Topologie algébrisée

5. Foncteurs et adjonctions

5.1. Prologue

Dans le chapitre 3, nous avons vu que de très nombreuses variantes de la notion de composition sont rassemblées dans la notion de catégorie. Les entités pouvant être composées sont appelées morphismes d’une catégorie et incluent en particulier les fonctions, les éléments d’un groupe, les inégalités et aussi certains diagrammes commutatifs.

L’objectif de ce chapitre est d’étudier les opérations qui respectent la composition. Ces opérations sont appelées foncteurs. Par exemple, les foncteurs entre groupes (vus comme des catégories) sont les morphismes de groupes, car ce sont les fonctions préservant la loi de composition interne. Dans cet exemple, la catégorie source et la catégorie but n’ont qu’un seul objet. En général les foncteurs n’agissent pas seulement sur les morphismes d’une catégorie, chaque morphisme a une source et un but qui sont des objets de la catégorie et doivent également être transportés par le foncteur. Par exemple, les foncteurs entre ensembles ordonnés (vus comme des catégories) sont les fonctions croissantes, car ils doivent envoyer les objets de la source sur les objets du but et les inégalités de la source sur les inégalités du but. Ainsi la notion de foncteur permet plus précisément de discuter globalement les opérations qui agissent à la fois sur les objets et les morphismes d’une catégorie en préservant la composition et les identités. Par exemple, le foncteur « parties » envoie tout ensemble $𝑋$ sur l’ensemble ordonné $𝒫 (𝑋)$ des parties de $𝑋$ et l’image d’une fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ est $𝑓_{*} : 𝒫 (𝑋) \to 𝒫 (𝑌)$ . La condition de préservation de la composition est l’égalité ${(𝑔 \circ 𝑓)}_{*} = 𝑔_{*} \circ 𝑓_{*}$ et la préservation des identités est ${({Id}_{𝑋})}_{*} = {Id}_{𝒫 (𝑋)}$ .

L’étape suivante consiste à étudier les relations entre foncteurs. Le premier étage de cette étude est la notion de transformation naturelle. Comme son nom l’indique, son premier rôle est de donner un sens précis à des phrases comme « tout espace vectoriel $𝑉$ peut être envoyé naturellement dans son bidual $𝑉^{* *}$  » ou « la définition du déterminant dépend naturellement du corps de base », ou au contraire « tout groupe abélien $𝐴$ de type fini est isomorphe à $Tor (𝐴) \oplus 𝐴 / Tor (𝐴)$ mais cet isomorphisme n’est pas naturel ». Les transformations naturelles permettent également de préciser en quel sens les applications équivariantes sont les applications naturelles à considérer entre ensembles munis d’une action d’un même groupe.

Enfin l’objectif majeur de ce chapitre est d’approfondir la notion de propriété universelle. Le chapitre 3 fournit un cadre satisfaisant pour parler de la propriété universelle d’un objet mathématique isolé, en le voyant comme objet initial (ou final) dans une catégorie. Mais ce cadre ne permet pas de discuter la façon dont ces objets universels dépendent des ingrédients fournis. Par exemple la propriété universelle des filtres commence par se concentrer sur un ensemble $𝑋$ et sa fonction $𝑃 : 𝒫 (𝑋) \to ℱ (𝑋)$ . Mais le fait de voir $(ℱ (𝑋), 𝑃)$ comme objet initial dans une catégorie ne dit rien de la façon dont cette paire dépend de $𝑋$ . Ce qui manque ici, outre la notion de foncteur déjà évoquée, est une notion d’adjonction qui généralise celle du chapitre 1 à toutes les catégories et leurs foncteurs. Cette notion donnera en particulier un cadre à la procédure utilisée pour passer d’une famille de propriétés universelles à une opération compatible avec la composition.

En effet, nous avons vu dans le chapitre 2 comment la propriété universelle des filtres permet d’étendre les fonctions entre ensembles de parties en fonctions entre ensembles de filtres en respectant la composition. Voyons deux autres exemples très similaires. En topologie des espaces métriques, l’opération de complétion construit, pour tout espace métrique $𝑋$ , un espace métrique complet $\hat{𝑋}$ et une fonction uniformément continue (et injective) $𝜄_{𝑋} : 𝑋 \to \hat{𝑋}$ qui vérifie la propriété universelle suivante : pour toute fonction uniformément continue $𝜑$ de $𝑋$ vers un espace métrique complet $𝑌$ , il existe une unique fonction $\overline{𝜑} : \hat{𝑋} \to 𝑌$ qui étend $𝜑$ , au sens où $𝜑 = \overline{𝜑} \circ 𝜄_{𝑋}$ (par exemple $ℝ$ est une complétion de $ℚ$ ). On peut commencer par reformuler cette affirmation en terme d’ensembles de morphismes : en notant $𝑈$ l’inclusion de la sous-catégorie des espaces métriques complets dans celle des espaces métriques, on a une bijection entre $Hom (𝑋, 𝑈 𝑌)$ et $Hom (\hat{𝑋}, 𝑌)$ qui envoie $𝜑$ sur $\overline{𝜑}$ et dont la réciproque est $𝜓 \mapsto 𝜓 \circ 𝜄_{𝑋}$ . Par analogie avec le cas des ensembles ordonnés, on note cela $\hat{\cdot} ⊣ 𝑈$ . Ensuite, on peut expliquer comment cette propriété universelle se comporte vis-à-vis des morphismes comme dans la proposition suivante.

Proposition 5.1.1

Pour toute fonction uniformément continue $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ entre deux espaces métriques, il existe une unique fonction uniformément continue $\hat{𝑓} : \hat{𝑋} \to \hat{𝑌}$ telle que

commute.

De plus cette opération est compatible avec les identités et la composition : $\hat{{Id}_{𝑋}} = {Id}_{\hat{𝑋}}$ et $\hat{𝑔 \circ 𝑓} = \hat{𝑔} \circ \hat{𝑓}$ .

Démonstration : Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction uniformément continue. La propriété universelle de $(\hat{𝑋}, 𝜄_{𝑋})$ , appliquée à la fonction $𝜄_{𝑌} \circ 𝑓$ qui est uniformément continue et à valeurs dans un espace complet, assure l’existence et l’unicité de $\hat{𝑓}$ .

Montrons maintenant la compatibilité avec l’identité. Le diagramme

est commutatif et ${Id}_{\hat{𝑋}}$ est uniformément continue, donc l’unicité dans la définition de $\hat{{Id}_{𝑋}}$ assure que $\hat{{Id}_{𝑋}} = {Id}_{\hat{𝑋}}$ .

Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ et $𝑔 : 𝑌 \to 𝑍$ des fonctions uniformément continues. On veut calculer $\hat{𝑔 \circ 𝑓}$ . On contemple le diagramme suivant.

Par définition, les deux carrés commutent. Donc le grand rectangle commute : $(\hat{𝑔} \circ \hat{𝑓}) \circ 𝜄_{𝑋} = 𝜄_{𝑍} \circ (𝑔 \circ 𝑓)$ . Or $\hat{𝑔 \circ 𝑓}$ est la seule fonction uniformément continue de $\hat{𝑋}$ dans $\hat{𝑍}$ qui vérifie cette condition. Ainsi $\hat{𝑔 \circ 𝑓} = \hat{𝑔} \circ \hat{𝑓}$ . $□$

Il y a deux observations cruciales à faire à propos de la démonstration précédente. Tout d’abord, il s’agit exactement de la même démonstration que celle du corollaire 2.4.12 (en retirant l’énoncé de croissance qui n’a pas d’analogue ici). La seconde observation explique pourquoi la première est possible : cette démonstration n’a absolument rien à voir avec les espaces métriques et les fonctions uniformément continues, tout comme la démonstration du corollaire 2.4.12 n’avait rien à voir avec les filtres.

Ces deux exemples font intervenir une famille de fonctions injectives $𝜄_{𝑋} : 𝑋 \to \hat{𝑋}$ et $𝑃 : 𝒫 (𝑋) \to ℱ (𝑋)$ , mais cette injectivité ne joue aucun rôle dans la démonstration. Pour s’en convaincre, voyons un troisième exemple en provenance de la théorie des groupes. Soit $𝐺$ un groupe, $𝐻$ un sous-groupe distingué de $𝐺$ et $𝜋 : 𝐺 \to 𝐺 / 𝐻$ la projection, qui n’est jamais injective si $𝐻$ n’est pas trivial. La propriété universelle des quotients de groupes rappelée dans le chapitre 3 assure que, pour tout groupe $𝐺^{'}$ et tout morphisme $𝜑 : 𝐺 \to 𝐺^{'}$ tel que $𝐻 \subseteq ker 𝜑$ , il existe un unique $\overline{𝜑} : 𝐺 / 𝐻 \to 𝐺^{'}$ tel que $\overline{𝜑} \circ 𝜋 = 𝜑$ .

Proposition 5.1.2

Soit

(𝐺_{1}, 𝐻_{1})

(𝐺_{2}, 𝐻_{2})

des groupes munis de sous-groupes distingués. Pour tout morphisme

𝜑 : 𝐺_{1} \to 𝐺_{2}

tel que

𝜑_{*} 𝐻_{1} \subseteq 𝐻_{2}

, il existe un unique

\hat{𝜑} : 𝐺_{1} / 𝐻_{1} \to 𝐺_{2} / 𝐻_{2}

qui fait commuter

De plus, pour toute paire

(𝐺, 𝐻)

\hat{{Id}_{𝐺}} = {Id}_{𝐺 / 𝐻}

et pour tous

(𝐺_{1}, 𝐻_{1})

(𝐺_{2}, 𝐻_{2})

(𝐺_{3}, 𝐻_{3})

et tous morphismes

𝑓 : 𝐺_{1} \to 𝐺_{2}

𝑔 : 𝐺_{2} \to 𝐺_{3}

tels que

𝑓_{*} 𝐻_{1} \subseteq 𝐻_{2}

𝑔_{*} 𝐻_{2} \subseteq 𝐻_{3}

(et donc

{(𝑔 \circ 𝑓)}_{*} 𝐻_{1} \subseteq 𝐻_{3}

) on a

\hat{𝑔 \circ 𝑓} = \hat{𝑔} \circ \hat{𝑓}

Démonstration : Pour l’existence et l’unicité de $\hat{𝑓}$ , on applique la propriété universelle de $𝐺_{1} / 𝐻_{1}$ à $𝜋_{2} \circ 𝑓$ qui est bien un morphisme de groupes dont le noyau contient $𝐻_{1}$ puisque $𝐻_{2} = ker 𝜋_{2}$ .

Montrons maintenant la compatibilité avec l’identité. Le diagramme

est commutatif et ${Id}_{𝐺 / 𝐻}$ est un morphisme de groupes, donc l’unicité dans la définition de $\hat{{Id}_{𝐺}}$ assure que $\hat{{Id}_{𝐺}} = {Id}_{𝐺 / 𝐻}$ .

Enfin montrons la compatibilité avec la composition. On contemple le diagramme suivant.

Par définition, les deux carrés commutent. Donc le grand rectangle commute : $(\hat{𝑔} \circ \hat{𝑓}) \circ 𝜋_{1} = 𝜋_{3} \circ (𝑔 \circ 𝑓)$ . Or $\hat{𝑔 \circ 𝑓}$ est le seul morphisme de groupe qui vérifie cette condition. Ainsi $\hat{𝑔 \circ 𝑓} = \hat{𝑔} \circ \hat{𝑓}$ . $□$

Ainsi, en plus d’un cadre permettant de parler de familles de propriétés universelles, il nous faut un théorème unique pour rassembler toutes ces démonstrations mécaniques qui n’utilisent rien de spécifique à la théorie topologique ou algébrique ambiante. Ce sera le théorème 5.4.8.

5.2. Foncteurs

La première définition cruciale de ce chapitre est celle d’opération compatible avec la composition.

Définition 5.2.1

Soit $𝒞$ et $𝒟$ des catégories. Un foncteur $𝐹 : 𝒞 \to 𝒟$ est la donnée de

pour tout objet $𝑋$ de $𝒞$ un objet $𝐹 𝑋$ de $𝒟$  ;
pour tout morphisme $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ dans $𝒞$ , un morphisme $𝐹 𝑓 : 𝐹 𝑋 \to 𝐹 𝑌$ qui dépend de $𝑓$ de façon fonctorielle : pour tout $𝑋$ , $𝐹 1_{𝑋} = 1_{𝐹 𝑋}$ et pour tous morphismes $𝑔$ et $𝑓$ composables, $𝐹 (𝑔 \circ 𝑓) = 𝐹 𝑔 \circ 𝐹 𝑓$ .

Remarque : on peut bien sûr écrire $𝐹 (𝑋)$ et $𝐹 (𝑓)$ plutôt que $𝐹 𝑋$ et $𝐹 𝑓$ , mais dans la suite cela engendrerait beaucoup de parenthèses difficiles à lire.

La condition de compatibilité avec la composition assure en particulier qu’un foncteur envoie tout diagramme commutatif sur un diagramme commutatif. On commence par deux familles d’exemples triviaux (mais qui joueront un rôle malgré tout).

Toute catégorie $𝒞$ a un foncteur identité ${Id}_{𝒞}$ qui envoie tout objet sur lui-même et tout morphisme sur lui-même.
Les foncteurs d’oubli oublient de la structure. Par exemple, il y a un foncteur d’oubli de la catégorie des groupes vers celle des ensembles qui envoie tout groupe sur l’ensemble de ses éléments et tout morphisme de groupes sur la fonction sous-jacente. On peut aussi n’oublier qu’une partie de la structure algébrique, par exemple en allant des anneaux vers les groupes abéliens en oubliant la multiplication. Ces exemples ne sont pas limités à l’algèbre. Par exemple, il y a un foncteur d’oubli de la catégorie des espaces topologiques vers celle des ensembles qui oublie la topologie. Ces foncteurs sont souvent notés $𝑈$ pour « underlying » car ils envoient un objet algébrique sur un ensemble (ou un objet algébrique plus simple) sous-jacent.

Voyons maintenant des exemples plus intéressants. Une première famille d’exemples consiste à utiliser les diverses opérations d’image directe et réciproque rencontrées jusqu’ici.

Le foncteur $𝒫 : Ens \to Ord$ des ensembles vers les ensembles ordonnés envoie tout ensemble $𝑋$ sur l’ensemble ordonné $𝒫 (𝑋)$ . Il envoie toute fonction $𝑓$ sur la fonction croissante $𝑓_{*}$ .
Le foncteur $𝒫^{op} : Ens \to {Ord}^{op}$ des ensembles vers les ensembles ordonnés envoie tout ensemble $𝑋$ sur l’ensemble ordonné $𝒫 (𝑋)$ . Il envoie toute fonction $𝑓$ sur la fonction croissante $𝑓^{*}$ . Il est important de bien comprendre le rôle joué par le passage à l’opposé ici. Pour chaque fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ , la fonction $𝑓^{*}$ est bien croissante, mais elle va de $𝒫 (𝑌)$ dans $𝒫 (𝑋)$ donc elle est bien dans ${Hom}_{{Ord}^{op}} (𝒫 (𝑋), 𝒫 (𝑌))$ .
Les deux exemples précédents ont pour cousins leurs versions pour les filtres et les topologies.

Voyons maintenant des exemples provenant de l’algèbre.

Le foncteur unités de $Ann$ vers $Grp$ envoie tout anneau sur le groupe de ses éléments inversibles et tout morphisme d’anneau sur sa restriction aux inversibles.
Le foncteur d’abélianisation de $Grp$ vers $Ab$ , la catégorie des groupes abéliens, envoie tout groupe $𝐺$ sur son abélianisé $𝐺 / [𝐺, 𝐺]$ . Il envoie tout morphisme de groupes sur le morphisme induit entre les abélianisés.
Pour tout corps $𝐾$ , le foncteur libre $L_{𝐾} : Ens \to {Ev}_{𝐾}$ des ensembles vers les $𝐾$ -espaces vectoriels envoie tout ensemble $𝐼$ sur le $𝐾$ -ev des fonctions de $𝐼$ dans $𝐾$ à support fini. Cet espace vectoriel est muni de sa base canonique $𝑒^{𝐼} : 𝐼 \to L_{𝐾} 𝐼$ qui envoie tout $𝑖$ sur la fonction qui vaut $1$ en $𝑖$ et zéro ailleurs. Le foncteur libre envoie toute fonction $𝑓 : 𝐼 \to 𝐽$ vers l’unique application linéaire qui envoie chaque $𝑒_{𝑖}^{𝐼}$ sur le $𝑒_{𝑓 (𝑖)}^{𝐽}$ correspondant. Cet exemple n’est pas spécifique au cas des corps, la même construction fonctionne pour les modules sur n’importe quel anneau commutatif.
Pour tout anneau commutatif $𝑅$ , le foncteur algèbres de polynômes $𝑅 [\cdot] : Ens \to {Alg}_{𝑅}$ des ensembles dans les $𝑅$ -algèbres envoie tout ensemble sur l’algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées indexées par $𝐼$ . L’action sur les fonctions envoie toute fonction sur l’unique morphisme de $𝑅$ -algèbre qui étend l’action de la fonction donnée sur les indéterminées.

Exercice 5.54

Soit $𝑛$ un entier strictement positif. Montrer qu’on peut définir un foncteur ${GL}_{𝑛}$ des anneaux commutatifs vers les groupes en envoyant tout anneau $𝐴$ sur le groupe ${GL}_{𝑛} (𝐴)$ et tout morphisme $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ vers la fonction ${GL}_{𝑛} (𝑓)$ qui applique $𝑓$ à tous les coefficients d’une matrice.

Il y a deux choses à vérifier : l’action annoncée sur les morphismes envoie bien les morphismes d’anneaux sur des morphismes de groupes et elle est compatible avec la composition (la compatibilité avec les identités est claire).

Soit $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ un morphisme d’anneaux. Montrons que ${GL}_{𝑛} (𝑓)$ est un morphisme de groupes. Soit $𝑀$ et $𝑁$ dans ${GL}_{𝑛} (𝐴)$ . Pour tous $𝑖$ et $𝑗$ entre $1$ et $𝑛$ , on a

Montrons maintenant la compatibilité avec la composition. Soit $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ et $𝑔 : 𝐵 \to 𝐶$ des morphismes d’anneaux. Soit $𝑀 \in {GL}_{𝑛} (𝐴)$ . On a, pour tous $𝑖$ et $𝑗$ , ${[{GL}_{𝑛} (𝑔 \circ 𝑓) (𝑀)]}_{𝑖, 𝑗} = (𝑔 \circ 𝑓) (𝑀_{𝑖, 𝑗}) = 𝑔 (𝑓 (𝑀_{𝑖, 𝑗})) = 𝑔 ({[{GL}_{𝑛} (𝑓) (𝑀)]}_{𝑖, 𝑗} = {[{GL}_{𝑛} (𝑔) ({GL}_{𝑛} (𝑓) (𝑀))]}_{𝑖, 𝑗}$ .

Voyons maintenant des exemples provenant de la topologie.

Le foncteur discret $𝐷 : Ens \to Top$ envoie tout ensemble $𝑋$ sur l’espace topologique discret $(𝑋, ⊥)$ . Il envoie toute fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ sur $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ qui est bien continue, car $𝑋$ est discret.
Le foncteur grossier $𝐺 : Ens \to Top$ envoie tout ensemble $𝑋$ sur l’espace topologie grossier $(𝑋, ⊤)$ . Il envoie toute fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ sur $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ qui est bien continue, car $𝑌$ est grossier.
Le foncteur de complétion mentionné dans le prologue va des espaces métriques vers les espaces métriques complets. Il fait l’objet de l’exercice 5.64.
Le foncteur $Ouv : {Top}^{op} \to Ord$ envoie tout espace topologique sur l’ensemble ordonné de ses ouverts et envoie toute fonction continue $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ sur l’image réciproque $𝑓^{*} : Ouv (𝑌) \to Ouv (𝑋)$ . On notera l’utilisation de l’opposé de la catégorie des espaces topologique pour rendre compte du renversement de direction entre $𝑓$ et $𝑓^{*}$ . De même on a un foncteur $Fer : {Top}^{op} \to Ord$ des fermés.
Le foncteur composantes connexes par arcs $𝜋_{0} : Top \to Ens$ envoie tout espace topologique $𝑋$ sur l’ensemble $𝜋_{0} 𝑋$ de ses composantes connexes par arcs. Il envoie toute fonction continue $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ sur l’application envoyant une composante connexe par arc $𝐶$ de $𝑋$ sur l’unique composante connexe par arcs de $𝑌$ qui contient $𝑓_{*} 𝐶$ . Ce foncteur est bien défini, car la connexité par arcs est préservée sous image directe par une fonction continue. La notation mystérieuse $𝜋_{0}$ provient du fait que c’est le zéroième exemple d’une série qui continuera dans le cours de géométrie.

