1. Treillis et adjonctions

1.1. Prologue

Ce chapitre commence l’étude de méthodes permettant de rassembler de nombreux objets et raisonnements qui paraissent différents à première vue. Il introduit des outils élémentaires qui sont directement utilisables et préparent également à la théorie des catégories. Pour motiver ces outils, nous allons donner trois démonstrations de l’énoncé suivant.

La démonstration ci-dessus est correcte et apporte de l’information expliquant l’énoncé. On peut s’en inspirer pour démontrer l’énoncé analogue pour les applications linéaires et les sous-espaces vectoriels engendrés par une partie. Il faut simplement remplacer les produits d’éléments de $𝑆$ et de leurs inverses par des combinaisons linéaires d’éléments de $𝑆$.

Plus généralement, on peut espérer s’en inspirer pour toute structure algébrique pour laquelle on dispose d’une description concrète des éléments de la sous-structure engendrée par une partie. Mais ces adaptations ne sont pas aussi automatiques qu’on pourrait l’espérer.

On peut également regretter que cette démonstration ne fasse pas apparaître le fait que le sous-groupe engendré par une partie est le plus petit sous-groupe la contenant. Voici une démonstration qui résout ces deux problèmes.

La démonstration ci-dessus est beaucoup moins spécifique aux groupes que notre première démonstration, car elle ne fait pas intervenir la description concrète des éléments du sous-groupe engendré une partie. Par exemple, elle s’adapte directement pour démontrer l’énoncé analogue concernant l’image par une application linéaire du sous-espace vectoriel engendré par une partie.

Mais nous manquons de mots pour décrire efficacement cette démonstration et donner un énoncé abstrait qui s’applique directement aux différents cas.

Pour dégager les notions pertinentes, il est utile de rendre plus explicite les différents ensembles et applications en jeu, en précisant à chaque fois le groupe ambiant. On note $𝒫\left(𝐺\right)$ l’ensemble des parties de $𝐺$ et $𝒮\left(𝐺\right)$ l’ensemble des sous-groupes de $𝐺$. Le second est bien sûr inclus dans le premier. Pour bien comprendre la situation, il est fructueux de nommer l’inclusion $𝒮\left(𝐺\right)$ dans $𝒫\left(𝐺\right)$, c’est-à-dire l’application qui envoie tout sous-groupe $𝐻$ sur la partie $𝐻$. Nommons cette inclusion $𝜄$ et notons ${𝜄}^{\prime }$ l’inclusion analogue pour ${𝐺}^{\prime }$. De même, on notera ${⟨·⟩}^{\prime }$ l’application sous-groupe engendré pour ${𝐺}^{\prime }$. Il est également utile de distinguer l’application d’image directe par $𝑓$ (notée simplement $𝑓$) de sa restriction à $𝒮\left(𝐺\right)$ qu’on notera $𝒇$.

L’énoncé devient alors $𝒇\circ ⟨·⟩={⟨·⟩}^{\prime }\circ 𝑓$. Toutes les applications intervenant dans la démonstration apparaissent sur le diagramme suivant.

On peut réécrire le calcul principal en

On notera que le fait de nommer $𝜄$ et ${𝜄}^{\prime }$ et de distinguer les deux côtés horizontaux du diagramme a fait apparaître une ligne supplémentaire correspondant à l’égalité évidente ${𝑓}^{-1}\circ {𝜄}^{\prime }=𝜄\circ {𝒇}^{-1}$.

Chaque côté du carré est constitué de deux applications allant en sens opposé. La relation entre ces applications apparaît clairement dans la démonstration. Par exemple, pour le côté du haut, on a utilisé : pour toutes parties $𝐴\subseteq 𝐺$ et ${𝐴}^{\prime }\subseteq {𝐺}^{\prime }$ on a

Chaque côté du carré fait apparaître une paire d’applications liées de cette façon et chaque lien intervient exactement une fois dans le calcul.

On peut donc dire que le carré d’applications liées et la relation ${𝑓}^{-1}\circ {𝜄}^{\prime }=𝜄\circ {𝒇}^{-1}$ entraîne l’énoncé voulu $𝒇\circ ⟨·⟩={⟨·⟩}^{\prime }\circ 𝑓$. Il ne reste plus qu’à définir le cadre général qui est ainsi apparu naturellement. Le lien entre paire d’applications sera appelé adjonction et nous expliquerons aussi comment construire systématiquement de telles paires.

