Topologie algébrisée

4. Espaces topologiques

4.1. Prologue

Le premier but de ce prologue est de réfléchir à ce qui nécessite l’introduction de la topologie générale en plus de la théorie des espaces métriques qui semble bien plus simple.

La première motivation est psychologique. Il s’agit de se concentrer sur les données nécessaires pour parler de continuité. Étant donné un espace métrique $𝑋$ et sa distance $𝑑$ , il est impossible de reconstituer $𝑑$ à partir de la connaissance des fonctions continues partant de $𝑋$ ou arrivant dans $𝑋$ . La distance contient beaucoup trop d’information qui n’intervient absolument pas dans la notion de continuité. Au contraire deux topologies $𝑇$ et $𝑇^{'}$ sur un ensemble $𝑋$ sont égales si et seulement si elles donnent lieu aux mêmes fonctions continues. Mieux, elles sont égales dès que la fonction ${Id}_{𝑋}$ est continue de $(𝑋, 𝑇)$ dans $(𝑋, 𝑇^{'})$ et de $(𝑋, 𝑇^{'})$ dans $(𝑋, 𝑇)$ . Pour obtenir un tel résultat avec les espaces métriques, il faudrait drastiquement réduire les morphismes utilisés pour les lier de façon bien plus forte à la distance. Ainsi, on peut se limiter aux fonctions $1$ -lipschitziennes et retrouver la distance à partir des morphismes.

Cette première motivation ne suffit pas à investir dans des espaces dont la topologie n’est pas métrisable, c’est-à-dire ne provient pas d’une distance. Pour cela, on peut regarder en particulier du côté des espaces de fonctions, disons de $ℝ$ dans $ℝ$ . La notion la plus immédiate de convergence de suites de fonctions est celle de la convergence simple. Mais on peut montrer qu’il n’existe pas de distance sur l’ensemble $ℝ \to ℝ$ des fonctions de $ℝ$ dans $ℝ$ qui mène à cette notion de suite convergente. La convergence simple voit deux fonctions comme étant proches si elles prennent des valeurs proches en tout point, sans aucune contrainte liant les différents points de la source. Du point de vue de la convergence simple, $ℝ \to ℝ$ est vraiment un produit de copies de $ℝ$ indexé par $ℝ$ . Au fond, le problème est que la catégorie des espaces métriques (avec comme morphismes les fonctions continues) n’admet pas de produits pour des familles non dénombrables d’objets. Un premier objectif de ce chapitre sera donc de construire les produits quelconques d’espaces topologiques et de comprendre leurs suites convergentes. Surtout cette construction sera très systématique et basée sur les propriétés attendues plutôt que sur les détails d’implémentation qui seront complètement cachés par la technologie du chapitre 1.

La motivation suivante provient de la notion de quotient. Nous avons vu dans l’exercice 3.34 que la propriété universelle des quotients caractérise entièrement ces objets. La question analogue en topologie est la suivante : étant donné un espace $𝑋$ (métrique ou topologique) et une relation d’équivalence $\sim$ sur $𝑋$ , on voudrait un objet initial dans la catégorie dont les objets sont les paires $(𝑌, 𝑓)$ où $𝑌$ est un espace (métrique ou topologique) et $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ est une fonction continue compatible avec $\sim$ , c’est-à-dire que $\forall 𝑥 \forall 𝑥^{'}, 𝑥 \sim 𝑥^{'} \Rightarrow 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥^{'})$ . Mieux, on espère que l’ensemble sous-jacent à cet espace initial soit un quotient de $𝑋$ par $\sim$ . Cela ne fonctionne pas en général dans la catégorie des espaces métriques, il faut mettre des contraintes très fortes sur la relation d’équivalence. Le lemme suivant montre un exemple simple de ce phénomène : la relation d’équivalence associée à l’action de $ℝ^{*}$ sur $ℝ$ par multiplication.

Lemme 4.1.1

Sur

ℝ

on considère la relation d’équivalence qui, pour chaque réel non nul

𝑡

, identifie

𝑥

𝑡 𝑥

pour chaque

𝑥

. Il n’existe pas de distance sur

ℝ / \sim

qui rende continue la projection

𝜋 : ℝ \to ℝ / \sim

Démonstration : Supposons qu’une telle distance

𝑑

existe. On considère dans

ℝ

une suite

𝑢

qui tend vers zéro sans jamais s’annuler, disons

𝑢 : 𝑛 \mapsto \frac{1}{𝑛 + 1}

. On notera que le quotient

ℝ / \sim

comporte exactement deux points

𝜋 (0)

𝜋 (1)

puisque

0

n’est équivalent qu’à lui-même et tous les autres réels sont équivalents entre eux. La suite composée vaut constamment

𝜋 (1)

donc tend vers

𝜋 (1)

. Par ailleurs la continuité de

𝜋

assure que

𝜋 \circ 𝑢

tend vers

𝜋 (0)

. Ainsi

𝜋 \circ 𝑢

possède deux limites distinctes, ce qui est impossible dans un espace métrique.

□

On notera que l’énoncé ci-dessus et sa démonstration ne font pas intervenir la notion d’espace topologique. Il s’agit d’un problème purement interne à la théorie des espaces métriques.

Nous verrons que ce problème n’existe pas dans la catégorie des espaces topologiques. En fait, il est même possible de faire une construction plus générale : étant donnée n’importe quelle fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ entre deux ensembles, il est possible de pousser n’importe quelle topologie sur $𝑋$ pour obtenir une topologie sur $𝑌$ caractérisée par une propriété universelle faisant intervenir $𝑓$ . De même, on peut tirer n’importe quelle topologie sur $𝑌$ pour obtenir une topologie sur $𝑋$ .