Tous les exemples précédents concernent des catégories concrètes. Au passage, voici la définition plus satisfaisante de la notion de catégorie concrète promise dans le chapitre 3.

Définition 5.2.2

Une catégorie concrète est une catégorie

𝒞

équipée d’un foncteur

𝑈

vers

Ens

qui est fidèle, c’est-à-dire que pour tous objets

𝑋

𝑌

dans

𝒞

, l’application

𝑓 \mapsto 𝑈 𝑓

Hom (𝑋, 𝑌)

vers

Hom (𝑈 𝑋, 𝑈 𝑌)

est injective.

Par exemple, la catégorie $Grp$ des groupes est concrète, le foncteur d’oubli vérifie bien la condition d’injectivité : deux morphismes de groupes qui sont égaux en tant que fonctions sont bien égaux en tant que morphismes de groupes. Dans cette définition, le foncteur $𝑈$ fait partie de la donnée, on ne se contente pas d’en supposer l’existence. Quand on écrit « la catégorie $Grp$ est concrète », il s’agit d’un raccourci pour « la paire $(Grp, 𝑈)$ , où $𝑈 : Grp \to Ens$ est le foncteur d’oubli, est une catégorie concrète ».

Une définition allant de pair avec celle de foncteur fidèle est celle de foncteur plein

Définition 5.2.3

Un foncteur

𝐹 : 𝒞 \to 𝒟

est plein si, pour tous objets

𝑋

𝑌

dans

𝒞

, l’application

𝑓 \mapsto 𝐹 𝑓

Hom (𝑋, 𝑌)

dans

Hom (𝐹 𝑋, 𝐹 𝑌)

est surjective. On dit qu’une sous-catégorie est pleine si le foncteur d’inclusion (qui est automatiquement fidèle) est plein.

Par exemple la catégorie des corps (commutatifs) est une sous-catégorie pleine de la catégorie des anneaux commutatifs : tout morphisme d’anneaux entre deux corps est un morphisme de corps. Par contre, le foncteur d’oubli de $Top$ vers $Ens$ n’est pas plein : il existe des fonctions discontinues entre certains espaces topologiques.

Voyons maintenant des exemples de foncteurs pour laquelle au moins une des deux catégories n’est pas concrète.

Soit $𝑋$ un ensemble vu comme catégorie (dont les objets sont les éléments de $𝑋$ et les seuls morphismes sont les identités). Un foncteur de $𝑋$ dans une catégorie $𝒞$ est simplement une fonction de $𝑋$ dans les objets de $𝒞$ . L’action d’une telle fonction sur les objets est la fonction elle-même et son action sur les morphismes est entièrement spécifiée par la contrainte de préserver les identités. En particulier, si $𝒞$ est également un ensemble vu comme catégorie alors on retrouve la notion de fonction entre ensembles (qui est donc généralisée par la notion de foncteur).
Soit $𝐾$ un corps, on note ${Mat}_{𝐾}$ la catégorie dont les objets sont les entiers strictement positifs et telle que $Hom (𝑚, 𝑛)$ est l’ensemble $ℳ_{𝑛, 𝑚} (𝐾)$ des matrices $𝑛 \times 𝑚$ à coefficients dans $𝐾$ . La composition est donnée par la multiplication matricielle et l’identité de $𝑛$ est la matrice $𝐼_{𝑛}$ . Cette catégorie admet un foncteur vers ${Ev}_{𝐾}$ qui envoie tout $𝑛$ sur $𝐾^{𝑛}$ et toute matrice sur l’application linéaire correspondante. La condition de fonctorialité stipule que la matrice identité est bien la matrice de l’identité dans la base canonique et que la multiplication matricielle correspond à la composition des applications linéaires.
Soit $𝑋$ et $𝑌$ des ensembles ordonnés vus comme catégories. Une fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ est l’action d’un foncteur sur les objets de $𝑋$ si et seulement si $𝑓$ est croissante. Ce foncteur est alors unique (et on le note simplement $𝑓$ ).
Soit $𝐺$ et $𝐺^{'}$ des groupes vus comme catégories. Une fonction $𝑓 : 𝐺 \to 𝐺^{'}$ est l’action d’un foncteur sur les morphismes si et seulement si c’est un morphisme de groupes.
Soit $𝐺$ un groupe. Un foncteur $𝐹 : 𝐺 \to Ens$ est un ensemble (l’image $𝐹 ⋆$ de l’unique objet $⋆$ de $𝐺$ ) muni d’une action de $𝐺$ . De même un foncteur $𝐹 : 𝐺 \to Top$ est un espace topologique muni d’une action de $𝐺$ par homéomorphismes, et un foncteur $𝐹 : 𝐺 \to {Ev}_{𝐾}$ est une représentation de $𝐺$ sur un $𝐾$ -espace vectoriel.
Les diagrammes dans une catégorie peuvent être vus comme des foncteurs. Par exemple, soit $𝒥$ la catégorie ayant quatre objets $𝑎$ , $𝑏$ , $𝑐$ et $𝑑$ et dont les morphismes sont les identités et les flèches dans le dessin
avec l’unique opération de composition possible. Alors un foncteur de $𝒥$ dans une catégorie $𝒞$ est exactement un carré commutatif dans $𝒞$ . En effet, chaque objet de $𝒥$ doit être envoyé sur un objet de $𝒞$ et chaque flèche du dessin doit être envoyé sur un morphisme. Les deux compositions d’une flèche horizontale et d’une flèche verticale doivent être envoyées sur l’image de la flèche diagonale, ce qui est exactement la condition de commutativité.
Soit $𝒞$ une catégorie. À tout objet $𝑋$ de $𝒞$ on peut associer un foncteur $Hom (𝑋, -) : 𝒞 \to Ens$ qui envoie tout objet $𝑌$ sur l’ensemble $Hom (𝑋, 𝑌)$ (on rappelle que, dans ce cours, on suppose que ces morphismes forment effectivement un ensemble). L’action de ce foncteur sur les morphismes envoie $𝑓 : 𝑌 \to 𝑍$ vers $𝑓 \circ - : Hom (𝑋, 𝑌) \to Hom (𝑋, 𝑍)$ . La fonctorialité de cette construction découle immédiatement des propriétés de la composition dans $𝒞$ . De même, à tout objet $𝑌$ de $𝒞$ , on peut associer le foncteur $Hom (-, 𝑌) : 𝒞^{op} \to Ens$ dont l’action sur un morphisme $𝑔 : 𝑈 \to 𝑉$ est $- \circ 𝑔$ (ce qui nécessite effectivement de renverser l’ordre de composition sur $𝒞$ ).
Pour fabriquer de nouveaux exemples, on peut composer des foncteurs $𝐹 : 𝒞 \to 𝒟$ et $𝐺 : 𝒟 \to ℰ$ pour obtenir un foncteur de $𝒞$ dans $ℰ$ . Cette composition est associative. Avec les foncteurs identité, cette structure rend tenant de parler de la catégorie des catégories, dont les objets sont les catégories et les morphismes sont les foncteurs. Mais cela s’approche dangereusement de problèmes de fondements logiques que nous voulons éviter de discuter. Nous éviterons donc cette terminologie de catégorie des catégories, mais rien n’empêche de garder cette idée en tête au niveau intuitif.

Le lemme suivant est très simple à démontrer, mais suffit à lui seul à expliquer une bonne partie de la puissance de la notion de foncteur en topologie algébrique par exemple.

Lemme 5.2.4

Soit

𝐹 : 𝒞 \to 𝒟

un foncteur. Pour tout isomorphisme

𝑓

dans

𝒞

𝐹 𝑓

est un isomorphisme.

Démonstration : Soit

𝑓 : 𝑋 \to 𝑋^{'}

un isomorphisme dans

𝒞

𝑔 : 𝑋^{'} \to 𝑋

son inverse. Le morphisme

𝐹 𝑔

est inverse de

𝐹 𝑓

, car

𝐹 𝑔 \circ 𝐹 𝑓 = 𝐹 (𝑔 \circ 𝑓) = 𝐹 1_{𝑋} = 1_{𝐹 𝑋}

𝐹 𝑓 \circ 𝐹 𝑔 = 𝐹 (𝑓 \circ 𝑔) = 𝐹 1_{𝑋^{'}} = 1_{𝐹 𝑋^{'}}

□

Parfois une opération n’a pas l’air fonctorielle. Par exemple, l’opération de dérivée des fonctions peut sembler ne pas être fonctorielle, car $𝐷 (𝑔 \circ 𝑓) \neq 𝐷 𝑔 \circ 𝐷 𝑓$ . Mais cela peut simplement signifier que nous n’avons pas identifié la notion de composition pertinente. La solution expliquée ci-dessous pour la dérivation peut sembler ad hoc mais cette impression provient du manque d’un cadre géométrique adapté qui sera fourni par la géométrie différentielle.

Notons $𝒪$ la catégorie dont les objets sont les ouverts dans un $ℝ$ -espace vectoriel normé et dont les morphismes sont les fonctions lisses. Notons $𝒱$ la catégorie dont les objets sont les produits $𝑈 \times 𝐸$ où $𝑈$ est un ouvert d’un $ℝ$ -espace vectoriel normé et $𝐸$ est un $ℝ$ -espace vectoriel normé. Les morphismes de $𝑈 \times 𝐸$ dans $𝑉 \times 𝐹$ sont les fonctions lisses $(𝑎, 𝐴)$ de $𝑈$ dans $𝑉 \times 𝐿 (𝐸, 𝐹)$ avec l’opération de composition

On peut définir un foncteur $𝑇 : 𝒪 \to 𝒱$ qui envoie tout ouvert $𝑈$ d’un espace $𝐸$ sur le produit $𝑈 \times 𝐸$ et toute fonction $𝑓$ sur $𝑥 \mapsto (𝑓 (𝑥), 𝐷 𝑓 (𝑥))$ . La seule chose qui demande vérification est la compatibilité de $𝑇$ avec la composition. Par définition de $𝑇$ et de la composition dans $𝒱$ , on a $𝑇 (𝑔 \circ 𝑓) = (𝑥 \mapsto (𝑔 (𝑓 (𝑥)), 𝐷 (𝑔 \circ 𝑓) (𝑥)))$ et $𝑇 𝑔 \circ 𝑇 𝑓 = (𝑥 \mapsto (𝑔 (𝑓 (𝑥)), 𝐷 𝑔 (𝑓 (𝑥)) \circ 𝐷 𝑓 (𝑥)))$ . Ainsi la fonctorialité de $𝑇$ est exactement la règle de dérivation des fonctions composées.

5.3. Transformations naturelles

Nous passons maintenant à la notion de transformations entre foncteurs annoncée dans le prologue.

Définition 5.3.1

Étant donnés deux foncteurs $𝐹, 𝐺 : 𝒞 \to 𝒟$ , une transformation naturelle $𝛼 : 𝐹 \Rightarrow 𝐺$ de $𝐹$ vers $𝐺$ associe à chaque objet $𝑋$ de $𝒞$ un morphisme $𝛼_{𝑋} : 𝐹 𝑋 \to 𝐺 𝑋$ en vérifiant la condition dite de naturalité : pour tout morphisme $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ dans $𝒞$ , le diagramme

commute. Pour chaque objet $𝑋$ , le morphisme $𝛼_{𝑋}$ est appelé composante de $𝛼$ en $𝑋$ .

Un dit que $𝛼$ est un isomorphisme naturel si toutes ses composantes sont des isomorphismes.

Pour chaque foncteur $𝐹$ , un exemple trivial mais important d’isomorphisme naturel est la transformation identité $𝟙_{𝐹} : 𝐹 \Rightarrow 𝐹$ qui à tout $𝑋$ associe ${(𝟙_{𝐹})}_{𝑋} ≔ 1_{𝐹 𝑋}$ .

Exercice 5.55

Soit $𝒞$ et $𝒟$ des catégories, $𝐹$ , $𝐺$ et $𝐻$ des foncteurs de $𝒞$ dans $𝒟$ . Soit $𝛼 : 𝐹 \Rightarrow 𝐺$ et $𝛽 : 𝐺 \Rightarrow 𝐻$ . À chaque objet $𝑋$ de $𝒞$ , on associe le morphisme $𝛽_{𝑋} \circ 𝛼_{𝑋} : 𝐹 𝑋 \to 𝐻 𝑋$ . Montrer que ces morphismes forment une transformation naturelle de $𝐹$ vers $𝐻$ .

Il s’agit de montrer la condition de naturalité par rapport aux morphismes dans $𝒞$ . Soit $𝑋$ et $𝑌$ des objets de $𝒞$ et $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ .

Le carré de gauche commute car $𝛼$ est une transformation naturelle, celui de droite car $𝛽$ est une transformation naturelle. Ainsi le grand rectangle commute comme désiré.

En premier lieu, la notion d’isomorphisme naturel permet d’exprimer l’idée que deux foncteurs contiennent la même information.

En topologie les foncteurs $Ouv, Fer : {Top}^{op} \Rightarrow Ens$ sont naturellement isomorphes : la composante en $𝑋$ de l’isomorphisme est la fonction $𝑐_{𝑋} : Ouv (𝑋) \to Fer (𝑋)$ de passage au complémentaire. La condition de naturalité est vérifiée, car l’image réciproque commute au complémentaire. Cet isomorphisme naturel donne un sens précis à l’idée que les ensembles des ouverts et des fermés donnent la même information sur les espaces topologiques, en un sens compatible avec les fonctions continues. Ici, il faut prendre garde qu’on ne peut pas voir $Ouv$ et $Fer$ comme foncteurs à valeur dans la catégorie $Ord$ des ensembles ordonnés, car le passage au complémentaire est une fonction décroissante.

Voyons un exemple trivial, mais illustrant le vocabulaire transformation naturelle.

Exercice 5.56

On veut exprimer (et démontrer) le fait que les deux seules façons naturelles de produire, pour tout ensemble $𝑋$ , une partie de $𝑋$ à partir de tout élément de $𝑋$ sont l’application envoyant tout élément sur l’ensemble vide et l’application singleton $𝑥 \mapsto {𝑥}$ .

Montrer que la famille de fonctions $𝑣_{𝑋} : 𝑋 \to 𝒫 (𝑋)$ qui associe à tout ensemble $𝑋$ la fonction $𝑣_{𝑋} : 𝑥 \mapsto \emptyset$ est une transformation naturelle de ${Id}_{Ens}$ vers $𝒫$ (ici, on n’utilise pas la relation d’inclusion, on voit $𝒫$ comme un foncteur de $Ens$ vers $Ens$ ).
Chaque $𝑠_{𝑋}$ est bien un morphisme de ${Id}_{Ens (𝑋)}$ vers $𝒫 (𝑋)$ , car les morphismes dans $Ens$ sont simplement les fonctions. Vérifions la condition de naturalité. Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction. On veut la commutativité du diagramme
Soit $𝑥 \in 𝑋$ . Les deux composées appliquées à $𝑥$ donnent $\emptyset$ et $𝑓_{*} \emptyset$ qui sont bien égaux.
Montrer que la famille de fonctions $𝑠_{𝑋} : 𝑋 \to 𝒫 (𝑋)$ qui associe à tout ensemble $𝑋$ la fonction $𝑠_{𝑋} : 𝑥 \mapsto {𝑥}$ est une transformation naturelle de ${Id}_{Ens}$ vers $𝒫$ .
Chaque $𝑠_{𝑋}$ est bien un morphisme de ${Id}_{Ens (𝑋)}$ vers $𝒫 (𝑋)$ , car les morphismes dans $Ens$ sont simplement les fonctions. Vérifions la condition de naturalité. Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction. On veut la commutativité du diagramme
Soit $𝑥 \in 𝑋$ . Les deux composées appliquées à $𝑥$ donnent ${𝑓 (𝑥)}$ et $𝑓_{*} {𝑥}$ qui sont bien égaux.
Montrer qu’il s’agit des deux seules transformations naturelles entre ces foncteurs (on pourra appliquer la condition de naturalité aux fonctions d’inclusion de singletons dans des ensembles).
Soit $𝛼 : {Id}_{Ens} \Rightarrow 𝒫$ une transformation naturelle. Montrons que $𝛼 = 𝑣$ ou $𝛼 = 𝑠$ . Soit $𝑋$ un ensemble et $𝑥 \in 𝑋$ . La naturalité de $𝛼_{𝑋}$ appliquée à l’inclusion $𝜄$ de ${𝑥}$ dans $𝑋$ donne la commutativité de
qu’on peut appliquer à $𝑥$ pour obtenir $𝛼_{𝑋} (𝑥) = 𝜄_{*} (𝛼_{{𝑥}} (𝑥))$ .
On distingue deux cas. Si $\forall 𝑥, 𝛼_{{𝑥}} (𝑥) = \emptyset$ (la quantification porte sur tous les éléments de tous les ensembles) alors la formule ci-dessus montre que $𝛼 = 𝑣$ . Supposons maintenant $\exists 𝑥, 𝛼_{{𝑥}} (𝑥) \neq \emptyset$ et fixons un tel $𝑥_{0}$ . Comme $𝒫 ({𝑥_{0}}) = {\emptyset, {𝑥_{0}}}$ , on a $𝛼_{{𝑥_{0}}} (𝑥_{0}) = {𝑥_{0}}$ . On retourne maintenant au $𝑋$ que nous avons fixé et son élément $𝑥$ . La naturalité de $𝛼$ appliquée à l’unique fonction $𝑓$ de ${𝑥_{0}}$ dans ${𝑥}$ montre que $𝛼_{{𝑥}} (𝑥) = 𝑓_{*} {𝑥_{0}} = {𝑥}$ . Ainsi $𝛼 = 𝑠$ .

Voyons un exemple plus intéressant issu de la topologie. On a discuté dans la section précédente le foncteur $𝜋_{0} : Top \to Ens$ . Pour chaque espace $𝑋$ , on dispose également d’une fonction $𝑝_{𝑋} : 𝑋 \to 𝜋_{0} (𝑋)$ qui envoie chaque point sur sa composante connexe, et on veut dire que cette fonction dépend naturellement de $𝑋$ . Pour que cela rentre dans le cadre, il faut la voir comme allant de $𝑈 (𝑋)$ dans $𝜋_{0} (𝑋)$ où $𝑈 : Top \to Ens$ est le foncteur d’oubli de la topologie. Les $𝑝_{𝑋}$ sont alors les composantes d’une transformation naturelle $𝑝 : 𝑈 \Rightarrow 𝜋_{0}$ . La condition de naturalité affirme que, pour toute fonction continue $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ , le diagramme suivant commute :
où $𝑈 (𝑓)$ est simplement la fonction $𝑓$ dont on a oublié la continuité. Bien sûr, en temps normal, on écrit ce diagramme en utilisant un symbole invisible plutôt que $𝑈$ .
Voyons un exemple plus intéressant issu de l’algèbre. Nous avons discuté dans la section précédente le foncteur unités ${(\cdot)}^{\times}$ de $Ann$ vers $Grp$ qui envoie tout anneau sur le groupe de ses éléments inversibles et tout morphisme d’anneau sur sa restriction aux inversibles. Nous pouvons le restreindre à la sous-catégorie $AnnComm$ des anneaux commutatifs. Nous avons aussi, pour tout entier $𝑛 > 0$ , le foncteur ${GL}_{𝑛} : AnnComm \to Grp$ introduit dans l’exercice 5.54. On a la transformation naturelle $det : {GL}_{𝑛} \Rightarrow {(\cdot)}^{\times}$ dont la composante en tout anneau commutatif $𝐴$ est le déterminant ${det}_{𝐴} : {GL}_{𝑛} (𝐴) \to 𝐴^{\times}$ . Cette transformation naturelle donne un sens précis à l’idée que le déterminant est défini de la même façon pour tous les anneaux : sa définition est compatible avec les morphismes d’anneaux. On peut remarquer que notre choix de ne parler que de matrices inversibles vise simplement à ne pas introduire d’ambigüité sur les opérations concernées (car le déterminant est compatible avec la multiplication mais pas avec l’addition). Nous aurions pu introduire les foncteurs $ℳ_{𝑛}$ et $det$ des annaux commutatifs vers les monoïdes multiplicatifs.

