3. Catégories
3.1. Prologue
Les notions de composition et d’élément neutre jouent un rôle central en mathématique. Elles recouvrent de nombreux concepts. Dès le début de l’apprentissage mathématique, on rencontre des lois de composition interne, par exemple l’addition et la multiplication des entiers, avec les neutres et respectivement. Plus tard, on rencontre la notion de composition de fonctions, avec les neutres fournit par les fonctions . Cette notion de composition ne rentre pas vraiment dans le cadre des lois de composition interne (sauf si on se limite au cas des fonctions d’un ensemble fixé dans lui-même), mais on sent bien une parenté. On rencontre également les compositions d’inégalités : si et alors . Les éléments neutres sont fournis par la réflexivité . Ici, on peut trouver que l’analogie avec les lois de composition internes ou la composition de fonctions est tirée par les cheveux. Pourtant, les trois démonstrations suivantes montreront que cette analogie est fructueuse.
Voyons maintenant un analogue de cette démonstration avec des compositions de fonctions. On dit qu’un anneau est initial si, pour tout anneau , il existe un unique morphisme d’anneaux de dans (ici, on suppose que tous les anneaux sont unitaires, mais pas nécessairement commutatifs). C’est le cas de l’anneau et le lemme suivant montre que cette propriété caractérise en un sens très fort.
Cette démonstration est un peu plus compliquée que la précédente, car, a priori, il peut y avoir deux morphismes différents d’un anneau donné vers un autre, alors qu’il ne peut y avoir qu’une seule inégalité d’un élément d’un ensemble ordonné vers un autre. Mais le cœur de la démonstration est le même.
Voyons un troisième exemple. Fixons un groupe et un sous-groupe distingué dans . Un quotient de par est un groupe muni d’un morphisme de groupes de noyau qui vérifie la propriété suivante : pour tout groupe et tout morphisme de groupes , si alors il existe un unique morphisme tel que .
Vous avez construit en cours d’algèbre un quotient pour chaque paire , probablement comme ensemble de classes d’équivalence. Mais, dans bien des cas, il existe d’autres constructions possibles. Par exemple, dans le cas et , on peut considérer , le groupe des nombres complexes de module , et qui est géométriquement bien plus parlant qu’un ensemble de parties infinies de . Malgré cela, il est très courant de dire « on considère le quotient de par ». Cela provient du lemme suivant.
Démonstration : Comme est un quotient de par , on a en particulier . Comme est un quotient de par , on en déduit l’existence d’un unique morphisme de groupes tel que (avec les notations de la définition, ).
Montrons que convient. Le même argument en échangeant les rôles de et fournit un unique morphisme de groupes tel que .
Dans le diagramme suivant, les deux petits triangles commutent donc le grand aussi.
On peut voir cela géométriquement (en déformant progressivement des chemins dans le diagramme) ou en calculant . Comme et est quotient de par , il existe au plus un morphisme tel que (ici, on applique l’hypothèse sur à et plus à comme dans le paragraphe précédent).
Nous avons vu que convient, mais convient également. Ainsi . On montre de même que donc est bien l’isomorphisme recherché (et on a déjà vu son unicité comme morphisme vérifiant ).
La complexité de la situation est encore montée d’un cran, mais l’air de famille avec la démonstration précédente est indéniable.
Il est probable que vous ayez rencontré la définition ci-dessus non pas comme étant une définition de « un quotient de par » mais sous le nom de « propriété universelle de (et de la projection canonique ) ». Dans ce cas, on peut reformuler le lemme en « la propriété universelle de caractérise modulo unique isomorphisme compatible avec ». Le thème des propriétés universelles est un thème central en mathématique fondamentale. Et la phrase « la propriété universelle caractérise… modulo unique isomorphisme » est un refrain qui revient de plus en plus souvent lorsqu’on avance dans les études mathématiques. En plus des propriétés universelles de quotients de structures algébriques, nous avons croisé dans le chapitre précédent la propriété universelle des algèbres de polynômes. Mais qu’appelle-t-on une propriété universelle exactement ?
Les objectifs de ce chapitre sont de donner un cadre à l’analogie entre les différentes notions de composition rencontrées dans ce prologue, puis un énoncé unifiant les parties communes aux trois lemmes ci-dessus et une définition précise de la notion de propriété universelle, ainsi qu’une notion générale de produits de structures. Il s’agit du tout début de la théorie des catégories. Le chapitre 5 poursuivra l’introduction à cette théorie.
