2. Filtres

2.1. Prologue

Dans la suite, il sera commode d’emprunter un peu de vocabulaire aux logiciens. Un prédicat $𝑝$ sur un ensemble $𝑋$ est « une fonction de $𝑋$ dans les énoncés ». À chaque élément $𝑥$ de $𝑋$, on associe un énoncé $𝑝\left(𝑥\right)$ qui peut être vrai ou faux. Ces gadgets logiques apparaissent par exemple lorsqu’on discute le principe de récurrence sur les entiers : pour tout prédicat $𝑝$ sur $\mathbb{N}$, si $𝑝\left(0\right)$ et $\forall 𝑛,𝑝\left(𝑛\right)\Rightarrow 𝑝\left(𝑛+1\right)$ alors $\forall 𝑛,𝑝\left(𝑛\right)$.

Il est courant de dire ou d’écrire « Pour tout entier $𝑛$ assez grand, $𝑝\left(𝑛\right)$ », ou « Pour tout $𝑥$ assez proche de ${𝑥}_0$, $𝑝\left(𝑥\right)$ » ou « Pour presque tout $𝑥$, $𝑝\left(𝑥\right)$ » pour des prédicats $𝑝$ sur respectivement les entiers, les points d’un espace topologique ou les points d’un espace mesuré. Ces phrases peuvent sembler manquer de rigueur, mais il est facile de préciser ce qu’elles signifient. La première signifie qu’il existe un entier $𝑁$ tel que pour tout $𝑛\ge 𝑁$, $𝑝\left(𝑛\right)$. La seconde signifie qu’il existe un ouvert $𝑈$ contenant ${𝑥}_0$ tel que, pour tout $𝑥$ dans $𝑈$, $𝑝\left(𝑥\right)$. La seconde signifie qu’il existe un ensemble $𝑁$ mesurable de mesure nulle tel que, pour tout $𝑥$ qui n’est pas dans $𝑁$, $𝑝\left(𝑥\right)$.

Une question naturelle est de se demander quelles sont les propriétés communes à ces trois exemples qui font que cette façon de parler est pertinente. Afin de préciser ce que « pertinente » signifie, on peut se demander quelles sont les règles de manipulation de tels énoncés. Par exemple, on peut facilement montrer que, étant donné deux prédicats $𝑝$ et $𝑞$ sur les entiers, si pour tout $𝑛$ assez grand $𝑝\left(𝑛\right)$ et pour tout $𝑛$ assez grand $𝑞\left(𝑛\right)$ alors, pour tout $𝑛$ assez grand $𝑝\left(𝑛\right)$ et $𝑞\left(𝑛\right)$. Mais cela ne fonctionnerait pas avec une famille infinie de propriétés. Par exemple, chacune des propriétés ${𝑝}_{𝑘}\left(𝑛\right):𝑛\ge 𝑘$ est vraie pour $𝑛$ assez grand, mais leur conjonction n’est vraie pour aucun entier. Des observations analogues peuvent être faites dans les exemples topologiques et mesurés.

Dans cette discussion, on voit que l’ensemble $𝒫\left(𝑋\right)$ des parties d’un ensemble $𝑋$ n’est pas suffisamment grand. Il manque des parties ou ensembles en un sens généralisé. Il manque dans $𝒫\left(\mathbb{N}\right)$ l’ensemble généralisé ${𝒩}_{+\infty }$ des très grands entiers qui permet d’écrire $\forall 𝑛\in {𝒩}_{+\infty },𝑝\left(𝑛\right)$. Pour tout espace topologique $𝑋$ et ${𝑥}_0\in 𝑋$, il manque dans $𝒫\left(𝑋\right)$ l’ensemble généralisé ${𝒩}_{{𝑥}_0}$ des points très proches de ${𝑥}_0$. Pour tout espace mesuré $\left(𝑋,𝜇\right)$, il manque dans $𝒫\left(𝑋\right)$ l’ensemble généralisé $𝜇-𝑝𝑝$ de presque tous les points de $𝑋$.