Toutes ces constructions utiliseront de façon systématique la technologie du chapitre 1. Le point clef est que l’ensemble des topologies sur un ensemble fixé est naturellement un treillis complet. Le chapitre 2 sera utilisé pour comprendre la notion de convergence en topologie générale et donner un point de vue beaucoup plus intuitif sur les notions de parties ouvertes ou fermées, sur l’adhérence et sur l’intérieur.

La dernière motivation provient de la notion de compacité. Le critère de compacité de Riesz assure que les fermés bornés d’un espace vectoriel normé sont compacts seulement si l’espace est de dimension finie. C’est dommage, car la compacité est très utile, par exemple pour assurer qu’une fonction continue à valeur réelle est bornée et atteint ses bornes. Dans ce chapitre, nous étudierons en détail la notion de compacité, en utilisant intensivement le chapitre 2 et nous verrons comment munir des espaces vectoriels de dimension infinie de topologies pour lesquelles on peut récupérer de la compacité. Au passage, nous ferons un peu d’algèbre topologisée, en essayant notamment de généraliser quelques résultats classiques sur les applications linéaires continues entre espaces normés et sur les actions de groupes topologiques.

Dans tout ce chapitre, nous avons également comme objectif de poursuivre l’algébrisation au service de l’intuition. La théorie des filtres sera utilisée systématiquement pour pouvoir raisonner et calculer algébriquement avec les « ensembles des points très proches » d’un point donné. De plus un maximum de constructions seront basées sur l’utilisation de propriétés universelles pour montrer qu’on peut se concentrer sur les propriétés des objets construits plutôt que sur les détails de constructions, comme nous l’avons déjà annoncé pour la topologie produit.

4.2. Treillis des topologies

On rappelle la définition de topologie et de fonction continue.

Définition 4.2.1

Une topologie sur un ensemble $𝑋$ est une famille $𝑇$ de parties de $𝑋$ qui est stable par intersection finie et réunion quelconque. Les éléments de cette famille sont dits ouverts et leurs complémentaires sont dits fermés. Un espace topologique est un ensemble muni d’une topologie.

Une fonction $𝑓$ entre deux espaces topologiques $𝑋$ et $𝑌$ est dite continue si l’image réciproque de tout ouvert est ouverte ou, de façon équivalente, si l’image réciproque de tout fermé est fermée. Elle est dite ouverte si l’image directe de tout ouvert est ouverte, et dite fermée si l’image directe de tout fermé est fermée.

Dans la suite, on notera $𝒯︀ (𝑋)$ l’ensemble des topologies sur un ensemble $𝑋$ . On munit $𝒯︀ (𝑋)$ de la relation d’ordre opposée à la relation d’inclusion sur $𝒫 (𝒫 (𝑋))$ .

En particulier, pour tout $𝑇 \in 𝒯︀ (𝑋)$ , $𝑋$ lui-même est ouvert puisque c’est l’intersection du sous-ensemble vide de $𝑇$ et $\emptyset$ est ouvert puisque c’est la réunion du sous-ensemble vide de $𝑇$ . En pratique, il est parfois commode de remplacer la condition d’intersection finie par la conjonction équivalente des conditions d’intersection vide (ie. $𝑋 \in 𝑇$ ) et d’intersection binaire (pour tous $𝑈$ et $𝑉$ dans $𝑇$ , $𝑈 \cap 𝑉 \in 𝑇$ ).

Faisons une remarque de vocabulaire et de notations. Un espace topologique est un ensemble muni d’une topologie. La plupart du temps, on emploie la synecdoque « Soit $𝑋$ un espace topologique » plutôt que d’écrire « Soit $(𝑋, 𝑇)$ un espace topologique ». Dans ce chapitre, il sera souvent question d’ensembles sur lesquels on n’a pas encore fixé une topologie, ou bien d’ensembles sur lesquels on veut comparer plusieurs topologies. On utilisera donc parfois la forme $(𝑋, 𝑇)$ qui peut paraître un peu pédante, ou bien ou écrira « Soit $𝑋$ un espace topologique » puis on utilisera sans commentaire la notation $𝑇_{𝑋}$ pour désigner la topologie de $𝑋$ . On écrira aussi $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ est $(𝑇, 𝑇^{'})$ -continue pour dire qu’elle est continue de $𝑋$ muni de la topologie $𝑇$ dans $𝑌$ muni de la topologie $𝑇^{'}$ en cas de risque de confusion.

Remarque 4.2.2

On vérifie très facilement que la composée de deux fonctions continues est continue. On a donc une catégorie

Top

des espaces topologiques. Par contre l’inverse d’une bijection continue n’est pas automatiquement continue. Il s’agit d’une différence importante avec des contextes plus algébriques (par exemple l’inverse d’un morphisme de groupes bijectif est automatiquement un morphisme de groupes). L’exemple le plus simple est le suivant. On considère un ensemble

𝑋

ayant au moins deux éléments. Sur

𝑋

on a la topologie

𝑇

pour laquelle toutes les parties sont ouvertes et la topologie

𝑇^{'}

pour laquelle seuls

\emptyset

𝑋

sont ouverts. La fonction

{Id}_{𝑋}

est une bijection continue de

(𝑋, 𝑇)

dans

(𝑋, 𝑇^{'})

, mais son inverse n’est pas continu. Le lemme 4.8.8 plus loin donnera une condition suffisante pour éviter ce problème sous des hypothèses de compacité. Un autre exemple plus profond est le théorème d’isomorphisme de Banach qui dit que ce problème n’apparaît pas pour les applications linéaires entre espaces de Banach.