Il y a deux choses cruciales à comprendre dès maintenant. Tout d’abord la diversité des exemples de ce prologue (qui n’est qu’un minuscule aperçu de la diversité à venir) montre que le cadre englobant ces exemples sera nécessairement un cran plus abstrait que les mathématiques de licence. Mais ce n’est rien d’insurmontable avec un peu d’habitude. Essayez de vous souvenir de vos années de lycée. À l’époque, vous entendiez parler de vecteurs en cours de géométrie (et de physique). Vous entendiez également parler de fonctions de dans . Plus tard, vous avez appris la notion d’espace vectoriel réel qui englobe les vecteurs du lycée et les fonctions de dans . Les définitions et théorèmes de l’algèbre linéaire s’appliquent à ces deux exemples. Une telle généralisation est-elle un délire abstrait réservé aux algébristes les plus irrécupérables ? Faites l’effort de vous imaginer au lycée en train d’entendre quelqu’un discuter de l’analogie entre ces deux situations et l’existence d’une théorie abstraite (avec son nom ésotérique d’algèbre linéaire).
Une fois ce cap psychologique passé, il devient possible de profiter des nombreux rapprochements permis par ce nouveau cadre. Mieux, cette théorie, et la notion de propriété universelle en particulier, permettent un point de vue focalisé sur les propriétés attendues plutôt que sur les détails d’implémentation. Par exemple, la propriété universelle des groupes quotients est le cœur de la notion de groupe quotient, par opposition à la question de savoir si est un ensemble d’ensembles de nombres réels ou l’ensemble des nombres complexes de module . Cette philosophie apparaissait déjà dans le chapitre 1, ce qui n’est pas un hasard puisque nous verrons que les ensembles ordonnés sont des cas particuliers de catégories.
La deuxième chose à garder en tête est que les arguments généralisés sont en général les parties répétitives des théories, celles qu’on peut dérouler sans rien utiliser de spécifique. Ainsi, on voit que le lemme 3.1.2 n’utilise rien de la théorie des anneaux et que lemme 3.1.3 n’utilise pas vraiment non plus de théorie des groupes. C’est à la fois la force et la faiblesse de la théorie des catégories qui permet de rapprocher de nombreux concepts et d’unifier de nombreuses preuves, mais qui ne suffira jamais à établir à elle seule un théorème difficile à propos d’objets externes à la théorie des catégories (ceci dit, il y a des théorèmes difficiles en théorie des catégories au-delà de ce cours).
Comme dernier avertissement, signalons un problème sociologique. Chez certaines personnes, le vocabulaire abstrait de la théorie des catégories sert principalement à frimer ou à intimider. Un des objectifs de ce cours est de vous immuniser contre ce comportement en vous expliquant cette théorie.
3.2. Catégories
Une catégorie est la donnée de :
- une collection d’objets ;
- pour chaque paire d’objets et , un ensemble dont les éléments sont appelés morphismes de vers ;
pour chaque triplet d’objets , et , une opération de composition
associative ;- pour chaque objet , un morphisme identité qui est neutre pour la composition.
Le mot « collection » est volontairement vague. On peut penser qu’il s’agit d’un ensemble, mais techniquement ces collections sont parfois trop grandes pour être des ensembles (par exemple, il n’existe pas d’ensemble de tous les ensembles). Il s’agit d’un problème technique qui ne jouera aucun rôle dans ce cours. On pourrait également autoriser des collections de morphismes qui ne soient pas des ensembles (même en fixant la source et le but) mais nous n’en aurons pas besoin dans ce cours.
De façon beaucoup plus intéressante, les mots « objets » et « morphismes » sont vagues parce qu’il y a beaucoup de possibilités.
Les premiers exemples sont les catégories dites concrètes, c’est-à-dire dont les objets sont des ensembles, éventuellement munis de structures supplémentaires, et dont les morphismes sont des fonctions, vérifiant éventuellement des conditions. On verra une définition plus satisfaisante dans le chapitre 5.
Par exemple, est la catégorie dont les objets sont tous les ensembles, dont les morphismes entre et sont toutes les fonctions entre et et dont la composition et les identités sont les compositions et identités usuelles.
