(IM\) est engendré par ces éléments). Or \(\tildeφ\) est \(A\)-linéaire donc \(\tildeφ(im) = i\tildeφ(m)\) qui est nul car l’action scalaire de \(A\) sur \(N\) passe par \(A/I\). L’unicité s’obtient comme d’habitude en composant les unicités des deux propriétés universelles utilisées (voir par exemple la démonstration de la proposition 3.7.3).

Si \(φ \! :S → S'\) est une bijection alors on obtient un isomorphisme entre \(M\) et \(M'\) par le corollaire 5.3.10.

Réciproquement supposons que \(φ \! :M → M'\) soit un isomorphisme linéaire. Soit \(I\) un idéal maximal de \(A\) fournit par la proposition 4.2.29, de sorte que \(A/I\) est un corps d’après le lemme 4.2.26. Le lemme 5.2.3 fournit un isomorphisme \(A/I\)-linéaire \(\barφ \! :M/IM → M'/IM'\). Or le lemme 5.3.12 assure que \(M/IM\) et \(M'/IM'\) sont des \(A/I\)-modules libres sur \(S\) et \(S'\). Le corollaire 5.3.4 assure donc que ce sont des \(A/I\)-espaces vectoriels de dimension \(♯S\) et \(♯S'\). On conclut par le théorème de la dimension.

De même si \(φ\) est injective (resp. surjective) alors \(\barφ\) est injective (resp. surjective) et on conclut encore par la théorie de la dimension.

La première flèche est forcément l’application nulle car c’est la seule application \(A\)-linéaire partant du module nul. La condition d’exactitude en \(M\) est donc \(\operatorname{im}0 = \ker i\) donc \(\ker i = 0\). De même la dernière flèche est nulle car c’est la seule application à valeur dans le module nul. La condition d’exactitude en \(Q\) est donc \(\operatorname{im}p = \ker 0\) donc \(\operatorname{im}p = Q\) et \(p\) est surjective. Enfin la condition d’exactitude en \(N\) est exactement \(\ker p = \operatorname{im}i\).

On a \(M = \ker p + \operatorname{im}p\) car \(∀ m, m = (m - p(m)) + p(m)\) où le premier morceau est dans \(\ker p\) car \(p\) est un projecteur. Montrons que la somme est directe. Soit \(x ∈ \ker p\) et \(z\) tels que \(x + p(z) = 0\). On a \(x = - p(z) = p(-z)\) puis, en appliquant \(p\) et en utilisant que \(x\) est dans \(\ker p\), on obtient \(0 = p(x) = p(p(-z)) = p(-z)\). Ainsi \(p(-z) = 0\) et donc \(x = 0\) et \(p(z) = 0\).

Supposons la suite scindée. On a donc un diagramme de la forme

et on peut poser \(s = ψ₂⁻¹ ∘ i₂ ∘ ψ₃\). La relation \(p ∘ s = \operatorname{Id}_Q\) découle directement du diagramme et de la relation \(\operatorname{pr}₂ ∘\, i₂ = \operatorname{Id}_{M₂}\) :

Réciproquement, supposons que \(s\) existe. On a \((s ∘ p)² = s ∘ p ∘ s ∘ p = s ∘ \operatorname{Id}∘ p = s ∘ p\). Le lemme 5.4.6 assure alors que \(N = \ker (s ∘ p) ⊕ \operatorname{im}(s ∘ p)\). Comme \(p ∘ s = \operatorname{Id}\), \(s\) est injective donc \(\ker (s ∘ p) = \ker p\). Ce dernier est égal à \(\operatorname{im}i\) car la suite de départ est exacte. Ainsi \(\ker (s ∘ p) = \operatorname{im}i\). De plus \(p\) est surjective donc \(\operatorname{im}(s ∘ p) = \operatorname{im}s\). En rassemblant les morceaux on obtient \(N = \operatorname{im}i ⊕ \operatorname{im}s\) et donc un isomorphisme \(i ⊕ s \! :M ⊕ Q → N\) qui fournit le diagramme

qui est bien de la forme annoncée.

D’après le lemme 5.4.7, il suffit de construire une section de \(p\).

Par hypothèse, il existe un ensemble \(S\) et \(ι \! :S → Q\) tel que \((Q, ι)\) est libre sur \(S\). Comme \(p\) est surjectif, on obtient une fonction \(σ \! :S → N\) telle que \(p ∘ σ = ι\). La propriété universelle de \(Q\) donne \(s \! :Q → M\) telle que \(σ = s ∘ ι\). On a \(p ∘ s ∘ ι = p ∘ σ = ι\) et, comme \(i(S)\) engendre \(Q\) et que \(p ∘ s\) est linéaire, \(p ∘ s = \operatorname{Id}_Q\).

