6. Homologie singulière
6.1. Prologue
Dans ce chapitre, on commence l’étude d’une façon assez différente d’associer algèbre et topologie. La théorie de l’homologie singulière met l’algèbre linéaire au service de la topologie. Plus précisément, elle utilise l’algèbre homologique. Il s’agit d’une partie assez avancée de l’algèbre linéaire qui sert dans de nombreuses autres applications, en topologie ou en algèbre. Cette théorie est assez lourde à mettre en place, donc ce prologue commence par énoncer un théorème en découlant et ses premières conséquences. Pour la fin de l’énoncé, on aura besoin de la définition suivante.
Soit et des espaces topologiques. On dit que deux applications continues et entre et sont homotopes s’il existe une application continue telle que, pour tout , et .
On voit les fonctions comme une famille de fonctions reliant à .
Voici le théorème dont la démonstration occupera presque tout le chapitre.
Il existe une suite de foncteurs telle que
Pour tous entiers naturels et ,
- Pour tout hyperplan vectoriel dans , si , la symétrie orthogonale restreinte à vérifie
- Si et sont deux applications continues homotopes entre des espaces topologiques et alors, pour tout , .
Comme on va le voir dès les deux corollaires suivants, le premier point du théorème a déjà des conséquences intéressantes. Il est important de comprendre que c’est la fonctorialité qui fait tout le travail. Si on retient seulement qu’un foncteur de vers associe un groupe à tout espace et un morphisme de groupes à toute fonction continue, on peut démontrer le théorème en associant les groupes annoncés et les morphismes annoncés et en associant le groupe trivial à tous les autres espaces, et le morphisme trivial à toutes les autres fonctions continues sauf les identités à qui on associe l’identité du groupe concerné. Bien sûr, aucune conséquence ne découlerait d’une telle construction. Le contenu du théorème est donc la possibilité de faire ces associations de façon compatible avec la composition.
Démonstration : Le lemme 5.2.4 assure que deux espaces topologiques isomorphes ont des images par n’importe quel foncteur qui sont isomorphes. Le théorème 6.1.2 fournit donc directement le résultat sur les sphères.
Supposons maintenant qu’on ait un homéomorphisme entre et . Le corollaire 4.9.7 montre que s’étend en homéomorphisme entre les compactifiés d’Alexandrov de et . Or l’exemple 4.9.6 montre que ces compactifiés sont homéomorphes à et donc le paragraphe précédent assume que .
Démonstration : Notons l’inclusion de dans . Soit une fonction continue qui est l’identité sur . On a donc . Montrons une contradiction. La fonctorialité de transforme le diagramme commutatif
dans en diagramme dans :
Pour , le théorème est une conséquence immédiate du théorème des valeurs intermédiaires, mais on peut aussi voir que le diagramme ci-dessus devient
qui est contradictoire, car aucun morphisme de groupe entre et n’est injectif.
Pour , on obtient le diagramme
qui factorise l’identité de à travers le groupe nul, ce qui est impossible.
Soit une fonction continue. Si , est un singleton donc on a bien un point fixe. Sinon pour un entier naturel . Supposons par l’absurde que n’a pas de point et construisons une fonction qui contredit le résultat précédent. Pour dans , on définit comme l’unique point d’intersection entre le rayon et la sphère . Le point crucial est que l’hypothèse que n’a pas de point fixe assure que le rayon est bien défini. Géométriquement, il est clair que est continue et l’identité au bord.
Si on veut absolument vérifier soigneusement la continuité de , on peut paramétrer la demi-droite par puis calculer le tel que . Il s’agit d’une équation quadratique en (avec des coefficients dépendant de et ) donc on peut écrire explicitement la solution (au passage, on peut se rassurer en montrant que le discriminant du polynôme est strictement positif sous nos hypothèses que n’a pas de point fixe et prend ses valeurs dans la boule).
Nous allons maintenant utiliser les deux autres points du théorème pour démontrer le théorème de la boule chevelue. Pour énoncer le théorème, nous avons besoin de la définition suivante.
Démonstration : On commence par le sens facile. Supposons que est impair. On écrit de sorte que est la sphère unité de . On pose qui convient clairement. Cette définition est beaucoup moins mystérieuse si on identifie avec pour obtenir simplement .
Montrons maintenant le sens difficile. Supposons que admette un champ de vecteurs continu qui ne s’annule nulle part. On suppose puisqu’il n’y a pas de vecteur non-nul orthogonal à dans donc ce cas est trivial. Quitte à diviser chaque par sa norme (qui n’est jamais nulle par hypothèse), on peut supposer que est unitaire. On a déduit une homotopie entre et l’antipodie :
Cette application est manifestement continue sur . Montrons qu’elle prend bien ses valeurs dans . Soit . Par définition des champs de vecteurs sur et par le théorème de Pythagore, on obtient . Géométriquement, est obtenu en partant de et en suivant le grand cercle dans la direction indiquée par pendant un temps .
Pour tout on a et donc est bien une homotopie entre et .
Or est le produit de symétries par rapport à des hyperplans (chacune de ces symétries renversant une coordonnée). Le théorème 6.1.2 et la fonctorialité de assure donc . Par ailleurs l’invariance par homotopie dans le théorème et la construction ci-dessus assurent que . Comme , et on obtient (il suffirait d’avoir un seul élément de dont le double n’est pas trivial). Ainsi est impair.
Le théorème précédent est connu sous le nom de théorème de la boule chevelue, car pour , on peut paraphraser le résultat en disant qu’il est impossible de peigner la surface d’une boule sans faire au moins un épi. En effet, on peut interpréter un champ de vecteur qui ne s’annule pas comme une instruction de directions pour un peigne. Le théorème peut sembler évident, mais il semble presque aussi évident qu’il faut faire au moins deux épis, alors qu’il est possible de n’en faire qu’un seul.
Montrer qu’il existe un champ de vecteur continu sur qui s’annule en exactement un point.
L’idée de base est qu’on peut obtenir en ajoutant un point à l’infini de et que admet des champs de vecteurs qui ne s’annulent pas, pas exemple les champs de vecteurs constants. On peut obtenir un champ continu s’annulant une fois sur en étendant par zéro un tel champ multiplié par une fonction continue qui est strictement positive sur et tend vers zéro suffisamment vite en l’infini.
Décrivons plus précisément le champ obtenu à partir d’un champ constant sur un plan ramené sur le complémentaire d’un point par projection stéréographique.
On fixe un point de , appelons-le le pôle Nord et une droite orientée tangente à la sphère en . On va ramener un champ constant de parallèle à par la projection stéréographique depuis .
On considère tous les plans contenant qui intersectent la sphère en plus d’un point. Chacun de ces plans intersecte la sphère le long d’un cercle passant par le pôle Nord et tangent à . On oriente chacun de ses cercles en utilisant l’orientation de . Il existe un champ de vecteurs qui s’annule uniquement en et est tangent à chacun des cercles, avec la direction indiquée par l’orientation du cercle.
L’exercice suivant développe une autre application très classique du théorème 6.1.2.
Dans tout cet exercice, on fixe un entier .
Soit une fonction continue. Montrer qu’il existe un unique tel que induit sur l’application . On appelle degré de cet entier et on le note .
On sait que est libre de rang (on utilise ici l’hypothèse ) donc tous ses endomorphismes sont de cette forme.
Montrer que si n’est pas surjective alors . Indication : écrire comme une composition avec une inclusion.
Supposons que n’est pas surjective. Soit un point de qui n’est pas dans l’image de . On peut écrire où est l’inclusion du complémentaire de dans et est simplement vue comme fonction à valeurs dans . On a . Or la projection stéréographique depuis sur l’hyperplan est un homéomorphisme de sur un espace vectoriel donc est nul donc est nul et aussi. Cela montre que le degré de est nul.
Montrer que, pour tous , .
Cela découle directement de la fonctorialité de l’homologie qui donne et de l’unicité démontrée dans la première question.
Rappeler quel est le degré d’une symétrie hyperplane restreinte à et en déduire le degré de l’application antipodale .
On a vu en cours que toute symétrie hyperplane induit sur donc . L’antipodie est un produit de symétries hyperplanes donc la question précédente assure que .
On suppose que n’a aucun point fixe. Montrer que est homotope à .
L’idée est simplement de projeter sur la sphère l’homotopie rectiligne dans :
L’hypothèse que n’a pas de point fixe assure précisément que la formule ci-dessus ne divise pas par zéro, car l’origine n’est pas dans le segment entre et . C’est clair géométriquement, mais on peut aussi argumenter algébriquement. Supposons que et vérifient . On a alors puis, en passant aux normes et en utilisant que et sont dans la sphère et dans , on obtient donc puis , ce qui contredit l’hypothèse d’absence de point fixe.
Soit un groupe et une action de sur par homéomorphismes. On suppose que est libre (tout élément non trivial de agit sans point fixe). Montrer que si est pair alors est trivial ou isomorphe à .
La question 3 montre que est multiplicatif. C’est donc un morphisme du groupe sur le groupe des inversibles de , c’est-à-dire .
Puisque l’action est libre, tous les éléments non triviaux de sont envoyés sur des homéomorphismes sans points fixes. L’invariance par homotopie de l’application induite en homologie et la question précédente montrent que tout élément non trivial de est envoyé sur .
En particulier le noyau de est trivial et est isomorphe à son image qui est soit soit .
Idées pour la construction
Toute la suite de ce prologue servira à annoncer certaines des idées intervenant dans la démonstration du théorème 6.1.2. On commence par l’idée la plus naïve possible pour associer un groupe abélien à un espace topologique . On peut considérer le groupe abélien libre engendré par les points de (ici et dans toute la suite du chapitre, il est crucial de bien avoir en tête comment fonction le foncteur module libre et son adjonction avec le foncteur d’oubli décrite dans la section 5.4). Cette construction n’utilise pas la topologie de donc l’idée suivante est de quotienter ce groupe par le sous-groupe engendré par les différences entre points reliés par un chemin continu :
où le est l’initiale de « bord » (le est l’initiale de « zyclus » qui signifie cycle en allemand, pour une raison qui apparaîtra plus loin). Dans le quotient , on identifie donc tous les points qui sont dans la même composante connexe par arcs. De plus, chaque fonction induit qui est l’unique morphisme de groupes qui étend . De façon plus intéressante, si est continue alors envoie dans , car, pour tout chemin continu , est un chemin continu et
Ainsi descend en . La fonctorialité de implique facilement qu’on a bien défini un foncteur . Bien sûr, on s’attend à ce que ce foncteur ne voie rien de plus que le foncteur des composantes connexes par arcs, ce qu’on peut effectivement démontrer tout de suite (et qui sera utile par la suite).
Démonstration : On commence avec la projection qui associe à tout point sa composante connexe (on devrait écrire , mais pour l’instant est fixé). Le foncteur lui associe le morphisme de groupes . Montrons que ce morphisme est surjectif et que son noyau est exactement , de sorte qu’il induit un isomorphisme .
Pour la surjectivité, puisqu’il s’agit d’un morphisme de groupes, il suffit de montrer que son image contient une partie qui engendre , ce qui est clair, car est surjective et engendre .
Montrons que . Comme le noyau est un sous-groupe, la propriété universelle du sous-groupe engendré montre que cette affirmation est équivalente à
Soit un chemin continu. On a , car, par définition, et sont dans la même composante connexe par arcs.
Montrons maintenant l’autre inclusion : . Soit . Comme engendre , on obtient un ensemble fini, et tels que . La fonction induit une partition . Pour chaque , on note la valeur commune aux pour . On a donc
Par hypothèse, . Comme les composantes de engendrent librement , on obtient . Montrons que, pour tout , , ce qui suffira puisque est stable par addition. Fixons et un point . Par définition des composantes connexes par arcs, on obtient pour tout un chemin reliant à . On calcule en utilisant que ,
qui est bien dans .
Il reste à montrer que les sont les composantes d’une transformation naturelle. Soit une fonction continue. La naturalité de la projection sur discutée dans la section 5.3 fournit le diagramme commutatif
auquel on peut appliquer le foncteur pour obtenir
L’affirmation de naturalité pour est la commutation du carré central dans le diagramme suivant. Puisque l’application de dans est surjective, il suffit de montrer que les deux chemins précomposés par cette flèche commutent. Cela découle des commutations déjà établies : le circuit courbe par l’extérieur est le diagramme ci-dessus, les triangles en haut et en bas viennent de la définition de , le quadrilatère avec un côté courbe à gauche vient de la construction de .
On veut généraliser la construction de en remplaçant les points et les chemins par des objets de plus grande dimension. Toute la fin de cette section sera volontairement un peu imprécise. Elle ne sert qu’à motiver le travail précis des sections suivantes, à l’exception de la définition 6.4.2 et du corollaire 6.4.5 qui sont précis et font partie intégrante de la théorie finale.