Ensuite viennent tous les exemples correspondant aux structures algébriques. Par exemple est la catégorie dont les objets sont les groupes et dont les morphismes sont les morphismes de groupes. De même la catégorie des anneaux a pour objets les anneaux et pour morphismes les morphismes d’anneaux. C’est le cadre du lemme 3.1.2 concernant l’unicité modulo unique isomorphisme des anneaux initiaux. Il y a également des exemples analogues en provenance d’autres branches des mathématiques. Par exemple, la catégorie dont les objets sont les espaces topologiques et dont les morphismes sont les fonctions continues et la catégorie dont les objets sont les ensembles ordonnés et les morphismes sont les fonctions croissantes.
Dans toutes ces catégories, il y a beaucoup d’objets (trop pour qu’ils forment un ensemble) et, pour chaque paire d’objets, il y a pas mal de morphismes (mais ceux-ci forment tout de même un ensemble). Voyons maintenant des exemples n’ayant qu’un seul objet. Tout groupe peut être vu comme une catégorie n’ayant qu’un objet, qu’on peut noter par exemple et pour laquelle muni de sa loi de composition interne et de son élément neutre. Il ne faut pas confondre cet exemple avec celui de la catégorie discuté précédemment. Ici, nous avons fixé un groupe . On remarquera que l’inversion dans ne joue aucun rôle dans cette discussion, nous aurions pu nous contenter de supposer muni d’une structure de monoïde (vous pouvez ignorer cette remarque si vous ne savez pas ce qu’est un monoïde).
L’extrême inverse est de considérer les catégories ayant le moins possible de morphismes. Tout ensemble pour être vu comme une catégorie dont les objets sont les éléments de et dont les seuls morphismes sont les identités.
Voyons maintenant comment les inégalités rentrent dans ce cadre. Tout ensemble ordonné peut être vu comme une catégorie dont les objets sont les éléments de et dont les morphismes sont les inégalités dans . Ainsi, étant donné deux éléments et vus comme objets de , il y a exactement un morphisme dans si et aucun sinon. On peut noter un tel morphisme si on veut, mais, en pratique, on le notera simplement . Il faut bien prendre le temps de comprendre comment la transitivité de la relation d’ordre se traduit en existence d’opération de composition ici. On notera que l’antisymétrie de la relation d’ordre ne joue aucun rôle dans cette histoire, on peut donc se contenter de supposer que est muni d’une relation de préordre (mais, plus loin, on utilisera la condition d’antisymétrie). Ces catégories provenant des ensembles ordonnés sont le cadre du lemme 3.1.1 concernant l’unicité du minimum.
À première vue, on pourrait penser que le cadre du lemme 3.1.3 concernant les groupes quotients est la catégorie des groupes. Mais la situation est plus subtile. Les groupes intervenant ne sont pas n’importe quels groupes, mais les groupes munis d’un morphisme depuis un groupe fixé dont le noyau contient un sous-groupe distingué fixé. De plus les morphismes entre tels groupes qui interviennent dans l’argument sont uniquement ceux qui sont compatibles avec le morphisme depuis . On peut donc définir une catégorie dont les objets sont les paires où est un groupe et est un morphisme dont le noyau contient . Dans cette catégorie, les éléments de sont les morphismes de groupes tels que . On vérifie facilement que la composition de morphismes de groupes fournit une opération de composition pour cette catégorie et que les fonctions identité fournissent des identités.
On peut encore voir cette catégorie comme une catégorie concrète en voyant des objets comme des ensembles munis d’une structure additionnelle formée d’une structure de groupe et d’un morphisme depuis . Et les morphismes sont encore des fonctions vérifiant certaines conditions. Mais ce point de vue n’est pas très naturel. Il vaut vraiment mieux penser à cet exemple comme étant une catégorie de diagrammes. Ses objets sont vraiment des diagrammes et les morphismes sont également des diagrammes :
Revenons maintenant à la théorie générale. Comme dans le cas des relations d’ordre, il est commode d’avoir une façon formelle de renverser les morphismes afin d’éviter de dupliquer trop de démonstrations. Dans la définition suivante, la notation est décorée d’un indice indiquant quelle est la catégorie ambiante afin de lever l’ambigüité.
Dans le cas particulier des ensembles ordonnés, on retrouve bien la notion d’ordre opposé.
Bien souvent, nous écrirons plutôt que , même lorsque les morphismes ne sont pas des fonctions.