On veut ces ensembles pour pouvoir quantifier des énoncés, mais aussi considérer des images directes (et réciproques). Par exemple, si $𝑢$ est une suite de points d’un espace topologique $𝑋$ et ${𝑥}_0$ est un point de $𝑋$, on veut dire que la suite $𝑢$ tend vers ${𝑥}_0$ si ${𝑢}_{\ast }{𝒩}_{+\infty }$, l’image directe par $𝑢$ de l’ensemble des très grands entiers, est contenue dans l’ensemble ${𝒩}_{{𝑥}_0}$ des points très proches de ${𝑥}_0$. Cela s’écrira ${𝑢}_{\ast }{𝒩}_{+\infty }\le {𝒩}_{{𝑥}_0}$.

Cette notion d’image directe doit bien sûr interagir harmonieusement avec les quantificateurs. Par exemple, on veut avoir que si $𝑣$ est une autre suite telle que $\forall 𝑛\in {𝒩}_{+\infty },{𝑣}_{𝑛}={𝑢}_{𝑛}$ alors ${𝑢}_{\ast }{𝒩}_{+\infty }={𝑣}_{\ast }{𝒩}_{+\infty }$.

On verra dès le début de ce chapitre comment mettre tout cela en place avec seulement deux définitions et une notation.

La suite du chapitre utilisera intensivement la théorie du chapitre précédent. Par exemple, on veut pouvoir intersecter des parties généralisées et démontrer l’unicité des limites de suites (disons dans $ℝ$) par la discussion suivante. Soit $𝑢$ une suite qui tend vers $𝑥$ et $𝑦$. Comme ${𝒩}_{+\infty }$ n’est pas l’ensemble vide, son image directe ${𝑢}_{\ast }{𝒩}_{+\infty }$ n’est pas l’ensemble vide. Or, on a supposé ${𝑢}_{\ast }{𝒩}_{+\infty }\le {𝒩}_{𝑥}$ et ${𝑢}_{\ast }{𝒩}_{+\infty }\le {𝒩}_{𝑦}$ donc ${𝒩}_{𝑥}\cap {𝒩}_{𝑦}$ n’est pas vide, ce qui implique $𝑥=𝑦$.

Cette opération d’intersection sera également utile pour unifier les très nombreuses variantes de la définition de limite. Même en se limitant en fonctions de $ℝ$ dans $ℝ$, on peut écrire ${lim}_{𝑥\to ?}𝑓\left(𝑥\right)=?$ où chacun des points d’interrogation peut être par exemple ${𝑥}_0$, ${𝑥}_0^{\pm }$, $\pm \infty$ ou des variantes où $𝑥\ne {𝑥}_0$ ou bien $𝑥$ est dans un ensemble dense. En combinant ces possibilités (par exemple $𝑥$ tend vers $\sqrt{2}$ par la gauche dans $\mathbb{Q}$), on obtient 16 possibilités pour chaque point d’interrogation, ce qui donne 256 définitions de limite. Garder l’information fine sur le second point d’interrogation permet d’énoncer des lemmes de composition. Par exemple, si ${lim}_{𝑥\to +\infty }𝑓\left(𝑥\right)=0^{+}$ et ${lim}_{𝑦\to 0^{+}}𝑔\left(𝑦\right)=-\infty$ alors ${lim}_{𝑥\to +\infty }\left(𝑔\circ 𝑓\right)\left(𝑥\right)=-\infty$. On parle ici de ${16}^3=4096$ lemmes. La méthode consistant à en énoncer trois, en démontrer deux, et laisser le reste en exercice a fait ses preuves et restera irremplaçable en L1. Mais, dans ce chapitre, nous développerons une méthode alternative.