Montrons d’abord que \(\operatorname{Tor}(M)\) est un sous-groupe de \(M\) en appliquant le lemme 3.1.8. Il contient \(0\) car \(A\) est intègre donc non trivial donc \(1 ≠ 0\) dans \(A\) et \(1 \cdot 0 = 0\) dans \(M\). Soit \(x\) et \(y\) dans \(\operatorname{Tor}(M)\) et soit \(a\) et \(b\) non nuls dans \(A\) tels que \(ax = by = 0\). On a \(ab(x - y) = 0\) et \(ab ≠ 0\) car \(A\) est intègre, donc \(x - y\) est dans \(\operatorname{Tor}(M)\). Montrons maintenant que \(\operatorname{Tor}(M)\) est stable sous l’action scalaire. Soit \(x\) dans \(\operatorname{Tor}(M)\) et \(a\) dans \(A\) non nul tel que \(ax = 0\). Pour tout \(b\) dans \(A\) on a \(a(bx) = b(ax) = 0\) donc \(bx\) est dans \(\operatorname{Tor}(M)\).

Montrons maintenant que \(M/\operatorname{Tor}(M)\) est sans torsion. Soit \(x\) dans \(M\) et \(a\) dans \(A\) non nul tel que \(aπ(x) = 0\) . Comme \(π\) est \(A\)-linéaire, \(π(ax) = aπ(x) = 0\), donc \(ax\) est dans \(\operatorname{Tor}(M)\). On obtient donc \(b\) non nul dans \(A\) tel que \(bax = 0\). Comme \(A\) est intègre, \(ab\) n’est pas nul donc \(x\) est de torsion et donc \(π(x) = 0\).

Soit \(S\) un ensemble et \(i\! :S → M\) tel que \((M, i)\) est libre sur \(S\). Soit \(m\) non nul dans \(M\). On sait par la proposition 5.3.3 que \(m = ∑_s a_s i(s)\) pour une fonction \(a \! :S → A\) à support fini et non nulle. Soit \(s₀\) tel que \(a_{s₀} ≠ 0\). Soit \(b\) dans \(A\) tel que \(bm = 0\). On a donc \(∑_s ba_s i(s) = 0\). Par unicité de ces décompositions, tous les \(ba_s\) sont nuls. En particulier \(ba_{s₀} = 0\). Comme \(A\) est intègre et \(a_{s₀} ≠ 0\), on en déduit que \(b\) est nul.

Supposons \(M\) de type fini. Soit \(S ⊂ M\) un ensemble fini qui engendre \(M\). La propriété universelle du module libre \(A[S]\) étend l’inclusion en application linéaire dont l’image contient \(S\) donc contient \(M\).

Réciproquement si \((N, i)\) est libre sur \(S\) fini et \(π \! :N → M\) est surjective alors \(π(i(S))\) est fini et engendre \(M\).

Soit \((M, i \! :S → M)\) un module libre sur un anneau commutatif \(A\). Si \(M\) est de rang fini alors il est clairement de type fini. Réciproquement, supposons que \((N, j \! :T → N)\) est un module libre sur un ensemble fini \(T\) et qu’on a une application linéaire surjective \(π \! :N → M\). La proposition 5.3.13 assure \(♯S ≤ ♯T\) donc \(S\) est fini.

On raisonne par récurrence sur le rang \(r\) de \(M\). Le cas \(r = 0\) correspond au module trivial dont tous les sous-modules sont triviaux donc libres de rang zéro. Supposons le résultat démontré pour tous le modules libres de rang \(r\). Soit \(M\) un \(A\)-module libre de rang \(r+1\). On considère une suite exacte de \(A\)-modules

où \(Q\) est libre de rang \(r\). Une telle suite existe car tous les \(A\)-modules libres de même rang sont isomorphes donc on peut supposer que \(M = A^{r+1}\) et choisir \(i\! :a → (a, 0, \dots , 0)\) et \(p\) la projection sur les \(r\) dernières coordonnées.

Soit \(N\) un sous-module de \(M\). Le sous-module \(p(N)\) est libre de range au plus \(r\) dans \(Q\) par hypothèse de récurrence. Le sous-module \(E = i⁻¹(N)\) dans \(A\) est un idéal de \(A\). Comme \(A\) est principal, \(E\) est libre de rang au plus un. On a la suite exacte

Comme \(p(N)\) est libre, le corollaire 5.4.8 assure que cette suite est scindée donc \(N\) est isomorphe à \(E ⊕ p(N)\) qui est libre de rang au plus \(r+1\).