Pour définir , l’idée naturelle consiste à remplacer les points par des lacets, c’est-à-dire des applications continues de dans , car les chemins qui ne se referment pas ne permettent pas de capturer de l’information topologique globale à la façon dont les lacets permettent d’entourer le trou d’une bouée par exemple. On peut tenter de définir comme le groupe abélien libre engendré par les applications continues de dans (ou les images de telles applications, ce n’est pas très clair à ce stade). L’idée la plus directe pour adapter la définition de est de remplacer les chemins par des cylindres, c’est-à-dire des applications continues de dans . On pourrait définir une telle théorie, mais elle serait difficile à calculer. On veut pouvoir calculer les groupes associés à un espace en le décomposant en réunion de sous-espaces plus simples. Pour cela les objets géométriques utilisés doivent pouvoir se découper facilement. Pour les cercles ce n’est pas très difficile à arranger. On peut commencer avec le groupe des -chaînes dans défini comme le groupe abélien libre sur l’ensemble des chemins et voir les cercles comme chemins ou sommes de chemins qui se referment. Plus précisément, on définit une application linéaire en appliquant la propriété universelle du groupe abélien libre à l’application et on définit le groupe des -cycles dans comme étant le noyau de cette application. Ce n’est pas complètement évident, mais on peut montrer que les éléments de avec cette nouvelle définition sont bien des combinaisons linéaires de sommes de chemins qui se referment.
La situation est plus compliquée pour définir le sous-groupe des -bords de . L’idée initiale d’utiliser des cylindres ne se prête vraiment pas au découpage. Un découpage de cylindre ne donne pas nécessairement une réunion de cylindres, même si on découpe le long de cercles : on peut faire apparaître des disques. Il est plus commode d’utiliser à la place des cylindres n’importe quelles surfaces à bord. Pour localiser cette idée, on écrit ces surfaces comme sommes de triangles (remplis, pas seulement le bord du triangle). On définit donc comme le groupe abélien libre sur l’ensemble des fonctions continues d’un triangle dans . Là encore, on a une application de bord en appliquant la propriété universelle à l’application qui envoie sur une combinaison linéaire des trois chemins obtenus en restreignant aux côtés du triangle . Ici, il faut choisir un sens de parcours des côtés et des signes. Dans le cas des chemins, il n’y avait pas de sens de parcours du bord et il était naturel de mettre deux signes opposés au deux extrémités du chemin pour assurer qu’un chemin fermé ait un bord nul. Dans le cas des triangles la situation est moins claire, car on peut jouer sur les deux paramètres. En gardant en tête que doit arriver dans et pas seulement dans , on voit essentiellement deux possibilités raisonnables :
orienter les trois côtés de façon cohérente et utiliser comme bord ou bien ne pas les orienter de façon cohérente et utiliser comme bord où le signe moins est devant le côté à contre-courant. Dans ce dessin et tous les dessins de triangles dans cette section, il faut comprendre que lorsque qu’un triangle a des côtés rectilignes, cela signifie qu’on dessine la source de l’application , pas son image. Les annotations sur les côtés suggèrent la restriction de au côté concerné.
On peut trancher entre les deux possibilités du dessin précédent en considérant par exemple le cas des chemins constants. Pour tout , on note le chemin constant en . Il s’agit d’un élément de , car , mais on ne veut pas qu’il contribue à donc on veut qu’il soit dans . Le triangle naturel ici est le triangle constant qui envoie tout sur . La première possibilité ci-dessus donne tandis que la deuxième donne qui est ce qu’on voulait.
On définit donc en utilisant la seconde possibilité, puis comme l’image de cette application et comme le quotient .
On peut consolider cette décision en considérant l’opération de concaténation de chemin. On part de et tels que et on veut les concaténer. Géométriquement, on peut définir qui parcourt puis . Algébriquement, on peut simplement considérer . Lorsque intervient dans un cycle, on voudrait pouvoir le remplacer par sans changer l’image de ce cycle dans . On considère l’application suggérée par le dessin suivant où est constante sur les segments verticaux
Avec la deuxième possibilité de définition de , on voit que si on choisit bien sur quels côtés mettre chaque on a comme espéré (et cela ne fonctionnerait pas sans le signe moins).
Dans le même esprit de compatibilité entre géométrie et algèbre, on peut considérer l’opération de renversement de chemin. Géométriquement, on peut associer à chaque chemin le chemin obtenu en parcourant en sens inverse. Algébriquement, on peut simplement considérer . Le dessiné ci-dessous vérifie donc .
Là encore l’opération géométrique correspond à l’opération algébrique modulo . Avec des idées analogues, on pourrait montrer que reparamétrer un chemin en préservant son orientation ne change rien modulo .
Il est important de comprendre qu’on ne demande pas aux chemins qui engendrent et aux qui engendrent d’être injectifs, comme on l’a vu dans les constructions ci-dessus.
L’idée est ensuite de poursuivre en définissant comme le noyau de , puis en utilisant des tétraèdres à la place des triangles, comme étant , etc. Ici, on remarque qu’au tout début de la discussion, on a défini directement sans passer par un opérateur de bord. On peut rendre cela plus uniforme de façon un peu artificiel en définissant et comme l’application nulle de dans un groupe trivial. Ainsi, on a pour tout ,
et
On notera la projection de sur et les éléments de seront appelés classes d’homologie de degré dans .
On remarque au passage qu’il est crucial que chaque prenne ses valeurs dans pour avoir . Une façon équivalente de formuler cette condition est d’affirmer .
On peut aussi uniformiser la construction en voyant comme le groupe abélien libre engendré par les fonctions continues d’un point dans , plutôt que par les points de . Cela revient au même, car une fonction définie sur un point est déterminée entièrement par son unique valeur (et elle est automatiquement continue).
La fonctorialité de ces constructions est essentiellement gratuite, en utilisant la composition. Par exemple une fonction continue induit une application linéaire simplement en appliquant le foncteur à l’application . Cette application envoie dans et descend en .
Après cette introduction, décrivons le plan pour la suite. Le premier objectif est algébrique et principalement descriptif, il s’agit de mettre en place le cadre des suites de groupes avec des suites de morphismes vérifiant . C’est l’objet de la section 6.2 qui constitue le tout début de la théorie de l’algèbre homologique. Au passage, on généralise des groupes abéliens vers les modules sur un anneau commutatif quelconque. Cela ne coûte rien lors de la mise en place de la théorie et se révèle parfois précieux dans les applications. On pourrait même utiliser un simple groupe abélien plutôt qu’un anneau. Mais en pratique dans ce cours et suffiront.
La section 6.3 applique ce cadre algébrique à la définition de l’homologie singulière. Par rapport à la discussion vague ci-dessus, la première tâche sera de clarifier la source des chemins et triangles, et en particulier comment chaque côté d’un triangle donne lieu à un chemin. Ensuite la tâche centrale est de généraliser la discussion des signes ayant donné lieu à la définition de ci-dessus, pour obtenir toute la suite des vérifiant . Cela permet de construire facilement les foncteurs d’homologie singulière, mais sans donner aucune façon de les calculer au-delà des espaces discrets.
Le premier outil de calcul, l’invariance par homotopie, fait l’objet de la section 6.4. Le second, le théorème de Mayer-Vietoris, est introduit et appliqué dans la section 6.5 puis démontré dans les sections 6.6 et 6.7. Ces deux outils nécessitent à la fois de nouveaux outils d’algèbre homologique (la notion d’homotopie algébrique et le théorème fondamental de passage des suites exactes courtes aux suites exactes longues) et de nouvelles constructions géométriques.
6.2. Modules gradués et complexes de modules
Dans toute la suite de ce chapitre, désigne un anneau commutatif unitaire. Toutes les applications présentées dans ce chapitre fonctionnent avec ou . On peut donc sans risque prétendre que « -module » est l’abréviation de « groupe abélien ou -espace vectoriel ».
Le prologue de ce chapitre faisait apparaître des suites de groupes abéliens et de morphismes de groupes . Il y a deux façons complètement équivalentes de considérer cette notion (dans le cadre plus général des -modules). On peut effectivement considérer une suite de -modules et d’applications linéaires, quitte à rassembler ces modules dans leur somme directe externe au besoin. Alternativement, on peut partir d’un unique module équipé d’une suite de sous-modules en somme directe interne. Le premier point de vue est plus naturel dans les applications que nous avons en vue, car chaque est construit indépendamment. Le second point de vue est plus commode pour la théorie abstraite, car il permet des expressions plus ramassées. Par exemple, on a une unique application linéaire qui se trouve envoyer le sous-module dans le sous-module . Dans ce cours, nous utiliserons donc les deux points de vue de façon interchangeable.
Soit -module gradué est un -module muni de sous-modules pour tels que . Pour chaque , les éléments de sont appelés éléments homogènes de degré .
Soit et des -modules gradués. Soit un entier relatif. Une application linéaire de dans est dite graduée de degré si .
On note la catégorie dont les objets sont les -modules gradués et les morphismes sont les applications linéaires graduées de degré .
Un complexe de -modules est une paire où est un -module gradué et est une application linéaire de dans telle que
- est graduée de degré
- .
Les éléments de sont appelés les cycles de . Les éléments de sont appelés -cycles. Les éléments de sont appelés les bords de . Les éléments de sont appelés -bords.
Un morphisme de complexes de -modules entre et est une application linéaire telle que
- est graduée de degré
- .
Cette condition est stable par composition donc on obtient la catégorie des complexes de -modules.
Du point de vue des suites de modules, un morphisme de complexes est une suite d’applications linéaires telles que, pour tout , :
Le résultat suivant est très simple, mais fondamental.
Soit un complexe de -modules. On a et le quotient est gradué par les
Soit et des complexes de -modules. Tout morphisme de complexes induit une application linéaire graduée de degré . On notera les restrictions de aux sous-modules .
De plus l’application est fonctorielle. On obtient donc un foncteur .
Démonstration : Montrons que . Par adjonction, il suffit de montrer que . Fixons . On a donc .
Montrons que , c’est-à-dire . Par adjonction, il suffit de montrer que . Fixons . On a donc .
Donc descend bien en un morphisme
Pour les enthousiastes des conoyaux, signalons que les deux derniers paragraphes peuvent être remplacés par l’invocation de l’exercice 5.66 concernant le foncteur conoyau.
6.3. Complexe des chaînes singulière et homologie singulière
Nous pouvons maintenant faire rentrer les idées géométriques du prologue dans le cadre algébrique de la section précédente. Comme annoncé, il faut commencer par expliquer ce qui généralise les points, segments et triangles du prologue.
Soit un entier naturel. Le simplexe standard de dimension est l’enveloppe convexe de la base canonique dans :
La définition ci-dessus peut sembler alambiquée comparée à l’idée d’utiliser l’enveloppe convexe de la réunion de l’origine et de la base canonique, qui donne un objet de dimension dans un espace de dimension . L’avantage de la définition retenue est que l’intersection de avec chaque hyperplan de coordonnées est clairement une copie de et que chaque « face » de est de cette forme, alors que l’idée plus naïve crée une face particulière (celle qui ne contient pas l’origine). Cela sera commode pour définir l’opérateur de bord.
Le en indice de vise à lever l’ambigüité lorsque l’espace dans lequel vivent les n’est pas clair, par exemple lorsque les sont des vecteurs de la base canonique de dont la notation ne fait pas intervenir . La valeur de n’est jamais ambigüe, car elle est déterminée par le nombre de vecteurs.
Soit un espace topologique et un entier naturel. Un -simplexe singulier à valeurs dans est une application continue . On note l’ensemble de ces applications.
À toute fonction continue , on associe la fonction qui associe à tout simplexe singulier le simplexe singulier . On obtient ainsi clairement un foncteur .
Pour chaque entier naturel , on note l’identité de vue comme élément de .
On note la réunion des ensembles pour toutes les valeurs de et la fonction associée à .
Pour la suite, il est crucial de bien avoir en tête l’adjonction liberté-oubli pour les -modules. Le foncteur envoie chaque sur un -module ayant une base indexée par . Cette base est notée par un symbole invisible : le vecteur de base associé à est noté . La propriété universelle de cette base assure que toute fonction de vers un -module admet une unique « extension » qui est -linéaire. Ici extension signifie , mais le mot est entre guillemets, car cela ne ressemble à une extension que parce que la base est notée par un symbole invisible. Dans tout le reste du chapitre, nous définirons de très nombreuses applications linéaires par ce processus d’extension. Par ailleurs, l’unicité dans la propriété universelle assure que, pour toutes fonctions linéaires et de vers un module , pour vérifier que , il suffit de montrer .
Soit un anneau commutatif unitaire. On note le foncteur composé . On obtient ainsi, pour chaque espace topologique le -module des chaînes singulières à coefficients dans qui est le -module libre . Le module est gradué par les .
Pour toute fonction continue , on note l’application . Il s’agit donc de l’unique application -linéaire qui envoie chaque simplexe singulier sur .
On équipe chaque de l’application linéaire graduée de degré qui étend la fonction définie sur par :
avec , où la notation signifie comme d’habitude que le vecteur est omis de la liste. Les sont appelés les faces de .
Le lemme suivant affirme que chaque est un morphisme de complexes de chaînes, sauf qu’on ne se sait pas encore que les sont des complexes.