L’exercice suivant introduit un autre exemple issu de l’algèbre linéaire et promis dans le prologue.

Exercice 5.57

Soit $𝐾$ un corps. On lit parfois que, en l’absence de structure supplémentaire sur un $𝐾$ -espace vectoriel $𝑉$ , il n’y a pas de moyen d’envoyer $𝑉$ dans son dual, mais qu’on peut l’envoyer naturellement dans son bidual $𝑉^{* *}$ . Le but de cet exercice est de montrer que cette discussion entre bien dans le cadre des transformations naturelles. On note ${Ev}_{𝐾}$ la catégories des $𝐾$ -espaces vectoriels (les morphismes étant les fonctions $𝐾$ -linéaires).

Montrer qu’on obtient bien un foncteur ${(\cdot)}^{*} : {Ev}_{𝐾} \to {Ev}_{𝐾}^{op}$ en envoyant tout $𝐾$ -ev $𝑉$ sur $𝐿 (𝑉, 𝐾)$ et toute application $𝐾$ -linéaire $𝜑 : 𝑉 \to 𝑊$ sur sa transposée $𝜑^{*} : 𝑊^{*} \to 𝑉^{*}$ définie par $𝜆 \mapsto 𝜆 \circ 𝜑$ .
Pour chaque $𝜑$ , la formule proposée définie bien une application linéaire de $𝑊^{*}$ dans $𝑉^{*}$ . Il faut vérifier que $𝜑 \mapsto 𝜑^{*}$ est compatible avec les identités et avec la composition. Le seul point un peu délicat est que ${(𝜑 \circ 𝜓)}^{*} (𝜆) = 𝜆 \circ (𝜑 \circ 𝜓) = (𝜆 \circ 𝜑) \circ 𝜓 = (𝜓^{*} \circ 𝜑^{*}) (𝜆)$ , c’est pour cela qu’on utilise ${Ev}_{𝐾}^{op}$ comme catégorie but.
On note ${(\cdot)}^{* *} : {Ev}_{𝐾} \to {Ev}_{𝐾}$ le foncteur obtenu en composant ${(\cdot)}^{*}$ avec lui-même (en utilisant que, pour toute catégorie $𝒞$ , ${(𝒞^{op})}^{op} = 𝒞$ ). À chaque espace vectoriel $𝑉$ , on associe l’application linéaire ${ev}_{𝑉} : 𝑉 \to 𝑉^{* *}$ qui envoie $𝑥$ sur $𝜆 \mapsto 𝜆 (𝑥)$ . Montrer que ces applications sont les composantes d’une transformation naturelle $ev : {Id}_{{Ev}_{𝐾}} \Rightarrow {(\cdot)}^{* *}$ .
Montrons la naturalité. Soit $𝜑 : 𝑉 \to 𝑊$ une application $𝐾$ -linéaire. Montrons que $𝜑^{* *} \circ {ev}_{𝑉} = {ev}_{𝑊} \circ 𝜑$ dans $𝐿 (𝑉, 𝑊^{* *})$ . Pour tester une égalité dans $𝐿 (𝑉, 𝑊^{* *})$ il suffit d’évaluer sur tout $𝑣 \in 𝑉$ puis sur tout $𝜇 \in 𝑊^{*}$ . On calcule

Les exemples précédents exprimaient que certaines relations sont naturelles. L’exercice 5.59 à la fin de cet section discute un exemple de relation importante dont on peut démontrer qu’elle n’est pas naturelle.

Voyons maintenant des exemples de transformations naturelles qui ne sont pas entre catégories concrètes.

Soit $𝐺$ un groupe et $𝐴$ et $𝐵$ des foncteurs de $𝐺$ vu comme catégorie dans $Ens$ . On rappelle que $𝐴$ et $𝐵$ sont des ensembles $𝐴 ⋆$ et $𝐵 ⋆$ munis d’actions de $𝐺$ . Une transformation naturelle $𝛼$ de $𝐴$ vers $𝐵$ est une fonction $𝛼_{⋆} : 𝐴 ⋆ \to 𝐴 ⋆$ vérifiant la condition de naturalité : pour tout $𝑔$ dans $𝐺$ , le diagramme
commute. Autrement dit, $𝛼_{⋆}$ est une fonction $𝐺$ -équivariante.
Soit $𝑋$ et $𝑌$ des ensembles ordonnés, vus comme catégories. Nous avons vu que les foncteurs entre $𝑋$ et $𝑌$ sont exactement les fonctions croissantes de $𝑋$ dans $𝑌$ . Une transformation naturelle entre deux telles fonctions $𝑓$ et $𝑔$ associe une inégalité entre $𝑓 (𝑥)$ et $𝑔 (𝑥)$ pour tout objet $𝑥$ de $𝑋$ . Ainsi, il existe une telle transformation si et seulement si $𝑓 \leq 𝑔$ . La condition de naturalité n’ajoute rien de plus à cette information.
Notons $𝒥$ la catégorie permettant de définir les carrés commutatifs comme expliqué dans la section précédente. Une transformation naturelle entre deux carrés commutatifs $𝐹, 𝐺 : 𝒥 \to 𝒞$ associe à chaque sommet $𝑠$ du carré un morphisme entre $𝐹 𝑠$ et $𝐺 𝑠$ dans $𝒞$ . Ainsi, on obtient un morphisme par arête d’un cube, avec $𝐹$ et $𝐺$ apparaissant sur deux faces opposées.
La condition de naturalité stipule que les quatre autres faces sont également commutatives.

Exercice 5.58

Soit $𝑋$ un espace topologique. On note $Ouv (𝑋)$ l’ensemble des ouverts de $𝑋$ muni de la relation d’inclusion. On voit $Ouv (𝑋)$ comme catégorie, de la façon habituelle pour les ensembles ordonnés. Soit $𝒞$ une catégorie. Par définition, un pré-faisceau sur $𝑋$ à valeurs dans $𝒞$ est un foncteur de ${Ouv (𝑋)}^{op}$ dans $𝒞$ . Un morphisme de pré-faisceaux entre $𝐹$ et $𝐺$ est, par définition, une transformation naturelle de $𝐹$ vers $𝐺$ . Dans la suite de l’exercice, on supposera que $𝒞$ est la catégorie des $ℝ$ -espaces vectoriels et on écrira simplement pré-faisceau sans préciser $𝒞$ .

Soit $𝐹$ un pré-faisceau sur $𝑋$ . Par définition, $𝐹$ associe à chaque ouvert $𝑈$ de $𝑋$ un $ℝ$ -espace vectoriel $𝐹 𝑈$ et à chaque inclusion $𝑈 \subseteq 𝑉$ une application linéaire $𝐹_{𝑈, 𝑉} : 𝐹 𝑉 \to 𝐹 𝑈$ . Écrire concrètement ce que signifie la fonctorialité de $𝐹$ (c’est-à-dire sa compatibilité aux morphismes identité et aux compositions).
Soit $𝑈$ un ouvert de $𝑋$ . Comme $𝐹 1_{𝑈} = 1_{𝐹 𝑈}$ , on a $𝐹_{𝑈, 𝑈} = Id$ . Soit $𝑈$ , $𝑉$ et $𝑊$ des ouverts avec $𝑈 \subseteq 𝑉 \subseteq 𝑊$ . La fonctorialité associée à la composition de ces inégalités est $𝐹_{𝑈, 𝑊} = 𝐹_{𝑈, 𝑉} \circ 𝐹_{𝑉, 𝑊}$ .
Soit $𝐹$ et $𝐺$ deux pré-faisceaux sur $𝑋$ . Soit $𝛼$ un morphisme de $𝐹$ vers $𝐺$ . Par définition, $𝛼$ associe à chaque ouvert $𝑈$ de $𝑋$ une application linéaire de $𝐹 𝑈$ dans $𝐺 𝑈$ . Écrire concrètement ce que signifie la naturalité de $𝛼$ (c’est-à-dire sa compatibilité avec les morphismes dans $Ouv (𝑋)$ ).
Soit $𝑈$ et $𝑉$ des ouverts de $𝑋$ avec $𝑈 \subseteq 𝑉$ . La compatibilité de $𝛼$ avec ces inclusions est l’égalité $𝛼_{𝑈} \circ 𝐹_{𝑈, 𝑉} = 𝐺_{𝑈, 𝑉} \circ 𝛼_{𝑉}$ .
À chaque ouvert $𝑈$ de $𝑋$ , on associe l’espace vectoriel $𝐶 (𝑈)$ des fonctions continues de $𝑈$ dans $ℝ$ . À toute inclusion $𝑈 \subseteq 𝑉$ , on associe la fonction de restriction à $𝑈$ . Montrer que $𝐶$ est un pré-faisceau sur $𝑋$ .
D’après la première question, il s’agit d’observer que la restriction d’une fonction continue sur $𝑈$ à $𝑈$ lui-même est la même fonction et que, pour tous ouverts $𝑈 \subseteq 𝑉 \subseteq 𝑊$ , restreindre une fonction de $𝑊$ à $𝑉$ puis à $𝑈$ est la même chose que restreindre cette fonction à $𝑈$ directement.
Soit $𝑥$ un point de $𝑋$ et $𝐸$ un $ℝ$ -espace vectoriel. Le faisceau gratte-ciel en $𝑥$ de fibre $𝐸$ est le faisceau $𝐸_{𝑥}$ qui à $𝑈$ associe $𝐸$ si $𝑥$ est dans $𝑈$ et l’espace vectoriel trivial sinon. À toute inclusion $𝑈 \subseteq 𝑉$ il associe l’identité de $𝐸$ si $𝑥$ est dans $𝑈$ et l’application linéaire nulle sinon. Montrer qu’il s’agit bien d’un pré-faisceau sur $𝑋$ . Montrer que l’évaluation en $𝑥$ fournit un morphisme de $𝐶$ vers $ℝ_{𝑥}$ .
Montrons que $𝐸_{𝑥}$ est un faisceau. Soit $𝑈$ un ouvert. On doit montrer que ${(𝐸_{𝑥})}_{𝑈, 𝑈} = {Id}_{𝐸_{𝑥} (𝑈)}$ . C’est vrai par définition si $𝑥$ est dans $𝑈$ . Sinon c’est également vrai car l’application linéaire nulle coïncide avec l’identité pour les espaces vectoriels nuls. Soit $𝑈 \subseteq 𝑉 \subseteq 𝑊$ des ouverts. On veut montrer que $𝐹_{𝑈, 𝑊} = 𝐹_{𝑈, 𝑉} \circ 𝐹_{𝑉, 𝑊}$ . Si $𝑥$ est dans $𝑈$ alors il est dans les trois ouverts et les trois applications linéaires intervenant sont l’identité de $𝐸$ , donc c’est bon. Sinon l’égalité à démontrer est une égalité entre deux applications linéaires arrivant dans un espace vectoriel nul. Donc ces applications sont nulles et donc égales.
Montrons maintenant que l’évaluation en $𝑥$ est un morphisme de $𝐶$ dans $ℝ_{𝑥}$ . Soit $𝑈 \subseteq 𝑉$ des ouverts. On doit montrer que $𝑒 𝑣_{𝑈} \circ 𝐶_{𝑈, 𝑉} = {(ℝ_{𝑥})}_{𝑈, 𝑉} \circ 𝑒 𝑣_{𝑉}$ . Si $𝑥$ est dans $𝑈$ alors il est également dans $𝑉$ et ${(ℝ_{𝑥})}_{𝑈, 𝑉} = {Id}_{ℝ}$ , et l’égalité à montrer affirme que l’évaluation en $𝑥$ d’une fonction continue sur $𝑉$ coïncide avec celle de sa restriction à $𝑈$ , ce qui est vrai. Si $𝑥$ n’est pas dans $𝑈$ , on obtient de nouveau une égalité entre applications linéaires dont l’espace d’arrivée est nul.

Exercice 5.59

Soit $𝐴$ un groupe abélien. Le sous-groupe de torsion de $𝐴$ est

La partie libre de $𝐴$ est le groupe $𝐹 𝐴 ≔ 𝐴 / 𝑇 𝐴$ . Si $𝐴$ est de type fini, on peut montrer que $𝐴$ est isomorphe à $𝐹 𝐴 \oplus 𝑇 𝐴$ . Le but de cet exercice est de montrer qu’un tel isomorphisme ne saurait être naturel.

Étendre $𝑇$ en foncteur des groupes abéliens vers les groupes abéliens. Plus précisément, pour chaque morphisme de groupes abéliens $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ , montrer qu’il existe un unique morphisme $𝑇 𝑓 : 𝑇 𝐴 \to 𝑇 𝐵$ qui fasse commuter
où les applications verticales sont les inclusions.
Il s’agit de montrer que tout morphisme de $𝐴$ dans $𝐵$ envoie $𝑇 𝐴$ dans $𝑇 𝐵$ . Soit $𝑥$ dans $𝑇 𝐴$ . Par définition on obtient $𝑛$ non nul tel que $𝑛 𝑥 = 0$ . On a $𝑛 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑛 𝑥) = 0$ donc $𝑓 (𝑥)$ est bien dans $𝑇 𝐵$ .
Étendre $𝐹$ en foncteur des groupes abéliens vers les groupes abéliens. Plus précisément, pour chaque morphisme de groupe abéliens $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ , montrer qu’il existe un unique morphisme $𝐹 𝑓 : 𝐹 𝐴 \to 𝐹 𝐵$ qui fasse commuter
où les applications verticales sont les projections sur les quotients. Montrer que les $𝜋_{𝐴}$ forment une transformation naturelle $𝜋 : {Id}_{Ab} \Rightarrow 𝐹$ .
Pour montrer que $𝑓$ descend en morphisme de $𝐹 𝐴$ dans $𝐹 𝐵$ , il suffit de montrer qu’il envoie $𝑇 𝐴$ dans $𝑇 𝐵$ . C’est assuré par la question précédente.
Montrons qu’on obtient bien une transformation naturelle. Soit $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ un morphisme de groupe. On doit vérifier la commutativité de :
C’est exactement le fait que $𝐹 𝑓$ est obtenu en descendant $𝑓$ , même si le diagramme est dessiné de façon inhabituelle.
On note $𝐹 \oplus 𝑇$ le foncteur qui envoie $𝐴$ sur $𝐹 𝐴 \oplus 𝑇 𝐴$ et $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ vers $𝐹 𝑓 \times 𝑇 𝑓$ . Pour chaque $𝐴$ , on note $𝜄_{𝐴}$ l’inclusion de $𝐹 𝐴$ dans $𝐹 𝐴 \oplus 𝑇 𝐴$ . Montrer que ce sont les composantes d’une transformation naturelle $𝜄 : 𝐹 \Rightarrow 𝐹 \oplus 𝑇$ .
Soit $𝐴$ et $𝐵$ des groupes abéliens et $𝑓$ un morphisme de $𝐴$ dans $𝐵$ . On doit montrer la commutativité de :
qui est évidente.

On restreint $𝐹 \oplus 𝑇$ en foncteur de la catégorie ${Ab}_{𝑓}$ des groupes abéliens de type fini dans elle-même. Le cours d’algèbre assure que, pour tout $𝐴$ abélien de type fini, $𝐴$ est isomorphe à $𝐹 𝐴 \oplus 𝑇 𝐴$ . Le but est de montrer que ces isomorphismes ne sont pas naturels : il n’existe pas d’isomorphisme naturel de ${Id}_{{Ab}_{𝑓}}$ vers $𝐹 \oplus 𝑇$ . Supposons qu’il existe un tel isomorphisme $𝛼$ . La notion de composition de transformations naturelles de l’exercice 5.55 permet de construire $𝛼^{- 1} \circ 𝜄 \circ 𝜋 : {Id}_{{Ab}_{𝑓}} \Rightarrow {Id}_{{Ab}_{𝑓}}$ .

Soit $𝛽 : {Id}_{{Ab}_{𝑓}} \Rightarrow {Id}_{{Ab}_{𝑓}}$ . Montrer que, pour tout $𝐴$ , $𝛽_{𝐴} = (𝑥 \mapsto 𝛽_{ℤ} (1) 𝑥)$ .
Soit $𝐴$ un groupe abélien et $𝑥$ un de ses éléments. Soit $𝑓 : ℤ \to 𝐴$ l’unique morphisme de groupe qui envoie $1$ sur $𝑥$ (l’existence et l’unicité de ce morphisme peut être exprimée en disant que $ℤ$ est un groupe abélien libre engendré par $1$ ). La naturalité de $𝛽$ assure que le diagramme suivant commute.
On obtient ainsi $𝑓 (𝛽_{ℤ} (1)) = 𝛽_{𝐴} (𝑓 (1))$ , c’est-à-dire $𝛽_{ℤ} (1) 𝑓 (1) = 𝛽_{𝐴} (𝑥)$ ou encore $𝛽_{ℤ} (1) 𝑥 = 𝛽_{𝐴} (𝑥)$ , comme annoncé.
On note $𝛽 = 𝛼^{- 1} \circ 𝜄 \circ 𝜋$ . Montrer que $𝛽_{ℤ} (1) \in {- 1, 1}$ , puis montrer que $𝛽_{ℤ / 2 ℤ} = 0$ et conclure.
Comme $𝑇 ℤ = 0$ , $𝜋_{ℤ}$ et $𝜄_{ℤ}$ sont des isomorphismes. Comme $𝛼_{ℤ}$ est également un isomorphisme par hypothèse, on obtient que $𝛽_{ℤ}$ est un automorphisme de $ℤ$ . Il doit donc envoyer le générateur $1$ sur un générateur, c’est-à-dire $1$ ou $- 1$ .
Par ailleurs $𝑇 (ℤ / 2 ℤ) = ℤ / 2 ℤ$ donc $𝐹 (ℤ / 2 ℤ) = 0$ et $𝜋$ est le morphisme nul, donc $𝛽_{ℤ / 2 ℤ}$ aussi. Or la question précédente assure que $𝛽_{ℤ / 2 ℤ} = (𝑥 \mapsto 𝛽_{ℤ} (1) 𝑥)$ donc on a une contradiction et $𝛼$ n’existe pas.

Isomorphismes naturels et propriétés universelles

La notion d’isomorphisme naturel permet une autre approche de la notion de propriété universelle d’un objet mathématique. Nous ne détaillerons pas cette approche, mais allons la voir en action sur deux exemples.

Soit $𝑋$ un espace topologique et $\sim$ une relation d’équivalence sur $𝑋$ . On considère le foncteur $𝐹 : Top \to Ens$ défini par

pour tout espace topologique $𝑌$ ,
pour toute fonction continue $𝜑 : 𝑌 \to 𝑍$ , $𝐹 𝜑 = 𝜑 \circ -$ qui envoie bien $𝐹 𝑌$ dans $𝐹 𝑍$ , car une composée de fonctions continues est continue et la composée d’une fonction avec une fonction compatible avec $\sim$ est compatible avec $\sim$ .

Ces données définissent bien un foncteur, car $𝐹$ préserve les identités et la composition (en utilisant l’associativité de la composition). Soit $(𝑄, 𝜋)$ un quotient de $𝑋$ par $𝜋$ , c’est-à-dire un espace topologique $𝑄$ muni d’une application continue $𝜋 : 𝑋 \to 𝑄$ compatible avec $\sim$ et vérifiant que toute autre telle application se factorise par $𝜋$ , comme dans le corollaire 4.3.7.

À tout espace topologique $𝑌$ , on associe $𝛼_{𝑌} : Hom (𝑄, 𝑌) \to 𝐹 (𝑌)$ qui envoie toute fonction continue $𝜑 : 𝑄 \to 𝑌$ sur $𝜑 \circ 𝜋$ qui est bien continue et compatible avec $\sim$ , car $𝜋$ l’est.