L’inégalité $𝑇 \leq 𝑇^{'}$ entre deux topologies se lit «  $𝑇$ est plus fine que $𝑇^{'}$  ». Cette relation d’ordre peut sembler moins naturelle que la relation d’inclusion, mais nous verrons plus loin qu’elle interagit mieux avec la relation d’ordre sur les filtres (qui n’est pas négociable, car c’est celle qui rend croissante l’inclusion $𝑃$ des parties dans les filtres).

Théorème 4.2.3

Pour tout ensemble

𝑋

𝒯︀ (𝑋)

est un treillis complet dont les sup proviennent de

{𝒫 (𝒫 (𝑋))}^{op}

. En particulier l’inclusion de

𝒯︀ (𝑋)

dans

{𝒫 (𝒫 (𝑋))}^{op}

admet un adjoint à droite qu’on notera

⟨ \cdot ⟩

Démonstration : D’après corollaire 1.4.18, il suffit de montrer que, pour tout ensemble

𝑆 \subseteq 𝒯︀ (𝑋)

le sup de

𝑆

dans

𝒫 {(𝒫 (𝑋))}^{op}

, c’est-à-dire l’intersection

𝑇_{𝑆}

des éléments de

𝑆

, est une topologie. Les deux vérifications sont immédiates. Montrons par exemple que

𝑇_{𝑆}

est stable par réunion. Soit

𝑈 \subseteq 𝑇_{𝑆}

. Montrons que

⋃_{𝐴 \in 𝑈} 𝐴 \in 𝑇_{𝑆}

. Par définition de

𝑇_{𝑆}

, il s’agit de montrer que

⋃_{𝐴 \in 𝑈} 𝐴

est dans chaque élément de

𝑆

. Soit

𝑇 \in 𝑆

. Comme

𝑇_{𝑆} \subseteq 𝑇

, on obtient

𝑈 \subseteq 𝑇

. Or

𝑇

est une topologie donc est stable par réunion donc

⋃_{𝐴 \in 𝑈} 𝐴 \in 𝑇

□

Soit $𝑆 \subseteq 𝒫 (𝑋)$ , on dit que $⟨ 𝑆 ⟩ \in 𝒯︀ (𝑋)$ est la topologie engendrée par $𝑆$ . On dit aussi que $𝑆$ est une prébase de $𝑇$ lorsque $𝑇 = ⟨ 𝑆 ⟩$ (mais nous n’emploierons pas ce vocabulaire qui n’est vraiment utile que dans des approches faisant jouer un rôle majeur à $⟨ \cdot ⟩$ ).

Exemple 4.2.4

Soit

(𝑋, 𝑑)

un espace métrique. La topologie associée à

𝑑

est la topologie engendrée par les boules de rayon strictement positif.

Remarque 4.2.5

On peut décrire explicitement les ouverts de la topologie engendrée par une famille $𝑆$ de parties. On peut montrer que

mais nous n’utiliserons jamais cette description car cela serait vraiment le contraire des méthodes développées dans ce cours.

Lemme 4.2.6

Dans

𝒯︀ (𝑋)

⊥ = 𝒫 (𝑋)

appelée topologie discrète et

⊤ = {\emptyset, 𝑋}

appelée topologie grossière.

Démonstration : La première affirmation est claire, car

𝒫 (𝑋)

est minimal dans

𝒫 {(𝒫 (𝑋))}^{op}

et il s’agit d’une topologie donc c’est aussi le minimum de

𝒯︀ (𝑋)

. Pour l’élément maximal, il suffit de remarquer que toute topologie sur

𝑋

doit contenir

\emptyset

𝑋

et que

{\emptyset, 𝑋}

est bien une topologie.

□

4.3. Images directes et réciproques de topologies

Lemme 4.3.1

Soit $𝑋$ et $𝑌$ des ensembles. Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction. Pour toute topologie $𝑇$ sur $𝑋$ ,

est une topologie sur

𝑌

. On peut aussi l’écrire

{(𝑓^{*})}^{*} 𝑇

 : l’image réciproque de

𝑇

par l’application

𝑓^{*} : 𝒫 (𝑌) \to 𝒫 (𝑋)

Démonstration : Les vérifications sont immédiates, car

𝑓^{*} : 𝒫 (𝑌) \to 𝒫 (𝑋)

commute aux intersections et aux réunions.

□

Observation 4.3.2

Soit

(𝑋, 𝑇_{𝑋})

(𝑌, 𝑇_{𝑌})

des espaces topologiques. Une fonction

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

est continue si et seulement si

𝑓_{*} 𝑇_{𝑋} \leq 𝑇_{𝑌}

. Il n’y a rien à démontrer, on retombe sur la définition usuelle de la continuité simplement en dépliant les définitions de

𝑓_{*} 𝑇_{𝑋}

et de

\leq

Au vu de l’observation ci-dessus, on pourrait vouloir simplement définir $𝑓_{*} 𝑇$ comme $inf {𝑇^{'} | 𝑓 est (𝑇, 𝑇^{'}) -continue}$ . L’avantage serait de n’utiliser que la structure de treillis complet. Mais il ne serait pas clair que l’inf est atteint.