Démonstration : Par linéarité, il suffit de montrer la formule sur la base des simplexes singuliers. Soit . On a
Démonstration : L’opérateur est de degré par construction. Il faut démontrer . Il suffit de montrer cette formule sur la base des simplexes singuliers. Soit . On a en utilisant deux fois le lemme 6.3.6. Ainsi l’espace topologique disparaît immédiatement de la discussion : l’enjeu est de démontrer dans . Il s’agit de vérifier que la combinatoire mise sur pied rend bien compte de la géométrie visée. On a
L’application est caractérisée par son action sur la base canonique qui est où est l’unique application strictement croissante qui ne prend pas la valeur (ici, il faut prendre garde que les apparaissant à la source et au but ne vivent pas dans les mêmes espaces).
On veut calculer . Elle est caractérisée par , donc il suffit de comprendre . Il s’agit d’une application strictement croissante par composition. Donc, elle est caractérisée par les deux valeurs qu’elle ne prend pas, à savoir bien sûr et aussi . Or
et on en déduit que, si , .
On peut alors reprendre le calcul de en séparant les termes selon que ou et en faisant un changement d’indice et dans le premier morceau :
Ainsi, on a bien un complexe de -module associé à chaque espace topologique. Le lemme 6.3.6 montre déjà que les applications linéaires associées aux fonctions continues sont des morphismes de complexes. Et la compatibilité de cette opération aux identités et aux compositions est claire, car elle est claire au niveau de , donc on a bien un foncteur de dans .
Ainsi la construction du foncteur homologie singulière ne coûte pas très cher si on a déjà investi dans l’algèbre linéaire élémentaire (en incluant la notion de module quotient). Mais le calcul de ce foncteur appliqué à un espace topologique ou une fonction continue semble hors d’atteinte. À ce stade, seul l’exemple trivial (mais fondamental) suivant est accessible.
L’homologie à coefficients dans d’un point est
Démonstration : L’espace ponctuel admet exactement un simplexe singulier par dimension , notons le . On a en particulier, pour tout et tout , . Donc
On notera que, même dans ce cas trivial, les signes intervenant dans la définition de jouent un rôle crucial. Le complexe est donc isomorphe àoù le dernier terme à droite est . Ce terme n’est quotienté par rien puisque la flèche y arrivant est nulle. L’homologie s’annule dans tous les autres degrés, alternativement parce qu’il n’y a pas de cycle non nul ou parce que le bord précédant est surjectif.Soit un espace topologique décomposé en composantes connexes par arcs. Les applications d’inclusions des composantes induisent un isomorphisme
Un exemple trivial, mais important en pratique est celui de la sphère .
Pour tout anneau commutatif ,
Par ailleurs, on rappelle qu’on a vu dans la proposition 6.1.7 du prologue comment calculer le foncteur en termes du foncteur (l’anneau de coefficients était , mais la démonstration fonctionne avec n’importe quel anneau). En pratique les espaces que nous verrons en exemple ont un nombre fini de composantes connexes par arcs donc leur est isomorphe à avec une base donnée par les composantes connexes par arcs. Et surtout pour toute fonction continue , chaque élément de base correspondant à une composante est envoyé par sur l’élément de base donné par l’unique composante connexe par arcs de qui contient .
6.4. Invariance par homotopie
Dans cette section et la suivante, on omet l’anneau dans les notations, mais tous les résultats s’appliquent à un anneau commutatif quelconque. On rappelle que, dans ce cours, on peut supposer que est ou sans perdre grand-chose (mais ces deux cas sont vraiment différents donc justifient à eux seuls le cadre général).
L’objectif de cette section est de montrer que deux applications continues homotopes (voir la définition 6.1.1) induisent la même application en homologie.
Expliquons l’idée de la démonstration pour . Soit une homotopie entre et . L’opérateur géométriquement naturel associe à chaque chemin l’application du carré dans . Pour faire rentrer cette application dans le cadre géométrique, on décompose le carré en deux triangles comme sur le dessin suivant (où les deux triangles sont légèrement écartés pour bien les distinguer, mais devraient être recollés le long du segment diagonal).
Un aspect crucial du dessin est que la diagonale du carré apparaît deux fois et on veut la faire disparaître algébriquement. On définit alors . Notons la diagonale et l’application obtenue en appliquant le foncteur -module libre à la fonction qui envoie tout point de sur le chemin . Pour être vraiment précis, il faudrait faire paramétrer tous ces chemins par , mais, ici, on note par un symbole invisible l’inverse de l’application de dans qui envoie sur . On calcule
Si on étend par la propriété universelle des -modules libres, on obtient donc à partir de l’homotopie deux applications linéaires et telles que
L’existence d’une telle relation implique . En effet, tout élément de provient d’un élément de et est la classe d’homologie . Or la relation implique
Bien sûr, il faudra généraliser cette idée à toutes les valeurs de .
À première vue l’invariance de l’homologie par homotopie semble concerner uniquement l’effet de ces foncteurs sur les morphismes, mais il s’agit en fait d’un outil crucial pour en calculer l’effet sur les objets, via les définitions suivantes.
Soit un espace topologique et une partie de . On note l’inclusion de dans . On dit que se rétracte sur s’il existe une fonction continue telle que (ainsi le théorème 6.1.4 affirme qu’une boule ne se rétracte par sur son bord).
On dit que se rétracte par déformation sur s’il existe une rétraction telle que est homotope à .
On dit que est contractile s’il se rétracte par déformation sur un point ou, de façon équivalente, si est non vide et si est homotope à une application constante, ou encore s’il existe un point dont l’inclusion dans est une équivalence d’homotopie.
De façon alternative, on peut voir comme application de dans qui vérifie que et . Les rétractions sont les analogues topologiques des projections de l’algèbre linéaire (qui dans le cas des -ev sont effectivement des rétractions par déformation).
La notion de rétraction par déformation définie ci-dessus est parfois appelée rétraction par déformation faible. La notion forte demande une homotopie entre et parmi les fonctions qui ne bougent aucun point de , mais elle ne jouera aucun rôle dans ce cours.
Tout -ev est contractile. En effet se rétracte par déformation sur son origine par . Comme homotopie entre et , on utilise
Le complémentaire de l’origine dans se rétracte par déformation sur la sphère . Pour on utilise et comme homotopie
Parfois il est moins évident d’écrire une formule. Par exemple, il est instructif de se convaincre que le complémentaire d’un point dans un tore (la surface d’une bouée) se rétracte par déformation sur la réunion de deux cercles qui se croisent en un point.
Un exemple de rétraction pas par déformation est celui d’un point dans un ensemble non connexe par arcs (disons un ensemble de deux points munis de la topologie discrète). L’application qui envoie tout sur le point est une rétraction, mais il n’y a pas de rétraction par déformation de sur ce point.
La façon dont cette notion se combine avec l’invariance par homotopie est le corollaire suivant (du théorème 6.4.14 annoncé dans le prologue du chapitre et qui sera démontré page 1).
Soit un espace topologique et une partie de . On note l’inclusion de dans . Si se rétracte sur alors est injective pour tout . S’il se rétracte par déformation alors c’est un isomorphisme.
En particulier, si est contractile, par exemple si ou , alors
Démonstration : Soit une rétraction de sur . Par fonctorialité, l’égalité donne , et donc l’injectivité de . Dans l’autre sens, on calcule en supposant que soit une rétraction par déformation :
donc est inverse de .Homotopies algébriques
Une homotopie de chaînes entre deux morphismes de complexes est une application linéaire graduée de degré telle que
On a donc le diagramme non commutatifLorsqu’une telle application existe, on dit que et sont (algébriquement) homotopes et on note .L’intérêt majeur de cette définition est le lemme suivant.
Démonstration : Soit et deux telles applications entre et . Soit une homotopie entre et . Soit . Par construction, on obtient tel que et on peut calculer
Démonstration : Pour la réflexivité, l’homotopie nulle convient (le seul point perturbant est que l’application nulle est de tout degré, en particulier ). La symétrie est claire, car si est une homotopie entre et alors est une homotopie entre et .
Montrons la transitivité. Supposons que , et sont des morphismes entre et , une homotopie entre et , une homotopie entre et . On a alors
et est de degré donc c’est une homotopie entre et .
Démonstration : Par hypothèse, on a tel que et donc
et est bien de degré donc est une homotopie entre et . Un calcul analogue montre que la composition à droite fonctionne aussi.Les lemmes précédents permettent de définir la catégorie homotopique des -complexes.
La catégorie homotopique des -complexes est la catégorie dont les objets sont les complexes de -modules et pour laquelle est l’ensemble des morphismes de complexes de vers modulo homotopie. Les lemmes précédents montrent que la composition dans induit bien une composition sur . De plus le foncteur homologie de dans se factorise à travers le foncteur d’oubli de and (dont l’action sur les objets est l’identité et qui envoie tout morphisme vers modulo homotopie).
On dit qu’un morphisme de complexes est une équivalence d’homotopie algébrique si elle induit un isomorphisme dans la catégorie homotopique, autrement dit s’il existe un morphisme tel que est homotope à et est homotope à . En particulier une équivalence d’homotopie induit un isomorphisme en homologie.
Triangulation des prismes et invariance par homotopie
Notre but est de montrer que deux fonctions continues homotopes induisent des applications homotopes (au sens de l’algèbre). Pour cela, il faut un moyen de construire des applications de degré entre complexes de chaînes singulières. On rappelle qu’on a vu comment construire une telle application dans le cas au début de la section 6.4.
Chaque chaîne permet de définir, pour chaque espace topologique une application linéaire définie par extension de .
Soit . Les sont les composantes d’une transformation naturelle entre le foncteur et le foncteur , ce dernier agissant sur une fonction continue par : pour toute fonction continue , on a
Démonstration : Par linéarité, il suffit de le vérifier sur un simplexe singulier . On calcule
Il existe pour chaque une triangulation du prisme telle que les inclusions et de dans vérifient
Démonstration :
On utilise la notation 6.3.2 et, pour tout , on note et . Les et sont les sommets du prisme . On pose
et on omettra l’indice , car il sera toujours clair d’après le contexte. Par exemple .
et
Dans ces deux dessins, les simplexes sont dessinés disjoints pour plus de clarté, mais les véritables dessins ne font apparaître chaque sommet qu’une seule fois.
Par définition, on a donc, pour n’importe quel -uplet
On peut donc calculer
puis on isole dans chaque double somme les termes où les deux indices coïncident pour obtenir
Tous les termes de cette somme se compensent sauf le premier de la première somme qui est et le dernier de la deuxième somme qui est . Les termes ayant disparu par compensation correspondent aux faces qui sont à l’intérieur du prisme.
On a donc obtenu
et il reste à montrer que les deux dernières lignes correspondent au bord latéral (les simplexes qui sont verticaux sur les dessins).
Les termes qui interviendront dans le calcul du bord latéral sont calculés par l’affirmation suivante :
Affirmation:
Fixons et . Notons l’application linéaire à calculer Pour vérifier l’égalité annoncée, il suffit de vérifier l’image de pour .
Supposons d’abord que . Fixons . Supposons que . Dans ce cas, on a toujours et donc
Supposons maintenant que . Dans ce cas, on a
qui correspond bien au résultat annoncé.Supposons maintenant que . Fixons .
Supposons d’abord . Dans ce cas, on a toujours et donc
Supposons maintenant que . On a alors
Dans tous les cas l’affirmation est démontrée. Calculons maintenant le bord latéral, en utilisant la linéarité et les définitions de et pour les trois premières égalités puis l’affirmation.
et on retombe bien sur l’opposé des deux sommes du calcul de .
Si et sont deux applications continues qui sont (topologiquement) homotopes entre des espaces topologiques et alors les applications et de dans sont (algébriquement) homotopes et donc de dans .
Autrement dit, on a un diagramme commutatif de foncteurs
Démonstration : Soit une homotopie entre et . On note et les applications de dans définies par et respectivement. Ainsi, on a et .
Ainsi et donc le lemme 6.4.10 assure qu’il suffit de montrer que et sont homotopes. Au passage, on remercie , , et pour leur participation : ils ne joueront plus aucun rôle. Montrons que est une homotopie entre et . On note et les deux faces en haut et en bas de comme dans l’énoncé du lemme 6.4.13. Soit . On calcule en utilisant le lemme (qui lui-même remercie pour sa participation)
Le calcul ci-dessus est très détaillé, mais la seule ligne ayant un vrai contenu est celle qui invoque le lemme 6.4.13.
6.5. Énoncé du théorème de Mayer-Vietoris et applications
Prologue
Après l’invariance par homotopie, le deuxième aspect crucial pour les calculs est la possibilité de calculer l’homologie d’une réunion à partir de celles de , et si et sont ouverts (on fera une hypothèse un peu plus faible plus tard). On note
les inclusions.