Par hypothèse, il existe un module libre \(L\) de rang fini et une application linéaire surjective \(π \! :L → M\). Soit \(N\) un sous-module de \(M\). Le sous-module \(π⁻¹(N)\) est libre de rang fini d’après la proposition 5.6.4. Comme \(π\) est surjective, \(N = π(π ⁻¹(N)\) donc \(N\) est bien l’image d’un module libre de rang fini.

Le lemme 5.5.3 assure déjà la première implication, sans hypothèse sur \(A\). Supposons donc que \(M\) est sans torsion et montrons qu’il est libre. Par hypothèse il existe un ensemble fini \(S\) et une fonction \(ι \! :S → M\) dont l’image engendre \(M\) (dans toute cette démonstration, « engendre » est toujours entendu dans le contexte des sous-modules). Soit \(T\) une partie maximale de \(S\) telle que \(ι(T)\) est libre, c’est à dire que \((⟨ι(T)⟩, ι)\) est libre sur \(T\). Une telle partie existe car \((⟨ι(∅)⟩, ι)\) est libre et \(S\) est fini. On pose \(N = ⟨ι(T)⟩\).

Montrons que, pour tout \(s\) dans \(S\), il existe \(a\) dans \(A ∖ \{ 0\} \) tel que \(aι(s)\) est dans \(N\). Soit \(s\) dans \(S\). Si \(s\) est dans \(T\) on utilise \(a = 1\) (qui est bien non nul car \(A\) est principal donc non trivial). Sinon, \(a\) provient de la maximalité de \(T\). En effet si aucun \(a\) ne convenait alors \(ι(s)\) engendrerait un sous-module libre de rang un qui serait en somme directe avec \(N\).

On fixe un élément \(a_s\) comme ci-dessus pour tout \(s\) et on pose \(a = \prod _s a_s\). Comme \(A\) est intègre, \(a\) n’est pas nul. Comme \(M\) est sans torsion, l’homothétie \(φ \! :m → am\) est une application linéaire injective de \(M\) dans \(M\). Montrons que son image est contenue dans \(N\). Comme cette image est un sous-module et que \(M\) est engendré par \(ι(S)\), il suffit de montrer que \(φ(ι(S))\) est dans \(N\). Soit \(s\) dans \(S\). On a

Ainsi \(φ\) est un isomorphisme de \(M\) sur un sous-module \(φ(M)\) de \(N\). Comme \(N\) est libre, la proposition 5.6.4 assure que \(φ(M)\) est libre donc \(M\) l’est aussi.

On a la suite exacte

et \(M/\operatorname{Tor}(M)\) est sans torsion d’après le lemme 5.5.2. La proposition 5.6.7 assure donc que \(M/\operatorname{Tor}(M)\) est libre. Le corollaire 5.4.8 en déduit que la suite est scindée donc on a bien l’isomorphisme annoncé. Enfin \(M/\operatorname{Tor}(M)\) est de type fini car il est quotient de \(M\) qui est de type fini et le corollaire 5.6.6 montre que \(\operatorname{Tor}(M)\) est de type fini, car c’est un sous-module de \(M\).

Soit \(x\) dans \(G\). L’application de \(ℤ\) dans \(G\) qui envoie \(n\) sur \(nx\) est un morphisme, son noyau est donc un sous-groupe de \(ℤ\) donc de la forme \(mℤ\). Ce morphisme a pour image le sous-groupe engendré par \(x\) donc \(ℤ/mℤ ≃ ⟨x⟩\) et donc \(m = o(x)\), par définition de \(o(x)\). De plus \(nx = 0\) si et seulement si \(n\) est dans \(o(x)ℤ\), c’est à dire que \(n\) est un multiple de \(o(x)\). Ainsi \(\exp (G)\) est bien le plus petit multiple commun à tous les \(o(x)\). Or on sait d’après le théorème de Lagrange (corollaire 3.2.13) que tous les \(o(x)\) divisent \(♯G\) donc leur ppcm aussi.