1.2. Ensembles ordonnés, fonctions croissantes et plongements

Commençons par des rappels de vocabulaire.

La première relation d’ordre enseignée explicitement est celle sur les nombres (entiers puis rationnels puis réels). Mais il s’agit d’un exemple très trompeur car il vérifie la condition extrêmement forte de totalité : pour tous nombres $𝑥$ et $𝑦$, on a $𝑥\le 𝑦$ ou $𝑦\le 𝑥$. Cette condition ne découle pas du tout de la définition de relation d’ordre. Un bien meilleur exemple à garder en tête est celui de $𝑋=𝒫\left(𝐴\right)$ muni de la relation d’inclusion.

On rappelle que, pour toute relation $𝑅$, l’opposé de $𝑅$ est la relation ${𝑅}^{\prime }$ définie par $𝑥{𝑅}^{\prime }𝑦$ si $𝑦𝑅𝑥$. On montre facilement que l’opposé d’une relation d’ordre est aussi une relation d’ordre. Lorsqu’un ensemble $𝑋$ est muni d’une relation d’ordre claire, on écrira ${𝑋}^{\text{op}}$ pour désigner $𝑋$ muni de la relation opposée.

On notera que les plongements sont des applications croissantes. On montre facilement qu’un plongement est toujours une application injective et induit un isomorphisme d’ensembles ordonnés entre la source du plongement et son image.

1.3. Adjonctions

Nous pouvons maintenant écrire la définition centrale de ce chapitre.

Exercice 1.1

Dans un espace topologique, en utilisant la définition

montrer qu’on a bien une adjonction $\stackrel{<mtext>\_</mtext>}{·}⊣𝑖$ où $𝑖$ est l’inclusion des fermés de $𝑋$ dans les parties de $𝑋$.

Solution

On commence par noter que la définition donnée pour $\stackrel{<mtext>\_</mtext>}{𝐴}$ fournit bien un fermé car une intersection de fermés est fermée. Soit $𝐴$ une partie de $𝑋$ et $𝐶$ un fermé de $𝑋$. On doit montrer que $\stackrel{<mtext>\_</mtext>}{𝐴}\subseteq 𝐶\iff 𝐴\subseteq 𝑖\left(𝐶\right)$ où $𝑖\left(𝐶\right)$ est simplement la partie $𝐶$, en oubliant qu’elle est fermée. Supposons d’abord que $\stackrel{<mtext>\_</mtext>}{𝐴}\subseteq 𝐶$. Comme $𝐴$ est inclus dans tous les $𝐹$ dont on prend l’intersection, $𝐴\subseteq \stackrel{<mtext>\_</mtext>}{𝐴}$ et donc $𝐴\subseteq 𝑖\left(𝐶\right)$. Ici on pourrait s’inquiéter du fait que la collection dont on prend l’intersection pourrait être vide. D’une part elle ne l’est pas car $𝑋$ en fait partie et d’autre part cela n’a aucune importance car l’intersection d’une famille vide de parties de $𝑋$ est $𝑋$ tout entier. En effet, pour tout $𝑆\subseteq 𝒫\left(𝑋\right)$, par définition, ${\bigcap }_{𝑈\in 𝑆}𝑈=\left\{𝑥\in 𝑋|\forall 𝑈\in 𝑆,𝑥\in 𝑈\right\}$ qui définit sans ambigüité ${\bigcap }_{𝑈\in \varnothing }=𝑋$ (la définition 1.4.6 et la remarque 1.4.10 donneront une explication plus conceptuelle). Le point cruciale est qu’il ne s’agit pas d’une intersection dans l’univers de tous les ensembles mais bien d’une intersection de parties de $𝑋$.

Réciproquement, supposons $𝐴\subseteq 𝑖\left(𝐶\right)$. Ainsi $𝐶$ fait partie de la collection de fermés intersectés dans la définition de $\stackrel{<mtext>\_</mtext>}{𝐴}$ donc $\stackrel{<mtext>\_</mtext>}{𝐴}\subseteq 𝐶$.

Remarque : ces vérifications un peu fastidieuses seront complètement systématisées dans le corollaire 1.4.18.

À partir des exemples précédents, nous pouvons engendrer de nouveaux exemples à l’aide des deux observations suivantes.