Proposition 5.3.2

Les fonctions

𝛼_{𝑌}

introduites ci-dessus forment les composantes d’un isomorphisme naturel de

Hom (𝑄, -)

vers

𝐹

. Réciproquement, pour tout espace topologique

𝑄

muni d’un isomorphisme naturel

𝛼 : Hom (𝑄, -) \Rightarrow 𝐹

, il existe une unique fonction continue

𝜋 : 𝑋 \to 𝑄

telle que

(𝑄, 𝜋)

soit un quotient de

𝑋

par

\sim

pour lequel la construction ci-dessus redonne

𝛼

Démonstration : Montrons que ces fonctions

𝛼_{𝑌}

forment un isomorphisme naturel. La propriété universelle de

(𝑄, 𝜋)

affirme exactement que chaque

𝛼_{𝑌}

est une bijection. Il reste à vérifier la naturalité. Soit

𝜑 : 𝑌 \to 𝑍

une fonction continue. Le diagramme

commute par associativité de la composition : pour tout

𝜓 : 𝑄 \to 𝑌

𝜑 \circ (𝜓 \circ 𝜋) = (𝜑 \circ 𝜓) \circ 𝜋

. On remarque au passage que

𝛼

se souvient de

𝜋

, car

𝜋 = 𝛼_{𝑄} (1_{𝑄})

(où

1_{𝑄}

est la fonction

{Id}_{𝑄}

). Réciproquement, supposons qu’on dispose d’un espace topologique

𝑄

et d’un isomorphisme naturel

𝛼

Hom (𝑄, -)

vers

𝐹

. Montrons qu’il existe une unique fonction continue

𝜋 : 𝑋 \to 𝑄

compatible avec

\sim

et faisant de

(𝑄, 𝜋)

un quotient de

𝑋

par

\sim

et redonnant

𝛼

par la construction précédente. Vu le calcul précédent, il y a unicité : la seule possibilité pour

𝜋

est

𝛼_{𝑄} (1_{𝑄})

. Montrons que

(𝑄, 𝜋)

vérifie la propriété universelle attendue. Soit

𝑍

un espace topologique et

𝑓 : 𝑋 \to 𝑍

une fonction continue compatible avec

\sim

. La naturalité de

𝛼

appliquée à

𝑌 = 𝑄

𝑍

donne, pour toute fonction continue

𝜑 : 𝑄 \to 𝑌

, la commutativité de

En appliquant cette commutativité à

1_{𝑄}

, on obtient

𝜑 \circ 𝜋 = 𝛼_{𝑍} (𝜑)

. Comme

𝛼_{𝑍}

est bijective, l’équation

𝜑 \circ 𝜋 = 𝑓

admet exactement une solution, à savoir

𝛼_{𝑍}^{- 1} (𝑓)

□

La discussion précédente suggère un nouveau point de vue sur les propriétés universelles en termes d’isomorphismes naturels entre un foncteur $𝐹 : 𝒞 \to Ens$ (ou $𝐹 : 𝒞^{op} \to Ens$ ) et un foncteur de la forme $Hom (𝑋, -)$ (ou $Hom (-, 𝑌)$ ). On dit alors que $𝐹$ est un foncteur représentable. L’étude générale de cette notion déborde du cadre de ce cours, mais l’exercice suivant détaille un autre exemple.

Exercice 5.60

Soit $𝒞$ une catégorie, $𝐼$ un ensemble et $𝑋$ une famille d’objets de $𝒞$ indexée par $𝐼$ .

Soit $(𝑃, 𝑝)$ un produit de $𝑋$ dans $𝒞$ . Par définition des produits, on obtient, pour chaque objet $𝑍$ de $𝒞$ , une bijection
de $Hom (𝑍, 𝑃)$ vers $\prod_{𝑖} Hom (𝑍, 𝑋_{𝑖})$ . Montrer que les $Θ_{𝑍}$ sont les composantes d’un isomorphisme naturel entre $Hom (-, 𝑃)$ et $\prod_{𝑖} Hom (-, 𝑋_{𝑖})$ de $𝒞^{op}$ dans $Ens$ (la définition du foncteur $\prod_{𝑖} Hom (-, 𝑋_{𝑖})$ est analogue à celle de $Hom (-, 𝑃)$ déjà discutée, en travaillant composante par composante du produit). Calculer $Θ_{𝑃} (1_{𝑃})$ .
On sait que les $Θ_{𝑍}$ sont bijectives donc il s’agit seulement de vérifier la condition de naturalité : pour tout morphisme $𝑔 : 𝑍 \to 𝑌$ dans $𝒞$ (vu comme morphisme de $𝑌$ dans $𝑍$ dans $𝒞^{op})$ , le diagramme suivant commute :
Cette commutation est immédiate par définition de $Θ$ et associativité de la composition dans $𝒞$ . Par définition $Θ_{𝑃} (1_{𝑃}) = (𝑖 \mapsto 𝑝_{𝑖} \circ 1_{𝑃})$ donc $Θ_{𝑃} (1_{𝑃}) = 𝑝$ (ce calcul trivial est une indication pour la question suivante).
Réciproquement, on suppose donné un objet $𝑃$ de $𝒞$ et un isomorphisme naturel $Θ$ entre $Hom (-, 𝑃)$ et $\prod_{𝑖} Hom (-, 𝑋_{𝑖})$ . Montrer qu’il existe une unique famille de morphismes $𝑝 \in \prod_{𝑖} Hom (𝑃, 𝑋_{𝑖})$ telle que $(𝑃, 𝑝)$ est un produit de $𝑋$ pour lequel $Θ$ est bien l’isomorphisme naturel de la première question.
La seconde partie de la première question assure déjà l’unicité : on a nécessairement $𝑝 = Θ_{𝑃} (1_{𝑃})$ . Montrons maintenant l’existence, à savoir que $𝑝 ≔ Θ_{𝑃} (1_{𝑃})$ convient toujours. Soit $𝑍$ un objet de $𝒞$ et $𝜑 \in \prod_{𝑖} Hom (𝑍, 𝑋_{𝑖})$ . Montrons qu’il existe un unique morphisme $Φ : 𝑍 \to 𝑃$ tel que, pour tout $𝑖$ , $𝑝_{𝑖} \circ Φ = 𝜑_{𝑖}$ . La naturalité de $Θ$ (exprimée par le diagramme dans la correction de la première question) appliquée à $𝑌 = 𝑃$ et $𝑔 = Φ$ puis évaluée en $1_{𝑃}$ assure que, pour toute application $Φ : 𝑍 \to 𝑃$ , on a $(𝑖 \mapsto 𝑝_{𝑖} \circ Φ) = Θ_{𝑍} (1_{𝑃} \circ Φ)$ . Ainsi la condition $(𝑖 \mapsto 𝑝_{𝑖} \circ Φ) = 𝜑$ est équivalente à $𝜑 = Θ_{𝑍} (Φ)$ . Comme $Θ_{𝑍}$ est bijective, il existe une unique solution $Φ$ , comme voulu.

La section suivante fournira de nombreux autres exemples de transformations naturelles.

5.4. Adjonctions

Définition 5.4.1

Une adjonction entre deux catégories $𝒞$ et $𝒟$ est la donnée d’une paire de foncteurs $𝐿 : 𝒞 \to 𝒟$ et $𝑅 : 𝒟 \to 𝒞$ et d’une famille $𝜑$ de bijections

pour chaque objet $𝑋$ de $𝒞$ et chaque objet $𝑌$ de $𝒟$ , qui sont compatible avec la composition :

Pour tout morphisme $𝑓 : 𝑋 \to 𝑋^{'}$ dans $𝒞$ ,
commute.
Pour tout morphisme $𝑔 : 𝑌 \to 𝑌^{'}$ dans $𝒟$ ,
commute.

Les bijections $𝜑_{𝑋, 𝑌}$ et leurs inverses $𝜑_{𝑋, 𝑌}^{- 1}$ sont appelées les transpositions de l’adjonction. Les conditions de commutativité sont appelées condition de compatibilité ou de naturalité.

On utilise couramment la synecdoque « une adjonction $(𝐿, 𝑅)$  » plutôt que la version plus correcte « une adjonction $(𝐿, 𝑅, 𝜑)$  ». Comme dans le cas particulier des foncteurs entre ensembles ordonnés, on utilise également la notation $𝐿 ⊣ 𝑅$ , qui cache aussi la donnée de $𝜑$ . Le fait de donner un nom $𝜑$ aux bijections est utile pour discuter la définition et ses propriétés fondamentales, mais en pratique ces bijections ne sont pas nommées. Et le fait de nommer les applications depuis $Hom (𝐿 𝑋, 𝑌)$ vers $Hom (𝑋, 𝑅 𝑌)$ plutôt que dans l’autre sens est complètement arbitraire.

Remarque 5.4.2

Dans la définition d’une adjonction, on peut recoller les deux diagrammes le long de leur ligne commune pour obtenir une unique condition quantifiée sur les

(𝑋, 𝑋^{'}, 𝑌, 𝑌^{'}, 𝑓, 𝑔)

et obtenir une définition équivalente, mais cela ne clarifie pas vraiment la discussion.

Remarque 5.4.3

Dans la définition d’une adjonction, les diagrammes commutatifs sont des conditions de naturalité. On peut reformuler la définition en associant à

𝐿

𝑅

et à tout objet

𝑌

𝒟

, des foncteurs

𝐹_{𝑌}

𝐺_{𝑌}

𝒞^{op}

dans

Ens

dont les actions sur les objets sont

𝑋 \mapsto Hom (𝐿 𝑋, 𝑌)

𝑋 \mapsto Hom (𝑋, 𝑅 𝑌)

respectivement. La condition de compatibilité aux morphismes de

𝒞

devient alors la condition que, à

𝑌

fixé, les

𝜑_{𝑋, 𝑌}

sont les composantes d’un isomorphisme naturel de

𝐹_{𝑌}

vers

𝐺_{𝑌}

. De même en fixant

𝑋

on obtient deux foncteurs de

𝒟

dans

Ens

et la condition de compatibilité aux morphismes dans

𝒟

affirme que les

𝜑_{𝑋, 𝑌}

sont les composantes d’un isomorphisme naturel entre ces foncteurs.

La première famille d’exemples d’adjonctions est fournie par le premier chapitre : une adjonction $𝑙 ⊣ 𝑟$ entre ensembles ordonnés $𝑋$ et $𝑌$ est bien une adjonction entre les catégories correspondantes. En effet, pour tous $𝑥$ et $𝑦$ , la condition $𝑙 (𝑥) \leq 𝑦 \Leftrightarrow 𝑥 \leq 𝑟 (𝑦)$ correspond bien à une bijection de $Hom (𝑙 (𝑥), 𝑦)$ vers $Hom (𝑥, 𝑟 (𝑦))$ , car ces ensembles de morphismes ont exactement un élément si les inégalités sont vraies et zéro sinon. Dans ce cas l’existence de la bijection apporte autant d’information que la donnée de la bijection, car les ensembles concernés sont de cardinal au plus un.

Nous avons vu les foncteurs $𝐷$ et $𝐺$ des ensembles vers les espaces topologiques qui munissent tout ensemble de la topologie discrète pour $𝐷$ ou grossière pour $𝐺$ . Nous avons également le foncteur d’oubli $𝑈 : Top \to Ens$ qui oublie la topologie pour ne retenir que l’ensemble. On a $𝐷 ⊣ 𝑈 ⊣ 𝐺$ . Les transpositions sont données dans les deux cas par l’identité. En effet, pour tout ensemble $𝐸$ et tout espace topologique $𝑌$ , $Hom (𝐷 𝐸, 𝑌) = Hom (𝐸, 𝑈 𝑌)$ , car toute fonction partant d’un espace discret est continue. De même pour tout espace topologique $𝑋$ et tout ensemble $𝐹$ , $Hom (𝑈 𝑋, 𝐹) = Hom (𝑋, 𝐺 𝐹)$ , car toute fonction arrivant dans un espace grossier est continue.

Liberté et oubli

Une famille très importante est formée par les adjonctions entre liberté et oubli. Nous avons vu, pour chaque anneau commutatif $𝐴$ , le foncteur $L_{𝐴} : Ens \to {Mod}_{𝐴}$ qui envoie tout ensemble $𝐼$ sur le $𝐴$ -module des fonctions à support fini de $𝐼$ dans $𝐴$ . Par exemple, si $𝐼 = {1, \dots, 𝑛}$ , $L_{𝐴} 𝐼 = 𝐴^{𝑛}$ . Ce foncteur est adjoint à gauche du foncteur d’oubli $𝑈 : {Mod}_{𝐴} \to Ens$ . Soit $𝐼$ un ensemble et $𝑉$ un $𝐴$ -espace vectoriel. La transposition $𝜑_{𝐼, 𝑉} : Hom (L_{𝐴} 𝐼, 𝑉) \to Hom (𝐼, 𝑈 𝑉)$ associe à tout $𝑓$ sa précomposition par la base canonique de $𝑒 : 𝐼 \to L_{𝐴} 𝐼$ . Si on veut écrire très précisément, $𝜑_{𝐼, 𝑉} (𝑓) = (𝑈 𝑓) \circ 𝑒$ . Le fait que $𝜑_{𝐼, 𝑉}$ soit bijective est la propriété universelle de la base canonique. Montrons la première condition de naturalité. Soit $𝐼$ et $𝐼^{'}$ des ensembles, $𝑓 : 𝐼 \to 𝐼^{'}$ une fonction et $𝑉$ un $𝐴$ -module. Montrons que $𝜑_{𝐼, 𝑉} \circ (- \circ 𝐿_{𝐴} 𝑓) = (- \circ 𝑓) \circ 𝜑_{𝐼^{'}, 𝑉}$ entre $Hom (𝐿_{𝐴} 𝐼^{'}, 𝑉)$ et $Hom (𝐼, 𝑈 𝑉)$ . Soit $ℎ \in Hom (𝐿_{𝐴} 𝐼^{'}, 𝑉)$ . On doit montrer que $(𝑈 (ℎ \circ 𝐿_{𝐴} 𝑓)) \circ 𝑒 = (𝑈 ℎ \circ 𝑒^{'}) \circ 𝑓$ , ce qui découle de l’associativité de la composition et de la définition de $𝐿_{𝐴} 𝑓$ comme l’unique application linéaire telle que $𝑈 (𝐿_{𝐴} 𝑓) \circ 𝑒 = 𝑒^{'} \circ 𝑈 𝑓$ (et de la fonctorialité de $𝑈$ ). Montrons la seconde condition de naturalité. Soit $𝐼$ un ensemble, $𝑉$ et $𝑉^{'}$ des $𝐴$ -modules et $𝑔 : 𝑉 \to 𝑉^{'}$ une application linéaire. Montrons que $𝜑_{𝐼, 𝑉^{'}} \circ (𝑔 \circ -) = (𝑈 𝑔 \circ -) \circ 𝜑_{𝐼, 𝑉}$ entre $Hom (𝐿_{𝐴} 𝐼, 𝑉)$ et $Hom (𝐼, 𝑈 𝑉^{'})$ . Soit $𝑓 \in Hom (𝐿_{𝐴} 𝐼, 𝑉)$ . On doit montrer que $(𝑈 (𝑔 \circ 𝑓)) \circ 𝑒 = 𝑈 𝑔 \circ (𝑈 𝑓 \circ 𝑒)$ , ce qui découle immédiatement de l’associativité de la composition (et de la fonctorialité de $𝑈$ ). Remarque : en pratique, on note presque toujours $𝑈$ par un symbole invisible.

La construction d’objets libres et d’une adjonction entre liberté et oubli est un passage clef dans la discussion de toute structure algébrique. Parfois la construction n’est pas évidente. C’est le cas par exemple dans la catégorie des groupes (la construction des groupes libres sera faite en cours de géométrie). Un exemple de complexité intermédiaire est celui des $𝐴$ -algèbres commutatives. Dans ce cas, l’objet libre associé à un ensemble $𝐼$ est l’algèbre des polynômes à coefficients dans $𝐴$ et d’indéterminées indexées par $𝐼$ . Il s’agit d’un bel exemple illustrant le lemme suivant qui est une généralisation du lemme 1.3.7.

Lemme 5.4.4

Soit $𝒞$ , $𝒟$ et $ℰ$ des catégories. Soit $(𝐿, 𝑅, 𝜑)$ une adjonction entre $𝒞$ et $𝒟$ et soit $(𝐿^{'}, 𝑅^{'}, 𝜑^{'})$ une adjonction entre $𝒟$ et $ℰ$ . Alors $(𝐿^{'} \circ 𝐿, 𝑅 \circ 𝑅^{'}, 𝜑)$ est une adjonction entre $𝒞$ et $ℰ$ avec les transpositions composées $𝜑_{𝑋, 𝑍} = 𝜑_{𝑋, 𝑅^{'} 𝑍} \circ 𝜑_{𝐿 𝑋, 𝑍}^{'}$

Démonstration : Une composée de bijection est bijective donc il suffit de vérifier les conditions de compatibilité aux morphismes. Les vérifications sont immédiates, il suffit de juxtaposer les diagrammes de compatibilité des deux adjonctions.

□

Voyons maintenant l’application à la propriété universelle des polynômes. On commence par la propriété universelle des monoïdes commutatifs libres. Le foncteur d’oubli $𝑈$ de $MonComm$ dans $Ens$ admet un adjoint à gauche qui envoie tout ensemble $𝑆$ sur le monoïde $L_{ℕ} 𝑆$ des fonctions des fonctions à support fini de $𝑆$ dans $ℕ$ (cela fonctionne exactement comme dans le cas des espaces vectoriels ou des modules et on peut en fait voir les monoïdes commutatifs comme des semi-modules sur le semi-anneau $ℕ$ pour englober les trois constructions dans le cadre des semi-modules sur les semi-anneaux). Fixons maintenant un anneau commutatif $𝐴$ . Le foncteur d’oubli $𝑈^{'}$ de la catégorie ${Alg}_{𝐴}$ des $𝐴$ -algèbres vers la catégorie $Mon$ des monoïdes oublie la structure additive et l’action de $𝐴$ pour ne retenir que la multiplication. Il admet un adjoint à gauche qui envoie tout monoïde $𝑀$ sur son algèbre de monoïde notée $𝐴 [𝑀]$ . Comme $𝐴$ -module, $𝐴 [𝑀]$ est $L_{𝐴} 𝑀$ , et la multiplication est l’unique application bilinéaire qui étend la multiplication de $𝑀$ . Le foncteur d’oubli envoie bien sûr les algèbres commutatives sur des monoïdes commutatifs et on vérifie facilement que son adjoint envoie les monoïdes commutatifs sur des $𝐴$ -algèbres commutatives. On a donc les adjonctions

La composée de ces deux adjonctions est l’adjonction entre les foncteurs algèbre de polynômes et oubli. La composée $𝑈 \circ 𝑈^{'}$ est le foncteur d’oubli $𝑈^{″}$ qui envoie toute $𝐴$ -algèbre sur l’ensemble de ses éléments. L’adjoint à gauche envoie tout ensemble $𝐼$ sur $𝐴 [𝑋_{𝑖}; 𝑖 \in 𝐼] ≔ 𝐴 [L_{ℕ} 𝐼]$ l’algèbre des polynômes à coefficients dans $𝐴$ et dont les indéterminées sont indexées par $𝐼$ . Les transpositions $𝜑_{𝐼, 𝐵}$ associées à un ensemble $𝐼$ et une $𝐴$ -algèbre $𝐵$ vont de $Hom (𝐼, 𝑈^{″} 𝐵)$ vers $Hom (𝐴 [𝑋_{𝑖}; 𝑖 \in 𝐼], 𝐵)$ . On retrouve bien la propriété universelle de $𝐴 [𝑋_{𝑖}; 𝑖 \in 𝐼]$  : pour toute fonction $𝑏 : 𝐼 \to 𝐵$ , il existe un unique morphisme de $𝐴$ -algèbres ${ev}_{𝑏} : 𝐴 [𝑋_{𝑖}; 𝑖 \in 𝐼] \to 𝐵$ tel que, pour tout $𝑖$ , ${ev}_{𝑏} (𝑋_{𝑖}) = 𝑏 (𝑖)$ . Pour finir remarquons qu’on peut étendre cette propriété universelle aux algèbres non commutatives, mais en demandant que les images de $𝑏$ commutent deux à deux, de sorte que la sous-algèbre engendrée par $𝑏_{*} 𝐼$ soit commutative. Bien sûr, ce n’est pas une contrainte pour les polynômes à une indéterminée, puisque $𝐼$ est un singleton dans ce cas.

Quotients et égalité

Une deuxième famille importante d’exemples est donnée par la notion de quotient.