Montrons maintenant le deuxième point. Comme \(\exp (G)\) et les \(o(x)\) sont positifs, la divisibilité entraîne l’inégalité donc \(o(x) ≤ \exp (G)\) pour tout \(x\). Soit \(x\) dans \(G\) tel que \(o(x) = \max _y o(y)\) (un tel \(x\) existe car \(G\) est fini). Montrons que \(o(x) = \exp (G)\). On sait déjà que \(o(x) ≤ \exp (G)\) donc il suffit de montrer que \(o(x) ≥ \exp (G)\). Supposons par l’absurde que \(o(x) {\lt} \exp (G)\). Par définition de \(\exp (G)\), \(o(x)\) n’est pas dans \(\{ n {\gt} 0 \; |\; ∀ y ∈ G, ny = 0\} \). On obtient donc un élément \(y\) tel que \(o(x)y ≠ 0\). Ainsi \(o(y)\) ne divise pas \(o(x)\). On obtient donc un nombre premier \(p\) et des entiers naturels \(i\), \(j\), \(k\) et \(l\) tels que

On a alors \(o(ky) = p^jk/\operatorname{pgcd}(p^jk, k) = p^j\) et \(o(p^ix) = p^il/\operatorname{pgcd}(p^il, l) = l\). Comme \(p\) est premier et ne divise pas \(l\), ces ordres sont premiers entre eux et donc \(o(ky + p^ix) = p^j l\). Puisque \(i {\lt} j\), cet ordre est strictement plus grand que \(o(x)\), ce qui est contradictoire.

D’après le lemme 5.4.7, il suffit de trouver une section \(s\) de \(π\). Par hypothèse \(Q\) est engendré par un unique élément \(y\). De plus \(Q\) est fini car c’est un quotient de \(G\) qui est fini. On pose \(d = ♯Q\). D’après l’exemple 3.7.4, les morphismes de \(Q\) dans \(G\) sont en bijection avec l’ensemble des \(w\) dans \(G\) tels que \(dw = 0\), par \(s ↦ s(y)\). On a alors, pour tout \(k\), \(π(s(ky)) = kπ(s(y)) = kπ(w)\). Il suffit donc de trouver \(w\) dans \(G\) tel que \(dw = 0\) et \(π(w) = y\).

Comme la suite est exacte, \(π\) est surjective donc on obtient \(x\) tel que \(π(x) = y\). Il n’y a aucune raison que ce \(x\) vérifie aussi \(dx = 0\) mais on peut lui retrancher \(bx₀\) pour n’importe quel \(b ∈ ℤ\) sans changer sa projection sur \(Q\). On cherche donc \(b\) tel que \(dbx₀ = dx\), de sorte que \(d(x - bx₀) = 0\).

Comme \(π(x) = y\), la restriction \(p\) de \(π\) au sous-groupe engendré par \(x\) est surjective donc \(o(x) = ♯⟨x⟩ = ♯Q♯\ker (p)\) donc \(d\) divise \(o(x)\). Par ailleurs \(o(x)\) divise \(\exp (G)\) donc \(d\) divise \(\exp (G)\). On obtient ainsi \(k\) non nul tel que \(\exp (G) = kd\).

Comme \(π(dx) = dy = 0\), \(dx\) appartient à \(\ker π = ⟨x₀⟩\) (par exactitude de la suite). On obtient donc \(a ∈ ℤ\) tel que \(dx = ax₀\). Ainsi \(0 = \exp (G)x = kdx = kax₀\) donc \(\exp (G)\), qui vaut \(o(x₀)\), divise \(ka\). Or \(\exp (G) = kd\) avec \(k\) non nul donc \(d\) divise \(a\). On obtient ainsi \(b\) non nul tel que \(a = db\). Ce \(b\) convient car \(dbx₀ = ax₀ = dx\).

Par hypothèse sur \(Q\), il existe \(N ∈ ℕ\) et pour chaque \(k\) entre \(1\) et \(N\), un sous-groupe cyclique \(Qₖ\) de \(Q\), tels que \(Q\) est le produit des \(Qₖ\). Ainsi on a des projections \(qₖ \! :Q → Qₖ\) et les inclusions \(ιₖ \! :Qₖ ↪ Q\) qui vérifient

Pour chaque \(k\), on pose \(Gₖ = π⁻¹(Qₖ)\), c’est un sous-groupe de \(G\), et on note \(πₖ\) la restriction de \(π\) à \(Gₖ\). L’élément \(x₀\) est dans tous les \(Gₖ\) puisque \(π(x₀) = 0\) est dans tous les \(Gₖ\). Ainsi le sous-groupe \(⟨x₀⟩\) est contenu dans tous les \(Gₖ\).

Montrons que tous les \(Gₖ\) sont d’exposant \(o(x₀)\). Soit \(k ≤ N\). Vu le lemme 5.6.12, l’exposant d’un sous-groupe divise l’exposant du groupe donc \(\exp (⟨x₀⟩) ∣ \exp (Gₖ)\) et \(\exp (Gₖ) ∣ \exp (G)\). Or \(\exp (⟨x₀⟩) = o(x₀) = \exp (G)\) donc on a \(\exp (Gₖ) = o(x₀)\).