On voudra également pouvoir définir des intersections de familles infinies de sorte que ${𝒩}_{{𝑥}_0}$ soit l’intersection, au sens des parties généralisées, de tous les voisinages de ${𝑥}_0$. Enfin, nous finirons par une discussion des singletons généralisés qui seront particulièrement utiles pour l’étude de la compacité dans un chapitre suivant.

2.2. Définition, quantificateurs généralisés et limites

Soit $𝑋$ un ensemble. Les exemples du prologue montrent clairement que les parties généralisées de $𝑋$ qui manquent dans $𝒫\left(𝑋\right)$ correspondent à des ensembles de parties (ordinaires) de $𝑋$. Par exemple, la partie généralisée des points très proches d’un point ${𝑥}_0$ correspond à l’ensemble des voisinages de ${𝑥}_0$.

Pour bien comprendre la discussion qui va suivre, il est essentiel de réaliser que les parties d’un ensemble $𝑋$ et les prédicats sur $𝑋$ sont deux points de vue sur le même objet mathématique. On a la correspondance bijective :

Ces notations sont vraiment en un bloc, le $𝑥\in 𝐹$ ne signifie rien par lui-même puisque $𝑥$ est un point de $𝑋$ et pas une partie de $𝑋$. C’est pour cela qu’on utilise la notation ${\forall }^{𝑓}$ plutôt que $\forall$.

On notera que, via la correspondance entre prédicats et parties, la donnée d’un ensemble $𝐹$ de parties de $𝑋$ est complètement équivalente à la donnée de l’ensemble des prédicats $𝑝$ sur $𝑋$ tels que ${\forall }^{𝑓}𝑥\in 𝐹,𝑝\left(𝑥\right)$. De même le quantificateur existentiel généralisé caractérise $𝐹$, mais il jouera un rôle beaucoup moins important pour nous.

Pour montrer qu’on a bien généralisé les quantificateurs ordinaires, on a besoin de la définition suivante (où pour l’instant « filtre principal » se lit comme un seul mot).

Cette définition assure que, pour toute partie $𝐴$ de $𝑋$ et tout prédicat $𝑝$ sur $𝑋$,

donc le quantificateur généralisé ${\forall }^{𝑓}$ généralise bien $\forall$. De même, on a :

Voyons maintenant quelles conditions nous allons imposer aux familles de parties pour que les notations ci-dessus aient de bonnes propriétés.

Les trois conditions de la définition de filtre sont immédiates à vérifier pour les filtres principaux. De même, on vérifie immédiatement que l’ensemble des voisinages d’un point $𝑥$ dans un espace topologique $𝑋$ est un filtre sur $𝑋$, qui fournit notre premier exemple de filtre qui n’est pas principal (et qui est donc une partie généralisée de $𝑋$ au sens strict). Enfin l’ensemble ${𝒩}_{\infty }$ des parties de $\mathbb{N}$ qui contient un rayon $[𝑎,+\infty [$ est également un filtre (c’est lui « l’ensemble généralisé des très grands entiers »).

Exercice 2.18

1. Montrer que ${𝒩}_{\infty }$ est bien un filtre sur $\mathbb{N}$.

   Solution

   Soit $𝑈\in {𝒩}_{\infty }$ et $𝑉\supset 𝑈$. Comme $𝑈\in {𝒩}_{\infty }$, on obtient $𝑎$ tel que $\left[𝑎,\infty \right[\subseteq 𝑈$. Ce même $𝑎$ convient pour $𝑉$ par transitivité de l’inclusion.

   Soit $𝑈$ et $𝑉$ dans ${𝒩}_{\infty }$. On obtient $𝑎$ et $𝑏$ tels que $\left[𝑎,\infty \right[\subseteq 𝑈$ et $\left[𝑏,\infty \right[\subseteq 𝑉$. On a $\left[max\left(𝑎,𝑏\right),\infty \right[\subseteq 𝑈\cap 𝑉$ donc $𝑈\cap 𝑉$ est dans ${𝒩}_{\infty }$.