La définition suivante est un premier exemple d’utilisation de la composition et des identités dans une catégorie. L’exercice suivant, qui montre que cette définition se comporte comme attendu, utilise également de façon cruciale l’associativité des compositions.
Montrer que, dans la définition d’un isomorphisme, le morphisme est unique. On l’appelle l’inverse de .
Soit et des morphismes qui conviennent. On calcule
3.3. Objets initiaux et finaux
On peut maintenant donner la définition et le théorème qui généralisent les trois lemmes du prologue.
Soit une catégorie.
- On dit qu’un objet de est initial si, pour tout objet de , il existe un unique morphisme de vers .
- On dit qu’un objet de est final si, pour tout objet de , il existe un unique morphisme de vers .
On notera que est final dans si et seulement si il est initial dans . On pourra donc démontrer tous les théorèmes abstraits concernant les objets finaux en se ramenant aux énoncés concernant les objets initiaux. Cependant, il ne faut pas en déduire que l’on peut confondre ces deux notions. Comme les exemples le montreront, pour une catégorie donnée, les objets initiaux et finaux peuvent être très différents.
Dans la liste suivante, on notera la grande diversité de situations entre les catégories ayant ou pas des objets initiaux ou finaux, ou des objets qui sont à la fois initiaux et finaux.
L’ensemble vide est initial dans . Tout singleton est final dans .
Tout groupe trivial est à la fois initial et final dans .
Dans la catégorie des anneaux, on retrouve la notion d’anneau initial du prologue de ce chapitre. En particulier est initial. Tout anneau trivial (c’est-à-dire ayant exactement un élément) est final.
Dans la catégorie des corps, il n’y a ni objet initial ni objet final. En effet il ne peut y avoir un morphisme entre deux corps que s’ils ont la même caractéristique. Si on fixe la caractéristique alors il y a un objet initial qui est soit soit selon qu’on a fixé une caractéristique nulle ou égale à un nombre premier .
Dans un groupe vu comme catégorie, il n’y a ni objet initial ni objet final, sauf si le groupe est trivial.
Dans un ensemble ordonné, un élément est initial si et seulement si c’est un minimum. Il est final si et seulement c’est un maximum.
Dans la catégorie introduite dans le dernier exemple avant la définition 3.2.2, un objet initial est exactement un quotient de par au sens du lemme 3.1.3. En particulier muni de sa projection canonique est initial.
Soit un ensemble et une relation d’équivalence sur . On note la catégorie dont les objets sont les paires où est un ensemble et est une fonction compatible avec (ce qui signifie ) et pour laquelle les morphismes de dans sont les fonctions telles que .
Montrer soigneusement qu’il s’agit bien d’une catégorie en détaillant pourquoi l’opération de composition est bien définie.
La seule chose à vérifier est que la composition de morphisme donne bien un morphisme. Soit , et des objets de . Soit et . Montrons que la composition ordinaire de fonctions fournit bien .
Les deux petits triangles commutent donc le grand triangle commute. On peut le voir « géométriquement » en déformant des chemins dans le diagramme ou algébriquement en écrivant .
Tout objet initial de est appelé quotient de par . Montrer qu’un objet est initial si et seulement si est surjective et, pour tous et dans , seulement si .
Soit un objet de . Supposons que est initial. Montrons que est surjective. Intuitivement, il est clair que l’unicité dans la propriété universelle de assure cela. Pour le voir précisément, il faut un peu de technique. Soit un ensemble à deux éléments, disons et . Soit la fonction constante de valeur . Cette fonction est compatible avec . Notons la fonction constante de valeur et la fonction qui envoie sur si et sinon. Ces deux fonctions vérifient donc l’unicité dans la propriété universelle de assure que donc .
Soit et dans . Supposons que et montrons . Cette fois, c’est l’existence dans la propriété universelle qui doit nous aider. Soit qui envoie sur si et sinon. Cette fonction est compatible avec donc on obtient telle que . On a donc . On en déduit que .
Réciproquement, supposons que est surjective et, pour tous et dans , seulement si .