Dans ce prologue, on discute le cas de . Soit un cycle n’ayant rien à voir avec et a priori. Puisque et sont ouverts, chaque chemin peut être écrit comme concaténation d’une famille finie de chemins à valeur dans ou dans (il s’agit d’une conséquence de la proposition 4.8.11 appliqué au recouvrement ). On a vu dans le prologue de ce chapitre 6 que concaténer des chemins est équivalent à les additionner modulo . Cette flexibilité était la motivation pour considérer des chemins plutôt que des lacets. On obtient donc et tels que . En appliquant à cette égalité, on obtient
Ainsi . En particulier ces chaînes vivent en fait dans puisque vit dans et vit dans . De plus ce sont des cycles dans . Il s’agit d’une observation triviale ici, car tous les éléments de sont des cycles, mais cela fonctionnerait encore dans , car ces éléments sont des bords dans et . De façon cruciale, rien ne dit que ce sont des bords dans . On peut donc étudier leur valeur modulo pour obtenir un élément de . Par construction cet élément est dans le noyau de , c’est-à-dire . Avec un peu plus de soin, on peut faire de cette construction une application linéaire prenant ses valeurs dans ce noyau. On montre facilement que l’image de est tout ce noyau. En effet, fixons . Par définition, est l’image d’un cycle qui est un bord dans et dans . On obtient donc et tels que et . On peut alors voir comme élément de , on a et .
On calcule maintenant le noyau de . Soit tel que . Comme plus haut, on écrit et . L’hypothèse sur donne donc tel que (et donc ). Ainsi est un cycle dans , et est un cycle dans . On voit que
est simplement la somme d’un cycle de et d’un cycle de modulo un bord de . Ainsi le noyau de est engendré par les classes qui proviennent soit de soit de . Plus précisément ces éléments forment l’image de . Cette application ne saurait être injective, car les classes provenant de sont bien sûr comptées deux fois donc il faut quotienter par le sous-espace engendré par les . Montrons que ce sous-espace est exactement le noyau de . Soit tel que . Par définition, et sont représentés par des cycles et dans et respectivement, et il existe tel que . Le problème est que n’a aucun lien avec et . De nouveau, l’idée clef est de subdiviser . Cette fois est une application continue sur le triangle , qu’on veut subdiviser en triangles plus petits jusqu’à ce que chaque morceau prenne ses valeurs soit dans soit dans . La façon de réaliser cette subdivision du triangle n’est vraiment pas évidente si on veut qu’elle se généralise bien à tous les . La construction apparaîtra dans la section 6.6. Elle donnera une suite d’opérateurs de subdivision et une homotopie algébriques entre et . Les itérés de sont également homotopes à . Pour cette introduction, supposons que est déjà suffisamment subdivisé pour avoir avec et . On a alors
en utilisant et . Ainsi
La construction de assure également qu’il ne fait pas sortir de ou donc et . Ainsi les deux côtés sont des chaînes à valeur dans . Enfin, on note que dans et de même dans . Ainsi est bien de la forme attendue.
En résumé, on a esquissé la construction d’une suite exacte5 de la forme :
faisant intervenir les applications discutées plus haut ou, de façon équivalente une suite exacte courte de la forme :
où est la somme amalgamée le long de et , comme dans l’exo:pushout.
Le dessin suivant illustre cette discussion dans le cas du tore (la surface d’une bouée). Chacun des ouverts et est homéomorphe à un cylindre. Le cycle est dans , on peut montrer que sa classe d’homologie engendre . De même est engendré par la classe de . Mais ces classes proviennent toutes deux de la même classe de représentée par donc les classes provenant de ou contribuent seulement à . Le cycle dans borde à la fois le chemin dans et le chemin dans . La somme est un cycle dans et on peut montrer que sa classe d’homologie engendre qui est également isomorphe à .
Ainsi engendré par et . Dans ce cas les deux contributions à font la même « taille », mais nous verrons des exemples dans lesquels ce n’est pas le cas.
Revenant au cas d’un espace quelconque, on notera que ce plan de démonstration ne dit rien de la construction de qui envoie chaque triangle sur pas moins de 10 tétraèdres. Cette situation est encore dessinable, mais il est clair que le cas général nécessitera une approche résolument algébrique.
La section 6.5.1 contient des rappels sur les suites exactes de modules, avec une définition et une série d’exercices. La section 6.5.2 énonce le théorème de calcul de l’homologie d’une réunion. La section 6.5.3 applique ce théorème pour calculer l’homologie des sphères comme promis dans le prologue de ce chapitre. Elle contient également des exercices appliquant le théorème à d’autres exemples.
Rappels sur les suites exactes
Une suite exacte de modules est une famille indexée par un intervalle de modules et d’applications linéaires telle que, pour tout , .
(les flèches en pointillés fins suggèrent le reste de la suite, pas la construction d’un nouveau morphisme).
Lorsque est de cardinal cinq et que les modules aux extrémités sont triviaux, on dit que la suite est courte. Lorsque est infini, on dit qu’elle est longue. La condition est appelée exactitude en .
Un morphisme de suites exactes entre et (avec le même ) est une famille d’applications linéaires telle que, pour tout , .
On obtient ainsi une catégorie des suites exactes de -modules, avec sa sous-catégorie pleine des suites exactes courtes.
En particulier, on peut voir les suites exactes indexées par comme des cas particulier de complexes (ceux dont l’homologie est nulle), mais, en pratique, elles jouent des rôles très différents. Dans cette définition, la numérotation des modules ne sert qu’à décrire la notion, elle ne fait pas vraiment partie de la donnée (contrairement à la notion de complexe où la numérotation est importante). On notera que la restriction d’une suite exacte à un sous-intervalle d’indices est également une suite exacte.
Dans ce cours, on suppose que la notion de suite exacte a déjà été abordée en cours d’algèbre, au moins de façon superficielle. Mais l’exercice suivant résume tout ce qu’il y a à savoir. Il sera utilisé implicitement de façon systématique dans toute la fin de ce chapitre.
Cet exercice passe en revue les exemples fondamentaux de suites exactes courtes de modules.
Montrer que
est une suite exacte si et seulement si est un module nul.
Les deux flèches correspondent nécessairement à des applications linéaires nulles. L’exactitude en assure que le noyau de la seconde, c’est-à-dire tout , est égal à l’image de la première, qui est nulle. Donc est nul.Montrer que
est une suite exacte si et seulement si est injective.
L’exactitude en signifie que le noyau de est l’image de la première application linéaire. Cette application est nulle donc son image est nulle, donc donc est injective.
Montrer que
est une suite exacte si et seulement si est surjective.
L’exactitude en assure que l’image de est le noyau de l’application suivante. Cette application est nulle donc son noyau est entier.
Montrer que
est une suite exacte si et seulement si est un isomorphisme.
C’est la combinaison des deux questions précédentes : est à la fois injective et surjective. Ainsi est bijective et on sait que son inverse est automatiquement une application linéaire.
Cet exercice aborde le contenu algébrique général des suites exactes courtes.
Montrer que, pour tout module et tout sous-module de , l’inclusion et la projection fournissent une suite exacte courte
Montrer que toute suite exacte courte est isomorphe à un exemple de ce type.
L’exactitude en traduit simplement l’injectivité de et celle en la surjectivité de , tandis que l’exactitude en traduit le fait que .
Soit
une suite exacte courte quelconque. Comme on l’a vu, est injective, est surjective et . Donc induit un isomorphisme entre et le sous-module de et descend en isomorphisme . On a donc le digramme
et on obtient l’isomorphisme de suites exactes voulu en inversant l’isomorphisme vertical à droite.
Montrer que, pour tous modules et , l’inclusion et la projection fournissent une suite exacte courte
Une suite exacte isomorphe à un exemple de ce type est dite scindée. Montrer que la suite exacte associée à un sous-module d’un module est scindée si et seulement si admet un supplémentaire . Donner un exemple de suite exacte courte qui n’est pas scindée. On rappelle que l’existence de tels exemples est la raison fondamentale pour laquelle on ne peut pas échapper à la discussion des groupes dans les cours d’algèbre élémentaires (cette situation est à comparer avec celle de la question suivante).
La suite proposée est bien exacte, car est injective, est surjective et .
Soit un sous-module d’un module . Si la suite correspondante est scindée alors on a
l’image de par l’isomorphisme du milieu est le supplémentaire recherché. Réciproquement, si existe alors, par définition, on obtient un isomorphisme entre et compatible avec l’inclusion. Et on sait que la restriction de à est un isomorphisme, ce qui permet de compléter le diagramme.
La suite de -modules
n’est pas scindée, car ne contient pas de sous-groupe isomorphe à puisqu’il ne contient aucun non nul tel que .
Soit
une suite exacte courte. Montrer que si est libre alors cette suite est scindée. En particulier est isomorphe à . Cette question est nettement plus difficile. On pourra commencer par montrer que l’application de dans admet un inverse à droite linéaire. On rappelle que tout espace vectoriel est libre, ce qui explique pourquoi on peut se passer d’espaces vectoriels quotients dans les cours d’introduction à l’algèbre linéaire : tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire, et ce supplémentaire est isomorphe au quotient par le sous-espace.
Notons l’application de dans et celle de dans . L’exercice précédent assure que est injective et est surjective.
Montrons que admet un inverse à droite linéaire. Soit une base de (qui existe, car on a supposé libre). Pour chaque dans , on choisit une préimage de par . La propriété universelle de la base appliquée à la fonction fournit une application -linéaire telle que, pour tout , . On a, pour tout , donc l’unicité dans la propriété universelle de appliqué à la fonction assure que . En particulier est injective.
Montrons que est la somme directe de ses sous-modules et , qui sont isomorphes à et respectivement par injectivité de et .
Montrons que l’intersection est nulle. Soit et tels que . Montrons que cette valeur commune est nulle. On applique à l’égalité pour obtenir . Le membre de gauche est nul par exactitude de la suite en . Le membre de droite vaut . Donc et donc comme annoncé.
Montrons que la somme est entier. Soit . On veut et tels que . On pose naturellement et il reste à montrer que est dans l’image de . Or cette image est le noyau de . Donc, il suffit de calculer .
Remarque : Dans cette discussion, l’hypothèse que est libre est trop forte, la bonne hypothèse est celle de module projectif, mais cela ne jouera aucun rôle pour nous.
Cet exercice explique comment « découper » une suite exacte longue en suites exactes courtes. On considère une suite exacte longue de modules.
On rappelle que le conoyau d’une application linéaire est et sa co-image est , ces deux modules étant munis de leur projection canonique depuis et respectivement.
Montrer qu’on peut écrire seize suites exactes courtes deux à deux isomorphes de la forme
où et sont des noyaux, images, conoyaux ou co-images des pour . En particulier une de ces suites doit avoir et . Montrer que, parmi ces suites exactes, celles faisant intervenir à la fois et sont équivalentes à l’exactitude de la suite longue de départ en .
On part de la suite exacte courte associée au sous-module :
Le premier théorème d’isomorphisme de Noether assure que, pour chaque , induit un isomorphisme entre la co-image et . Par ailleurs l’hypothèse d’exactitude en assure que et donc .
On a donc
en utilisant l’exactitude en puis le théorème de Noether pour puis l’exactitude en et
en remplaçant par (donc en utilisant l’exactitude en et et le théorème de Noether pour ). On a donc quatre possibilités (dont ) pour remplacer dans la suite exacte ci-dessus et quatre possibilités (dont ) pour remplacer , ce qui donne seize possibilités.
Le fait que les suites exactes correspondantes sont deux à deux isomorphes est évident pour les réécritures venant d’égalités telles que et provient de la commutativité de
ou de l’analogue pour sinon.
En particulier ces suites exactes incluent
dont l’exactitude est équivalente à , c’est-à-dire et
dont l’exactitude est équivalente à , c’est-à-dire (et de même pour la variante faisant intervenir ).
L’exercice précédent montre que la notion de suite exacte longue ne permet pas d’exprimer plus que ce qui est permis par la notion de suite exacte courte. Mais d’une part les suites longues sont parfois ce qui arrive naturellement, d’autre part les suites exactes courtes de l’exercice font intervenir des modules a priori plus compliqués, et surtout la profusion de suites courtes obtenues montre qu’il n’y a pas de façon préférée de remplacer une suite longue par une suite de suites courtes. De façon plus pragmatique, nous verrons dans les exemples qu’il y a très souvent des modules nuls ou des applications nulles dans les suites exactes longues, ce qui permet de simplifier directement la discussion sans utiliser l’exercice précédent.
Énoncé du théorème de Mayer-Vietoris
Soit un espace topologique, et des parties de dont les intérieurs recouvrent : . On note
les inclusions. On a une suite exacte longue
Toute classe d’homologie de est représentée par un cycle de qui s’écrit avec , et . En particulier et sont des chaînes dans , mais pas nécessairement des bords dans . On a alors dans . De plus, si on échange et alors devient . Le morphisme est appelé morphisme connectant.