Commençons maintenant notre étude des propriétés des adjonctions.

Exercice 1.2

Montrer directement que tout adjoint à droite est croissant, sans se ramener au cas des adjoints à gauche.

Solution

Soit $\left(𝑙,𝑟\right)$ une adjonction entre des ensembles ordonnés $𝑋$ et $𝑌$. Montrons que $𝑟$ est croissante. Soit $𝑦$ et ${𝑦}^{\prime }$ dans $𝑌$ tels que $𝑦\le {𝑦}^{\prime }$. Montrons que $𝑟\left(𝑦\right)\le 𝑟\left({𝑦}^{\prime }\right)$. Par unité de $𝑙⊣𝑟$, on a ${𝑦}^{\prime }\le 𝑙\left(𝑟\left({𝑦}^{\prime }\right)\right)$. Par transitivité, on en déduit $𝑦\le 𝑙\left(𝑟\left({𝑦}^{\prime }\right)\right)$. Par adjonction, on conclut que $𝑟\left(𝑦\right)\le 𝑟\left({𝑦}^{\prime }\right)$.

On notera que les inégalités d’unité et de co-unité précisent l’idée selon laquelle une adjonction est une version affaiblie d’un isomorphisme d’ensemble ordonnés (cf. exemple 1.3.2). Parfois, comme dans les exemples exemple 1.3.12 et exemple 1.3.13 ci-dessous, une des deux inégalités est une égalité.

Il faut parfois plisser un peu les yeux pour reconnaître ces deux inégalités, particulièrement lorsqu’une des deux moitiés de l’adjonction est notée par un symbole invisible, par exemple parce qu’il s’agit d’une inclusion.

Exercice 1.3

Montrer directement qu’une application entre ensembles ordonnés admet au plus un adjoint à gauche, sans se ramener au cas des adjoints à droite.

Solution

Supposons que $𝑙$ et ${𝑙}^{\prime }$ sont adjoints à gauche d’une application $𝑟$ entre deux ensembles ordonnés $𝑌$ et $𝑋$. Soit $𝑥$ dans $𝑋$. La co-unité de $𝑙⊣𝑟$ assure que $𝑥\le 𝑟\left(𝑙\left(𝑥\right)\right)$. Comme ${𝑙}^{\prime }⊣𝑟$, on en déduit que ${𝑙}^{\prime }\left(𝑥\right)\le 𝑙\left(𝑥\right)$. En échangeant les rôles de $𝑙$ et ${𝑙}^{\prime }$ on montre de même que $𝑙\left(𝑥\right)\le {𝑙}^{\prime }\left(𝑥\right)$ et donc $𝑙\left(𝑥\right)={𝑙}^{\prime }\left(𝑥\right)$.

Nous pouvons maintenant donner l’énoncé qui permet de démontrer le résultat du prologue.

Exercice 1.4

1. On note $𝜄:\mathbb{N}\to {ℝ}_{+}$ l’inclusion. Montrer que l’application partie entière $\lfloor ·\rfloor$ est, par définition, adjointe à droite de $𝜄$.

   Solution

   Soit $𝑘$ un entier et $𝑥$ un réel positif. On a bien $𝑘\le \lfloor 𝑥\rfloor \iff 𝜄\left(𝑘\right)\le 𝑥$ puisque $\lfloor 𝑥\rfloor$ est le plus grand entier inférieur à $𝑥$.

2. Dans toute la suite de cet exercice, on fixe un entier $𝑛>0$. Montrer que $·\times 𝑛:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, la multiplication par $𝑛$, est adjointe à gauche de $·//𝑛:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, le quotient dans la division euclidienne par $𝑛$. Quel est l’énoncé analogue pour $·\times 𝑛:{ℝ}_{+}\to {ℝ}_{+}$ ?

   Solution

   Soit $𝑘$ et $𝑙$ des entiers. On a $𝑘𝑛\le 𝑙\iff 𝑘\le 𝑙/𝑛$ où la division est à valeur dans $\mathbb{Q}$ a priori. Or $𝑙//𝑛$ est le plus grand entier inférieur à $𝑙/𝑛$ donc cette condition équivaut à $𝑘\le 𝑙//𝑛$ comme annoncé. Pour la multiplication des réels par $𝑛$ on a l’adjonction avec $𝑥\mapsto \frac{𝑥}{𝑛}$ par l’exemple 1.3.2 puisque ces deux fonctions croissantes sont inverses l’une de l’autre.