Soit un objet de . Montrons qu’il existe une unique fonction telle que . L’unicité est claire, car la relation force les valeurs de sur l’image de qui est supposée surjective. C’est l’existence qui est un peu subtile. Il s’agit d’un énoncé tellement fondamental que la démonstration est sensible aux fondements choisis. La façon imagée de raconter cette histoire est de dire que, pour chaque , pour définir , on utilise la surjectivité de pour obtenir tel que et on pose (et ensuite, on utilise l’hypothèse sur et l’autre hypothèse sur pour montrer que ). Il s’agit d’une façon très pudique d’utiliser l’axiome du choix (et la surjectivité de ) pour obtenir telle que puis poser . Montrons que . Soit . On a . Vu l’hypothèse sur , il suffit de montrer . Vu la seconde hypothèse sur , il suffit de montrer que , ce qui découle de .
Si on ne veut pas utiliser l’axiome du choix, on peut choisir d’utiliser des fondements des maths où les fonctions jouent le premier rôle et l’existence de est un axiome. Si on tient à utiliser des fondements où les ensembles jouent le premier rôle, les fonctions de dans sont définies comme les parties de telles que . Ici, on peut poser . Montrons la condition de graphe. Soit . Montrons l’existence et l’unicité de . Comme est surjective, on obtient tel que . Montrons que convient. Soit tel que . La seconde hypothèse sur assure que puis l’hypothèse sur assure que . Montrons maintenant l’unicité. Soit et deux éléments qui conviennent. Comme ils conviennent, on a en particulier donc . Ainsi, nous avons bien une fonction de graphe . Montrons que convient, c’est-à-dire . Soit . On veut montrer que . On sait que . Comme on obtient .
On note l’ensemble des classes d’équivalence pour , et l’application qui envoie tout élément sur sa classe d’équivalence. Montrer que est un quotient de par .
C’est clair d’après la question précédente et la définition des classes d’équivalence.Montrer que est un quotient de par la relation produit .
Il suffit de vérifier les conditions de la question 2. La surjectivité de entraîne celle de . Soit et . On a
A-t-on ?
Non, sauf si est vide. Par exemple si , muni de la relation d’équivalence triviale, tandis que .La question précédente n’est pas pertinente. Formuler le bon énoncé et y répondre.
La question précédente s’intéresse de trop près à la construction de quotients comme ensembles de classes d’équivalence. L’important est la propriété universelle des quotients. Cette propriété assure qu’il existe une unique bijection telle quecommute.
Soit un ensemble et un corps. On considère la catégorie dont les objets sont les paires où est un -ev et une fonction, et . Montrer que est initial si et seulement si est une base de .
Supposons d’abord que est une base de . Soit une application de dans un -ev . D’après le cours d’algèbre linéaire, il existe une unique application linéaire de dans telle que, pour tout , . C’est exactement la propriété annoncée.
Réciproquement, supposons que est initial. On veut montrer que tout élément de s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des .
Pour montrer l’existence, il suffit de montrer que l’image de engendre comme -ev. Une façon élémentaire de le voir est d’argumenter que le contraire mettrait en défaut l’unicité dans la définition d’objet initial. En effet, étant donné une application de dans un -ev et telle que , on peut changer sur un supplémentaire du sous-espace engendré par l’image de sans perdre . Plus abstraitement, on peut considérer la projection . Cette projection et l’application nulle sont deux applications linéaires vérifiant . L’unicité dans la définition d’objet initial assure que . Or est surjective donc et donc . On notera comment cette variante remplace la discussion d’un supplémentaire de par l’utilisation de , avec l’avantage qu’on voit immédiatement un espace but pertinent.
Montrons maintenant l’unicité d’une décomposition en combinaison linéaire. Pour tout dans , on note la fonction qui envoie sur et les autres éléments sur . On note la fonction linéaire associée à par la définition d’objet initial. Soit . On sait par le paragraphe précédent que s’écrit pour une fonction à support fini. Pour chaque on applique à cette égalité pour obtenir . Ainsi la fonction est déterminée par .
On peut maintenant énoncer et démontrer la partie commune aux trois lemmes du prologue.
Démonstration : Supposons que et sont initiaux. Comme est initial, on obtient un unique . Comme est initial, on obtient un unique . Comme est initial et que et sont deux morphismes de vers , on obtient . Comme est initial et que et sont deux morphismes de vers , on obtient . Ainsi est bien un isomorphisme, et on a vu qu’il est l’unique morphisme de vers .
L’énoncé analogue pour les objets finaux s’obtient en passant à la catégorie .