Notons ${Ens}_{\sim}$ la catégorie dont les objets sont les paires $(𝑋, \sim)$ où $𝑋$ est un ensemble et $\sim$ est une relation d’équivalence sur $𝑋$ , et les morphismes entre $(𝑋, \sim)$ et $(𝑌, \sim)$ sont les fonctions $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ compatibles aux relations : $\forall (𝑥, 𝑥^{'}), 𝑥 \sim 𝑥^{'} \Rightarrow 𝑓 (𝑥) \sim 𝑓 (𝑥^{'})$ . À chaque objet $𝑋$ de $Ens$ on peut associer l’objet $(𝑋, =)$ de ${Ens}_{\sim}$ . Comme toute fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ est compatible avec les relations d’égalité sur $𝑋$ et $𝑌$ , on a bien un foncteur de $(\cdot, =) : Ens \to {Ens}_{\sim}$ . La propriété universelle des quotients fournit, pour tout $(𝑋, \sim)$ et tout $𝑌$ , une bijection entre $Hom ((𝑋, \sim), (𝑌, =))$ et $Hom (𝑋 / \sim, 𝑌)$ . Le schéma de démonstration discuté dans le prologue de ce chapitre permet utiliser cette propriété universelle pour construire un adjoint à gauche de $(\cdot, =)$ qui envoie tout $(𝑋, \sim)$ sur $𝑋 / \sim$ .

La construction ci-dessus est purement ensembliste, mais on sait qu’elle s’adapte à de très nombreux contextes algébriques ou topologiques. Par exemple, on peut définir ${Grp}_{⊲}$ dont les objets sont les paires $(𝐺, 𝐻)$ où $𝐺$ est un groupe et $𝐻$ est un sous-groupe distingué de $𝐺$ et les morphismes de $(𝐺, 𝐻)$ vers $(𝐺^{'}, 𝐻^{'})$ sont les morphismes $𝑓 : 𝐺 \to 𝐺^{'}$ tels que $𝑓_{*} 𝐻 \subseteq 𝐻^{'}$ . On construit facilement un foncteur de $Grp$ vers ${Grp}_{⊲}$ qui envoie tout $𝐺$ sur $(𝐺, {1})$ . Il admet pour adjoint à droite un foncteur qui envoie tout $(𝐺, 𝐻)$ sur $𝐺 / 𝐻$ et dont l’action sur les morphismes est décrite par la proposition 5.1.2 du prologue. Il ne faut pas confondre la catégorie ${Grp}_{⊲}$ discutée ici et la catégorie ${Grp}_{(𝐺, 𝐻)}$ discutée dans le chapitre 3 qui fixe $(𝐺, 𝐻)$ . Nous sommes passés de la propriété universelle individuelle de $𝐺 / 𝐻$ , décrite au moyen de ${Grp}_{(𝐺, 𝐻)}$ , à un point de vue plus global mettant en jeu toutes les paires constituées d’un groupe et d’un sous-groupe distingué. C’est exactement l’enjeu de l’approfondissement de la notion de propriété universelle au moyen de la notion d’adjonction.

La diversité des exemples algébriques de ce type justifie à elle seule la technologie qui sera développée dans le théorème 5.4.8 pour éviter de répéter sans fin le passage d’une propriété universelle isolée à la construction d’un foncteur de passage au quotient.

Produits et morphismes

La famille suivante (qu’on peut appeler adjonction fraternité-morphismes pour compléter la devise) relie les produits et les ensembles de morphismes. Soit $𝑍$ un ensemble. Les foncteurs $- \times 𝑍$ et $Hom (𝑍, -)$ de $Ens$ vers $Ens$ sont adjoints avec comme transpositions $𝜑_{𝑋, 𝑌} : Hom (𝑍 \times 𝑋, 𝑌) \to Hom (𝑋, Hom (𝑍, 𝑌))$ les applications de currifycation $𝑓 \mapsto (𝑥 \mapsto (𝑧 \mapsto 𝑓 (𝑥, 𝑧)))$ . La construction d’analogues de cette adjonction pour d’autres catégories que $Ens$ est un thème important.

Parfois le challenge vient de l’adjoint à gauche. Par exemple, en algèbre linéaire, il n’y a aucun problème à voir $Hom (𝑍, -)$ comme un foncteur de ${Ev}_{𝐾}$ dans ${Ev}_{𝐾}$ , mais le foncteur $- \times 𝑍$ ne convient pas comme adjoint à gauche, car la currifycation d’une fonction linéaire de $𝑋 \times 𝑍$ dans $𝑌$ n’est pas une application linéaire de $𝑋$ dans $Hom (𝑍, 𝑌)$ . Il faudrait partir d’une application bilinéaire de $𝑋 \times 𝑍$ dans $𝑌$ . La solution est la construction d’un espace vectoriel $𝑋 \otimes 𝑍$ appelé produit tensoriel de $𝑋$ et $𝑍$ (ainsi qu’une action également sur les morphismes) pour obtenir $- \otimes 𝑍 ⊣ Hom (𝑍, -)$ .

Parfois le problème vient de l’adjoint à droite. En topologie, il n’y a pas de bonne façon générale de voir $Hom (𝑍, 𝑌)$ comme un espace topologique tout en assurant qu’une fonction de $𝑍 \times 𝑋$ dans $𝑌$ est continue si et seulement si la fonction correspondante de $𝑋$ dans $Hom (𝑍, 𝑌)$ est continue. Il faut restreindre les espaces topologiques considérés pour avoir une solution.

Adjoints d’inclusions

La dernière famille très importante d’adjonctions est donnée par les adjoints de foncteurs d’inclusion d’une sous-catégorie (la sous-catégorie est alors dite réflexive si l’inclusion admet un adjoint à gauche et coréflexive si elle admet un adjoint à droite).

Par exemple, l’inclusion des groupes abéliens dans les groupes admet un adjoint à gauche : le foncteur d’abélianisation. À tout groupe $𝐺$ on peut associer un groupe abélien $𝐺_{ab}$ muni d’un morphisme de groupes $𝜋_{𝐺} : 𝐺 \to 𝐺_{ab}$ vérifiant la propriété universelle suivante : pour tout morphisme $𝜑 : 𝐺 \to 𝐴$ vers un groupe abélien, il existe un unique morphisme de groupes $\overline{𝜑} : 𝐺_{ab} \to 𝐴$ tel que $\overline{𝜑} \circ 𝜋_{𝐺} = 𝜑$ . Le groupe $𝐺_{ab}$ est construit comme quotient de $𝐺$ par le sous–groupe distingué engendré par les commutateurs $𝑔 ℎ 𝑔^{- 1} ℎ^{- 1}$ , comme rappelé dans l’exercice 3.36 . Le schéma de démonstration discuté dans le prologue de ce chapitre permet d’associer à tout morphisme de groupes $𝑓 : 𝐺 \to 𝐻$ un morphisme $𝑓_{ab} : 𝐺_{ab} \to 𝐻_{ab}$ de façon compatible avec les identités et la composition. On a donc bien un foncteur d’abélianisation.

Le foncteur d’inclusion des groupes dans les monoïdes admet un adjoint à droite qui associe à tout monoïde le groupe de ses éléments inversibles. Le foncteur d’inclusion des groupes abéliens dans les monoïdes commutatifs admet un adjoint à gauche, c’est par exemple ainsi qu’on construit le groupe abélien $ℤ$ à partir du monoïde commutatif $ℕ$ .

En topologie, nous avons déjà évoqué le foncteur de complétion qui est adjoint à gauche à l’inclusion de la catégorie des espaces métriques complets dans celle des espaces métriques et fera l’objet de l’exercice 5.64. L’inclusion de la catégorie des espaces topologiques compacts dans celle de tous les espaces topologiques admet également un adjoint à gauche appelé foncteur de Stone-Čech.

Il est également naturel de se demander si le passage de $𝒫 (𝑋)$ à $ℱ (𝑋)$ correspond à une adjonction. La réponse est oui bien sûr, mais cela demande une explication un peu longue qui fait l’objet de l’exercice 5.67. Au passage on y verra un exemple d’adjoint de foncteur d’inclusion d’une sous-catégorie ayant exactement les mêmes objets que la catégorie ambiante, mais moins de morphismes.

Unité et co-unité d’une adjonction

Pour toute adjonction $𝐿 ⊣ 𝑅$ entre des catégories $𝒞$ et $𝒟$ , et pour tous objets $𝑋$ de $𝒞$ et $𝑌$ de $𝒟$ , on dispose des transpositions entre $Hom (𝐿 𝑋, 𝑌)$ et $Hom (𝑋, 𝑅 𝑌)$ . En particulier pour $𝑌 = 𝐿 𝑋$ on peut transposer $1_{𝐿 𝑋}$ et pour $𝑋 = 𝑅 𝑌$ on peut transposer $1_{𝑅 𝑌}$ . Les morphismes ainsi obtenus forment des transformations naturelles qui jouent un rôle important dans la théorie.

Proposition 5.4.5

Soit $(𝐿, 𝑅, 𝜑)$ une adjonction.

La famille de morphismes $𝜂_{𝑋} : 𝑋 \to 𝑅 𝐿 𝑋$ définis par $𝜂_{𝑋} = 𝜑_{𝑋, 𝐿 𝑋} (1_{𝐿 𝑋})$ forme une transformation naturelle $𝜂 : {Id}_{𝒞} \Rightarrow 𝑅 \circ 𝐿$ appelée unité de l’adjonction.
La famille de morphismes $𝜀_{𝑌} : 𝐿 𝑅 𝑌 \to 𝑌$ définis par $𝜀_{𝑌} = 𝜑_{𝑅 𝑌, 𝑌}^{- 1} (1_{𝑅 𝑌})$ forme une transformation naturelle $𝜀 : 𝐿 \circ 𝑅 \Rightarrow {Id}_{𝒟}$ appelée co-unité de l’adjonction.

Démonstration : Montrons que $𝜂$ est bien naturelle (le cas de $𝜀$ est dual et fait l’objet de l’exercice 5.61). Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑋^{'}$ un morphisme dans $𝒞$ . On veut la commutation de

c’est-à-dire $𝑅 𝐿 𝑓 \circ 𝜂_{𝑋} = 𝜂_{𝑋^{'}} \circ 𝑓$ . La clef est d’empiler verticalement les diagrammes de compatibilité de $𝜑$ avec $𝑓 : 𝑋 \to 𝑋^{'}$ dans $𝒞$ et $𝐿 𝑓 : 𝐿 𝑋 \to 𝐿 𝑋^{'}$ dans $𝒟$ et d’y injecter les identités permettant d’obtenir $𝜂_{𝑋}$ et $𝜂_{𝑋^{'}}$ .

Les deux flèches courbes désignent des fonctions envoyant $⋆$ sur le morphisme indiqué. Elles forment avec les flèches verticales de gauche un diagramme commutatif, car les identités sont neutres pour la composition. La route de ${⋆}$ à $Hom (𝑋, 𝑅 𝐿 𝑋^{'})$ passant par le haut calcule $𝑅 𝐿 𝑓 \circ 𝜂_{𝑋}$ tandis que celle passant par le bas calcule $𝜂_{𝑋^{'}} \circ 𝑓$ .

Algébriquement, cela correspond au calcul suivant :

$□$

Exercice 5.61

Nous avons démontré que l’unité d’une adjonction est une transformation naturelle. Montrer directement que la co-unité l’est également (sans se ramener au cas de l’unité en passant aux catégories opposées).

Soit $𝒞$ et $𝒟$ des catégories, $𝐿 : 𝒞 \to 𝒟$ et $𝑅 : 𝒟 \to 𝒞$ deux foncteurs tels que $𝐿$ est adjoint à gauche de $𝑅$ . Ainsi, on a, pour chaque objet $𝑋$ de $𝒞$ et $𝑌$ de $𝒟$ , une bijection $𝜑_{𝑋, 𝑌}$ et ces bijections sont compatibles avec les morphismes de $𝒞$ et $𝒟$ . Par définition, la co-unité de cette adjonction est une transformation naturelle de $𝐿 \circ 𝑅$ vers ${Id}_{𝒟}$ dont la composante en tout objet $𝑌$ est $𝜑_{𝑅 𝑌, 𝑌}^{- 1} (1_{𝑌})$ .

Montrons la compatibilité avec les morphismes de $𝒟$ . Soit $𝑌$ et $𝑌^{'}$ des objets de $𝒟$ et $𝑔 : 𝑌 \to 𝑌^{'}$ . On doit montrer la commutativité du diagramme suivant :

La compatibilité de l’adjonction aux morphismes dans $𝒟$ , appliquée à $𝑔$ et aux morphismes dans $𝒞$ appliquée à $𝑅 𝑔$ donne le diagramme commutatif suivant :

Le quadrilatère à droite ayant deux côtés courbes commute, car les identités sont neutres pour la composition. Donc tout le diagramme commute. Les deux chemins de ${⋆}$ à $Hom (𝐿 𝑅 𝑌, 𝑌^{'})$ calculent $𝑔 \circ 𝜀_{𝑌}$ et $𝜀_{𝑌^{'}} \circ 𝑅 𝑔$ qui sont donc égaux comme annoncé.

Algébriquement, il s’agit du calcul suivant :

L’unité et la co-unité d’une adjonction permettent de retrouver des énoncés ayant explicitement la forme de propriétés universelles.

Proposition 5.4.6

Soit $𝐿 ⊣ 𝑅$ une adjonction entre deux catégories $𝒞$ et $𝒟$ . On note $𝜂$ son unité et $𝜀$ sa co-unité. Soit $𝑋$ et $𝑌$ des objets de $𝒞$ et $𝒟$ respectivement. Le morphisme $𝜂_{𝑋}$ vérifie la propriété universelle suivante : pour tout $𝑓 : 𝑋 \to 𝑅 𝑌$ , le transposé de $𝑓$ est l’unique morphisme $𝑔 : 𝐿 𝑋 \to 𝑌$ tel que

commute. En particulier pour $𝑋 = 𝑅 𝑌$ et $𝑓 = 1_{𝑅 𝑌}$ on obtient $𝑅 (𝜀_{𝑌}) \circ 𝜂_{𝑅 𝑌} = 1_{𝑅 𝑌}$ .

De façon analogue, $𝜀_{𝑌}$ vérifie la propriété universelle suivante : pour tout $𝑓 : 𝐿 𝑋 \to 𝑌$ , le transposé de $𝑓$ est l’unique morphisme $𝑔 : 𝑋 \to 𝑅 𝑌$ tel que

commute. En particulier pour $𝑌 = 𝐿 𝑋$ et $𝑓 = 1_{𝐿 𝑋}$ on obtient $𝜀_{𝐿 𝑋} \circ 𝐿 (𝜂_{𝑋}) = 1_{𝐿 𝑋}$ .

Démonstration : Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑅 𝑌$ . La compatibilité de l’adjonction avec les morphismes dans $𝒟$ appliquée à un morphisme $𝑔 : 𝑋 \to 𝑅 𝑌$ donne la commutativité du carré dans le diagramme ci-dessous

et le triangle à gauche commute, car $1_{𝐿 𝑋}$ est neutre pour la composition. Ainsi le diagramme complet commute. Les deux chemins de $⋆$ à $Hom (𝑋, 𝑅 𝑌)$ calculent $(𝑅 𝑔) \circ 𝜂_{𝑋}$ et $𝜑_{𝑋, 𝑌} (𝑔)$ respectivement, donc $𝑔$ convient si et seulement si $𝑔 = 𝜑_{𝑋, 𝑌}^{- 1} (𝑓)$ .

Pour la propriété universelle de $𝜀$ , on peut utiliser le résultat pour $(𝑅, 𝐿)$ vu comme adjonction de $𝒟^{op}$ dans $𝒞^{op}$ ou bien faire l’exercice suivant. $□$

Exercice 5.62

En s’inspirant de la démonstration de la propriété universelle de l’unité d’une adjonction $𝐿 ⊣ 𝑅$ , montrer la propriété universelle de la co-unité (sans se ramener au cas de l’unité en passant aux catégories opposées).

Soit

𝑓 : 𝐿 𝑋 \to 𝑌

. La compatibilité de l’adjonction avec les morphismes dans

𝒞

appliquée à un morphisme

𝑔 : 𝑋 \to 𝑅 𝑌

donne la commutativité du carré dans le diagramme ci-dessous

et le triangle à droite commute, car

1_{𝑅 𝑌}

est neutre pour la composition. Ainsi le diagramme complet commute. Les deux chemins de

⋆

Hom (𝐿 𝑋, 𝑌)

calculent

𝜀_{𝑌} \circ (𝐿 𝑔)

𝜑_{𝑋, 𝑌}^{- 1} (𝑔)

respectivement donc

𝑔

convient si et seulement si

𝑔 = 𝜑_{𝑋, 𝑌} (𝑓)

Remarque 5.4.7

Les cas particuliers énoncés dans la proposition 5.4.6

sont appelés égalités triangulaires. On peut montrer que la donnée d’une adjonction

(𝐿, 𝑅, 𝜑)

est équivalente à la donnée de

(𝐿, 𝑅, 𝜂, 𝜀)

vérifiant ces égalités. On retrouve chaque

𝜑_{𝑋, 𝑌}

comme

𝑓 \mapsto 𝑅 𝑓 \circ 𝜂_{𝑋}

𝜑_{𝑋, 𝑌}^{- 1}

comme

𝑔 \mapsto 𝜀_{𝑌} \circ 𝐿 𝑔

. Nous n’aurons pas besoin de ce résultat, mais il est bon de garder en tête que

𝜂

𝜀

contiennent toute l’information sur

𝜑

Voyons maintenant quelles sont les unités et co-unités de nos exemples d’adjonctions.