3. Montrer que, pour tout $𝑥\in {ℝ}_{+}$, $\lfloor 𝑥/𝑛\rfloor =\lfloor 𝑥\rfloor //𝑛$.

   Solution

   Il s’agit d’une conséquence directe des questions précédentes et du corollaire 1.3.15 puisque $𝜄\circ \left(·\times 𝑛\right)=\left(·\times 𝑛\right)\circ 𝜄$.

1.4. Treillis complets et théorème de l’application adjointe

Notre objectif suivant est de caractériser les applications entre ensembles ordonnés qui admettent un adjoint. Pour cela, le bon cadre est celui des treillis complets. Avant de définir ce terme, rappelons du vocabulaire de base concernant les parties d’un ensemble ordonné (en gardant bien en tête qu’on ne suppose pas la relation d’ordre totale).

Afin de faire le lien avec la notion étudiée en analyse élémentaire, on commence par l’exemple très peu représentatif des ensembles de nombres

Exercice 1.5

Montrer que si la relation d’ordre sur $𝑋$ est totale alors, pour toute partie $𝑆$, un élément ${𝑥}_0$ de $𝑋$ est borne inférieure de $𝑆$ si et seulement s’il minore $𝑆$ et, $\forall 𝑥>{𝑥}_0,\exists 𝑠\in 𝑆,𝑠<𝑥$.

Solution

Il suffit d’utiliser la remarque 1.4.2 et de contraposer $𝑥\text{minore}𝑆\Rightarrow 𝑥\le {𝑥}_0$ en utilisant que, parce que la relation d’ordre est totale, pour tous $𝑥$ et $𝑦$, la négation de $𝑥\le 𝑦$ est $𝑦<𝑥$.

Voyons maintenant un exemple plus intéressant, car faisant une intervenir une relation d’ordre qui n’est pas totale.

L’exemple majeur qui sera le modèle de tous les autres est le suivant.

La notion de treillis complet est en fait un renforcement de la notion de treillis qui ne demande l’existence d’inf et sup que pour les parties à deux éléments. Nous n’aurons pas besoin de cette notion plus faible, mais nous utiliserons une notation qui provient de ce contexte.

Les notations ci-dessus sont parfois utilisées en arithmétique dans le cas $𝑋=\mathbb{N}$ muni de la relation de divisibilité. On a alors $𝑥\wedge 𝑦=\text{pgcd}\left(𝑥,𝑦\right)$ et $𝑥\vee 𝑦=\text{ppcm}\left(𝑥,𝑦\right)$.

Exercice 1.6

Soit $𝑋$ un treillis complet (ou plus généralement un treillis).

1. Montrer que les opérations d’inf et de sup binaires sont associatives et commutatives : pour tous $𝑥$, $𝑦$ et $𝑧$,

   Solution

   Démontrons les formules pour les infs, le cas des sup s’en déduit par passage à la relation d’ordre opposée (ou s’établit directement par des arguments complètement analogues). La commutativité est claire : $𝑥\wedge 𝑦$ et $𝑦\wedge 𝑥$ sont tous deux $inf\left(\left\{𝑥,𝑦\right\}\right)$ par définition. Pour l’associativité, l’idée est que les deux expressions calculent $inf\left(\left\{𝑥,𝑦,𝑧\right\}\right)$, mais il y a un petit quelque chose à démontrer, en utilisant essentiellement l’associativité de la conjonction en logique. Soit $𝑤$ un élément de $𝑋$. On a

   Ainsi, on a bien $𝑥\wedge \left(𝑦\wedge 𝑧\right)=inf\left(\left\{𝑥,𝑦,𝑧\right\}\right)$, et un raisonnement analogue montre que $\left(𝑥\wedge 𝑦\right)\wedge 𝑧=inf\left(\left\{𝑥,𝑦,𝑧\right\}\right)$.

2. Montrer que, pour tous $𝑥$, $𝑦$ et $𝑧$,

   Lorsqu’il y a toujours égalité, on dit que le treillis est distributif.