   Enfin $\mathbb{N}$ est dans ${𝒩}_{\infty }$, car $𝑎=0$ convient.

2. Dans un espace topologique, montrer que l’ensemble ${𝒩}_{𝑥}$ des voisinages d’un point $𝑥$ forme un filtre.

   Solution

   Là encore, les vérifications sont immédiates : tout ensemble qui contient un voisinage de $𝑥$ est un voisinage de $𝑥$, toute intersection de voisinages de $𝑥$ est un voisinage de $𝑥$ et $𝑋$ est un voisinage de $𝑥$.

Dans les exemples ci-dessus, les filtres sont définis comme des ensembles de parties contenant un élément d’une famille de parties plus restreintes. Voyons comment décrire cette situation.

On notera en particulier que les éléments d’un filtre sur un ensemble $𝑋$ forment une partie filtrante de $𝒫\left(𝑋\right)$, donc tout filtre admet une base tautologique constituée de tous ses éléments.

La condition d’inclusion dans la définition de filtre a également la conséquence suivante sur les quantificateurs généralisés.

Concernant la relation d’ordre, nous utiliserons également très souvent la remarque suivante.

Exercice 2.19

Démontrer soigneusement qu’une somme de deux suites convergentes dans $ℝ$ est convergente et converge vers la somme des limites, en utilisant la définition élémentaire de convergence des suites. Réécrire la démonstration en utilisant comme définition de la convergence de $𝑢$ vers $𝑙$

et les propriétés des quantificateurs généralisés. Où se cachent maintenant les morceaux de démonstration qui ont disparu entre les deux versions ?

Solution

Soit $𝑢$ et $𝑣$ deux suites de réels. On suppose que $𝑢$ tend vers $𝑙$ et $𝑣$ tend vers ${𝑙}^{\prime }$. Montrons que $𝑢+𝑣$ tend vers $𝑙+{𝑙}^{\prime }$, c’est-à-dire $\forall 𝜀>0,\exists 𝑁,\forall 𝑛\ge 𝑁,|\left({𝑢}_{𝑛}+{𝑣}_{𝑛}\right)-\left(𝑙+{𝑙}^{\prime }\right)|<𝜀$. Soit $𝜀>0$. Par hypothèse sur $𝑢$ appliquée à $𝜀/2>0$, on obtient ${𝑁}_1$ tel que $\forall 𝑛\ge {𝑁}_1,|{𝑢}_{𝑛}-𝑙|<𝜀/2$. Par hypothèse sur $𝑣$ appliquée à $𝜀/2>0$, on obtient ${𝑁}_2$ tel que $\forall 𝑛\ge {𝑁}_2,|{𝑣}_{𝑛}-{𝑙}^{\prime }|<𝜀/2$. Montrons que $max\left({𝑁}_1,{𝑁}_2\right)$ convient. Soit $𝑛\ge max\left({𝑁}_1,{𝑁}_2\right)$. Montrons que $|\left({𝑢}_{𝑛}+{𝑣}_{𝑛}\right)-\left(𝑙+{𝑙}^{\prime }\right)|<𝜀$. Comme $𝑛\ge {𝑁}_1$, $|{𝑢}_{𝑛}-𝑙|<𝜀/2$. Comme $𝑛\ge {𝑁}_2$, $|{𝑣}_{𝑛}-{𝑙}^{\prime }|<𝜀/2$. On a