Enfin cette suite exacte est fonctorielle au sens suivant. Soit un espace topologique recouvert par les intérieurs de parties et . Pour toute fonction continue , si et alors on a le morphisme de suites exactes :
Dans le contexte du théorème de Mayer-Vietoris, il existe pour chaque une suite exacte courte de la forme
où est la somme amalgamée le long de et , comme dans l’exercice 3.40. Ainsi lorsque cette suite est scindée, par exemple si est un corps,
donc on peut calculer à partir deRemarque : dans les énoncés précédents, on utilise la notation quand est clair sur le diagramme, et sinon, mais ce sont bien les mêmes applications.
Faisons maintenant explicitement le lien entre ces énoncés précis et la discussion géométrique un peu vague de ce théorème esquissée dans le prologue de cette section 6.5. L’affirmation centrale du théorème est que est « constitué » de deux morceaux (qui peuvent être de « taille » inégale).
Le premier morceau provient de , ce sont les classes de cohomologie qui existent déjà dans ou dans . L’exactitude en affirme que la « différence » entre ces classes provenant de ou et leurs images dans est entièrement expliquée par le fait que les classes provenant de sont « comptées deux fois » : les classes provenant de ou correspondent à .
L’autre morceau, correspondant à , provient des classes dans représentées par des cycles de qui bordent à la fois un cycle dans et un cycle dans et donnent ainsi le cycle dans .
La façon dont ces deux morceaux sont combinés pour donner est exprimée par la suite exacte courte en général. Dans le cas où cette suite est scindée, il s’agit simplement d’une somme directe.
Comme annoncé après l’exercice 6.72, ce corollaire est psychologiquement important, mais, en pratique, on utilisera directement le théorème, comme on va le voir dans la section suivante.
On note aussi, comme petite vérification de cohérence, que l’énoncé ci-dessus retrouve la proposition 6.3.10 dans le cas où et sont des composantes connexes par arcs distinctes de puisque et on obtient donc . La démonstration du théorème montrera à quel point invoquer Mayer-Vietoris ici est ridiculement trop compliqué.
Applications du théorème de Mayer-Vietoris
Ce théorème permet comme promis de calculer l’homologie des sphères.
Pour tous entiers naturels et ,
- Pour tout hyperplan vectoriel dans , la symétrie orthogonale restreinte à vérifie si et échange les deux copies de si .
Démonstration : Montrons ce théorème par récurrence sur . On a calculé dans le corollaire 6.3.11 et l’action de la symétrie se calcule directement par la proposition 6.1.7. Supposons le théorème pour un entier et montrons-le pour .
Soit un hyperplan vectoriel dans et la symétrie orthogonale par rapport à . On note et les deux points de , et . On remarque que et sont ouverts, recouvrent et sont échangés par .
Les ouverts et sont tous deux homéomorphes à (par exemple par projection stéréographique, voir l’exemple 4.9.6).
Ainsi . Par ailleurs se rétracte par déformation sur qui est homéomorphe à . En identifiant à , et on peut utiliser comme rétraction
qui est bien définie, car sur . Le corollaire 6.4.5 assure donc que qui est connu par hypothèse de récurrence.
Le cas générique est le plus direct. La suite de Mayer-Vietoris contient alors
car . Ainsi, on obtient pour tout , ce qui donne bien le résultat annoncé vu l’hypothèse de récurrence.
Pour , on a déjà le résultat par le corollaire 6.3.11 et la proposition 6.1.7.
Il reste à voir le cas . La suite de Mayer-Vietoris contient
Donc est isomorphe au noyau de .
Supposons d’abord que . Dans ce cas , et sont tous connexes par arcs et donc la matrice de dans les bases canoniques est donc cette application est injective et .
Supposons maintenant que . Pour décrire plus facilement les choses, on se place dans des coordonnées euclidiennes pour lesquelles , , , et . Dans ce cas a deux composantes connexes par arcs : .
Comme et sont connexes par arcs, la matrice est dont le noyau est le -module libre engendré par .
Il reste à voir l’action de la symétrie , qu’on notera simplement ici. Les points clef sont la fonctorialité de Mayer-Vietoris et l’action de l’échange entre et qui renverse le . Ici, on obtient si ,
De plus l’action de sur est triviale. En effet, notons l’inclusion de dans . On a vu que induit un isomorphisme en homologie, et agit trivialement sur donc sur . On a donc donc et . Vu le diagramme ci-dessus, on obtient bien sur .
Pour , n’est plus un isomorphisme, mais il est toujours injectif et le même argument s’applique en remplaçant par le noyau de (qui est aussi l’image de ).
Le but de cet exercice est de décrire très explicitement un générateur de pour tout , en reprenant la démonstration du théorème théorème 6.5.4 (on utilisera vraiment la démonstration et pas seulement l’énoncé). On note l’inclusion de dans . Pour tout on note la symétrie par rapport au -ème hyperplan de coordonnés. Pour tout ensemble on note la composée des pour (ces transformations commutent donc l’ordre de composition n’a pas d’importance). On note le cardinal d’un tel ensemble. On note la projection radiale. Nous allons montrer que
est un cycle et que engendre (pour tout anneau de coefficients).
Faire un dessin de pour .
Soit une partie de et . Montrer que où les sont les simplexes intervenant dans la définition de l’opérateur .
On a par définition. Comme est linéaire, la composition est aussi de ce type.
En utilisant que , on a et donc le résultat annoncé (le seul vecteur qui change est celui omis dans la liste).En déduire que .
L’opérateur de bord est une somme sur et, pour chaque on peut remplacer la somme sur qui intervient dans la définition de par une somme sur les ne contenant pas de la contribution de et de celle puis utiliser la question précédente.
On voit comme l’intersection entre et l’hyperplan identifié à . Comme dans la démonstration du théorème calculant l’homologie des sphères, on applique le théorème de Mayer-Vietoris à la décomposition où et de sorte que se rétracte par déformation sur et le connectant peut être vu comme allant de dans . Montrer que .
On veut décomposer en somme d’une chaîne dans et d’une chaîne dans . On pose bien sûr :
Le théorème de Mayer-Vietoris assure que . Pour calculer , on reprend le calcul de la question précédente, mais en mettant de côté le terme de la somme externe. On obtient
Et restreint à est simplement l’inclusion de dans donc on retrouve bien .
Conclure.
Montrons par récurrence sur que engendre . Pour , on a vu dans la démonstration du théorème 6.5.4 que fournit un isomorphisme entre et le noyau de . Or engendre bien ce noyau donc engendre vu la question précédente.
Supposons maintenant que engendre pour . On a vu dans la démonstration du théorème 6.5.4 que fournit un isomorphisme entre et donc la question précédente et l’hypothèse de récurrence permettent de conclure immédiatement.
Cet exercice est la suite de l’exercice 6.69 dont il faut relire les trois premières questions (simplement les définitions et énoncés). Dans tout cet exercice, on fixe un entier .
Soit un hyperplan vectoriel de , la sphère équatoriale correspondante : . En utilisant la suite de Mayer-Vietoris associée à comme dans le calcul de l’homologie de , montrer que si préserve et chacun des hémisphères délimités par alors .
La suite exacte de Mayer-Vietoris associée à dans le cours montre que le connectant induit un isomorphisme de dans ( est la composée de et de l’isomorphisme induit par la rétraction de l’intersection sur ). Comme préserve chaque hémisphère, la fonctorialité de la suite exacte de Mayer-Vietoris donne le diagramme commutatif suivant (où, contrairement à l’étude de la symétrie hyperplane, il n’y a pas de changement de signe, car n’échange pas les ouverts de la décomposition) :
Ainsi et donc en utilisant que est libre et non trivial (ici, il suffirait de savoir qu’il admet un élément qui n’est pas de torsion).
On identifie à comme d’habitude et on identifie au complémentaire d’un point dans par projection stéréographique.
Soit un polynôme de degré au moins . On notera également la fonction polynomiale associée. Montrer que cette fonction s’étend en fonction continue de dans .
Notons le point de qui n’est pas dans . On étend la fonction en envoyant sur . Il suffit de montrer que la fonction étendue est continue en tout point. Comme est ouvert dans , et que la fonction de départ est continue, il suffit de montrer la continuité en . Or la fonction de départ tend vers l’infini en l’infini donc l’extension est bien continue (voir le corollaire 4.9.7 pour plus de détails).
Montrer que la fonction étendue est homotope à étendue (parmi les fonctions de dans ), où désigne le degré de au sens de l’algèbre.
Notons le degré (algébrique) de . On écrit avec de degré au plus . Le complémentaire de dans est connexe par arcs donc on obtient un chemin continu qui relie à . Parmi les fonctions de dans on considère l’homotopie . Il s’agit d’une homotopie parmi les fonctions polynomiales de degré . Pour chaque on étend cette fonction à en envoyant sur . Une variante de l’argument de la question précédente assure qu’on obtient ainsi une homotopie d’applications entre et (il faut être un peu plus prudent pour la continuité).
Montrer que le degré de au sens de cet exercice est égal à son degré algébrique.
L’invariance par homotopie du degré topologique (provenant de l’invariance par homotopie de l’application induite en homologie) et la question précédente permettent de supposer que . La fonction associée préserve alors la sphère équatoriale et chaque hémisphère. La question 7 permet donc de calculer le degré de comment étant le degré de vue comme application de dans . Or l’homologie en degré de est engendrée par la chaîne qui fait une fois le tour. Cette chaîne est envoyée sur fois elle-même donc on a bien le résultat annoncé.Montrer le théorème de d’Alembert-Gauß : tout polynôme à coefficients dans de degré strictement positif admet une racine dans .
Soit un polynôme de degré . La question précédente assure que le degré topologique de vu comme fonction sur est . La question 2 de l’exercice 6.69 assure que cette fonction est surjective. En particulier est dans son image. Comme n’est pas envoyé sur , on obtient bien tel que .
On notera que cette démonstration est jolie, mais ridiculement coûteuse par rapport à la difficulté du théorème de d’Alembert-Gauß puisque qu’elle utilise toute la technologie développée en cours sur l’homologie singulière.
Le but de cet exercice est de calculer l’homologie d’un bouquet de deux cercles (un huit dans le plan). On utilise comme anneau de coefficients un anneau commutatif quelconque et on l’omet dans les notations. On note et les parties de suggérées par la figure ci-dessous (intersections entre et des bandes verticales).
On note le cercle de gauche et celui de droite. On voit sur le dessin que se rétracte par déformation sur et sur , et que l’intersection se rétracte par déformation sur le point central.
Calculer .
Comme est connexe par arc, est isomorphe à (vu comme -module).
La suite exacte de Mayer-Vietoris associée à et comporte pour chaque entier ,
En déduire pour .
Comme se rétracte par déformation sur le cercle , on connait l’homologie de : c’est celle d’un cercle. Elle est isomorphe à en degré et , et elle est nulle en tous les autres degrés. C’est la même chose pour .
L’intersection se rétracte par déformation sur un point donc son homologie est celle d’un point : isomorphe à en degré et nulle pour tous les autres degrés.
Dans le cas , le morceau de suite exacte cité se réduit donc à et l’exercice 6.70 assure que .
La suite exacte de Mayer-Vietoris associée à et comporte
En déduire est libre de rang et en décrire une base.
Vu les rétractions par déformation évoquées précédemment, on peut réécrire la suite exacte
Il faut comprendre la dernière application en utilisant l’étude de en cours. L’unique composante connexe de est envoyée par l’inclusion dans (resp. ) sur l’unique composante connexe de (resp. ). Donc l’application correspondante de dans est qui est injective. Donc son noyau est trivial. Ce noyau est l’image de l’application précédente dans la suite exacte. Cette application est donc nulle et on a la suite exacte
On en déduit que est libre de rang . Mieux, l’application est un isomorphisme. Et on sait que le du cercle est engendré par l’image du cycle « faire le tour du cercle ». Donc est engendré librement par l’image des deux chaînes qu’on imagine : une qui fait le tour du cercle de gauche et une pour le cercle de droite.
L’espace projectif réel de dimension est l’ensemble des droites vectorielles dans . Chaque droite vectorielle dans intersecte la sphère en deux points antipodaux. On peut donc voir comme le quotient de par la relation d’équivalence qui identifie les paires de points antipodaux. En particulier cela fournit une topologie sur . On considère maintenant la boule fermée vu comme hémisphère sud dans (disons par projection stéréographique depuis le pôle Nord). La relation d’antipodie est presque triviale sur , mais les points de l’équateur sont toujours identifiés par antipodie. Ainsi est également le quotient de par la relation qui identifie les points antipodaux du bord. On travaillera avec ces deux modèles. On note que l’image de l’équateur dans est une copie de dans . Nous allons calculer l’homologie de pour , en supposant que l’anneau de base soit ou pour . Il n’y a pas d’obstruction à traiter le cas où et sont quelconques avec les outils introduits ici, mais cela devient plus technique.
Montrer que est un singleton. En déduire son homologie.
C’est un quotient de la boule qui est déjà un singleton. Alternativement, on peut aussi dire que c’est le quotient de qui est une paire de points par la relation qui identifie les deux points. Son homologie est donc isomorphe à en degré zéro et nulle en tous les autres degrés.
Montrer que est homéomorphe à . En déduire son homologie.