L’unité et la co-unité d’une adjonction entre ensembles ordonnés sont les inégalités d’unité et de co-unité introduites dans le lemme 1.3.10.
Nous avons vu les adjonctions $𝐷 ⊣ 𝑈 ⊣ 𝐺$ entre les foncteurs « topologie discrète », « oubli de la topologie » et « topologie grossière ». Les transpositions sont des applications identités donc les unités et co-unités sont des applications identités, mais on peut tout de même vérifier que celles qui doivent être des morphismes dans $Top$ sont bien continues. La co-unité de $𝐷 ⊣ 𝑈$ associe à tout espace topologique $𝑋$ la fonction ${Id}_{𝑋}$ de $𝐷 𝑈 𝑋$ vers $𝑋$ où $𝐷 𝑈 𝑋$ est l’espace topologique obtenu en remplaçant la topologie de $𝑋$ par la topologie discrète. Ainsi l’existence de cette co-unité est équivalente à dire que la topologie discrète est le minimum des topologies sur n’importe quel ensemble. L’unité de $𝑈 ⊣ 𝐺$ associe à tout espace topologique $𝑋$ la fonction ${Id}_{𝑋}$ de $𝑋$ vers $𝐺 𝑈 𝑋$ où $𝐺 𝑈 𝑋$ est l’espace topologique obtenu en remplaçant la topologie de $𝑋$ par la topologie grossière. Ainsi l’existence de cette unité est équivalente à dire que la topologie grossière est le maximum des topologies sur n’importe quel ensemble.
Prenons maintenant un exemple d’adjonction liberté-oubli, disons le cas des $𝐾$ -espaces vectoriels $L_{𝐾} ⊣ 𝑈$ . L’unité $𝜂 : {Id}_{Ens} \Rightarrow 𝑈 \circ L_{𝐾}$ envoie tout ensemble $𝐼$ sur $𝜂_{𝐼} : 𝐼 \to 𝑈 L_{𝐾} 𝐼$ qui est la base canonique de $L_{𝐾} 𝐼$ . La proposition 5.4.6 décrit bien la propriété universelle de cette base : pour toute fonction $𝑓$ de $𝐼$ dans un $𝐾$ -espace vectoriel $𝑉$ , c’est-à-dire tout morphisme $𝑓 : 𝐼 \to 𝑈 𝑉$ , il existe une unique fonction linéaire $𝑔 : L_{𝐾} 𝐼 \to 𝑉$ telle que, vu comme simple fonction $𝑈 𝑔$ , $𝑔$ prend les valeurs spécifiées par $𝑓$ sur la base canonique. Au passage, on justifie la terminologie « base canonique » : le processus $𝜂$ qui associe à $𝐼$ cette base est bien une transformation naturelle. La co-unité de cette adjonction est nettement moins importante, elle associe à tout $𝐾$ -espace vectoriel $𝑉$ l’unique application linéaire de $L_{𝐾} (𝑈 𝑉)$ dans $𝑉$ qui est l’identité sur la base canonique.
Pour illustrer le cas des quotients, prenons le cas ensembliste et son adjonction $\cdot / \sim ⊣ (\cdot, =)$ . La composante en un objet $(𝑋, \sim)$ de l’unité $𝜂 : {Id}_{{Ens}_{\sim}} \Rightarrow (\cdot, =) \circ \cdot / \sim$ est un morphisme dans ${Ens}_{\sim}$ entre $(𝑋, \sim)$ et $(𝑋 / \sim, =)$ . La fonction sous-jacente est simplement la projection canonique $𝜋 : 𝑋 \to 𝑋 / \sim$ , qui est bien compatible avec $\sim$ au départ et $=$ à l’arrivée. Ainsi la propriété universelle des quotients d’ensembles est un cas particulier de propriété universelle de l’unité d’une adjonction. La co-unité est un isomorphisme naturel entre $\cdot / \sim \circ (\cdot, =)$ et ${Id}_{Ens}$ , sa composante en $𝑋$ est une bijection entre $𝑋 / =$ et $𝑋$ .
Voyons maintenant des exemples d’adjonctions mettant en jeu une inclusion. Nous avons vu le cas de l’inclusion $𝜄$ des groupes abéliens dans les groupes et son adjoint à gauche $ab$ , le foncteur d’abélianisation. L’unité de cette adjonction associe à tout groupe $𝐺$ un morphisme de $𝐺$ vers $𝜄 (𝐺_{ab})$ . Il s’agit de la projection canonique de $𝐺$ vers $𝐺_{ab}$ (et là encore le mot « canonique » a maintenant le sens précis fournit par la définition de transformation naturelle). Sa propriété universelle promise par la proposition 5.4.6 est bien celle attendue pour l’abélianisé d’un groupe. La co-unité $𝜀$ de cette adjonction associe à tout groupe abélien $𝐴$ un morphisme de ${(𝜄 𝐴)}_{ab}$ vers $𝐴$ . Ici on abélianise un groupe qui est déjà abélien. On s’attend à ce que cette opération soit « triviale ». Mais si on s’intéresse trop aux détails d’implémentation, elle ne l’est pas : le groupe $𝐴_{ab} = 𝐴 / {1}$ n’est pas égal à $𝐴$ , ses éléments sont les singletons constitués d’éléments de $𝐴$ . Le bon énoncé est que $𝜀_{𝐴}$ est un isomorphisme de groupes et $𝜀$ est un isomorphisme naturel.
Le cas du foncteur de complétion des espaces métriques est complètement analogue. L’unité de l’adjonction associe à tout espace métrique $𝑋$ son inclusion dans $\hat{𝑋}$ et la co-unité associe à tout espace métrique complet $𝑌$ un isomorphisme entre $\hat{𝑌}$ et $𝑌$ .
Enfin voyons un example d’adjonction entre produits et morphismes. Soit $𝑍$ un ensemble. Nous avons vu que les foncteurs $- \times 𝑍$ et $Hom (𝑍, -)$ de $Ens$ vers $Ens$ sont adjoints avec comme transpositions $𝜑_{𝑋, 𝑌} : Hom (𝑍 \times 𝑋, 𝑌) \to Hom (𝑋, Hom (𝑍, 𝑌))$ les applications de currifycation $𝑓 \mapsto (𝑥 \mapsto (𝑧 \mapsto 𝑓 (𝑥, 𝑧)))$ . L’unité de cette adjonction associe à chaque ensemble $𝑋$ l’application $𝜂_{𝑋} : 𝑋 \to Hom (𝑍, 𝑋 \times 𝑍)$ qui envoie $𝑥$ sur $𝑧 \mapsto (𝑥, 𝑧)$ . La co-unité de cette adjonction est l’évaluation, qui associe à chaque ensemble $𝑌$ l’application $𝜀_{𝑌} : Hom (𝑍, 𝑌) \times 𝑍 \to 𝑌$ qui envoie $(𝑔, 𝑧)$ sur $𝑔 (𝑧)$ .

Construction d’adjoints

Pour terminer ce chapitre, nous allons, comme promis dans le prologue, expliquer comment passer de familles de propriétés universelles à l’existence d’un adjoint. Il s’agit d’une réciproque de la proposition 5.4.6 qui décrit la propriété universelle des unités. C’est elle qui évite la répétition de schéma de démonstration observée dans le prologue. Bien sûr, il existe aussi une version pour les adjoints à droite et les co-unités.

Théorème 5.4.8

Soit $𝑅 : 𝒟 \to 𝒞$ un foncteur. Pour tout objet $𝑋$ de $𝒞$ , on note $𝑋 ↓ 𝑅$ la catégorie dont :

les objets sont les paires $(𝑌, 𝑓)$ où $𝑌$ est un objet de $𝒟$ et $𝑓 : 𝑋 \to 𝑅 𝑌$ un morphisme dans $𝒞$
les morphismes sont donnés par

Le foncteur $𝑅$ admet un adjoint à gauche $𝐿$ si (et seulement si) chaque catégorie $𝑋 ↓ 𝑅$ admet un objet initial $(𝐿 𝑋, 𝜂_{𝑋})$ . De plus les $𝜂_{𝑋}$ sont alors les composantes de l’unité de $𝐿 ⊣ 𝑅$ et, pour tout morphisme $𝑓 : 𝑋 \to 𝑋^{'}$ de $𝒞$ , $𝐿 𝑓$ est l’unique morphisme tel que

commute.

Remarque 5.4.9

Dans les exemples d’application de ce théorème,

𝑅

est souvent un foncteur d’oubli ou d’inclusion noté par un symbole invisible. Dans ce cas le diagramme intervenant dans la définition des morphismes de

𝑋 ↓ 𝑅

parait plus simple mais cette simplification est un peu trompeuse.

Démonstration : La proposition 5.4.6 assure que si $𝑅$ admet un adjoint à gauche alors ces propriétés sont vérifiées. Montrons maintenant la nouvelle implication. Pour chaque $𝑋$ on choisit un objet initial $(𝐿 𝑋, 𝜂_{𝑋})$ de $𝑋 ↓ 𝑅$ . Ainsi on a la propriété universelle que, pour tout objet $𝑋$ de $𝒞$ , tout objet $𝑌$ de $𝒟$ et tout morphisme $𝑓 : 𝑋 \to 𝑅 𝑌$ , il existe un unique $\overline{𝑓} : 𝐿 𝑋 \to 𝑌$ tel que

commute. On notera $𝜓_{𝑋, 𝑌} (𝑓)$ ce morphisme $\overline{𝑓}$ .

On a déjà l’action de $𝐿$ sur les objets. Définissons son action sur les morphismes. Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑋^{'}$ . La propriété universelle appliquée à $𝜂_{𝑋^{'}} \circ 𝑓$ donne un unique morphisme $𝐿 𝑓 ≔ 𝜓_{𝑋, 𝑅 𝐿 𝑋^{'}} (𝑓)$ tel que

commute.

Montrons que cette action sur les morphismes est bien fonctorielle. Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑋^{'}$ et $𝑔 : 𝑋^{'} \to 𝑋^{″}$ . Montrons que $𝐿 (𝑔 \circ 𝑓) = 𝐿 𝑔 \circ 𝐿 𝑓$ . On a la diagramme :

Les deux carrés commutent donc le grand rectangle commute. De plus $𝑅$ est un foncteur donc $𝑅 𝐿 𝑔 \circ 𝑅 𝐿 𝑓 = 𝑅 (𝐿 𝑔 \circ 𝐿 𝑓)$ . Or $𝐿 (𝑔 \circ 𝑓)$ est le seul morphisme dont l’image par $𝑅$ fait commuter le grand rectangle donc $𝐿 (𝑔 \circ 𝑓) = 𝐿 𝑔 \circ 𝐿 𝑓$ .

Pour calculer $𝐿 1_{𝑋}$ , il suffit d’observer que l’image $1_{𝑅 𝐿 𝑋}$ de $1_{𝐿 𝑋}$ par $𝑅$ fait commuter

donc $𝐿 1_{𝑋} = 1_{𝐿 𝑋}$ .

Ainsi $𝐿$ est bien un foncteur de $𝒞$ dans $𝒟$ . Ici s’arrête la partie de la démonstration faite dans le prologue dans les cas particulier de la complétion des espaces métriques et des quotients de groupes.

Les vérifications suivantes, qui assurent qu’on a vraiment obtenu une adjonction avec l’unité attendue, sont généralement omises.

Les diagrammes

apparus plus haut garantissent exactement que les $𝜂_{𝑋}$ sont les composantes d’une transformation naturelle $𝜂$ de ${Id}_{𝒞}$ vers $𝑅 \circ 𝐿$ .

Il reste à voir qu’on a bien une adjonction $𝐿 ⊣ 𝑅$ avec unité $𝜂$ . Soit $𝑋$ un objet de $𝒞$ et $𝑌$ un objet de $𝒟$ . On définit

Il s’agit bien d’une bijection d’inverse $𝜓_{𝑋, 𝑌}$ . En effet $𝜑_{𝑋, 𝑌} \circ 𝜓_{𝑋, 𝑌} = {Id}_{Hom (𝐿 𝑋, 𝑌)}$ par définition de $𝜑$ et $𝜓$ , et $𝜓_{𝑋, 𝑌} \circ 𝜑_{𝑋, 𝑌} = {Id}_{Hom (𝑋, 𝑅 𝑌)}$ par définition de $𝜑$ et unicité dans la propriété de $𝜓$ .

Montrons maintenant les conditions de naturalité. Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑋^{'}$ un morphisme dans $𝒞$ et $𝑌$ un objet de $𝒟$ . On doit montrer que

commute. Par définition de $𝜑$ il s’agit de montrer que le grand rectangle commute dans le diagramme suivant.

Or le carré de gauche commute car $𝑅$ est un foncteur. Et celui de droite commute car

commute par définition de $𝐿$ et la composition est associative. Donc le grand rectangle commute.

Soit $𝑋$ un objet de $𝒞$ et $𝑔 : 𝑌 \to 𝑌^{'}$ un morphisme dans $𝒟$ . On doit montrer que

commute. Par définition de $𝜑$ , il s’agit de montrer que le grand rectangle commute dans le diagramme suivant :

Or le carré de gauche commute car $𝑅$ est un foncteur et le carré de droite commute par associativité de la composition. Donc le grand rectangle commute.

On a donc bien une adjonction entre $𝐿$ et $𝑅$ , de transpositions $𝜑$ et $𝜓$ . Montrons que $𝜂$ est bien son unité. Soit $𝑋$ un objet de $𝒞$ . On a $𝜑_{𝑋, 𝑅 𝑋} (1_{𝐿 𝑋}) = 𝑅 (1_{𝐿 𝑋}) \circ 𝜂_{𝑋} = 𝜂_{𝑋}$ . $□$

Exercice 5.63

Soit $𝑋$ et $𝑌$ des treillis complets et $𝑟 : 𝑌 \to 𝑋$ une fonction croissante. Le théorème 1.4.16 et le théorème 5.4.8 donnent tous deux une condition nécessaire et suffisante pour que $𝑟$ admette un adjoint à gauche puisque les adjonctions entre ensembles ordonnés sont des cas particuliers d’adjonctions entre foncteurs (le théorème 1.4.16 ne fait pas l’hypothèse que $𝑟$ est croissante mais cela découle directement de l’hypothèse). Le but de cet exercice est de comparer ces deux critères.

Soit $𝑥 \in 𝑋$ , montrer que la catégorie $𝑥 ↓ 𝑟$ du théorème 5.4.8 est ${𝑦 | 𝑥 \leq 𝑟 (𝑦)}$ muni de la relation d’ordre induite par $𝑌$ .
Par définition, les objets de $𝑥 ↓ 𝑟$ sont les paires $(𝑦, 𝑓)$ où $𝑦$ est un objet de $𝑌$ , c’est-à-dire un élément de $𝑌$ et $𝑓$ est un morphisme de $𝑥$ vers $𝑟 (𝑦)$ dans $𝑋$ , c’est-à-dire une inégalité $𝑥 \leq 𝑟 (𝑦)$ . Les morphismes de $(𝑦, 𝑓)$ vers $(𝑦^{'}, 𝑓^{'})$ sont les morphismes de $𝑦$ vers $𝑧$ c’est-à-dire les inégalités $𝑦 \leq 𝑦^{'}$ . La relation de commutation de la définition générale est automatique, comme toujours avec les ensembles ordonnés vus comme catégories puisqu’il y a au plus un morphisme entre deux objets.
Montrer que le théorème 5.4.8 assure que $𝑟$ admet un adjoint à gauche si et seulement si
ou encore
La condition du théorème est $\forall 𝑥, 𝑥 ↓ 𝑟 admet un objet initial$ . Or dans un ensemble ordonné un objet initial est un minimum donc la première condition est claire. Pour passer à la deuxième condition, on utilise que $𝑌$ est un treillis complet donc chaque $𝑥 ↓ 𝑟$ admet un inf dans $𝑌$ et demander l’existence d’un minimum est équivalent à ce que cet inf soit dans l’ensemble $𝑥 ↓ 𝑟$ .
Montrer directement (sans utiliser les théorèmes) que la condition de la question précédente est équivalente à la condition du théorème 1.4.16 : $𝑟$ commute aux infs.
Supposons la condition $\forall 𝑥 \in 𝑋, 𝑥 \leq 𝑟 (inf {𝑦 | 𝑥 \leq 𝑟 (𝑦)})$ . Montrons que $𝑟$ commute aux infs. Soit $𝑆$ une partie de $𝑌$ . On sait que $𝑟 (inf (𝑆)) \leq inf 𝑟_{*} 𝑆$ car $𝑟$ est croissante. Montrons que $inf 𝑟_{*} 𝑆 \leq 𝑟 (inf (𝑆))$ . On calcule
où la deuxième inégalité vient de la croissance de $𝑟$ et de la décroissance de $inf$ car $𝑆 \subseteq {𝑦 | inf 𝑟_{*} 𝑆 \leq 𝑟 (𝑦)}$ .
Réciproquement, supposons que $𝑟$ commute aux infs. Soit $𝑥 \in 𝑋$ . Montrons que $𝑥 \leq 𝑟 (inf {𝑦 | 𝑥 \leq 𝑟 (𝑦)})$ . Comme $𝑟$ commute aux infs, cela équivaut à $𝑥 \leq inf 𝑟_{*} {𝑦 | 𝑥 \leq 𝑟 (𝑦)}$ . Par définition de inf, il suffit de montrer que $\forall 𝑥^{'} \in 𝑟_{*} {𝑦 | 𝑥 \leq 𝑟 (𝑦)}, 𝑥 \leq 𝑥^{'}$ , ce qui est clair.

Le fait que l’équivalence des conditions obtenues ne soient pas si évidente était attendu car le théorème général n’a absolument pas d’analogue de la condition de treillis complet qui apparait dans le théorème sur les ensembles ordonnés. Il existe des énoncés généraux ayant des conditions analogues mais ils requièrent les notions de limites et colimites dans une catégorie qui sont au-delà du contenu de ce cours. Ces énoncés sont connus sous le nom de théorème du foncteur adjoint.

Exercice 5.64

Le but de cet exercice est de construire un adjoint à gauche au foncteur d’inclusion de la catégorie des espaces métriques complets dans celle de tous les espaces métriques. Dans ces deux catégories, les morphismes sont les applications uniformément continues. Attention : il s’agit d’un exercice très long et sa solution ne sera pas utilisée dans la suite du cours.

Soit $𝑋$ un espace métrique. On note $𝐶 (𝑋)$ l’ensemble des suites de Cauchy d’éléments de $𝑋$ .