Au vu de la démonstration précédente, on peut se demander ce que sont devenues les différences de complexité entre les trois lemmes du prologue. Le cas des ensembles ordonnés est clairement particulier, car la condition d’antisymétrie qui intervient dans la définition d’une relation d’ordre assure que deux objets isomorphes dans un ensemble ordonnés sont en fait égaux. De plus le fait qu’il y ait au plus une inégalité entre deux objets fait essentiellement disparaître la condition d’unicité dans la définition d’objet initial.
On peut modifier un peu la situation en considérant le cas des relations de préordre, c’est-à-dire les relations réflexives et transitives mais pas nécessairement antisymétriques. C’est le cas de la relation de divisibilité dans par exemple, ou plus généralement dans un anneau commutatif intègre. Dans ce cas général, on obtient toujours une catégorie, mais, dans le cas de , tout élément est isomorphe à son opposé (et dans le cas général tout élément est isomorphe à tous les pour inversible). On retrouve la difficulté familière de non-unicité du pgcd défini comme élément minimum de l’ensemble des diviseurs d’une famille d’éléments.
Il est encore plus intéressant de s’interroger sur la différence de complexité entre les démonstrations des lemmes lemme 3.1.2 et lemme 3.1.3. Une partie de la complexité du lemme 3.1.3 a été déplacée dans la discussion de la définition de la catégorie . Mais surtout une bonne partie de la complexité apparente a disparu sous l’abstraction de notre nouveau cadre qui permet de se concentrer sur l’essentiel sans se laisser distraire par des notations lourdes et un contexte sophistiqué.
Comme promis, nous avons déjà gagné une définition de l’expression « propriété universelle ».
On peut ainsi reformuler le théorème en « toute propriété universelle spécifie l’objet concerné modulo unique isomorphisme ».
Voyons deux autres exemples algébriques (il y aura bien sûr des exemples topologiques dans le chapitre suivant).
Soit un groupe. On rappelle que le commutateur de deux éléments et de est . Le sous-groupe engendré par ces commutateurs est appelé sous-groupe dérivé de et noté .
Montrer que, pour tout morphisme de groupes et tous et dans , .
Il s’agit d’un calcul direct : .Montrer que, pour tout morphisme de groupes , .
Notons (resp. ) l’ensemble des commutateurs d’éléments de (resp. ). Par définition, et . La question précédente assure que . Comme l’opération est croissante, on en déduit . On a vu dans le chapitre 1 que l’image directe commute avec le sous-groupe engendré donc .Montrer que est un sous-groupe distingué.
Soit un élément de . On note la conjugaison par . Il s’agit d’un morphisme de groupes donc la question précédente assure que , ce qu’il fallait démontrer.On note le quotient de par et la projection. Montrer que est un groupe abélien.
Soit et dans . Comme est surjective on obtient et dans tels que et . On calcule
On note la catégorie dont les objets sont des groupes abéliens munis d’un morphisme depuis . Les morphismes dans cette catégorie sont définis comme dans la définition de . Montrer que est initial dans la catégorie : pour tout groupe abélien et tout morphisme de groupes , il existe un unique morphisme tel que .
Soit un corps. On note la catégorie dont les objets sont les paires où est une -algèbre et un élément de , et les morphismes entre et sont les morphismes de -algèbre de dans qui envoient sur .
Montrer que est un objet initial dans . Pour tout objet on appelle évaluation en et on note l’unique morphisme depuis . Dans la suite, on utilisera uniquement l’existence et l’unicité de , pas sa construction. On dit que est une racine de dans si .
Soit un objet de . Montrons qu’il existe un unique morphisme de vers . Montrons d’abord l’unicité. Soit un tel morphisme. Par définition, est un morphisme de -algèbre de vers qui envoie sur . Soit dans . On peut écrire pour une unique fonction à support fini de dans . En utilisant que est un morphisme de -algèbre, on obtient . Comme , on en déduit . Ainsi est entièrement déterminé. Pour l’existence, on montre que la formule précédente définit bien une solution.
On fixe un polynôme dans . On note la -algèbre et la projection de sur .
Montrer que et sont des morphismes de -algèbres qui envoient sur .
Par construction de la structure de -algèbre sur , est un morphisme de -algèbre. Il envoie évidemment sur . La propriété analogue pour est exactement ce qui est promis par la propriété universelle de (c’est-à-dire le fait que est initial dans ).
Montrer que est une racine de dans .
La propriété de la question précédente caractérise donc on obtient . Comme , est nul, et donc également. On méditera avec profit la comparaison avec les démonstrations plus élémentaires de ce fait.