C’est un quotient de la boule par la relation qui identifie et . On voit qu’on obtient un cercle. Montrons-le plus formellement. L’application de dans le cercle qui envoie sur est continue et compatible avec la relation d’équivalence donc descend en fonction continue de dans . La fonction de départ est surjective donc aussi. De plus le défaut d’injectivité de est exactement la relation par laquelle on quotiente : si et seulement si . Donc est bijective. Comme est compact (comme image continue du compact ) et est séparé, est automatiquement continue par le lemme 4.8.8. Ainsi est un homéomorphisme.
L’homologie de est donc libre de rang en degré et , nulle en les autres degrés.
On note l’image de l’intérieur de dans . De façon équivalente, est l’image dans du complémentaire de l’équateur dans . On note l’image dans du complémentaire de la boule . De façon équivalente, est l’image d’une région tropicale de .
Montrer que les ensembles et sont ouverts et recouvrent .
Ces ensembles sont images d’ouverts saturés dans qui recouvrent donc on a bien des ouverts qui recouvrent .
Rappel : une partie d’un ensemble muni d’une relation d’équivalence est saturée si, pour tous et équivalents, implique . Si est un quotient de alors est saturée si et seulement si . En particulier si est muni d’une topologie et qu’on munit de la topologie quotient alors l’image d’un ouvert saturé est ouverte puisque sa préimage est ouverte.
Montrer que se rétracte par déformation sur un point.
L’ouvert est l’image d’une boule (ouverte non vide) sur laquelle la relation d’équivalence est triviale. Il est donc homéomorphe à une boule ouverte non vide de . On a vu en cours qu’une telle boule se rétracte par déformation sur son centre.
Montrer que se rétracte par déformation sur .
Dans , le complémentaire de la boule de rayon se rétracte par déformation sur par .
Cette homotopie entre l’identité et une rétraction descend en homotopie de puisque qu’elle est compatible avec la relation d’équivalence. L’image de la sphère est précisément le dont parle l’énoncé, par définition.
Montrer que se rétracte par déformation sur une sphère de dimension .
L’intersection est l’image de . Cet ensemble se rétracte par déformation sur la sphère de rayon par exemple. En effet on peut utiliser l’homotopie radiale
La relation d’équivalence est triviale sur cette région donc cette homotopie descend trivialement au quotient.
Dans le cas , et sont tous deux homotopiquement équivalents à des cercles, donc leur est isomorphe à . Montrer que l’application induite entre ces par l’inclusion de dans est la multiplication par quitte à changer de base pour l’un des deux.
On sait que l’homologie en degré d’un cercle est engendrée par tout cycle qui fait une fois le tour du cercle. On a vu que se rétracte sur le cercle de rayon autour du centre de . On réalise ce cercle comme image d’un cycle où et sont des -simplexes qui font un demi-tour. Disons par exemple que envoie sur et l’envoie sur . La classe de dans engendre librement ce -module, on la choisit comme base pour identifier à .
L’image de cette classe dans est simplement la classe de vu comme cycle dans . La rétraction de sur envoie et sur le même cycle qui fait le tour de . En effet dans elle les envoie bien sûr sur des demi-tours, mais le quotient identifie les points antipodaux et ces demi-tours deviennent le même tour complet. Ce tour complet engendre , on le choisit comme base pour identifier à . L’application linéaire induite par l’inclusion de dans est bien la multiplication par sur dans ces bases.
En utilisant la suite exacte de Mayer-Vietoris, montrer que
où est la -torsion de . Expliciter ce que devient la formule ci-dessus dans les deux cas et .
En toute dimension, l’espace projectif est connexe par arc, car c’est l’image de la boule qui est connexe par arc par la projection au quotient qui est continue. On a donc pour tout .
Les questions précédentes et le calcul de l’homologie du point et des sphères en cours donnent :
et
Prenons un extrait de la suite exacte de Mayer-Vietoris.
Si , les deux extrémités sont nulles donc on obtient .
Pour , il nous faut un extrait plus long :
qu’on peut récrire au vu des isomorphismes ci-dessus
L’exactitude en assure que est isomorphe à son image dans le premier de la suite. L’exactitude au terme suivant assure que cette image est le noyau de la dernière flèche, c’est-à-dire par définition. On notera que ou n’ont pas de -torsion.
Pour , on a besoin d’un extrait encore plus long :
qu’on peut récrire au vu des isomorphismes ci-dessus, de la question précédente et du fait que l’unique composante connexe par arcs de s’envoie dans l’unique composante de et dans l’unique composante de :
La dernière flèche est injective donc l’image de l’avant dernière flèche est nulle donc on a la suite exacte
Par exactitude, la flèche du milieu est surjective et est isomorphe au quotient de par l’image de la première flèche, c’est-à-dire à .
On a bien obtenu les modules d’homologie annoncés. Les spécialisations demandées sont
et
Car tout rationnel est multiple de donc .
En utilisant la suite exacte de Mayer-Vietoris, montrer que si alors
Expliciter ce que devient la formule ci-dessus dans les deux cas et .
Les questions précédentes et le calcul de l’homologie du point et des sphères en cours donnent :
et
Prenons un extrait de la suite exacte de Mayer-Vietoris.
Si ou , les deux extrémités sont nulles donc on obtient .
Pour , il nous faut un extrait plus long :
qu’on peut récrire au vu des questions précédentes
Donc .
Pour , on a besoin d’un extrait encore plus long :
qu’on peut récrire au vu des questions précédentes et du fait que l’unique composante connexe par arcs de s’envoie dans l’unique composante de et dans l’unique composante de :
La dernière flèche est injective donc l’image de l’avant dernière flèche est nulle donc on a la suite exacte
Donc .
On a bien obtenu les modules d’homologie annoncés. Les spécialisations demandées sont
et
On considère maintenant le groupe des rotations de l’espace euclidien de dimension . Une rotation est spécifiée par un axe de rotation, qui est une droite vectorielle orientée, et un angle. Chaque axe de rotation est dirigée par un unique vecteur dans . La rotation d’angle autour de l’axe dirigé par est égale à la rotation d’angle autour de l’axe dirigé par donc on peut se retreindre aux angles dans . On a donc une application surjective de dans qui présente comme quotient de . Cette relation n’est pas triviale. D’abord toutes les rotations d’angle sont , donc tout est quotienté sur un point pour transformer en boule de rayon . Ensuite la rotation d’axe dirigé par et d’angle est égale à la rotation d’axe dirigé par et d’angle . Donc est le quotient d’une boule fermée de dimension par la relation qui identifie les points antipodaux du bord. On admet que la topologie ainsi obtenue sur coïncide avec sa topologie induite par . Ainsi est homéomorphe à donc on connait son homologie.
On termine par un peu de maths appliquées. On considère un bras robotique au bout duquel est fixé un pointeur laser. La direction pointée par le laser est une droite orientée dans , et l’espace de ces droites est naturellement une sphère . Ce bras est articulé et commandé par un certain nombre de curseurs dont l’état forme un espace topologique . Par exemple on peut imaginer que est un produit de cercles et d’intervalles si les articulations sont des liaisons pivots dont certaines peuvent faire un tour complet et d’autres non. On obtient donc une application continue . On suppose le bras suffisamment complexe pour assurer que est surjective (on peut réaliser cela avec deux liaisons pivot). En comparant l’orientation du morceau de robot qui tient le pointeur laser avec une orientation de référence, on voit que se factorise à travers l’action de sur :
Montrer que n’admet aucun inverse à droite continu : on ne peut pas choisir continument la commande du bras robotique en fonction de la direction souhaitée pour le rayon laser.
Supposons qu’il existe un inverse à droite de . On a alors le diagramme
Avec et donc qui donne le diagramme suivant en homologie en degré .
On utilise l’homologie à coefficients dans et les calculs des questions précédentes pour convertir ce diagramme en
qui est absurde puisqu’il factorise l’identité de à travers un groupe abélien trivial.
6.6. Lemme des petites chaînes
Dans cette section, on met en place le processus de subdivision de simplexes esquissé dans le prologue au théorème de Mayer-Vietoris. Il s’agit du passage le plus technique de la mise en place de l’homologie singulière, mais il est également crucial pour le théorème d’excision démontré dans l’exercice 6.77 et qui complète cette mise en place.
En pratique les interviendrons comme espaces contenant les simplexes standards. En réalité les constructions utiliseront uniquement la structure d’espace affine de (en voyant les comme des applications affines). Toutes les définitions et lemmes suivants sont implicitement précédés d’un quantificateur . Les apparaissant sont les de la notation 6.3.2.
Pour tout -simplexe linéaire et tout , le cône sur de sommet est le -simplexe linéaire
On utilise la même notation pour l’application linéaire de dans obtenue en appliquant le foncteur à .
Le dessin ci-dessus montre ce qui se passe pour .
On note l’application linéaire étendant .
Pour tous et , on a
Démonstration : Il suffit de montrer la formule quand est un simplexe . Supposons d’abord que . On calcule .
Supposons maintenant . On calcule
Le barycentre d’un -simplexe linéaire est le point
L’opérateur de subdivision barycentrique est défini par extension de
On notera qu’il s’agit d’une définition récursive : pour on subdivise le bord qui est une -chaîne linéaire puis on prend le cône de sommet le barycentre .
Le dessin suivant montre les cas et
Le dessin suivant montre les cas
Démonstration : Par unicité dans la propriété universelle des bases, il suffit de montrer que, pour tout et tout , . On le démontre par récurrence sur . L’idée intuitive est que tous les simplexes de qui ne viennent pas de s’annulent deux à deux grâce à , comme on peut le voir sur le dessin précédent dans le cas .
Pour , .
Pour , on calcule
Supposons maintenant le résultat pour un et montrons-le pour .
L’objectif suivant est de monter que l’opérateur de subdivision barycentrique est homotope à l’identité. On cherche donc de degré tel que . Ici il y a plusieurs méthodes possibles. L’idée est toujours de construire par récurrence sur . La méthode abstraite utilise que est contractile et l’invariance par homotopie pour progresser dans la récurrence. C’est élégant, mais cela obscurcit la géométrie de la construction en faisant économiser assez peu d’efforts. Il y a au moins deux méthodes explicites. On suit ici celle qui est exposée par exemple dans le livre de Hatcher et qui est la plus dessinable. Pour une alternative on peu consulter le livre de Bredon.
On définit par récurrence sur (avec pour ).
Cet opérateur est compliqué à dessiner, car il construit des -simplexes dont l’image est incluse dans celle du -simplexe de départ, donc tout est écrasé. L’astuce est de dessiner une chaîne dans le prisme à partir de laquelle s’obtient en projetant sur puis en appliquant .
Pour on obtient ainsi
où les deux segments horizontaux en haut correspondent à et les segments verticaux sont les -simplexes constants aux deux extrémités de . Ce dessin permet de voir la combinatoire de la situation. Mais il est un peu piégeux, car les trois segments partant de et allant vers la droite correspondent dans au même segment reliant au point d’arrivée de (et pareil avec les chemins allant vers la droite et le point de départ) puisque la dimension verticale du dessin est complètement artificielle. De façon cruciale, on note que l’opération de cône sur fait apparaître la subdivision sur le haut du dessin.
Pour on obtient
qui n’est pas évident à lire. La face du dessous du prisme est le simplexe de départ, non subdivisé. Sur chaque rectangle latéral, on voit le dessin de , c’est le côté récursif de la construction. Les traits les plus fins sont les arêtes qui sont à l’intérieur du prisme. Le barycentre de est dessiné sur la face du haut. Comme les subdivisions des faces (ici des côtés) de apparaissent en haut des rectangles, on obtient sur la face du haut. En contemplant ce dessin, suffisamment longtemps, on peut ainsi se convaincre que le lemme suivant est crédible si tous les signes coopèrent (en particulier si les faces intérieures se compensent), et surtout qu’on aura besoin que l’algèbre vienne en aide à l’intuition géométrique pour le démontrer.
Démonstration : Montrons par récurrence sur que . Il suffit de le vérifier sur les simplexes.
Pour , on a et .
Supposons maintenant le résultat pour et montrons-le pour . Soit un -simplexe linéaire dans .
or
on a donc en utilisant la définition récursive de pour la dernière égalité.
Tous les résultats précédents sont essentiellement de nature combinatoire. Le lemme des petites chaînes nécessitera aussi un ingrédient géométrique.
En fait la démonstration montrera que le diamètre est réalisé par la distance entre et les sommets d’origine et le est une généralisation du qui intervient dans le classique : « le centre de gravité d’un triangle est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet », chaque médiane étant bien sûr de longueur inférieure au diamètre du triangle.
Démonstration : La démonstration repose sur deux affirmations concernant les simplexes linéaires :
- Pour tout dans l’image de , pour tout , .
- Le diamètre de est .
Il n’y a pas grand chose à perdre à ne pas lire la démonstration de ces faits géométriquement clairs. Le point clef ici est que l’image de est l’enveloppe convexe de l’ensemble des . Montrons le premier point. Soit dans cette image. On peut donc écrire pour des avec . On calcule
Montrons maintenant le second point. Soit et deux éléments de l’image du simplexe. Par le premier point appliqué à et , on a puis, pour chaque , on applique le premier point à et pour obtenir et on obtient bien l’estimée de diamètre annoncée.