Un cas particulier de l’observation est que, pour toute topologie $𝑇$ sur $𝑋$ , $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ est $(𝑇, 𝑓_{*} 𝑇)$ -continue. Ainsi le problème du lemme 4.1.1 n’existe pas dans la théorie des espaces topologiques (on reviendra plus en détail sur cette question dans le corollaire 4.3.7). On retrouve aussi le fait qu’une fonction à valeurs dans un espace topologique grossier est toujours continue puisque $𝑓_{*} 𝑇 \leq ⊤$ est toujours vrai.

Pour conclure la discussion sur le lien entre image directe et continuité, on note deux conséquences immédiates de l’observation 4.3.2. Tout d’abord, il est facile de comprendre quelles sont les fonctions continues à valeurs dans un ensemble muni de la topologie engendrée par un ensemble de parties.

Lemme 4.3.3

Soit

𝑆

un ensemble de parties d’un ensemble

𝑌

et soit

(𝑋, 𝑇)

un espace topologique. Une fonction

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

est

(𝑇, ⟨ 𝑆 ⟩)

-continue si et seulement si

\forall 𝑉 \in 𝑆, 𝑓^{*} 𝑉 \in 𝑇

Démonstration : Il s’agit d’une conséquence directe de l’observation 4.3.2 et de l’adjonction entre l’inclusion $𝒯︀ (𝑋) \to 𝒫 (𝒫 (𝑋)))^{op}$ et $⟨ \cdot ⟩$  :

$□$

On notera que le lemme précédent n’est pas symétrique, la topologie engendrée est présente au but de $𝑓$ , pas à la source.

L’observation suivante est une conséquence encore plus directe de l’observation 4.3.2 et de la définition de borne inférieure.

Observation 4.3.4

Soit

𝑋

𝑌

des ensembles. Soit

𝑆 \subseteq 𝒯︀ (𝑌)

. Une fonction

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

est

(𝑇_{𝑋}, inf 𝑆)

-continue si et seulement si, pour tout

𝑇

dans

𝑆

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

est

(𝑇_{𝑋}, 𝑇)

-continue. En effet,

𝑓_{*} 𝑇_{𝑋} \leq inf 𝑆 \Leftrightarrow \forall 𝑇 \in 𝑆, 𝑓_{*} 𝑇_{𝑋} \leq 𝑇

L’opération d’image directe d’une topologie est compatible avec la composition et les identités.

Lemme 4.3.5

Soit

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

𝑔 : 𝑌 \to 𝑍

. Pour toute topologie

𝑇

sur

𝑋

{(𝑔 \circ 𝑓)}_{*} 𝑇 = 𝑔_{*} 𝑓_{*} 𝑇

. De plus

{Id}_{*} 𝑇 = 𝑇

Démonstration : Cela découle directement des propriétés de l’image réciproques d’ensembles :

$□$

On en déduit immédiatement la propriété universelle de la topologie image directe.

Proposition 4.3.6

Soit $𝑋$ , $𝑌$ et $𝑍$ des ensembles, $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ et $𝑔 : 𝑌 \to 𝑍$ des fonctions. Pour toutes topologies $𝑇_{𝑋}$ sur $𝑋$ et $𝑇_{𝑍}$ sur $𝑍$ , la topologie $𝑓_{*} 𝑇_{𝑋}$ vérifie

Démonstration : Fixons $𝑇_{𝑋}$ et $𝑇_{𝑍}$ . On a

En utilisant l’observation 4.3.2 et le lemme 4.3.5.

□

En particulier, on a atteint l’objectif d’avoir une topologie à mettre sur n’importe quel quotient : on prend simplement l’image directe de la topologie de départ par la projection. En combinant la propriété universelle des quotients d’ensembles (exercice 3.34) et le résultat précédent, on obtient :

Corollaire 4.3.7

Soit

𝑋

un espace topologie et

𝜋 : 𝑋 \to 𝑌

un quotient de

𝑋

par une relation d’équivalence

\sim

. On munit

𝑌

de la topologie

𝜋_{*} 𝑇_{𝑋}

. La projection

𝜋

est continue et vérifie la propriété universelle suivante. Soit

𝑍

un espace topologique et

𝜑 : 𝑋 \to 𝑍

une fonction continue. Si

𝜑

est compatible avec la relation d’équivalence

\sim

alors il existe une unique fonction

\overline{𝜑} : 𝑌 \to 𝑍

telle que

𝜑 = \overline{𝜑} \circ 𝜋

et cette fonction

\overline{𝜑}

est automatiquement continue.

Cette propriété caractérise

(𝑌, 𝜑_{*} 𝑇_{𝑋}, 𝜋)

modulo unique homéomorphisme compatible avec la projection depuis

𝑋

 : si

(𝑌^{'}, 𝑇_{𝑌^{'}})

est un autre espace topologique muni d’une application continue

𝜋^{'} : 𝑋 \to 𝑌^{'}

vérifiant cette propriété alors il existe un unique homéomorphisme

𝜃 : 𝑌 \to 𝑌^{'}

tel que

𝜋^{'} \circ 𝜃 = 𝜋

Démonstration : Il ne reste qu’à vérifier que cette propriété est caractéristique. D’après le théorème 3.3.3, il suffit de montrer que c’est effectivement une propriété universelle, c’est-à-dire la définition d’un objet initial (ou final) dans une catégorie bien choisie. Ici les objets sont les paires

(𝑌, 𝜋)

où

𝑌

est un espace topologique et

𝜋

est une fonction continue de

𝑋

dans

𝑌

qui est compatible avec

\sim

. Et un morphisme de

(𝑌, 𝜋)

dans

(𝑌^{'}, 𝜋^{'})

est une fonction continue

𝜃 : 𝑌 \to 𝑌^{'}

telle que

𝜋^{'} \circ 𝜃 = 𝜋

□

On veut maintenant transporter les topologies dans l’autre direction, c’est-à-dire définir une opération d’image réciproque de topologie.