Reprenons maintenant cet énoncé en termes de quantificateurs généralisés. Soit $𝑢$ et $𝑣$ deux suites de réels. On suppose que $𝑢$ tend vers $𝑙$ et $𝑣$ tend vers ${𝑙}^{\prime }$. Montrons que $𝑢+𝑣$ tend vers $𝑙+{𝑙}^{\prime }$, c’est-à-dire $\forall 𝜀>0,\forall 𝑛\text{dans}{𝒩}_{\infty },|\left({𝑢}_{𝑛}+{𝑣}_{𝑛}\right)-\left(𝑙+𝑙\text{'}\right)|<𝜀$. Soit $𝜀>0$. Par hypothèse sur $𝑢$ appliquée à $𝜀/2>0$, $\forall 𝑛\text{dans}{𝒩}_{\infty },|{𝑢}_{𝑛}-𝑙|<\frac{𝜀}{2}$. Par hypothèse sur $𝑣$ appliquée à $𝜀/2>0$, $\forall 𝑛\text{dans}{𝒩}_{\infty },|{𝑣}_{𝑛}-𝑙\text{'}|<\frac{𝜀}{2}$. Ainsi $\forall 𝑛\text{dans}{𝒩}_{\infty },|{𝑢}_{𝑛}-𝑙|<\frac{𝜀}{2}\text{et}|{𝑣}_{𝑛}-𝑙\text{'}|<\frac{𝜀}{2}$. Il suffit donc de montrer que, pour tout $𝑛$, $|{𝑢}_{𝑛}-𝑙|<𝜀/2\text{et}|{𝑣}_{𝑛}-{𝑙}^{\prime }|$ implique $|\left({𝑢}_{𝑛}+{𝑣}_{𝑛}\right)-\left(𝑙+{𝑙}^{\prime }\right)|<𝜀$. Soit $𝑛$ vérifiant ces conditions. On a

On notera qu’on a utilisé la compatibilité du quantificateur universel généralisé avec la conjonction (le « et ») et l’implication. Par rapport à la première démonstration, les $𝑁$ et le max sont cachés dans la définition de ${𝒩}_{\infty }$ et la vérification du fait que c’est un filtre. Notons que, dans ce cas très simple, l’implication $|{𝑢}_{𝑛}-𝑙|<𝜀/2\text{et}|{𝑣}_{𝑛}-{𝑙}^{\prime }|\Rightarrow |\left({𝑢}_{𝑛}+{𝑣}_{𝑛}\right)-\left(𝑙+{𝑙}^{\prime }\right)|<𝜀$ est vraie pour tout $𝑛$, mais la démonstration fonctionnerait encore si elle n’était vraie que pour $𝑛$ assez grand, au prix d’un deuxième $max$, caché ou pas selon qu’on utilise les filtres ou pas (c’est l’objet de la question suivante de cet exercice). On peut aussi remarquer que la rédaction de la deuxième démonstration peut être allégée avec des conventions de langage pour affirmer et démontrer des énoncés sous quantificateur généralisés. Ainsi, on pourrait écrire simplement la démonstration suivante.

Soit $𝑢$ et $𝑣$ deux suites de réels. On suppose que $𝑢$ tend vers $𝑙$ et $𝑣$ tend vers ${𝑙}^{\prime }$. Montrons que $𝑢+𝑣$ tend vers $𝑙+{𝑙}^{\prime }$, c’est-à-dire que pour tout $𝜀>0$ et $𝑛$ très grand, $|\left({𝑢}_{𝑛}+{𝑣}_{𝑛}\right)-\left(𝑙+{𝑙}^{\prime }\right)|<𝜀$. Soit $𝜀>0$ et $𝑛$ très grand. Par hypothèse sur $𝑢$ appliquée à $𝜀/2>0$ et $𝑛$, $|{𝑢}_{𝑛}-𝑙|<𝜀/2$. Par hypothèse sur $𝑣$ appliquée à $𝜀/2>0$ et $𝑛$, $|{𝑣}_{𝑛}-{𝑙}^{\prime }|<𝜀/2$. On a

Les propriétés des quantificateurs généralisées assurent que le raisonnement ci-dessus est correct.

L’exercice précédent utilise une définition de limite qui utilise un peu les filtres, mais fait toujours apparaître des quantificateurs. Afin de reformuler les notions de limite purement en termes de filtres, nous avons vu dans le prologue qu’il faut également une notion d’image directe d’un filtre par une fonction.