   Solution

   Soit $𝑥$, $𝑦$ et $𝑧$ dans $𝑋$. Montrons que $\left(𝑥\wedge 𝑦\right)\vee \left(𝑥\wedge 𝑧\right)\le 𝑥\wedge \left(𝑦\vee 𝑧\right)$. Par définition de l’inf, il suffit de montrer que le membre de gauche minore $\left\{𝑥,𝑦\vee 𝑧\right\}$. Pour cela, par définition du sup, il suffit de montrer que $𝑥$ et $𝑦\vee 𝑧$ majorent $\left\{𝑥\wedge 𝑦,𝑥\wedge 𝑧\right\}$, ce qui est clair, car $𝑥\wedge 𝑦$ minore $\left\{𝑥,𝑦\right\}$, $𝑥\wedge 𝑧$ minore $\left\{𝑥,𝑧\right\}$ et $𝑦\vee 𝑧$ majore $\left\{𝑦,𝑧\right\}$.

   Remarque : l’inégalité dans l’autre direction n’est pas toujours vraie. Par exemple les sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel fixé forment un treillis où l’inf est donné par l’intersection et le sup est le sous-espace vectoriel engendré par la réunion (on peut le vérifier directement et cela découle de résultats généraux suite du chapitre). Dans ${ℝ}^2$, on peut considérer pour $𝑥$, $𝑦$ et $𝑧$ les droites engendrées par $\left(1,1\right)$, $\left(1,0\right)$ et $\left(0,1\right)$ respectivement. On a $𝑥\wedge 𝑦=𝑥\wedge 𝑧=\left\{0\right\}$, $𝑦\vee 𝑧={ℝ}^2$ et $𝑥\wedge \left(𝑦\vee 𝑧\right)=𝑥$.

Exercice 1.7

Montrer que tout produit de treillis complets est un treillis complet (pour la relation d’ordre produit de la définition 1.2.4).

Solution

Soit $𝑋$ une famille de treillis complets indexée par un ensemble $𝐼$. D’après le théorème 1.4.11, il suffit de montrer que toute partie du produit admet une borne inférieure (on pourrait aussi faire directement la démonstration analogue pour la borne supérieure). Soit $𝑆$ une partie de ${\prod }_{𝑖}{𝑋}_{𝑖}$. Pour tout $𝑖\in 𝐼$, on définit ${𝑥}_{𝑖}={inf}_{𝑠\in 𝑆}{𝑠}_{𝑖}$ (il s’agit d’un inf dans ${𝑋}_{𝑖}$). On note $𝑥$ l’élément du produit dont les composantes sont les ${𝑥}_{𝑖}$. Montrons que $𝑥$ est borne inférieure de $𝑆$. Soit ${𝑥}^{\prime }\in 𝑋$. On a

Exercice 1.8

Soit $𝑋$ et $𝑌$ des ensembles et $𝑍$ un treillis complet. Soit $𝑓:𝑋\times 𝑌\to 𝑍$ une fonction. Montrer que, pour toutes parties $𝐴$ de $𝑋$ et $𝐵$ de $𝑌$, on a

On peut donc utiliser la notation ${inf}_{𝑥\in 𝐴,𝑦\in 𝐵}𝑓\left(𝑎,𝑏\right)$ pour cette valeur commune.

Solution

Montrons que ${inf}_{𝑥\in 𝐴}\left({inf}_{𝑦\in 𝐵}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\right)=inf\left({𝑓}_{\ast }\left(𝐴\times 𝐵\right)\right)$, l’autre égalité étant complètement analogue (et pouvant s’en déduire). On utilise bien sûr la définition de borne inférieure. Soit $𝑧\in 𝑍$. On a

Nous avons vu que les notions de sup et d’inf sont déjà intéressantes pour des parties à deux éléments. En fait même le cas de la partie vide est intéressante, comme l’explique la remarque suivante.

L’énoncé suivant est très important, car, dans de nombreux exemples d’ensembles ordonnés, les bornes inférieures sont bien plus faciles à construire que les bornes supérieures ou le contraire.

Exercice 1.9

Expliciter les bornes supérieures fournies par le théorème 1.4.11 dans l’exemple des sous-groupes d’un groupe fixé.