Lemme 4.3.8

Pour toute fonction

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

𝑓_{*} : 𝒯︀ (𝑋) \to 𝒯︀ (𝑌)

commute aux sup. Ainsi, elle admet un adjoint à droite noté

𝑓^{*} : 𝒯︀ (𝑌) \to 𝒯︀ (𝑋)

et appelé image réciproque de topologie.

Démonstration : Il s’agit d’une conséquence immédiate des définitions et du fait que l’image réciproque des parties commute aux intersections. Soit $𝑆 \subseteq 𝒯︀ (𝑋)$ . On a

$□$

Dans le lemme précédent, l’existence de $𝑓^{*}$ est déduite du théorème de l’application adjointe. Bien sûr, on peut expliciter cette opération : on peut montrer que $𝑓^{*} 𝑇 = {(𝑓^{*})}_{*} 𝑇 = {𝑈 \subseteq 𝑋 | \exists 𝑉 \in 𝑇, 𝑈 = 𝑓^{*} 𝑉}$ (simplement en vérifiant que ${(𝑓^{*})}_{*} 𝑇$ est effectivement une topologie et en utilisant l’adjonction ${(𝑓^{*})}_{*} ⊣ {(𝑓^{*})}^{*}$ ). Mais cette formule concrète ne nous sera jamais utile, même si elle est psychologiquement rassurante dans le cas où $𝑓$ est l’inclusion d’une partie que nous détaillerons dans la remarque 4.3.12.

L’opération d’image directe d’une topologie est compatible avec la composition et les identités.

Lemme 4.3.9

Soit

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

𝑔 : 𝑌 \to 𝑍

. Pour toute topologie

𝑇

sur

𝑍

{(𝑔 \circ 𝑓)}^{*} 𝑇 = 𝑓^{*} 𝑔^{*} 𝑇

. De plus

{Id}^{*} 𝑇 = 𝑇

Démonstration : L’application ${(𝑔 \circ 𝑓)}^{*}$ est adjointe à droite de ${(𝑔 \circ 𝑓)}_{*}$ par construction. Or le lemme 4.3.5 assure que ${(𝑔 \circ 𝑓)}_{*} = 𝑔_{*} \circ 𝑓_{*}$ donc le lemme 1.3.7 assure que $𝑓^{*} \circ 𝑔^{*}$ est également adjoint à droite de ${(𝑔 \circ 𝑓)}_{*}$ donc on conclut par unicité de l’adjoint à droite (lemme 1.3.14).

Montrons maintenant que ${Id}^{*} 𝑇 = 𝑇$ . Cela découle de l’unité et de la co-unité de ${Id}_{*} ⊣ {Id}^{*}$ et de ${Id}_{*} 𝑇 = 𝑇$ . En effet on $𝑇 \leq {Id}^{*} ({Id}_{*} 𝑇) = {Id}^{*} 𝑇$ et ${Id}^{*} 𝑇 = {Id}_{*} ({Id}^{*} 𝑇) \leq 𝑇$ . $□$

Par adjonction entre image directe et image réciproque, l’observation 4.3.2 devient :

Observation 4.3.10

Soit

(𝑋, 𝑇_{𝑋})

(𝑌, 𝑇_{𝑌})

des espaces topologiques. Une fonction

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

est continue si et seulement si

𝑇_{𝑋} \leq 𝑓^{*} 𝑇_{𝑌}

Un cas particulier de l’observation est que, pour toute topologie $𝑇$ sur $𝑌$ , $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ est $(𝑓^{*} 𝑇, 𝑇)$ -continue. On retrouve aussi le fait qu’une fonction partant d’un espace topologique discret est toujours continue puisque $⊥ \leq 𝑓^{*} 𝑇$ est toujours vrai. On notera aussi qu’une fois l’adjonction $𝑓_{*} ⊣ 𝑓^{*}$ disponible, on récupère $𝑓_{*} ⊥ = ⊥$ et $𝑓^{*} ⊤ = ⊤$ automatiquement par le théorème 1.4.16. Ainsi les deux caractérisations de la continuité (observation 4.3.2 et observation 4.3.10) permettent chacune de retrouver la continuité des fonctions depuis un espace discret ou vers un espace grossier.

On déduit immédiatement du lemme 4.3.9 et de l’observation 4.3.10 la propriété universelle de la topologie image réciproque.

Proposition 4.3.11

Soit $𝑋$ , $𝑌$ et $𝑍$ des ensembles, $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ et $𝑔 : 𝑌 \to 𝑍$ des fonctions. Pour toutes topologies $𝑇_{𝑋}$ sur $𝑋$ et $𝑇_{𝑍}$ sur $𝑍$ , la topologie $𝑔^{*} 𝑇_{𝑍}$ vérifie

Démonstration : Fixons $𝑇_{𝑋}$ et $𝑇_{𝑍}$ . On a

En utilisant l’observation 4.3.10 et le lemme 4.3.9.