Revenons maintenant à l’énoncé du lemme. Soit un simplexe linéaire. On démontre le résultat par récurrence sur . Pour il n’y a rien à démontrer puisque est de diamètre nul. Supposons le résultat pour et montrons-le pour . Soit un -simplexe linéaire. On veut estimer le diamètre des simplexes intervenant dans . Par le second point ci-dessus, on peut se concentrer sur leurs sommets. Pour chaque simplexe de les sommets sont soit soit un point d’une face où dépend de , mais pas du sommet. Dans le cas de deux sommets et provenant d’une face , l’hypothèse de récurrence appliquée à assure que
En effet la fonction est croissante sur et . Il reste à traiter le cas où est un point du bord de et . Le premier point appliqué à assure qu’on peut supposer que est un sommet de . On pose
(il s’agit du barycentre de la face ). On a
(il s’agit d’une généralisation du fait classique que le barycentre d’un triangle est aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet). On en déduit
On remarque que le lemme précédent est vraiment un lemme de géométrie dans un espace affine sur un -evn. Il n’utilise pas la base canonique de ni son origine ni le fait que sa norme soit euclidienne par exemple.
On passe maintenant aux chaînes non linéaires. Soit un espace topologique.
Cette définition étend bien les opérations définies précédemment sur .
Le lemme suivant généralise aux chaînes non linéaires toutes les propriétés algébriques de et mise en place pour les chaînes linéaires. Il n’y a aucune difficulté, la fonctorialité fait tout le travail.
Pour tout , les opérations et ainsi associées à chaque espace topologique forment les composantes de transformation naturelles entre et et entre et respectivement : pour toute fonction continue , on a et
De plus, pour chaque espace , est un morphisme de complexes et est une homotopie entre et .
Démonstration : La naturalité vient directement de l’associativité de la composition. Par exemple pour on calcule, pour tout ,
(et comme d’habitude cette vérification sur suffit à obtenir le cas général de ).
Montrons maintenant que est un morphisme de complexes. Soit un simplexe. On calcule
De même, la première partie de ce lemme et le lemme 6.3.6 montrent que et . On peut donc calculer
Comme annoncé, nous aurons besoin d’itérer l’opérateur de subdivision barycentrique. Nous aurons donc également besoin d’une version itérée de l’homotopie . Les lemme 6.4.9 et lemme 6.4.10 montrent qu’une telle homotopie existe. Mais nous allons le redémontrer explicitement pour avoir un contrôle du support des simplexes en jeu.
Pour tout entier naturel , l’opérateur
est une homotopie entre et l’opérateur itéré .Démonstration : On peut vérifier directement que cette formule fonctionne, mais il est plus instructif de voir d’où elle vient en montrant par récurrence sur l’existence d’une homotopie entre et . Pour , convient. Supposons construit et construisons . On a
en utilisant que est un morphisme de complexes. Donc, on peut définir (qui est bien de degré ). Cette définition par récurrence donne clairement la somme annoncée.Muni de tous ces préparatifs, nous pouvons retourner enfin au contexte des petites chaînes et énoncer un dernier lemme combinant l’estimée de diamètre du lemme 6.6.9 et le lemme du nombre de Lebesgue (proposition 4.8.11)
Démonstration : On note la famille des intérieurs des . Par hypothèse, elle recouvre . Comme , il suffit de montrer le résultat pour .
Soit un -simplexe dans . Comme les sont des ouverts qui recouvrent et que est continue, les préimages sont des ouverts qui recouvrent . La compacité de et la proposition 4.8.11 du nombre de Lebesgue fournissent un rayon tel que toute boule de rayon au plus dans est contenue dans un des . En particulier les ensembles de diamètre au plus ont également cette propriété. Le lemme 6.6.9 fournit tel que tous les simplexes de ont cette propriété : il suffit de choisir tel que . Ce convient puisque par définition.
On peut enfin démontrer le lemme des petites chaînes.
Démonstration : Soit une famille de parties dont les intérieurs recouvrent un espace topologique . Montrons que l’inclusion de dans est une équivalence d’homotopie. Le lemme 6.6.14 fournit pour chaque simplexe un entier tel que (disons que est le plus petit entier qui convient pour éviter une utilisation gratuite de l’axiome du choix).
La première idée naturelle pour construire qui soit inverse de modulo homotopie est d’utiliser l’unique application linéaire qui étend . Mais cette application n’est pas un morphisme de complexes, car il existe des simplexes ayant un strictement plus grand que celui de leurs faces. Par exemple dans le recouvrement intervenant pour calculer l’homologie des sphères dans le théorème 6.5.4, on peut considérer un simplexe dont l’intérieur contient les deux pôles, mais dont les faces évitent les pôles.
L’astuce consiste à définir d’abord l’homotopie (qui n’a pas de contrainte de commutation avec ) puis définir . On considère donc l’unique application linéaire qui étend et on pose . Ce est clairement un morphisme de complexes. Il reste à montrer qu’il prend ses valeurs dans , de sorte qu’on puisse réécrire cette égalité comme , montrant ainsi que est une homotopie entre et .
Soit un -simplexe dans . Pour chaque face qui apparait dans , on a puisque l’image de est contenue dans celle de . Le lemme 6.6.13 assure que donc on a
Le premier terme est bien dans par définition de . Le reste vaut
en utilisant les définitions de , et . On observe alors que tous les intervenant sont dans , car et préserve par la remarque 6.6.11.
Ainsi est bien à valeur dans et . Par ailleurs , car restreint à est nul et préserve .
6.7. Suites exactes courtes et longues
Le second ingrédient du théorème de Mayer-Vietoris est un théorème fondamental de l’algèbre homologique qui n’a rien de spécifique à l’homologie singulière. En particulier il généralise toute la partie algébrique de la discussion du prologue de la section 6.5.
Pour toute suite exacte courte de complexes de -modules,
il existe une application -linéaire de degré , appelée connectant, donnant une suite exacte longue :
De plus, pour tout cycle et tout , il existe unique tel que et ce est un cycle et vérifie .
De plus est naturel : pour tout morphisme de suites exactes courtes de complexes
le diagramme
commute.
Démonstration : On commence par la forme la plus traditionnelle de la discussion de la construction de . On fixe et . On veut définir . Le diagramme ci-dessous montre en gras les éléments , et qui interviennent dans la construction.
On choisit un cycle tel que . L’exactitude de la suite courte en assure que est surjective. On obtient ainsi tel que . Comme est un morphisme de complexes, on a . Donc . L’exactitude de la suite courte en assure donc que est dans l’image de . On obtient donc tel que . Comme est un morphisme de complexes, . L’exactitude de la suite courte en assure que est injective donc on obtient . On veut définir .
Il faut donc « vérifier que ne dépend que de » puis vérifier que le construit est linéaire (puis vérifier l’exactitude de la suite longue). Ici, il faut plisser un peu les yeux pour reconnaître le contexte habituel de descente d’une application linéaire à un quotient. On introduit le -module gradué défini par
et le diagramme de descente
où et . Le paragraphe précédent montre que est surjective, donc est un quotient de par . On veut montrer que descend bien. On applique le critère habituel : il s’agit de montrer que .
Soit , c’est-à-dire . On veut montrer que , c’est-à-dire montrer que est un bord. Par définition de , on obtient tel que . La surjectivité de fournit tel que . On a donc donc donc on obtient tel que . On a donc . Par injectivité de , on en déduit que donc est bien un bord.
Montrons maintenant que la suite longue obtenue est exacte. Dans toute la suite, il faut bien garder en tête que est injective et est surjective, mais cela n’implique absolument pas l’injectivité de ni la surjectivité de en général.
Montrons d’abord l’exactitude en , c’est-à-dire .
- L’inclusion est claire par fonctorialité de l’homologie, car par exactitude de la suite courte donc .
Montrons l’inclusion .
Soit . Par définition de , on obtient tel que et . Comme , on a donc on obtient tel que . La surjectivité de donne ensuite tel que . On calcule
donc est dans donc dans par exactitude de la suite de départ. On obtient ainsi tel que . On calcule . Par injectivité de , on en déduit . Enfin, on a
donc est bien dans .
Montrons maintenant l’exactitude en , c’est-à-dire .
On commence par l’inclusion , c’est-à-dire . Soit . Par définition de on obtient tel que et . On a et donc .
Montrons l’inclusion .
Soit . Montrons que . La surjectivité de montrée au tout début de cette démonstration fournit tel que . On a donc on obtient tel que . On note que . On pose donc . On calcule
et
donc est un cycle et donc est bien dans l’image de .
Enfin montrons l’exactitude en , c’est-à-dire .
On commence par l’inclusion , c’est-à-dire . Soit . La surjectivité de fournit tel que . On calcule
Montrons l’autre inclusion . Soit . Montrons que . Par définition de , on obtient tel que et . Comme , on obtient tel que . Ainsi et
donc est bien dans .
Il ne reste qu’à démontrer la naturalité de . Nous aurons besoin d’une application auxiliaire notée dans le diagramme suivant.
On définit par . Il faut vérifier que arrive bien dans . On calcule
et
Par ailleurs, il est clair que forme un « carré » commutatif avec les trois flèches verticales alignées : et un autre qui fait tout le tour extérieur du diagramme : . En effet, pour tout , on a et .
Après ces préparatifs, revenons à la naturalité. L’objectif est de montrer la commutativité du carré central. Par surjectivité de , il suffit de montrer cette commutativité après précomposition par , c’est-à-dire . En contemplant le diagramme, on voit une déformation d’un chemin en l’autre en utilisant les commutativités déjà établies. Algébriquement, on peut écrire
Nous avons maintenant tous les ingrédients pour démontrer le théorème de Mayer-Vietoris.
Démonstration : Il s’agit essentiellement de combiner le lemme des petites chaînes et le théorème précédent. Soit un espace topologique, et des parties de dont les intérieurs recouvrent : . On note
les inclusions. On note le recouvrement de par les intérieurs de et .
On commence par montrer que
est une suite exacte courte de complexes.
- Montrons l’exactitude en . Il s’agit de montrer que et sont injectives. Plus généralement, montrons que pour toute partie de , l’inclusion vérifie que est injective. Soit . On a pour une fonction à support fini de dans . Et . Comme est injective, tous les sont des simplexes différents de . Ainsi la fonction est nulle et donc .
Montrons l’exactitude en , c’est-à-dire . Montrons l’inclusion . On calcule
Montrons l’autre inclusion . Soit . Comme , et sont toutes deux des combinaisons de simplexes à valeur dans et . Ainsi, il existe tel que et .- L’exactitude en signifie que est surjective, ce qui est clair par définition de .
Revenons au théorème. Le théorème 6.7.1 fournit qui transforme la suite exacte étudiée ci-dessus en suite exacte longue de la première ligne ci-dessous.
Par ailleurs l’inclusion de dans induit un isomorphisme en homologie d’après le lemme des petites chaînes (théorème 6.6.2). Bien sûr les et correspondants sont compatibles, c’est-à-dire que le triangle de gauche du diagramme précédent commute. On définit donc .
Montrons maintenant la description explicite annoncée pour . Soit . Par définition de , on obtient et tels que . Autrement dit, . On a donc . Le théorème 6.7.1 assure qu’il existe tel que . Autrement dit et sont dans et .
Cette description explicite montre aussi que si on échange et alors devient puisque le nouveau envoie sur .
La fonctorialité découle directement de la partie correspondante du théorème 6.7.1.
Cet exercice présente une autre application des ingrédients du théorème de Mayer-Vietoris (lemme des petites chaînes et suite exacte longue en homologie associée à une suite exacte courte de complexes). Elle n’est pas au programme de l’examen, mais il est vivement conseillé de prendre le temps de faire cet exercice durant les vacances si vous voulez profiter à fond de ce chapitre, y compris les techniques de démonstrations des théorèmes fondamentaux.
On fixe un anneau commutatif qu’on ne fait pas apparaître dans les notations, mais qui sert d’anneau des scalaires pour tous nos modules.
Soit un module gradué et un sous-module. Montrer qu’il existe une unique graduation sur le quotient telle que la projection soit une application graduée de degré . Montrer que, pour tout , induit un isomorphisme de vers .
Montrons l’unicité. Comme est surjective et graduée de degré , on a nécessairement, pour tout , . La deuxième partie de la question est alors automatique par le cours d’algèbre linéaire (c’est une version du second théorème d’isomorphisme de Noether).
Pour l’existence, on définit la graduation comme suggéré par l’unicité. On a bien une famille de sous-modules, car est linéaire. La somme de ces sous-modules est l’image de la somme des donc totale. Il reste à montrer que ces sous-modules sont en somme directe.
On munit de la graduation induite par : . Soit et entiers distincts et soit . Par construction, on obtient et tels que . Ainsi . De plus est dans dont l’intersection avec est dans . Donc, on obtient et tels que . On a donc et cette value commune est dans qui est trivial donc (et ). Or donc .