On vérifie sans peine que l’image directe d’un filtre principal $𝑃\left(𝐴\right)$ par une fonction $𝜑$ est le filtre principal $𝑃\left({𝜑}_{\ast }𝐴\right)$. On a donc étendu la notion d’image directe d’une partie.

Vérifions qu’on peut effectivement utiliser cette définition pour parler de limite comme annoncé dans le prologue de ce chapitre.

Dans le lemme précédent, il est vraiment important de se convaincre que la formulation en termes de filtre est la version intuitive ($𝑢$ envoie les très grands entiers parmi les points très proches de $𝑥$) et la définition usuelle de limite est la version compliquée.

On verra plus loin que toutes les notions usuelles de limites rentrent dans ce cadre, en variant simplement les filtres en jeu, mais pour cela il nous faudra étendre la notion d’intersection de $𝒫\left(𝑋\right)$ à $ℱ\left(𝑋\right)$ dans la section suivante.

Avant cela, notons que la démonstration précédente ne fait intervenir aucune des conditions de la définition de filtre. Comme pour la définition des quantificateurs généralisés, on pourrait définir l’image directe généralisée d’une famille quelconque de parties. Mais les contraintes définissant les filtres garantissent de bonnes propriétés comme nous allons le voir tout de suite.

Exercice 2.20

Soit $𝐹$ un filtre sur un ensemble $𝑋$. Montrer que, pour toute fonction constante $𝜑:𝑋\to 𝑌$ de valeur ${𝑦}_0$, on a ${𝜑}_{\ast }𝐹\le 𝑃\left(\left\{{𝑦}_0\right\}\right)$, c’est-à-dire que l’image directe de n’importe quel filtre est contenue dans $\left\{{𝑦}_0\right\}$ vu comme filtre. Montrer qu’il y a même égalité dès que $𝐹$ n’est pas $𝑃\left(\varnothing \right)$ (on pourra raisonner par contraposition).

Solution

Par définition de la relation d’ordre sur les filtres, il s’agit de montrer que, pour toute partie $𝑈$ de $𝑌$, $𝑈\in 𝑃\left(\left\{{𝑦}_0\right\}\right)\Rightarrow 𝑈\in {𝜑}_{\ast }𝐹$. Soit $𝑈$ une partie de $𝑌$. Supposons $𝑈\in 𝑃\left(\left\{{𝑦}_0\right\}\right)$, c’est-à-dire ${𝑦}_0\in 𝑈$. Montrons que $𝑈\in {𝜑}_{\ast }𝐹$, c’est-à-dire ${𝜑}^{\ast }𝑈\in 𝐹$. Comme $𝜑$ vaut partout ${𝑦}_0$, et que ${𝑦}_0\in 𝑈$, on obtient ${𝜑}^{\ast }𝑈=𝑋$ qui est bien dans $𝐹$, car $𝐹$ est un filtre.

Montrons maintenant que, si $𝐹$ n’est pas $𝑃\left(\varnothing \right)$, alors on a également l’inégalité $𝑃\left(\left\{{𝑦}_0\right\}\right)\le {𝜑}_{\ast }𝐹$ (et donc l’égalité annoncée). Comme toutes les parties de $𝑋$ contiennent $\varnothing$, $𝑃\left(\varnothing \right)$ est la collection de toutes les parties de $𝑋$.

Par contraposition, il suffit de montre que la négation de $𝑃\left(\left\{{𝑦}_0\right\}\right)\le {𝜑}_{\ast }𝐹$ implique $𝐹=𝑃\left(\varnothing \right)$. Supposons donc qu’on ait $𝑉\subseteq 𝑌$ tel que $𝑉\in {𝜑}_{\ast }𝐹$, mais $𝑉\notin 𝑃\left(\left\{{𝑦}_0\right\}\right)$. On a donc ${𝜑}^{\ast }𝑉\in 𝐹$ et ${𝑦}_0\notin 𝑉$. Ainsi $\varnothing$ est dans $𝐹$ et comme $𝐹$ est un filtre, toutes les parties de $𝑋$ sont dans $𝐹$.