On a donc, pour tout \(k\), une suite exacte courte

où \(o(x₀) = \exp (Gₖ)\). Le lemme précédent fournit des sections \(sₖ\) de chacun des \(πₖ\). Pour chaque \(k\), comme \(sₖ\) est à valeur dans \(Gₖ\), \(π ∘ sₖ = πₖ ∘ sₖ\). On pose \(s = ∑_k sₖ ∘ ιₖ ∘ qₖ\) et on calcule

Pour tous groupes finis \(G₁\) et \(G₂\), on note \(m(G₁, G₂)\) le nombre de morphismes de \(G₁\) dans \(G₂\) et \(i(G₁, G₂)\) le nombre de ceux qui sont injectifs. On a \(m(G₁, G₂) ≥ 1\) puisque l’application constante de valeur \(1\) est un morphisme. Pour calculer \(m(G₁, G₂)\) on regroupe les morphismes par noyau. Le premier théorème d’isomorphisme (corollaire 3.3.11) montre que

On revient maintenant au lemme. Supposons que \(G × H\) et \(G × H'\) sont isomorphes. Montrons d’abord que, pour tout groupe fini \(L\), \(m(L, H) = m(L, H')\). Soit \(L\) un groupe fini. La propriété universelle du produit de groupe (exemple 3.1.16) et l’hypothèse d’isomorphisme assurent que

Comme \(m(L, G)\) est non nul, on obtient \(m(L, H) = m(L, H')\)

Montrons que, pour tout groupe fini \(L\), \(i(L, H) = i(L, H')\). On raisonne par récurrence forte sur \(♯L\). Le cas \(♯L = 0\) est trivial car tout groupe est de cardinal au moins un. Soit \(L\) un groupe fini. Supposons la formule établie pour tous les groupes de cardinal strictement inférieur à \(♯L\). On utilise l’équation 1 pour \((L, H)\) et \((L, H')\), en mettant à part les morphismes injectifs, qui correspondant au sous-groupe distingué trivial :

et

On a vu que les membres de gauche des ces deux équations sont égaux. Chaque terme de la première somme est égal au terme correspondant de la seconde somme par hypothèse de récurrence puisque les sous-groupes \(N\) sont non triviaux donc \(♯L/N {\lt} ♯L\). Ainsi on a bien \(i(L, H) = i(L, H')\).

En particulier \(i(H, H') = i(H', H') ≥ 1\) donc il existe un morphisme injectif \(φ \! :H → H'\). Or \(H\) et \(H'\) sont finis et de même cardinal puisque \(♯G\, ♯H = ♯(G × H) = ♯(G × H') = ♯G\, ♯H'\) et \(♯G ≥ 1\). Donc \(φ\) est bijective. C’est donc un isomorphisme d’après le lemme 3.1.3.

On démontre le théorème par récurrence forte sur \(♯G\). Supposons que \(G\) n’est pas trivial et que le résultat est établi pour tous les groupes abéliens de cardinal strictement inférieur à \(♯G\).

Le lemme 5.6.12 fournit \(x₀\) tel que \(o(x₀) = \exp (G)\). Comme \(G\) n’est pas trivial, \(\exp (G) {\gt} 1\) donc \(♯(G/⟨x₀⟩) {\lt} ♯G\). L’hypothèse de récurrence appliquée à \(G/⟨x₀⟩\) fournit donc un entier \(N'\) et des entiers \(d₁\), …, \(d_{N'}\) comme dans l’énoncé. Le lemme 5.6.16 assure que la suite exacte associée à ce quotient est scindée donc

On pose \(N = N' + 1\) et \(d_N = \exp (G)\). Il ne reste qu’à expliquer pourquoi \(d_{N'} ∣ d_N\). Soit \(y\) un générateur du facteur \(ℤ/d_{N'}ℤ\). On a \(o(y) = d_{N'}\) et \(o(y) ∣ \exp (G)\) donc \(d_{N'} ∣ d_N\).

Montrons maintenant l’unicité. Supposons qu’on ait deux telles décompositions

On a alors \(d_N = \exp (G) = d'_{N'}\). Le lemme 5.6.17 donne donc un isomorphisme

L’unicité dans l’hypothèse de récurrence assure que \(N-1 = N'-1\) et que \(dᵢ = d'ᵢ\) pour tout \(i {\lt} N\).