Soit un complexe différentiel et un sous-complexe, c’est-à-dire un sous-module stable par . Montrer qu’il existe une unique structure de complexe différentiel sur telle que la projection soit un morphisme de complexes.
Soit une différentielle sur le module gradué quotient . Demander à d’être un morphisme de modules différentiels signifie demander . La théorie des modules quotients affirme que existe comme application linéaire si et seulement si envoie dans , ce qui est précisément l’hypothèse de stabilité, et qu’il est alors unique. Il reste à voir que est bien de carré nul : . Comme est surjective, il suffit de vérifier que . Or .
Soit un espace topologique et une partie de . On voit naturellement le complexe des chaînes singulières dans comme une partie de .
Montrer que est un sous-complexe de .
Il s’agit de montrer que est préservé par . C’est clair, car les simplexes intervenant dans le bord d’une chaîne ont leur image incluse dans l’image des simplexes intervenant dans la chaîne.
Les questions précédentes fournissent une structure de module différentiel sur le module quotient . On note son homologie et on l’appelle l’homologie de relativement à .
Décrire géométriquement les cycles de .
Soit un élément . Par définition est l’image d’une chaîne de et . Donc est un cycle si et seulement si il existe tel que et . Autrement dit les cycles de sont représentés par les chaînes de dont le bord est dans .
La catégorie des paires d’espaces topologiques est la catégorie dont les objets sont des paires où est un espace topologique et une partie de , et un morphisme de vers est une fonction continue de dans telle que l’image directe de est contenue dans . Montrer que s’étend en foncteur de cette catégorie vers la catégorie des -modules gradués. Ce foncteur peut se voir comme une collection de foncteurs vers les -modules pour chaque entier .
Il s’agit de définir l’action de ce foncteur sur les morphismes et de vérifier la compatibilité avec les identités et les compositions. Soit une application continue entre espaces topologiques. Soit et tels que . Montrons que induit une application linéaire graduée de degré zéro de dans . On sait déjà comment induit . Pour montrer que descend en application linéaire, également notée de vers , il suffit d’observer qu’elle envoie bien dans , car l’image directe par envoie dans .
Il faut comprendre pourquoi est un morphisme de complexes. Il suffit de jeter un œil au diagramme suivant.
L’affirmation est que le grand rectangle extérieur commute. Comme est surjective, il suffit de le montrer après précomposition par , c’est-à-dire montrer que . Le petit rectangle au centre commute, car est un morphisme de complexes. Les quatre trapèzes qui l’entourent commutent, car ils correspondent à la descente au quotient d’applications linéaires pour définir soit les opérateurs de bord sur les complexes quotients soit le nouveau . Donc, on peut bien déformer les deux compositions l’une en l’autre à travers des quadrilatères commutatifs.
Puisque est un morphisme de complexes, elle induit un morphisme en homologie .
Les compatibilités requises avec les identités et les compositions proviennent directement des énoncés analogues pour la descente d’applications linéaires aux quotients.
Montrer qu’il existe une suite exacte longue de la forme
Montrer que, pour tout , l’application de dans est la composante en d’une transformation naturelle entre les foncteurs et .
Par définition de et de son application bord, on a une suite exacte courte de complexes :
Le cours fournit la suite exacte longue désirée en homologie. De plus tout morphisme de vers induit un morphisme de suites exactes longues tel que, pour chaque , le diagramme
commute. Le de gauche est l’action du foncteur sur le morphisme et celui de droite est l’action de sur ce morphisme. Ainsi la commutativité de ce diagramme est exactement la condition de naturalité.
En examinant la démonstration de l’invariance par homotopie de l’homologie singulière, montrer que si et de dans sont homotopes parmi les applications envoyant dans alors elles induisent la même application en homologie relative.
Supposons et liés par une homotopie parmi les applications envoyant dans . Le cours fournit un opérateur d’homotopie algébrique entre et de dans obtenu en triangulant des prismes auxquels on applique ensuite pour chaque simplexe singulier . En particulier l’opérateur d’homotopie algébrique envoie tout sur une chaîne de dont les simplexes ont tous un support inclus dans l’image de . Vu l’hypothèse sur , cela prouve que envoie dans . Ainsi descend en application graduée de degré entre et . Il reste à vérifier que cette application descendue est une homotopie algébrique entre et . Comme est surjective, il suffit de vérifier l’égalité voulue après précomposition par et tout fonctionne.
On considère maintenant tels que l’adhérence de est incluse dans l’intérieur de . Le théorème d’excision affirme que l’inclusion de dans induit un isomorphisme entre et .
Montrer que le théorème d’excision est équivalent à l’énoncé suivant : pour toutes parties et dont les intérieurs recouvrent , l’inclusion de dans induit un isomorphisme entre et .
Pour passer de à il suffit de poser et d’observer que l’intérieur de est le complémentaire de l’adhérence de .
Montrer cet énoncé en utilisant le lemme des petites chaînes.
Le lemme des petites chaînes assure qu’on peut calculer à partir du complexe des chaînes à valeurs dans ou . Le complexe est un sous-complexe de , mais aussi de . On note le complexe quotient. L’inclusion de dans induit donc une « inclusion » entre leurs quotients et . La démonstration du lemme des petites chaînes à partir des propriétés de l’opérateur de subdivision barycentrique et de son homotopie à l’identité montre que cette inclusion induit un isomorphisme en homologie. En effet, et préservent le support des chaînes donc préservent et descendent au quotient. On obtient ainsi un isomorphisme entre les homologies des complexes et . Par ailleurs est la somme de ses sous-modules et par définition donc le second théorème d’isomorphisme de Noether donne un isomorphisme entre et . Or donc et on a bien le théorème.
L’exercice suivant est un autre grand classique de l’homologie singulière qui n’est pas au programme de l’examen, mais permet de vérifier que vous avez compris en profondeur les techniques de démonstration des théorèmes fondamentaux de ce chapitre. Il calcule l’homologie de à coefficients dans en utilisant encore une autre suite exacte longue, puis démontre le théorème de Borsuk-Ulam : pour toute fonction continue , il existe tel que .
Dans tout cet exercice, on utilise l’homologie à coefficients dans partout, sans le signaler dans les notations pour alléger. On rappelle que l’espace projectif réel est le quotient de par la relation d’équivalence qui relie tout point avec (lui-même et) son antipode . On note la projection correspondante. On rappelle que, pour tout anneau , est nul lorsque . On admet que, pour tout simplexe singulier , il existe exactement deux simplexes singuliers qui relèvent , c’est-à-dire que , chacun étant la composée de l’autre par . (Ce résultat sera démontré au second semestre dans le cours de géométrie). On note l’unique application linéaire de dans qui envoie chaque sur .
Montrer que, pour tous et , les relevés de sont et . En déduire que est un morphisme de complexes de -espaces vectoriels. On notera
le morphisme induit par en homologie.
Soit , et comme dans l’énoncé. On a bien et de même avec . De plus donc on a trouvé les deux relevés.
Montrons maintenant que est un morphisme de complexes. Il suffit de le vérifier sur les simplexes. Soit . Montrons que .
Montrer que
est une suite exacte courte de complexes de -espaces vectoriels. On obtient ainsi une suite exacte longue en homologie.
Montrons d’abord l’injectivité de . Soit un élément de où les sont des simplexes deux à deux distincts et les des éléments de . On a , donc . Par ailleurs chaque est différent du correspondant (cela fait partie de l’énoncé admis et découle également de l’affirmation et du fait que n’a aucun point fixe). Les simplexes et sont également différents des et pour puisque leur composées et avec sont différentes. Ainsi est bien une combinaison linéaire de simplexes deux à deux distincts donc les sont tous nuls.
La surjectivité de découle immédiatement de l’énoncé admis, puisque chaque élément de la base canonique au but admet une préimage (et l’image d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel).
Il reste l’exactitude au milieu. Montrons d’abord que , c’est-à-dire . Par unicité dans la propriété universelle de la base canonique de , il suffit de le vérifier sur les simplexes. Soit . On a , en utilisant le fait que dans pour la dernière égalité.
Réciproquement, montrons que . Soit un élément du noyau. Ici est une fonction de dans dont le support est fini. On choisit tel que, pour tout , . On a
Et la deuxième somme est une somme de simplexes deux à deux distincts. Ainsi, . En utilisant que dans , on peut réécrire cela . Et donc qui est dans l’image de .
Montrer que . En déduire que l’application est nulle (attention : ne pas confondre avec qui apparait dans la suite exacte longue).
Il suffit de le montrer sur les simplexes. Soit . On a , car relève par construction (ce fait était mentionné dans l’énoncé dès la définition de , on pouvait donc l’utiliser sans démonstration).
On en déduit immédiatement par fonctorialité du passage des morphismes de chaînes aux morphismes en homologie. Or tous les sont des -espaces vectoriels de dimension zéro ou un. Donc, ils ont exactement un endomorphisme inversible (qui peut être nul lorsque l’espace est trivial). Comme est un homéomorphisme, est inversible donc et .
Montrer que, en degré , est injective et est nulle, (on pourra commencer par montrer que cette application est soit nulle, soit injective).
Comme , toute application -linéaire partant de cet espace est soit nulle, soit injective. De plus est injective, car son noyau est l’image de dont la source est nulle. Ainsi ne saurait être injective puisque, d’après la question précédente, la composée est nulle.Dans cette question, on fixe . Montrer que, pour tout , est un isomorphisme, (on pourra traiter de façon séparée puis puis ).
Montrons d’abord que est un isomorphisme en supposant . Dans la suite longue, on voit
On a , car . Et la question précédente assure que donc est un isomorphisme.
Soit tel que . L’extrait de suite exacte devient
où les deux groupes d’homologie de sont nuls puisque et ne sont ni ni . On obtient donc que est un isomorphisme.
Pour le cas (y compris si aussi vaut ), on a
Le de droite est un isomorphisme puisque et ont exactement une composante connexe par arcs. Donc est nulle par exactitude de la suite en . Le de gauche est également nul, soit parce que dans le cas , soit par la question 4 si . Ainsi est un isomorphisme.
Calculer pour tout et tout (pour , on utilisera que est homéomorphe à un espace déjà étudié).
Soit . On sait que , car est connexe par arcs (comme image de qui est connexe par arcs puisque ). À l’autre bout, on voit
Le premier groupe est nul, car et la question 4 assure que le apparaissant est nul. Donc est un isomorphisme et .
On a vu que tous les pour sont des isomorphismes donc, par récurrence immédiate, pour tout . On a donc, pour tout ,
Par ailleurs, on connait déjà l’homologie de pour , car est un point. La formule ci-dessus s’applique dans ces deux cas.
Soit une application continue telle que, pour tout , . Cette condition d’équivariance signifie exactement qu’il existe telle que
commute. Montrer que et induisent un morphisme entre les suites exactes courtes de la question 2 en dimension et (et donc un morphisme entre les suites exactes longues correspondantes).
Le diagramme liant et est compatible avec l’opération de relèvement : pour tout , est un relevé de puisque . On en déduit le morphisme de suites exactes courtes annoncéSupposons maintenant que et montrons une contradiction (ce qui montre qu’une telle fonction ne peut pas exister). Montrer que est un isomorphisme pour puis conclure.
Le morphisme de suites exactes longues obtenu ci-dessus contient
où les deux applications horizontales sont des isomorphismes pour . De plus est un isomorphisme. Par récurrence immédiate, on obtient donc que est un isomorphisme pour . Le morphisme de suites exactes longues contient aussi
C’est absurde, car on vient de montrer que la flèche de gauche est un isomorphisme, et la flèche du bas en est un par la question 4 et le calcul de et (une application linéaire injective de dans lui-même est un isomorphisme). On a donc factorisé un isomorphisme de à travers qui est nul.
En déduire le théorème de Borsuk-Ulam : pour toute fonction continue , il existe tel que . On supposera pour utiliser directement les questions précédentes.
Soit une fonction continue. Supposons par l’absurde qu’il n’existe pas tel que . On peut alors définir par qui contredit la question précédente avec (on utilise l’hypothèse pour assurer que et appliquer la question précédente).La démonstration précédente supposait pour éviter des cas particuliers dans les arguments. Le cas est évident. Démontrer le théorème pour en adaptant la démonstration homologique ci-dessus ou bien de façon élémentaire.
On reprend l’extrait de morphisme de suites exactes
On a déjà expliqué que le du haut est nul. Par ailleurs le est automatiquement un isomorphisme, car et sont connexes par arcs. Enfin le du haut est injectif donc on obtient une contradiction.
L’argument ci-dessus repose uniquement sur le donc on s’attend à une démonstration élémentaire basée uniquement sur le théorème des valeurs intermédiaires. Soit continue. La fonction correspondante va de dans et l’équivariance (et le fait que n’est pas vide) montre qu’elle est surjective, ce qui contredit le théorème des valeurs intermédiaires. On notera que c’est exactement la même démonstration qu’au paragraphe précédent, mais sans le formalisme algébrique qui n’est pas utile ici.