□

Remarque 4.3.12

Le cas particulier le plus simple de topologie image réciproque est celui de la topologie induite. Si $𝐴$ est une partie d’un espace topologique $𝑋$ , on peut la munir de $𝜄^{*} 𝑇_{𝑋}$ où $𝜄 : 𝐴 \to 𝑋$ est l’application d’inclusion, c’est-à-dire la restriction de ${Id}_{𝑋}$ à $𝐴$ . Dans ce cas la propriété universelle devient simplement : une fonction $𝑓 : 𝑍 \to 𝐴$ est continue pour la topologie induite si et seulement si $𝜄 \circ 𝑓 : 𝑍 \to 𝑋$ est continue.

En plus de cette propriété universelle, il est parfois utile d’avoir une description explicite des ouverts. Comme expliqué après le lemme 4.3.8, les ouverts de cette topologie sont les parties de la forme $𝜄^{*} 𝑉$ où $𝑉$ est un ouvert de $𝑋$ . Autrement dit ce sont les intersections d’un ouvert de $𝑋$ avec $𝐴$ . De même les fermés de $𝐴$ sont les intersections d’un fermé de $𝑋$ avec $𝐴$ . Cette information est parfois utile mais nous ne l’utiliserons jamais dans la suite.

Remarque 4.3.13

Soit

𝜑 : 𝑋 \to 𝑌

une fonction continue entre espaces topologiques. On munit

𝑋

de la relation d’équivalence associée à

𝜑

(définie par

\forall (𝑥, 𝑥^{'}), 𝑥 \sim 𝑥^{'} \Leftrightarrow 𝜑 (𝑥) = 𝜑 (𝑥^{'})

). On sait que

𝜑

induit une bijection

\overline{𝜑}

entre

𝑋 / \sim

im (𝑓)

. Le corollaire 4.3.7 et la remarque 4.3.12 assurent que cette bijection est continue. Mais ce n’est pas un homéomorphisme en général, même lorsque

𝜑

était déjà bijective (voir la remarque 4.2.2). On dit que

𝜑

est stricte si

\overline{𝜑}

est un homéomorphisme, mais nous n’aurons pas l’usage de cette notion ici.

4.4. Filtre des voisinages

Les discussions précédentes donnent un cadre très agréable pour étudier la notion de fonction continue. Mais ce cadre ne permet pas facilement de discuter de continuité en un point ou de suites convergentes. Pour cela nous avons besoin d’une version localisée de la structure topologique.

Définition 4.4.1

Soit $𝑋$ un espace topologique et $𝑥$ un point de $𝑋$ . Le filtre des voisinages de $𝑥$ est

On vérifie sans peine qu’il s’agit effectivement d’un filtre. Lorsque la topologie $𝑇$ utilisée sur $𝑋$ n’est pas claire, on écrit $𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ .

Comme expliqué dans le chapitre 2, il faut penser à $𝒩_{𝑥}$ comme l’ensemble généralisé des points qui sont très proches de $𝑥$ . Il faut bien garder en tête cette intuition en lisant la suite.

Lemme 4.4.2

Soit $𝑋$ un espace topologique et $𝐴$ une partie de $𝑋$ .

$𝐴$ est ouvert si et seulement si $\forall 𝑥 \in 𝐴, 𝒩_{𝑥} \leq 𝑃 (𝐴)$ (pour tout $𝑥$ dans $𝐴$ , tous les points très proches de $𝑥$ sont dans $𝐴$ ).
Dans tous les cas $\overset{̊}{𝐴} = {𝑥 | 𝒩_{𝑥} \leq 𝑃 (𝐴)}$ (l’ensemble des $𝑥$ dont tous les points proches sont dans $𝐴$ ).
$𝐴$ est fermé si et seulement si $\forall 𝑥, 𝒩_{𝑥} \land 𝑃 (𝐴) \neq ⊥ \Rightarrow 𝑥 \in 𝐴$ (pour tout $𝑥$ dans $𝑋$ , si $𝐴$ contient des points très proches de $𝑥$ alors $𝑥$ est dans $𝐴$ ).
Dans tous les cas $\overline{𝐴} = {𝑥 | \exists^{𝑓} 𝑎 \in 𝒩_{𝑥}, 𝑎 \in 𝐴}$ (l’ensemble des $𝑥$ ayant un point proche dans $𝐴$ ).

En particulier la donnée de la fonction $𝑥 \mapsto 𝒩_{𝑥}$ détermine entièrement $𝑇$ .

Mieux, pour toute paire de topologies $𝑇$ et $𝑇^{'}$ , on a $𝑇 \leq 𝑇^{'} \Leftrightarrow \forall 𝑥, 𝒩_{𝑥}^{𝑇} \leq 𝒩_{𝑥}^{𝑇^{'}}$ . Autrement dit, l’application $𝑇 \mapsto 𝒩_{\cdot}^{𝑇}$ est un plongement d’ensembles ordonnés de $𝒯︀ (𝑋)$ vers les fonctions de $𝑋$ dans $ℱ (𝑋)$ (on caractérisera l’image de ce plongement dans la proposition 4.4.4).

Démonstration : On rappelle que, par la remarque 2.2.10, pour tout filtre $𝐹$ sur $𝑋$ , $𝐹 \leq 𝑃 (𝐴) \Leftrightarrow 𝐴 \in 𝐹$ . Ainsi le premier point dit simplement que $𝐴$ est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points, ce qui est connu. De même le second point est une reformulation directe du fait que l’intérieur de $𝐴$ est l’ensemble des points dont $𝐴$ est voisinage.