Pour deux éléments $𝑢$ et $𝑣$ de $𝐶 (𝑋)$ , montrer que la suite de réels $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛})$ converge. On note $𝑑_{𝐶} (𝑢, 𝑣)$ la limite de cette suite.
Pour montrer la convergence, la complétude de $ℝ$ assure qu’il suffit de montrer que $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛})$ est de Cauchy. Soit $𝜀 > 0$ . Comme $𝑢$ est de Cauchy, pour $𝑛$ et $𝑝$ assez grands $𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑢_{𝑝}) < 𝜀 / 2$ . Comme $𝑣$ est de Cauchy, pour $𝑛$ et $𝑝$ assez grands $𝑑 (𝑣_{𝑛}, 𝑣_{𝑝}) < 𝜀 / 2$ . Ainsi, pour $𝑛$ et $𝑝$ assez grands,
en utilisant l’inégalité triangulaire puis deux fois l’inégalité triangulaire inverse.
On dit que deux éléments $𝑢$ et $𝑣$ de $𝐶 (𝑋)$ sont équivalents si la suite de réels $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛})$ tend vers zéro. Montrer qu’il s’agit effectivement d’une relation d’équivalence. On note $\hat{𝑋}$ « le » quotient de $𝐶 (𝑋)$ par cette relation.
La relation est réflexive car, pour toute suite de Cauchy $𝑢$ , la suite $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑢_{𝑛})$ est nulle donc de Cauchy.
La relation est symétrique car $𝑑$ est symétrique donc, pour toutes suites de Cauchy $𝑢$ et $𝑣$ , $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑣_{𝑛}, 𝑢_{𝑛})$ tend vers zéro si $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛})$ tend vers zéro.
Montrons la transitivité. Soit $𝑢$ , $𝑣$ et $𝑤$ des suites de Cauchy telles que $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛})$ et $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑣_{𝑛}, 𝑤_{𝑛})$ tendent vers zéro. Comme, pour chaque $𝑛$ , $0 \leq 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑤_{𝑛}) \leq 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛}) + 𝑑 (𝑣_{𝑛}, 𝑤_{𝑛})$ , on a bien $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑤_{𝑛})$ qui tend vers zéro par le théorème des gendarmes.
Montrer que la fonction $𝑑_{𝐶}$ de la première question descend au quotient en fonction $\hat{𝑑}$ sur $\hat{𝑋} \times \hat{𝑋}$ .
Soit $𝑢$ , $𝑢^{'}$ , $𝑣$ et $𝑣^{'}$ des suites de Cauchy. Supposons que $𝑢$ et $𝑢^{'}$ sont équivalentes et que $𝑣$ et $𝑣^{'}$ sont équivalentes. Montrons que $𝑑_{𝐶} (𝑢, 𝑣) = 𝑑_{𝐶} (𝑢^{'}, 𝑣^{'})$ . Vu la symétrie de la situation, il suffit de montrer que $𝑑_{𝐶} (𝑢, 𝑣) \leq 𝑑_{𝐶} (𝑢^{'}, 𝑣^{'})$ .
Par définition, $𝑑_{𝐶} (𝑢, 𝑣)$ est la limite de $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛})$ et $𝑑_{𝐶} (𝑢^{'}, 𝑣^{'})$ est celle de $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}^{'}, 𝑣_{𝑛}^{'})$ . Or $𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛}) \leq 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑢_{𝑛}^{'}) + 𝑑 (𝑢_{𝑛}^{'}, 𝑣_{𝑛}^{'}) + 𝑑 (𝑣_{𝑛}^{'}, 𝑣_{𝑛})$ par inégalité triangulaire. En passant à la limite on obtient $𝑑_{𝐶} (𝑢, 𝑣) \leq 0 + 𝑑_{𝐶} (𝑢^{'}, 𝑣^{'}) + 0 = 𝑑_{𝐶} (𝑢^{'}, 𝑣^{'})$ .
Montrer que $(\hat{𝑋}, \hat{𝑑})$ est un espace métrique.
Notons $𝜋$ la projection de $𝐶 (𝑋)$ sur $\hat{𝑋}$ . Soit $𝑧 \in \hat{𝑋}$ . Montrons que $\hat{𝑑} (𝑧, 𝑧) = 0$ . Comme $𝜋$ est surjective, on obtient une suite de Cauchy $𝑢$ telle que $𝑧 = 𝜋 (𝑢)$ . La suite $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑢_{𝑛})$ est nulle donc tend vers zéro donc $\hat{𝑑} (𝑧, 𝑧) = 0$ .
Soit $𝑦$ et $𝑧$ deux éléments distincts de $\hat{𝑋}$ . Montrons que $\hat{𝑑} (𝑦, 𝑧) > 0$ . Comme $𝜋$ est surjective, on obtient des suites de Cauchy $𝑢$ et $𝑣$ telles que $𝑦 = 𝜋 (𝑢)$ et $𝑧 = 𝜋 (𝑣)$ . Comme $𝑦 \neq 𝑧$ , $𝑢$ et $𝑣$ ne sont pas équivalentes. Ainsi $𝑛 \mapsto 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛})$ ne tend pas vers zéro. Or elle tend vers $\hat{𝑑} (𝑦, 𝑧)$ par construction.
La symétrie de $\hat{𝑑}$ est claire. Montrons l’inégalité triangulaire. Soit $𝑦$ , $𝑧$ et $𝑡$ des éléments de $\hat{𝑋}$ . Montrons que $\hat{𝑑} (𝑦, 𝑡) \leq \hat{𝑑} (𝑦, 𝑧) + \hat{𝑑} (𝑧, 𝑡)$ . Comme $𝜋$ est surjective, on obtient des suites de Cauchy $𝑢$ , $𝑣$ et $𝑤$ telles que $𝑦 = 𝜋 (𝑢)$ , $𝑧 = 𝜋 (𝑣)$ et $𝑡 = 𝜋 (𝑤)$ . Par construction, il suffit de montrer que $𝑑_{𝐶} (𝑢, 𝑤) \leq 𝑑_{𝐶} (𝑢, 𝑣) + 𝑑_{𝐶} (𝑣, 𝑤)$ . Or, pour chaque $𝑛$ , $𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑤_{𝑛}) \leq 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛}) + 𝑑 (𝑣_{𝑛}, 𝑤_{𝑛})$ donc on obtient l’inégalité désirée en passant à la limite.
On note $𝜄 : 𝑋 \to \hat{𝑋}$ la fonction envoyant $𝑥$ sur la suite constante de valeur $𝑥$ . Montrer que $𝜄$ est uniformément continue.
Montrons l’énoncé plus fort que $𝜄$ est un plongement isométrique. Soit $𝑥$ , et $𝑦$ des points de $𝑋$ . On a $\hat{𝑑} (𝜄 (𝑥), 𝜄 (𝑦)) = 𝑑_{𝐶} ((𝑛 \mapsto 𝑥), (𝑛 \mapsto 𝑦)) = {lim}_{𝑛} 𝑑 (𝑥, 𝑦) = 𝑑 (𝑥, 𝑦)$ .
Montrer que $(\hat{𝑋}, \hat{𝑑})$ est complet.
Soit $𝑢$ une suite de Cauchy dans $\hat{𝑋}$ . Montrons que $𝑢$ converge. Pour chaque $𝑛$ , on choisit une suite de Cauchy $𝑣_{𝑛}$ dans $𝑋$ telle que $𝑢_{𝑛} = 𝜋 (𝑣_{𝑛})$ . Les termes de ces suites seront notés $𝑣_{𝑛, 𝑘}$ .
On veut construire une suite de Cauchy $𝑤$ dont l’image dans le quotient $\hat{𝑋}$ est limite de $𝑢$ . L’idée est essentiellement de procéder à une extraction diagonale sur la « suite double » $𝑣$ . L’implémentation naïve serait de poser $𝑤 = (𝑛 \mapsto 𝑣_{𝑛, 𝑛})$ mais cela n’apporte pas assez de contrôle car les différentes suites $𝑣_{𝑛}$ ne sont pas « uniformément de Cauchy » : pour chaque $𝑛$ , la suite $𝑁 \mapsto sup {𝑑 (𝑣_{𝑛, 𝑙}, 𝑣_{𝑛, 𝑘}); 𝑙, 𝑘 \geq 𝑁}$ tend vers $0$ , mais pas à une vitesse uniforme en $𝑛$ .
Pour contourner ce problème, on observe que, puisque chaque $𝑣_{𝑛}$ est de Cauchy, on peut choisir une suite d’entiers $𝑁_{𝑚}$ telle que
On considère la suite $𝑤 : ℕ \to 𝑋$ définie par $𝑛 \mapsto 𝑣_{𝑛, 𝑁_{𝑛}}$ . On va montrer que $𝑤$ est de Cauchy et que $𝑢$ tend vers $𝜋 (𝑤)$ dans $\hat{𝑋}$ .
Montrons que $𝑤$ est de Cauchy. Soit $𝜀 > 0$ . On doit montrer que
Soit $𝑁_{0}$ tel que $\forall 𝑛 \geq 𝑁_{0}, 1 / (𝑛 + 1) < 𝜀 / 3$ . Puisque $𝑢$ est de Cauchy, on obtient $𝑁_{1}$ tel que $\forall 𝑛, 𝑚 \geq 𝑁_{1}, {lim}_{𝑘} 𝑑 (𝑣_{𝑛, 𝑘}, 𝑣_{𝑚, 𝑘}) < 𝜀 / 3$ . Montrons que $𝑁 = max (𝑁_{0}, 𝑁_{1})$ convient. Soit $𝑛$ et $𝑚$ plus grands que $𝑁$ . En particulier ils sont plus grands que $𝑁_{0}$ donc $1 / (𝑛 + 1)$ et $1 / (𝑚 + 1)$ sont tous deux plus petits que $𝜀 / 3$ . De plus $𝑛$ et $𝑚$ sont plus grands que $𝑁_{1}$ donc ${lim}_{𝑘} 𝑑 (𝑣_{𝑛, 𝑘}, 𝑣_{𝑚, 𝑘}) < 𝜀 / 3$ . On obtient donc $𝑘_{0}$ tel que $\forall 𝑘 \geq 𝑘_{0}, 𝑑 (𝑣_{𝑛, 𝑘}, 𝑣_{𝑚, 𝑘}) < 𝜀 / 3$ . On pose $𝑘 = max (𝑁_{𝑛}, 𝑁_{𝑚}, 𝑘_{0})$ . On a par inégalité triangulaire,
Les trois morceaux sont inférieurs à $𝜀 / 3$ . Le premier car $𝑘 \geq 𝑁_{𝑛}$ donc $𝑑 (𝑤_{𝑛}, 𝑣_{𝑛, 𝑘}) \leq 1 / (𝑛 + 1) < 𝜀 / 3$ . Le deuxième car $𝑘 \geq 𝑘_{0}$ . Le troisième car $𝑘 \geq 𝑁_{𝑚}$ donc $𝑑 (𝑤_{𝑚}, 𝑣_{𝑚, 𝑘}) \leq 1 / (𝑚 + 1) < 𝜀 / 3$ .
Montrons maintenant que $𝑢$ tends vers $𝜋 (𝑤)$ . Par définition, $𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝜋 (𝑤)) = {lim}_{𝑘} 𝑑 (𝑣_{𝑛, 𝑘}, 𝑤_{𝑘})$ . Or, pour tout $𝑘 \geq 𝑁_{𝑛}$ , $𝑑 (𝑣_{𝑛, 𝑘}, 𝑤_{𝑘}) < 1 / (𝑛 + 1)$ . Donc on peut passer à la limite sur $𝑘$ pour obtenir $𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝜋 (𝑤)) \leq 1 / (𝑛 + 1)$ et en déduire la limite voulue.
Montrer que, pour tout espace métrique complet $𝑌$ et toute fonction uniformément continue de $𝑋$ dans $𝑌$ , il existe une unique application uniformément continue $\bar{𝑓} : \hat{𝑋} \to 𝑌$ telle que $\bar{𝑓} \circ 𝜄 = 𝑓$ .
Soit $𝑌$ un espace métrique complet et $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction uniformément continue. On veut définir $\bar{𝑓}$ . La propriété universelle des quotients assure qu’il est équivalent de construire une fonction $𝜑$ sur $𝐶 (𝑋)$ compatible avec la relation d’équivalence. Soit $𝑢$ une suite de Cauchy dans $𝑋$ . Comme $𝑓$ est uniformément continue, la suite $𝑓 \circ 𝑢$ est également de Cauchy. Comme $𝑌$ est supposé complet, cette suite converge. On définit $𝜑 (𝑢)$ comme étant sa limite.
Montrons que $𝜑$ est effectivement compatible avec la relation d’équivalence. Soit $𝑢$ et $𝑣$ deux suites équivalentes. Montrons que $𝜑 (𝑢) = 𝜑 (𝑣)$ , c’est-à-dire que $𝑓 \circ 𝑢$ et $𝑓 \circ 𝑣$ ont la même limite dans $𝑌$ . Il suffit pour cela de montre que, pour tout $𝜀 > 0$ , $𝑑 (lim (𝑓 \circ 𝑢), lim (𝑓 \circ 𝑣)) \leq 𝜀$ . Soit $𝜀 > 0$ . Comme $𝑓$ est uniformément continue, on obtient $𝛿 > 0$ tel que, pour tous $𝑥$ et $𝑥^{'}$ dans $𝑋$ , si $𝑑 (𝑥, 𝑥^{'}) < 𝛿$ alors $𝑑 (𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑥^{'})) < 𝜀$ . Comme $𝑢$ et $𝑣$ sont équivalentes, on obtient un entier $𝑁$ tel que, pour tous $𝑛 \geq 𝑁$ , $𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛}) < 𝛿$ . Ainsi, pour tous $𝑛 \geq 𝑁$ , $𝑑 (𝑓 (𝑢_{𝑛}), 𝑓 (𝑣_{𝑛})) < 𝜀$ . En passant à la limite, on obtient bien $𝑑 (lim (𝑓 \circ 𝑢), lim (𝑓 \circ 𝑣)) \leq 𝜀$ .
On obtient ainsi une application $\hat{𝑓}$ induite par $𝜑$  : pour toute suite de Cauchy $𝑢$ , $\hat{𝑓} (𝜋 (𝑢)) = lim (𝑓 \circ 𝑢)$ . Montrons que $\hat{𝑓} \circ 𝜄 = 𝑓$ . Soit $𝑥$ un élément de $𝑋$ . Par construction $𝜄 (𝑥) = 𝜋 (𝑛 \mapsto 𝑥)$ . On a donc $\hat{𝑓} (𝜄 (𝑥)) = lim (𝑛 \mapsto 𝑓 (𝑥)) = 𝑓 (𝑥)$ comme espéré.
Montrons que $\hat{𝑓}$ est uniformément continue. Soit $𝜀 > 0$ . Montrons qu’il existe $𝛿 > 0$ tel que, pour tous $𝑠$ et $𝑡$ dans $\hat{𝑋}$ , $𝑑 (𝑠, 𝑡) < 𝛿 \Rightarrow 𝑑 (\hat{𝑓} (𝑠), \hat{𝑓} (𝑡)) < 𝜀$ . Concrètement, il s’agit de trouver $𝛿$ tel que, pour toutes suites de Cauchy $𝑢$ et $𝑣$ dans $𝑋$ , si ${lim}_{𝑛} 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛}) < 𝛿$ alors $𝑑 ({lim}_{𝑛} 𝑓 (𝑢_{𝑛}), {lim}_{𝑛} 𝑓 (𝑣_{𝑛})) < 𝜀$ . La continuité uniforme de $𝑓$ fournit $𝛿$ tel que, pour tous $𝑥$ et $𝑥^{'}$ dans $𝑋$ , si $𝑑 (𝑥, 𝑥^{'}) < 𝛿$ alors $𝑑 (𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑥^{'})) < 𝜀 / 3$ . Montrons que ce $𝛿$ convient. Soit $𝑢$ et $𝑣$ des suites de Cauchy dans $𝑋$ telles que ${lim}_{𝑛} 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑣_{𝑛}) < 𝛿$ . On a, pour tout $𝑘$ ,
Pour $𝑘$ assez grand, $𝑑 (𝑢_{𝑘}, 𝑣_{𝑘}) < 𝛿$ par hypothèse sur $𝑢$ et $𝑣$ et donc le morceau du milieu est inférieur à $𝜀 / 3$ par construction de $𝛿$ . Les deux autres morceaux sont également inférieurs à $𝜀 / 3$ pour $𝑘$ assez grand par définition des limites.
Il reste à montrer que $\bar{𝑓}$ est unique. Pour cela, il suffit de montrer que l’image de $𝜄$ est dense dans $\hat{𝑋}$ . En effet $\bar{𝑓}$ est spécifiée sur cette image par la contrainte $\bar{𝑓} \circ 𝜄 = 𝑓$ et $\bar{𝑓}$ est uniformément continue donc continue. Soit $𝑧 \in \hat{𝑋}$ . Montrons que $𝑧$ est limite de points de l’image de $𝜄$ . Par construction de $\hat{𝑋}$ , on obtient une suite de Cauchy $𝑢$ dans $𝑋$ telle que $𝑧 = 𝜋 (𝑢)$ . Montrons que $𝑧$ est la limite de la suite $𝑛 \mapsto 𝜄 (𝑢_{𝑛})$ dans $\hat{𝑋}$ . Par construction, $𝑑 (𝜄 (𝑢_{𝑛}), 𝑧) = {lim}_{𝑘} 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑢_{𝑘})$ . Soit $𝜀 > 0$ . Comme $𝑢$ est de Cauchy, on obtient $𝑁$ tel que $\forall 𝑛, 𝑘 \geq 𝑁, 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑢_{𝑘}) < 𝜀 / 2$ . Montrons que ce $𝑁$ convient, c’est à dire $\forall 𝑛 \geq 𝑁, 𝑑 (𝜄 (𝑢_{𝑛}), 𝑧) < 𝜀$ . Soit $𝑛 \geq 𝑁$ . On sait que $\forall 𝑘 \geq 𝑁, 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑢_{𝑘}) < 𝜀 / 2$ . On fait tendre $𝑘$ vers l’infini pour obtenir ${lim}_{𝑘} 𝑑 (𝑢_{𝑛}, 𝑢_{𝑘}) \leq 𝜀 / 2 < 𝜀$ , comme annoncé.
Conclure et décrire l’unité et la co-unité de l’adjonction obtenue. Montrer que la co-unité est un isomorphisme naturel.
Le critère d’existence d’adjoint à gauche du cours fournit un adjoint à gauche de l’inclusion qui envoie $𝑋$ sur $\hat{𝑋}$ et ayant pour composantes de l’unité $𝜂$ les applications $𝜄 : 𝑋 \to \hat{𝑋}$ . En effet, notons $ℳ︀$ la catégorie des espaces métriques et $𝒞$ celles des espaces métriques complets (avec les fonctions uniformément continues comme morphismes dans les deux cas). Notons $𝑈$ le foncteur d’inclusion de $𝒞$ dans $ℳ︀$ . Pour tout espace métrique $𝑋$ , notons $𝒞_{𝑋}$ la catégorie dont les objets sont des paires $(𝑌, 𝑓)$ où $𝑌$ est un espace métrique complet et $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction uniformément continue ( $𝑓$ est donc un morphisme de $𝑋$ vers $𝑈 𝑌$ dans $ℳ︀$ ). Les morphismes dans $𝒞_{𝑋}$ entre $(𝑌, 𝑓)$ et $(𝑍, 𝑔)$ sont les application uniformément continues $ℎ$ de $𝑌$ dans $𝑍$ telles que $𝑔 = ℎ \circ 𝑓$ (autrement dit $ℎ$ est un morphisme de $𝑌$ vers $𝑍$ dans $𝒞$ tel que $𝑔 = 𝑈 ℎ \circ 𝑓$ ). Le critère du cours assure qu’il existe un adjoint à gauche de $𝑈$ si (et seulement si) toutes les catégorie $𝒞_{𝑋}$ admettent un objet initial. De plus si on choisit un tel objet $(𝐹_{𝑋}, 𝜄_{𝑋})$ pour chaque $𝑋$ alors $𝑋 \mapsto 𝐹_{𝑋}$ s’étend en foncteur adjoint à gauche de $𝑈$ et les $𝜄_{𝑋}$ forment les composantes de l’unité de $𝐹 ⊣ 𝑈$ .
La paire $(\hat{𝑋}, 𝜄)$ construite dans les questions précédentes est bien un objet initial dans $𝒞_{𝑋}$ . Les questions 4 et 6 montrent que $\hat{𝑋}$ est un objet de $𝒞$ . La question 5 montre que $𝜄$ est un morphisme de $𝑋$ vers $𝑈 \hat{𝑋}$ dans $ℳ︀$ . Ainsi $(\hat{𝑋}, 𝜄)$ est bien un objet de $𝒞_{𝑋}$ . La question 7 assure que cet objet est initial. En effet, cette question considère $(𝑌, 𝑓)$ dans $𝒞_{𝑋}$ et construit un unique morphisme $\bar{𝑓}$ de $(\hat{𝑋}, 𝜄)$ vers $(𝑌, 𝑓)$ puisque $𝑈 \bar{𝑓} \circ 𝜄 = 𝑓$ .
On obtient ainsi une adjonction $𝐹 ⊣ 𝑈$ telle que, pour tout espace métrique, $𝐹 𝑋 = \hat{𝑋}$ , $𝜂_{𝑋} = 𝜄$ (le $𝜄$ correspondant à $𝑋$ ) et, pour tout $𝑌$ complet, la bijection $𝜑_{𝑋, 𝑌} : Hom (\hat{𝑋}, 𝑌) \to Hom (𝑋, 𝑈 𝑌)$ envoie $𝑔$ sur $𝑔 \circ 𝜄$ et son inverse envoie $𝑓$ sur le $\bar{𝑓}$ de la question 7.
Il reste à comprendre la co-unité $𝜀$ . Par définition, il s’agit d’une transformation naturelle dont la composante $𝜀_{𝑌}$ en un espace métrique complet $𝑌$ est $𝜑_{𝑈 𝑌, 𝑌}^{- 1} (1_{𝑈 𝑌})$ , c’est-à-dire l’extension $\overline{{Id}_{𝑌}}$ à $\hat{𝑌}$ de l’identité de $𝑌$ . Plus précisément, il s’agit de $\overline{{Id}_{𝑌}}$ vu comme morphisme de $𝐹 𝑈 𝑌$ dans $𝑌$ . On veut montrer qu’il s’agit d’un isomorphisme. Concrètement on peut montrer qu’il admet $𝜄 : 𝑌 \to \hat{𝑌}$ comme inverse. La composée $\overline{{Id}_{𝑌}} \circ 𝜄$ envoie tout point $𝑦$ sur la limite de la suite $Id \circ (𝑛 \mapsto 𝑦)$ qui est bien $𝑦$ . La composée $𝜄 \circ \overline{{Id}_{𝑌}}$ envoie tout $𝑧 = 𝜋 (𝑢)$ sur $𝜄 ({lim}_{𝑛} Id (𝑢_{𝑛})) = 𝜋 (𝑘 \mapsto {lim}_{𝑛} 𝑢_{𝑛})$ . Pour montrer qu’il s’agit de $𝑧$ , il suffit de montrer que $𝑢$ et $𝑘 \mapsto {lim}_{𝑛} 𝑢_{𝑛}$ sont équivalentes. Or on a bien ${lim}_{𝑘} 𝑑 (𝑢_{𝑘}, {lim}_{𝑛} 𝑢_{𝑛}) = 0$ .
On peut aussi raisonner plus abstraitement et argumenter que $(𝑌, {Id}_{𝑌})$ est également un objet initial dans $𝒞_{𝑈 𝑌}$ donc il existe une unique morphisme $𝜃$ de $\hat{𝑌}$ dans $𝑌$ tel que $𝜃 \circ 𝜄 = Id$ et ce morphisme est un isomorphisme. Comme $\overline{{Id}_{𝑌}}$ convient, il s’agit d’un isomorphisme.

Exercice 5.65

On note $𝒟$ la catégorie des espaces topologiques discrets et $ℒ︀ 𝒞︀$ celle des espaces localement connexes par arcs (ce qui signifie que, pour tout point $𝑥$ , tout voisinage de $𝑥$ contient un voisinage de $𝑥$ connexe par arcs). Dans les deux cas, les morphismes sont les fonctions continues.