On note la sous-catégorie de formée des objets pour lesquels est une racine de . Montrer que est un objet initial de .
On a vu dans la question précédente que est bien un objet de . Soit un autre objet de . Montrons qu’il existe un unique morphisme de -algèbre tel que . Comme est initial dans , on obtient un unique morphisme de -algèbres tel que . Pour montrer que ce morphisme descend (de façon unique) au quotient , il suffit de montrer que . La propriété universelle de l’idéal engendrée assure qu’il suffit de montrer que , ce qui est précisément l’hypothèse que est racine de . On a bien obtenu une solution .
Montrons l’unicité. Soit un autre morphisme solution. Comme est un morphisme de -algèbre qui envoie sur , on obtient car cette propriété caractérise . L’unicité dans la descente au quotient de garantie ensuite que .
Dans le cas et , en déduire qu’il existe un unique isomorphisme de -algèbres entre et qui envoie sur (en supposant qu’on ait construit de façon élémentaire, comme ensemble de paires de nombres réels muni d’opérations étranges).
Par unicité modulo unique isomorphisme des objets initiaux, il suffit de montrer que est un objet initial dans (pour et ). Soit une -algèbre et une racine de dans . Montrons qu’il existe un unique morphisme de -algèbre de dans qui envoie sur .
On sait que est une -base de donc il existe une unique application -linéaire de dans qui envoie sur et sur . Montrons que cette application est un morphisme de -algèbre. Comme elle est déjà -linéaire, et envoie sur par construction, il suffit de vérifier qu’elle préserve les produits. Soit et dans . On écrit et pour des réels , , et . On a en utilisant l’étrange définition de la multiplication sur . En utilisant ensuite que est -linéaire et envoie sur et sur , on obtient . On calcule de même qu’on développe en (ici, on a utilisé que l’image de dans commute avec tous les éléments, par définition d’une -algèbre). Enfin on conclut en utilisant que est racine de donc .
L’unicité est claire, car un morphisme de -algèbre est en particulier une application linéaire qui envoie sur , et on impose l’envoi de sur donc la construction ci-dessus est la seule possible.
3.4. Produits et coproduits
Dans cette section, on se concentre sur deux cas particuliers de propriété universelle qui joueront un rôle crucial dans la suite (particulièrement le première).
Soit une catégorie et une famille d’objets de indexée par un ensemble .
Un produit des est un objet de muni de morphismes pour tout dans , appelés projections et vérifiant la propriété universelle suivante : pour tout objet et toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que, pour tout , .
Par exemple, si on obtient le diagramme suivant :
Un coproduit des est un objet de muni de morphismes pour tout dans , appelés inclusions et vérifiant la propriété universelle suivante : pour tout objet et toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que, pour tout , .
Par exemple, si on obtient le diagramme suivant :
On notera que est un produit des dans si et seulement si c’est un coproduit dans .
Comme le vocabulaire de propriété universelle l’indique, les produits et coproduits sont des cas particuliers d’objets finaux et initiaux. Par exemple, un produit des est un objet final dans la catégorie dont les objets sont les paires où est un objet de et est une collection de morphismes . Les morphismes entre et sont les morphismes entre et dans qui vérifient .
On peut donc appliquer le théorème 3.3.3 pour voir que les produits (resp. coproduits) sont unique modulo unique isomorphisme compatible aux projections (resp. inclusions).
Dans , le produit cartésien des muni de ses projections sur les facteurs est bien un produit. En effet, pour tout et toute famille d’applications , l’unique qui convient est . De plus la réunion (disjointe) des munie des inclusions est un coproduit. En effet, pour tout et comme dans la définition, on peut associer qui envoie chaque sur . Dans cet exemple, on voit déjà que les produits et coproduits peuvent être très différents.
Dans les catégories des groupes et des anneaux, les produits sont simplement les produits cartésiens équipés des structures de groupe ou anneau qu’on imagine. Les coproduits sont nettement plus compliqués à construire. Il y a peu d’espoir de mettre une structure de groupe sur une réunion disjointe de groupes par exemple. Cependant, ces deux catégories admettent bien des coproduits pour toute famille d’objets. Dans le cas des groupes, il s’agit des produits libres de groupes. Dans le cas des anneaux commutatifs, il s’agit des produits tensoriels.
La catégorie des corps n’admet ni produits ni coproduits.