Pour comprendre le troisième point il faut se souvenir de le lemme 2.3.7 qui assure que, pour tout $𝑥$ , $𝒩_{𝑥} \land 𝑃 (𝐴) \neq ⊥ \Leftrightarrow \forall 𝑈 \in 𝒩_{𝑥}, 𝑈 \cap 𝐴 \neq \emptyset$ . Alternativement, on peut contraposer $\forall 𝑥, 𝒩_{𝑥} \land 𝑃 (𝐴) \neq ⊥ \Rightarrow 𝑥 \in 𝐴$ en $\forall 𝑥 \in 𝐴 ᶜ, 𝒩_{𝑥} \land 𝑃 (𝐴) = ⊥$ et utiliser une autre reformulation par le lemme 2.3.7 pour le réécrire en $\forall 𝑥 \in 𝐴 ᶜ, 𝒩_{𝑥} \leq 𝑃 (𝐴 ᶜ)$ avant d’utiliser le point précédent pour le réécrire «  $𝐴 ᶜ$ est ouvert ».

La quatrième partie découle du lemme 2.2.8 qui assure que $\exists^{𝑓} 𝑎 \in 𝒩_{𝑥}, 𝑎 \in 𝐴 \Leftrightarrow \forall 𝑈 \in 𝒩_{𝑥}, \exists 𝑎 \in 𝑈, 𝑎 \in 𝐴$ .

Montrons maintenant la caractérisation des inégalités. Supposons $𝑇 \leq 𝑇^{'}$ , c’est-à-dire que tout ouvert pour $𝑇^{'}$ est ouvert pour $𝑇$ . Soit $𝑥$ un point et $𝑈 \in 𝒩_{𝑥}^{𝑇^{'}}$ . On obtient par définition un ouvert $𝑉$ pour $𝑇^{'}$ qui contient $𝑥$ et est contenu dans $𝑈$ . Comme il est également ouvert pour $𝑇$ , $𝑈 \in 𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ . Réciproquement supposons l’inégalité de voisinages. Soit $𝑈$ un ouvert de $𝑇^{'}$ . Montrons que $𝑈$ est ouvert de $𝑇$ . D’après le premier point, il suffit de montrer que $𝑈$ est voisinage de chacun de ses points, ce qui est vrai pour $𝑇^{'}$ par hypothèse sur $𝑈$ puis pour $𝑇$ d’après l’hypothèse sur les voisinages. $□$

Les deux exercices suivants permettent de se familiariser avec ces descriptions de l’intérieur et l’adhérence.

Exercice 4.41

Soit $𝑋$ un espace topologique, $𝐴$ une partie de $𝑋$ . Montrer que ${(\overline{𝐴})}^{𝑐} = \overset{\circ}{\overset{⏜}{𝐴^{𝑐}}}$ (on pourra utiliser le lemme 2.3.7).

Exercice 4.42

Soit $𝑋$ un espace topologique, $𝐴$ une partie de $𝑋$ et $𝑈$ un ouvert de $𝑋$ . Montrer que $𝑈 \cap \overline{𝐴} \subseteq \overset{\cap}{𝑈}$ .

Soit $𝑥 \in 𝑈 \cap \overline{𝐴}$ . Montrons que $𝑥 \in \overset{\cap}{𝑈}$ . On calcule

De même, on peut utiliser les voisinages, vus comme parties généralisées de $𝑋$ , pour définir les suites convergentes et la continuité en un point.

Définition 4.4.3

Soit $𝑋$ et $𝑌$ des espaces topologiques, et soit $𝑥$ un point de $𝑋$ .

On dit qu’une suite $𝑢 : ℕ \to 𝑋$ converge vers $𝑥$ si $𝑢_{*} 𝒩_{\infty} \leq 𝒩_{𝑥}$ .
On dit qu’une fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ est continue en $𝑥$ si $𝑓_{*} 𝒩_{𝑥} \leq 𝒩_{𝑓 (𝑥)}$ .

Comme le suggère la terminologie, une fonction est continue si et seulement si elle est continue en tout point. Nous pourrions montrer cela artisanalement dès maintenant mais ce n’est pas nécessaire et ce résultat deviendra trivial après le corollaire 4.4.6.

Exercice 4.43

Soit $𝑋$ un ensemble, $𝑌$ un espace topologique, $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction, $𝐹$ un filtre sur $𝑋$ , $𝑦$ un point de $𝑌$ et $𝑉$ une partie de $𝑌$ . On suppose que $𝐹$ est non trivial (ie. $𝐹 \neq ⊥$ ), $𝑓_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑦}$ et $\forall^{𝑓} 𝑥 \in 𝐹, 𝑓 (𝑥) \in 𝑉$ .