L’exercice précédent ne fait intervenir qu’une seule des conditions définissant les filtres. Pour finir ce tour d’horizon des propriétés élémentaires des filtres, vérifions l’énoncé contenu dans le prologue concernant la compatibilité entre la définition du quantificateur universel généralisé et celle de l’image directe. Cette fois les deux autres conditions de filtre vont être nécessaires.

En particulier si deux suites coïncident sur les grands entiers et que l’une converge vers un point $𝑥$ alors l’autre aussi.

Comme annoncé dans le prologue de ce chapitre, la définition de filtre, la définition des quantificateurs généralisés associés et la définition d’image directe d’un filtre par une fonction permettent de manipuler de façon unifiée les énoncés du type « pour tout entier assez grand » et de parler de limite de façon très intuitive. Mais cette théorie élémentaire peut paraître un peu ad hoc et elle n’est que le tout début de l’histoire. Les sections suivantes vont se reposer sur le chapitre précédent pour bâtir une théorie beaucoup plus vaste et mieux motivée d’un point de vue théorique.

2.3. Structure de treillis complet

Nous avons vu que $𝑃:𝒫\left(𝑋\right)\to ℱ\left(𝑋\right)$ permet de voir toute partie ordinaire comme une partie généralisée, c’est-à-dire un filtre. Voyons maintenant comment aller dans l’autre sens. Au passage, nous récupérerons l’injectivité de $𝑃$ (qu’on peut aussi vérifier directement) et de l’aide pour la suite.

Ce théorème justifie en particulier le choix de la relation d’ordre sur $ℱ\left(𝑋\right)$ qui peut sembler étrange a priori : c’est celui qui fait de $𝑃$ un plongement d’ensembles ordonnés.

Exercice 2.21

On fixe un ensemble $𝑋$.

1. Montrer directement que $⟂≔𝑃\left(\varnothing \right)$ est bien un minimum de l’ensemble des filtres sur $𝑋$. Montrer que, pour tout filtre $𝐹$ sur $𝑋$, $𝐹=⟂$ si et seulement si $\varnothing \in 𝐹$. Notez qu’on pense vraiment à $\perp$ comme étant « la partie vide de $𝑋$ vue comme filtre sur $𝑋$ » mais noter ce filtre $\varnothing$ prêterait à confusion puisqu’il n’est pas vide en tant que partie de l’ensemble des parties de $𝑋$.

   Solution

   Le point crucial est que $𝑃\left(\varnothing \right)$ est l’ensemble de toutes les parties de $𝑋$ puisque, pour tout $𝐴\in 𝒫\left(𝑋\right)$, $\varnothing \subseteq 𝐴$.

   Soit $𝐹$ un filtre sur $𝑋$. Montrons que $𝑃\left(\varnothing \right)\le 𝐹$. Soit $𝑈\in 𝐹$. On a bien $𝑈\in 𝑃\left(\varnothing \right)$.

   Montrons maintenant qu’il y a égalité si et seulement si $\varnothing \in 𝐹$. Supposons $𝐹=𝑃\left(\varnothing \right)$. On a $\varnothing \in 𝐹$. Réciproquement si $\varnothing \in 𝐹$ alors toute partie de $𝑋$ est dans $𝐹$, car elle contient $\varnothing$ qui est dans $𝐹$.