Soit $𝑋$ un espace topologique localement connexe par arcs.
1. Montrer que les composantes connexes par arcs de $𝑋$ sont ouvertes.
  Soit $𝐴$ une composante connexe par arcs de $𝑋$ . Montrons que $𝐴$ est voisinage de chacun de ses points. Soit $𝑥 \in 𝐴$ . Par hypothèse sur $𝑋$ , le voisinage $𝑋$ de $𝑥$ contient un voisinage $𝑈$ de $𝑥$ connexe par arcs. On a $𝑈 \subseteq 𝐴$ car $𝐴$ est la plus grande partie connexe par arcs contenant $𝑥$ . Donc $𝐴$ est un voisinage de $𝑥$ .
2. Montrer que la topologie quotient sur $𝜋_{0} (𝑋)$ est discrète.
  Il suffit de montrer que les singletons sont ouverts, puisque toute partie est réunion de singletons. Soit $𝑧 \in 𝜋_{0} (𝑋)$ . La préimage $𝑝_{𝑋}^{*} ({𝑧})$ est une composante connexes par arcs de $𝑋$ par définition de $𝜋_{0} (𝑋)$ . Elle est donc ouverte par la question précédente.
3. On note $𝑝_{𝑋}$ la projection de $𝑋$ sur son quotient $𝜋_{0} (𝑋)$ . Montrer que, pour toute fonction continue $𝑓$ de $𝑋$ vers un espace topologique discret $𝑌$ , il existe une unique fonction continue $\bar{𝑓} : 𝜋_{0} (𝑋) \to 𝑌$ telle que $𝑓 = \bar{𝑓} \circ 𝑝_{𝑋}$ .
  Vu la propriété universelle de la topologie quotient, il suffit de montrer que $𝑓$ descend en quotient. Soit $𝑥$ et $𝑥^{'}$ équivalents dans $𝑋$ . Montrons que $𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥^{'})$ . Par hypothèse, on obtient un chemin continu $𝛾 : [0, 1] \to 𝑋$ tel que $𝛾 (0) = 𝑥$ et $𝛾 (1) = 𝑥^{'}$ . Comme $𝑓 \circ 𝛾$ est continue et relie $𝑓 (𝑥)$ à $𝑓 (𝑥^{'})$ , ces points sont dans le même composante connexe par arcs de $𝑌$ . Or $𝑌$ est discret donc ses composantes connexes par arcs sont des singletons donc $𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥^{'})$ .
  Si on veut donner plus de détails sur ce dernier point, on peut dire que ${𝑓 (𝑥)}$ est à la fois ouvert et fermé dans $𝑌$ (comme toutes les parties de $𝑌$ ) donc ${(𝑓 \circ 𝛾)}^{- 1} ({𝑓 (𝑥)})$ est ouvert et fermé dans $[0, 1]$ et non vide car contenant $0$ donc c’est tout $[0, 1]$ par connexité de $[0, 1]$ .
Montrer que tout espace discret est localement connexe par arcs et que le foncteur d’inclusion de $𝒟$ dans $ℒ︀ 𝒞︀$ admet un adjoint à gauche.
Soit $𝑋$ un espace discret. Montrons que $𝑋$ est localement connexe par arcs. Soit $𝑥$ un point de $𝑋$ et $𝑉$ un voisinage de $𝑋$ . Le voisinage $𝑉$ contient bien un voisinage connexe par arcs puisque ${𝑥}$ fait l’affaire.
Attention : il ne suffit pas de dire que $𝑥$ admet un voisinage connexe par arcs, il faut bien montrer que tous les voisinages de $𝑥$ contiennent un voisinage connexe par arcs.
On a donc bien une inclusion de $𝒟$ dans $ℒ︀ 𝒞︀$ . On vient de le voir sur les objets et les morphismes sont les mêmes. Montrons maintenant qu’elle admet un adjoint à gauche. On applique le critère du cours. Il suffit de montrer que, pour chaque $𝑋$ objet de $ℒ︀ 𝒞︀$ , il existe un objet initial dans la catégorie dont les objets sont les paires $(𝑍, 𝑓)$ où $𝑍$ est un espace topologique discret et $𝑓$ une application continue de $𝑋$ dans $𝑍$ et les morphismes de $(𝑍, 𝑓)$ dans $(𝑊, 𝑔)$ sont les fonctions continues $ℎ$ de $𝑍$ dans $𝑊$ telles que $ℎ \circ 𝑓 = 𝑔$ .
Fixons un objet $𝑋$ de $ℒ︀ 𝒞︀$ . La question 1b assure que $(𝜋_{0} (𝑋), 𝑝_{𝑋})$ est bien un objet de la catégorie associée à $𝑋$ par le paragraphe précédent. La question 1c assure qu’il est initial.

Exercice 5.66 (Fonctorialité des conoyaux)

Le but de cet exercice est de construire le foncteur conoyau en algèbre linéaire et sa propriété universelle comme adjoint à gauche. On fixe un anneau commutatif $𝐴$ (car travailler sur un corps ne simplifierait rien). On note ${Lin}_{𝐴}$ la catégorie dont les objets sont les $(𝑀, 𝑁, 𝑓)$ où $𝑀$ et $𝑁$ sont des $𝐴$ -modules et $𝑓 : 𝑀 \to 𝑁$ une application $𝐴$ -linéaire. Les morphismes entre $(𝑀, 𝑁, 𝑓)$ et $(𝑀^{'}, 𝑁^{'}, 𝑓^{'})$ sont les paires d’applications $𝐴$ -linéaires $(𝜑 : 𝑀 \to 𝑀^{'}, 𝜓 : 𝑁 \to 𝑁^{'})$ telles que

commute. On compose ces morphismes en empilant les diagrammes. On considère le foncteur $𝑍 : {Mod}_{𝐴} \to {Lin}_{𝐴}$ qui envoie tout module $𝑀$ sur $(0, 𝑀, 0)$ , l’inclusion du module nul dans $𝑀$ . Il envoie tout morphisme $𝑔 : 𝑀 \to 𝑀^{'}$ sur $𝑍 𝑔 = (0, 𝑔)$ qui est bien un morphisme dans ${Lin}_{𝐴}$ et la fonctorialité de $𝑍$ est claire. Montrer que $𝑍$ admet un adjoint à gauche $coker : {Lin}_{𝐴} \to {Mod}_{𝐴}$ qui envoie tout objet $(𝑀, 𝑁, 𝑓)$ sur $coker (𝑓) ≔ 𝑀 / 𝑓_{*} 𝑁$ . Décrire l’unité de cette adjonction et sa propriété universelle. Caractériser l’action de $coker$ sur les morphismes dans ${Lin}_{𝐴}$ .

On utilise le théorème de construction d’adjoint à gauche. Soit $(𝑀, 𝑁, 𝑓)$ un objet dans ${Lin}_{𝐴}$ . On considère la catégorie $ℰ_{𝑓}$ dont les objets sont les paires $(𝑃, (𝜑, 𝜓))$ où $𝑃$ est un $𝐴$ -module et $(𝜑, 𝜓)$ est un morphisme de $(𝑀, 𝑁, 𝑓)$ vers $𝑍 𝑃$ dans ${Lin}_{𝐴}$ . Un morphisme entre $(𝑃, (𝜑, 𝜓))$ et $(𝑃^{'}, (𝜑^{'}, 𝜓^{'}))$ dans $ℰ_{𝑓}$ est une application $𝐴$ -linéaire $𝑔 : 𝑃 \to 𝑃^{'}$ telle que $(𝜑^{'}, 𝜓^{'}) = (𝑍 𝑔) \circ (𝜑, 𝜓)$ (le fait qu’on obtienne ainsi une catégorie a déjà été vérifié dans le cas général). Le point clef à démontrer est que $(coker (𝑓), (0, 𝜋_{𝑓}))$ , où $𝜋_{𝑓} : 𝑁 \to coker (𝑓)$ est la projection canonique, est un objet initial dans cette catégorie.

Il s’agit bien d’un objet de $ℰ_{𝑓}$ . Montrons qu’il est initial (c’est la propriété universelle du conoyau). Soit $(𝑃, (𝜑, 𝜓))$ un autre objet de $ℰ_{𝑓}$ . On veut montrer qu’il existe une unique application $𝐴$ -linéaire $𝜃 : coker (𝑓) \to 𝑃$ telle que $(𝜑, 𝜓) = 𝑍 𝜃 \circ (0, 𝜋_{𝑓})$ . On a le diagramme commutatif

On en déduit d’abord que $𝜑 = 0$ et donc la condition $(𝜑, 𝜓) = 𝑍 𝜃 \circ (0, 𝜋_{𝑓})$ équivaut à $𝜓 = 𝜃 \circ 𝜋_{𝑓}$ . On en déduit également que $𝜓 \circ 𝑓 = 0$ . Ainsi $𝑓_{*} 𝑀 \subseteq ker 𝜓$ donc, par propriété universelle des modules quotients, $𝜓$ descend en unique application $𝐴$ -linéaire $\overline{𝜓} : coker (𝑓) \to 𝑃$ telle que $𝜓 = \overline{𝜓} \circ 𝜋_{𝑓}$ .

Le cours assure donc qu’il existe un foncteur $coker : {Lin}_{𝐴} \to {Mod}_{𝐴}$ adjoint à gauche de $𝑍$ qui envoie tout $(𝑀, 𝑁, 𝑓)$ sur $coker (𝑓)$ avec comme unité $(𝑀, 𝑁, 𝑓) \mapsto (0, 𝜋_{𝑓})$ . Le cours caractérise également l’action du foncteur $coker$ sur un morphisme $(𝜑, 𝜓) : (𝑀, 𝑁, 𝑓) \to (𝑀^{'}, 𝑁^{'}, 𝑓^{'})$  : il s’agit de l’unique application linéaire $𝑐 : coker (𝑓) \to coker (𝑓^{'})$ telle que

commute, c’est-à-dire $𝜋_{𝑓^{'}} \circ 𝜓 = 𝑐 \circ 𝜋_{𝑓}$ . On peut représenter cela sur le diagramme commutatif suivant :

où les lignes sont exactes (les flèches vers $0$ à droite indiquent que les projections sont surjectives). La fonctorialité assure également que la construction de $𝑐$ est compatible avec les compositions.

Exercice 5.67

Le but de cet exercice est de décrire le passage des parties aux filtres comme l’application d’un adjoint à gauche. On note $𝒞$ la catégorie dont les objets sont les treillis complets et les morphismes sont les fonctions croissantes (c’est donc la sous-catégorie pleine de $Ord$ sont les objets sont les treillis complets). On note $𝒟$ la catégorie dont les objets sont les treillis complets et les morphismes sont les fonctions qui commutent aux infs filtrants (ce n’est donc pas une sous-catégorie pleine de $Ord$ ). Comme les fonctions qui commutent aux infs filtrants sont croissantes, on a un foncteur d’oubli $𝑈 : 𝒟 \to 𝒞$ . Le but est de construire un adjoint à gauche de $𝑈$ qui, pour tout ensemble $𝑋$ , envoie $𝒫 (𝑋)$ sur $ℱ (𝑋)$ . En vue d’appliquer le théorème 5.4.8, on définit, pour tout treillis complet $𝑌$ ,

On note que, pour tout ensemble $𝑋$ , $𝐿 (𝒫 (𝑋)) = ℱ (𝑋)$ (en utilisant la remarque 2.2.4).

Montrer que tout élément $𝐹$ de $𝐿 𝑌$ contient $⊤$ , l’élément maximum de $𝑌$ .
Soit $𝐹$ dans $𝐿 𝑌$ . Comme $𝐹$ est une partie filtrante de $𝑌$ par définition de $𝑌$ , elle n’est pas vide. On obtient ainsi $𝑦 \in 𝐹$ . Comme $𝑦 \leq ⊤$ , on en déduit $⊤ \in 𝐹$ par définition de $𝐿 𝑌$ .
Montrer que $𝐿 𝑌$ muni de la relation opposée à la relation induite par $𝒫 (𝑌)$ est un treillis complet.
On a $𝐿 𝑌 \subseteq {𝒫 (𝑌)}^{op}$ par construction. D’après le corollaire 1.4.14, il suffit de montrer que, pour tout $𝑆 \subseteq 𝐿 𝑌$ , $sup (𝑆) \in 𝐿 𝑌$ , où le sup est pris dans ${𝒫 (𝑌)}^{op}$ . Soit $𝑆 \subseteq 𝐿 𝑌$ . Montrons que $𝐺 ≔ ⋂_{𝐹 \in 𝑆} 𝐹$ est dans $𝐿 𝑌$ . Soit $𝑦 \in 𝐺$ et $𝑦^{'} \in 𝑌$ tel que $𝑦 \leq 𝑦^{'}$ . Pour tout $𝐹 \in 𝑆$ , $𝑦 \in 𝐹$ et donc $𝑦^{'} \in 𝐹$ . Donc $𝑦^{'} \in 𝐺$ . Montrons que $𝐺$ est filtrante. Pour tout $𝐹 \in 𝑆$ , $⊤ \in 𝐹$ par la question précédente. Donc $⊤ \in 𝐺$ , et en particulier $𝐺$ n’est pas vide. Soit $𝑦$ et $𝑦^{'}$ dans $𝐺$ . Pour tout $𝐹 \in 𝑆$ , $𝑦 \in 𝐹$ et $𝑦^{'} \in 𝐹$ donc $𝑦 \land 𝑦^{'} \in 𝐹$ (en effet l’hypothèse que $𝐹$ est filtrante fournit un minorant $𝑦^{″}$ de ${𝑦, 𝑦^{'}}$ dans $𝐹$ puis on utilise $𝑦^{″} \leq 𝑦 \land 𝑦^{'}$ et donc $𝑦 \land 𝑦^{'} \in 𝐹$ par définition de $𝐿 𝑌$ ). Donc $𝑦 \land 𝑦^{'} \in 𝐺$ . On notera que c’est bien sûr la même démonstration que pour montrer que $ℱ (𝑋)$ est un treillis complet, car cette démonstration n’utilisait en fait rien de spécifique à $𝒫 (𝑋)$ .
Montrer que $𝜂_{𝑌} : 𝑌 \to 𝑈 𝐿 𝑌$ défini par $𝜂_{𝑌} (𝑦) = {𝑦^{'} | 𝑦 \leq 𝑦^{'}}$ est une fonction croissante qui prend bien ses valeurs dans $𝑈 𝐿 𝑌$ . On note que $𝜂_{𝒫 (𝑋)}$ est l’application filtre principal.
Soit $𝑦 \in 𝑌$ . Montrons que $𝜂_{𝑌} (𝑦)$ est dans $𝐿 𝑌$ . Il est non vide, car il contient $𝑦$ . Soit $𝑦^{'}$ et $𝑦^{″}$ dans $𝜂_{𝑌} (𝑦)$ . On a $𝑦 \leq 𝑦^{'}$ et $𝑦 \leq 𝑦^{″}$ donc $𝑦 \leq 𝑦^{'} \land 𝑦^{″}$ et $𝜂_{𝑌} (𝑦)$ est bien filtrante. L’autre condition est encore plus claire.
Soit $𝑦$ et $𝑦^{'}$ dans $𝑌$ avec $𝑦 \leq 𝑦^{'}$ . On a bien $𝜂_{𝑌} (𝑦^{'}) \subseteq 𝜂_{𝑌} (𝑦)$ par transitivité de $\leq$ , donc $𝜂_{𝑌} (𝑦) \leq 𝜂_{𝑌} (𝑦^{'})$ .
Montrer que $(𝐿 𝑌, 𝜂_{𝑌})$ est un objet initial de $𝑌 ↓ 𝑈$ et conclure. On pourra s’inspirer très fortement de la démonstration du théorème 2.4.6.
Soit $𝑍$ un treillis complet et $𝜑 : 𝑌 \to 𝑈 𝑍$ une fonction croissante. On veut une unique fonction $\overline{𝜑} : 𝐿 𝑌 \to 𝑍$ qui commute aux infs filtrants et telle que
commute. Il s’agit de recopier la démonstration du théorème 2.4.6 en remarquant qu’elle n’utilise nulle part que $𝑌 = 𝒫 (𝑋)$ pour un ensemble $𝑋$ .
Montrons d’abord l’analogue de la remarque 2.2.10 : pour tout $𝐹 \in 𝐿 𝑌$ et tout $𝑦 \in 𝑌$ , $𝐹 \leq 𝜂_{𝑌} (𝑦) \Leftrightarrow 𝑦 \in 𝐹$ . On fixe $𝐹$ et $𝑦$ . Supposons $𝐹 \leq 𝜂_{𝑌} (𝑦)$ . Comme $𝑦 \leq 𝑦$ , $𝑦 \in 𝜂_{𝑌} (𝑦)$ et donc $𝑦 \in 𝐹$ . Réciproquement supposons $𝑦 \in 𝐹$ et montrons que $𝐹 \leq 𝜂_{𝑌} (𝑦)$ . Soit $𝑦^{'} \in 𝜂_{𝑌} (𝑦)$ . On a $𝑦 \leq 𝑦^{'}$ et $𝑦 \in 𝐹$ donc $𝑦^{'} \in 𝐹$ par définition de $𝐿 𝑌$ .
Montrons maintenant l’analogue du lemme 2.4.8 : pour tout $𝐹 \in 𝐿 𝑌$ , $𝐹 = {inf}_{𝑦 tq 𝐹 \leq 𝜂_{𝑌} (𝑦)} 𝜂_{𝑌} (𝑦)$ . Par définition, $𝐹$ minore l’ensemble dont on prend l’inf ici. Soit $𝐹^{'}$ un autre minorant. Montrons que $𝐹^{'} \leq 𝐹$ . Soit $𝑦^{'} \in 𝐹$ . On a $𝐹 \leq 𝜂_{𝑌} (𝑦^{'})$ par le paragraphe précédent, puis $𝐹^{'} \leq 𝜂_{𝑌} (𝑦^{'})$ par transitivité et donc $𝑦^{'} \in 𝐹^{'}$ par une nouvelle application du paragraphe précédent.
Montrons enfin l’analogue du lemme 2.4.11 : l’inclusion de $𝐿 𝑌$ dans ${𝒫 (𝑌)}^{op}$ commute aux inf filtrants. Soit $𝑆$ une partie filtrante de $𝐿 𝑌$ . Montrons que $𝐺 ≔ ⋃_{𝐹 \in 𝑆} 𝐹$ est dans $𝐿 𝑌$ . Comme $𝑆$ n’est pas vide et que chacun de ses éléments contient $⊤$ par la première question, on obtient $⊤ \in 𝐺$ , donc $𝐺$ n’est pas vide. Soit $𝑦$ et $𝑦^{'}$ dans $𝐺$ . Montrons que $𝑦 \land 𝑦^{'} \in 𝐺$ . Comme $𝑦 \in 𝐺$ , on obtient $𝐹 \in 𝑆$ tel que $𝑦 \in 𝐹$ . Comme $𝑦^{'} \in 𝐺$ , on obtient $𝐹^{'} \in 𝑆$ tel que $𝑦 \in 𝐹^{'}$ . Comme $𝑆$ est filtrante, on obtient $𝐹^{″} \in 𝑆$ tel que $𝐹^{″} \leq 𝐹$ et $𝐹^{″} \leq 𝐹^{'}$ . On a donc $𝑦 \in 𝐹^{″}$ et $𝑦^{'} \in 𝐹^{″}$ donc, par définition de $𝐿 𝑌$ , $𝑦 \land 𝑦^{'} \in 𝐹^{″}$ . La dernière condition est claire.
Après ces préliminaires, on peut démontrer l’existence et l’unicité de l’extension. Soit $𝑍$ un treillis complet et $𝜑 : 𝑌 \to 𝑍$ une fonction croissante. Montrons d’abord l’unicité. Soit $\overline{𝜑}$ une extension de $𝜑$ qui commute aux infs filtrants. Soit $𝐹 \in 𝐿 𝑌$ . On calcule en utilisant le lemme 2.4.10 et le fait que $𝐹$ est filtrante :
Cette formule ne dépend que de $𝜑$ et $𝐹$ donc l’unicité est démontrée. Pour l’existence, on définit $\overline{𝜑}$ par cette formule. Montrons que $\overline{𝜑}$ convient. Montrons qu’elle étend $𝜑$ . Soit $𝑦 \in 𝑌$ .
Montrons maintenant que $\overline{𝜑}$ commute aux infs filtrants. Soit $𝑆 \subseteq 𝑌$ une partie filtrante.
Remarque : dans tout cet exercice, l’hypothèse « treillis complet » est plus forte que nécessaire, on pourrait raconter la même histoire en supposant seulement l’existence des infs filtrants et d’un maximum, mais il faudrait être plus prudent pour montrer que $𝐿 𝑌$ est un objet de la catégorie visée, faute d’avoir accès au corollaire 1.4.14.