La catégorie des modules sur un anneau commutatif fixé fournit un exemple intéressant de différence subtile entre produits et coproduits qui sera discuté dans l’exercice 3.39 (la subtilité est déjà présente pour les espaces vectoriels).
Soit un ensemble ordonné et une famille d’éléments de . Montrer qu’un produit des est exactement un inf des . Montrer de même qu’un coproduit est un sup.
On peut reformuler la définition de produit en termes de bijections d’ensembles de morphismes. Étant donnée une famille d’objets d’une catégorie, un objet muni de projections est un produit si, pour chaque objet , l’application
est une bijection de vers , où ce dernier produit est un produit d’ensembles. On aimerait dire que l’existence d’une telle famille de bijections caractérise les produits, sans spécifier ces bijections ni les . Mais cela ne peut fonctionner que si les varient naturellement avec . Pour l’instant, nous n’avons pas les moyens de préciser cette idée, cela viendra dans un chapitre ultérieur (voir l’exercice 5.60).On fixe un corps . Et une famille de -espaces vectoriels.
Montrer que l’ensemble produit des muni de la structure de -espace vectoriel usuelle et des projections sur les est un produit des dans la catégorie des -espaces vectoriels.
Soit une famille d’application linéaires d’un -ev dans les . On sait que le produit cartésien d’ensembles est un produit dans la catégorie des ensembles. On obtient ainsi une fonction de dans le produit. Or cette application est linéaire pour la structure d’espace vectoriel produit. Donc, on a bien une unique application linéaire telle que pour tout .
On considère le sous-espace de formé des vecteurs n’ayant qu’un nombre fini de projections sur les non nulles (on note que ce n’est différent du produit que lorsque est infini). On munit ce sous-espace des inclusions définies par
Montrer qu’il s’agit d’un coproduit des dans la catégorie -ev.
Soit un -ev et soit une famille d’applications linéaires des dans . On veut montrer qu’il existe une unique application linéaire de la somme des dans telle que, pour tout , .
Montrons d’abord l’unicité. Supposons qu’une telle application existe. Soit un vecteur de la somme. Par définition de la somme, on obtient un ensemble fini et des vecteurs pour tels que . On calcule alors . Ainsi est entièrement déterminé par . On montre également facilement que le calcul ci-dessus permet de définir un qui convient. En effet, on veut définir sa valeur sur chaque vecteur par la formule ci-dessus puis les vérifications de linéarité font intervenir au plus deux vecteurs à la fois donc un ensemble fini d’indices dans .
Soit une catégorie, et des morphismes dans . Une somme amalgamée (appelée aussi coproduit cofibré, ou pushout) de et le long de et est la donnée d’un objet équipé de morphismes et tels que
commute et qui est universel : pour tout autre tel , il existe un unique morphisme tel que
commute. On dira que est une somme amalgamée de et le long de quand les applications et sont claires d’après le contexte.
Montrer qu’une somme amalgamée est unique modulo unique isomorphisme commutant avec les applications .
Il suffit de trouver une catégorie dans laquelle est initial et les morphismes sont les diagrammes comme celui où apparaît . On voit que la définition est exactement de cette forme.Montrer que si est initial dans alors cette notion est exactement celle de coproduit de et .
Dans ce cas les relations de commutations faisant intervenir les sont automatiques. Par exemple, est automatique, car il n’y a qu’un morphisme entre et . Ainsi , et ne jouent aucun rôle et on peut les effacer et retrouver la définition de coproduit.Dans le cas où , montrer qu’on peut choisir comme le quotient de par la relation d’équivalence qui lie et pour tout , avec les obtenues en composant les inclusions avec la projection sur le quotient. On notera cet ensemble quand les sont clairs.
Montrons que le diagramme commute. Soit . On veut , c’est-à-dire . Il suffit de vérifier que , et la relation d’équivalence utilisée est là pour cela.
Montrons maintenant l’universalité. Soit qui convient aussi. Comme , l’application est compatible avec donc descend à pour donner .
Dans le cas où , montrer qu’on peut choisir comme le quotient de par le sous-module image de , avec les obtenues en composant les inclusions avec la projection sur le quotient. On notera cet ensemble quand les sont clairs.
Pour tout , la condition est équivalente à , ou encore (où est donnée par la propriété universelle du coproduit). Donc la propriété universelle des quotients de modules assure le résultat.