2. Montrer que, pour tout filtre $𝐹$ sur $𝑋$ et toute fonction $𝜑:𝑋\to 𝑌$, ${𝜑}_{\ast }𝐹=\perp \iff 𝐹=\perp$.

   Solution

   On utilise la caractérisation de la question précédente et la définition de l’image directe :

Dans la démonstration du théorème précédent, les inf de $ℱ\left(𝑋\right)$ étaient offerts par le théorème 1.4.11. Nous verrons dans l’exercice 2.23 que la description explicite de ces infs est assez pénible pour les parties infinies, et elle ne nous servira jamais. Par contre, les infs binaires sont faciles à expliciter et cette explicitation est parfois la méthode de démonstration la plus efficace.

Comme promis après le lemme 2.2.13, la structure de treillis sur les filtres permet de traiter toutes les notions usuelles de limites. Par exemple, étant donné un nombre réel ${𝑥}_0$, on peut définir ${𝒩}_{{𝑥}_0}^{+}={𝒩}_{{𝑥}_0}\wedge 𝑃([{𝑥}_0,+\infty \left[\right)$, l’ensemble généralisé des réels très proches de ${𝑥}_0$ et supérieures à ${𝑥}_0$. On lit cette définition comme l’intersection généralisée de l’ensemble généralisé ${𝒩}_{{𝑥}_0}$ des réels très proches de ${𝑥}_0$ et l’ensemble ordinaire $[{𝑥}_0,+\infty [$ vu comme ensemble généralisé via $𝑃$. On a alors, pour toute fonction $𝑓:ℝ\to ℝ$,

L’exercice suivant vérifie qu’on obtient également une démonstration intuitive d’une version très générale de l’unicité des limites dans $ℝ$, comme annoncé dans le prologue de ce chapitre.

Exercice 2.22

  Soit ${𝑥}_1$ et ${𝑥}_2$ des nombres réels.

1. Montrer que si ${𝒩}_{{𝑥}_1}\wedge {𝒩}_{{𝑥}_2}\ne \perp$ alors ${𝑥}_1={𝑥}_2$ (on le lit « s’il existe des points qui sont à la fois très proches de ${𝑥}_1$ et de ${𝑥}_2$ alors ${𝑥}_1={𝑥}_2$ »).

   Solution

   Supposons que ${𝒩}_{{𝑥}_1}\wedge {𝒩}_{{𝑥}_2}\ne \perp$. Montrons que ${𝑥}_1={𝑥}_2$. Il suffit de montrer que $\forall 𝜀>0,|{𝑥}_2-{𝑥}_1|\le 𝜀$. Soit $𝜀>0$. Le lemme 2.3.7 assure que, pour tout $𝑈\in {𝒩}_{{𝑥}_1}$ et $𝑉\in {𝒩}_{{𝑥}_2}$, $𝑈\cap 𝑉\ne \varnothing$. En particulier, $\left[{𝑥}_1-𝜀/2,{𝑥}_1+𝜀/2\right]\cap \left[{𝑥}_2-𝜀/2,{𝑥}_2+𝜀/2\right]\ne \varnothing$ donc $|{𝑥}_2-{𝑥}_1|\le 𝜀$ par inégalité triangulaire.

2. Soit $𝑋$ un ensemble, $𝐹$ un filtre non trivial sur $𝑋$ et $𝜑:𝑋\to ℝ$ une fonction. Montrer que si ${𝜑}_{\ast }𝐹\le {𝒩}_{{𝑥}_1}$ et ${𝜑}_{\ast }𝐹\le {𝒩}_{{𝑥}_2}$ alors ${𝑥}_1={𝑥}_2$.

   Solution

   Supposons ${𝜑}_{\ast }𝐹\le {𝒩}_{{𝑥}_1}$ et ${𝜑}_{\ast }𝐹\le {𝒩}_{{𝑥}_2}$. L’exercice 2.21 et l’hypothèse $𝐹\ne \perp$ assurent que ${𝜑}_{\ast }𝐹\ne \perp$. On en déduit que $\perp <{𝜑}_{\ast }𝐹\le {𝒩}_{{𝑥}_1}\wedge {𝒩}_{{𝑥}_2}$. La première question en déduit que ${𝑥}_1={𝑥}_2$.