Solution

Soit $𝐺$ un groupe et $𝒮\left(𝐺\right)$ l’ensemble des sous-groupes de $𝐺$. Soit $𝐴$ une partie de $𝒮\left(𝐺\right)$. Le théorème 1.4.11 assure que la borne supérieure de $𝐴$ est l’inf de l’ensemble des majorants de $𝑆$, c’est-à-dire l’ensemble des sous-groupes contenant tous les éléments de $𝑆$. Vu la construction de l’inf dans cet exemple, $sup𝑆$ est l’intersection des sous-groupes contenant tous les éléments de $𝑆$.

La situation de cet exemple est très courante et il est utile d’en extraire un corollaire du théorème. Pour énoncer ce corollaire, on a besoin d’une définition qui jouera un rôle central dans la suite.

Exercice 1.10

Expliciter les sups dans le treillis des fermés d’un espace topologique et les infs dans celui des ouverts :

Solution

Soit $𝑋$ un espace topologique. Comme les parties de $𝑋$ forment un treillis complet et qu’une intersection de fermés est fermée, les fermés de $𝑋$ forment un treillis complet $𝐹\left(𝑋\right)$ et l’inclusion de ce treillis dans $𝒫\left(𝑋\right)$ préserve les infs. De plus la borne supérieure d’un ensemble $𝑆$ de fermés est l’intersection de tous les fermés contenant tous les éléments de $𝑆$, c’est-à-dire l’adhérence de la réunion des éléments de $𝑆$.

De même l’ensemble $𝑂\left(𝑋\right)$ est un treillis complet car toute réunion d’ouverts est un ouvert. La borne inférieure d’un ensemble $𝑆$ d’ouverts est la réunion de tous les ouverts contenus dans tous les éléments de $𝑆$, c’est-à-dire l’intérieur de l’intersection des éléments de $𝑆$.

Le thème de la commutation aux infs et aux sups sera le thème majeur de toute la fin de cette section. Voyons d’abord ce qui est vrai pour toute fonction croissante.

Exercice 1.11

Soit $𝑋$ et $𝑌$ des treillis complets, $𝑆$ une partie de $𝑋$ et $𝑓:𝑋\to 𝑌$ une fonction croissante. Montrer directement, sans se ramener au cas de l’inf, que $𝑓\left(sup𝑆\right)\ge sup{𝑓}_{\ast }\left(𝑆\right)$.

Solution

Vu la propriété universelle de $sup{𝑓}_{\ast }\left(𝑆\right)$, il suffit de montrer que $𝑓\left(sup𝑆\right)$ est un majorant de ${𝑓}_{\ast }\left(𝑆\right)$. Soit $𝑠\in 𝑆$. Montrons que $𝑓\left(sup𝑆\right)\ge 𝑓\left(𝑠\right)$. Comme $sup𝑆$ majore $𝑆$, on a $sup𝑆\ge 𝑠$. Comme $𝑓$ est croissante, on en déduit $𝑓\left(sup𝑆\right)\ge 𝑓\left(𝑠\right)$.

Nous arrivons au deuxième énoncé central de cette section qui caractérise les applications ayant des adjoints. Cette caractérisation est utile dans les deux directions, pour obtenir des propriétés des adjoints et pour les construire.

Exercice 1.12

Soit $𝑓:𝑋\to 𝑌$ une fonction. Calculer ${𝑓}_{!}:𝒫\left(𝑋\right)\to 𝒫\left(𝑌\right)$ de deux façons différentes : en utilisant la formule fournie par le théorème 1.4.16 pour l’adjoint ou en utilisant l’involution de passage au complémentaire qui commute aux images réciproques et renverse les inclusions.

Solution

On peut « calculer » cette opération en utilisant la formule fournie par le théorème pour l’adjoint. Soit $𝑆\subseteq 𝐴$.

Ainsi les éléments de ${𝑓}_{!}\left(𝑆\right)$ sont les éléments de $𝑌$ qui soit n’appartiennent pas à l’image de $𝑆$ soit sont uniquement des images d’éléments de $𝑆$.

On peut également trouver une formule pour ${𝑓}_{!}\left(𝑆\right)$ en utilisant l’involution $·ᶜ$ de passage au complémentaire qui commute aux images réciproques et l’adjonction ${𝑓}_{\ast }⊣{𝑓}^{\ast }$. En effet, pour tout $𝑆\subseteq 𝑋$ et $𝑇\subseteq 𝑌$

Ainsi ${𝑓}_{!}\left(𝑆\right)=\left({𝑓}_{\ast }\left(𝑆ᶜ\right)\right)ᶜ$.