Montrer que la condition $\forall^{𝑓} 𝑥 \in 𝐹, 𝑓 (𝑥) \in 𝑉$ est équivalente à $𝑓_{*} 𝐹 \leq 𝑃 (𝑉)$ .
L’hypothèse $\forall^{𝑓} 𝑥 \in 𝐹, 𝑓 (𝑥) \in 𝑉$ signifie, par définition, ${𝑥 | 𝑓 (𝑥) \in 𝑉} \in 𝐹$ . Autrement dit, $𝑓^{*} 𝑉 \in 𝐹$ . Par définition de $𝑓_{*} 𝐹$ , cela signifie $𝑉 \in 𝑓_{*} 𝑉$ . On a vu en cours (et on peut vérifier directement) que cela est équivalent à $𝑓_{*} 𝐹 \leq 𝑃 (𝑉)$ .
En déduire que $𝑦$ est dans l’adhérence de $𝑉$ .
On a vu que $𝑦$ est dans l’adhérence de $𝑉$ si et seulement si $𝒩_{𝑦} \land 𝑃 (𝑉) \neq ⊥$ . Or, on a vu dans la question précédente que $𝑓_{*} 𝐹 \leq 𝑃 (𝑉)$ et, par hypothèse, $𝑓_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑥}$ . Ainsi $𝑓_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑦} \land 𝑃 (𝑉)$ .
Enfin, on a supposé que $𝐹 \neq ⊥$ donc $𝑓_{*} 𝐹 \neq ⊥$ par l’exercice 2.21. Ainsi $⊥ < 𝑓_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑦} \land 𝑃 (𝑉)$ et $𝑦$ est dans l’adhérence de $𝑉$ .
Reformuler ce résultat en termes élémentaires dans le cas où $𝑋 = ℕ$ et $𝐹 = 𝒩_{\infty}$ , puis dans le cas où $𝑋 = ℝ$ et $𝐹 = 𝒩_{𝑥}$ où $𝑥$ est soit un réel, soit $\pm \infty$ .
Dans le premier cas, on obtient : « si une suite $𝑢$ prends ses valeurs dans $𝑉$ à partir d’un certain rang et converge vers $𝑦$ alors $𝑦$ est dans l’adhérence de $𝑉$  ». Dans le deuxième cas, on obtient : « si une fonction $𝑓$ envoie les réels suffisamment proches de $𝑥$ dans $𝑉$ et converge vers $𝑦$ en $𝑥$ alors $𝑦$ est dans l’adhérence de $𝑉$  ». Dans le cas de $+ \infty$ , on obtient : « si une fonction $𝑓$ envoie les réels suffisamment grands dans $𝑉$ et converge vers $𝑦$ en $+ \infty$ alors $𝑦$ est dans l’adhérence de $𝑉$  ». Dans le cas de $- \infty$ , on obtient : « si une fonction $𝑓$ envoie les réels suffisamment négatifs dans $𝑉$ et converge vers $𝑦$ en $- \infty$ alors $𝑦$ est dans l’adhérence de $𝑉$  ».

Puisque la donnée d’une topologie $𝑇$ détermine tous les $𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ et que la donnée de tous les $𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ détermine $𝑇$ , il est naturel de se demander si on peut définir la notion de topologie comme la donnée d’une fonction $𝑁 : 𝑋 \to ℱ (𝑋)$ associant à chaque point son filtre des voisinages. Une contrainte évidente est que, pour tout $𝑥$ , tout voisinage de $𝑥$ doit contenir $𝑥$ . Autrement dit, on doit avoir $\forall 𝑥, 𝑃 ({𝑥}) \leq 𝑁 (𝑥)$ . Mais il y a une contrainte plus subtile qui garantit une sorte de continuité de $𝑁$ et qui est très liée au fait que les ouverts sont voisinages de tous leurs points.

Proposition 4.4.4

Soit $𝑋$ un ensemble et $𝑁 : 𝑋 \to ℱ (𝑋)$ une fonction. Il existe une topologie $𝑇$ sur $𝑋$ telle que $\forall 𝑥, 𝑁 (𝑥) = 𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

$\forall 𝑥, 𝑃 ({𝑥}) \leq 𝑁 (𝑥)$
$\forall 𝑥, \forall 𝑈 \in 𝑁 (𝑥), \forall^{𝑓} 𝑦 \in 𝑁 (𝑥), 𝑈 \in 𝑁 (𝑦)$

La première condition se lit « tout point est très proche de lui-même » tandis que la seconde se lit « pour tout point $𝑥$ , tout voisinage de $𝑥$ est également voisinage de tous les points qui sont très proches de $𝑥$  ».

Si on suppose la première condition, on peut réécrire la seconde en termes de la définition 2.4.16 :

2bis. $\forall 𝑥, 𝑁 (𝑥) = {sup}_{𝑦 \in 𝑁 (𝑥)}^{𝑓} 𝑁 (𝑦)$

qui se lit « pour tout $𝑥$ , les points proches de $𝑥$ sont les points proches d’un $𝑦$ proche de $𝑥$  ».

Démonstration : Supposons d’abord que $𝑁$ provient d’une topologie $𝑇$ . La première condition est claire puisque qu’elle affirme simplement que, pour tout $𝑥$ , tout voisinage de $𝑥$ contient $𝑥$ . Montrons la seconde condition. Soit $𝑥 \in 𝑋$ et $𝑈$ un voisinage de $𝑥$ . Montrons que ${𝑦 | 𝑈 \in 𝑁 (𝑦)}$ est un voisinage de $𝑥$ . Il suffit de montrer qu’il contient un voisinage de $𝑥$ . Par définition $𝑈$ contient un voisinage ouvert $𝑉$ de $𝑥$ . Ce $𝑉$ convient, car on a bien $\forall 𝑦 \in 𝑉, 𝑈 \in 𝑁 (𝑦)$ .

Réciproquement, supposons que $𝑁$ vérifie les deux conditions de l’énoncé. On pose $𝑇 ≔ {𝑉 | \forall 𝑥 \in 𝑉, 𝑉 \in 𝑁 (𝑥)}$ . Montrons que $𝑇$ est une topologie dont les voisinages sont donnés par $𝑁$ . Soit $𝑆 \subseteq 𝑇$ . Montrons que la réunion $𝑈$ des éléments de $𝑆$ est dans $𝑇$ . Soit $𝑥 \in 𝑈$ . Par construction de $𝑈$ , on obtient $𝑉 \in 𝑆$ tel que $𝑥 \in 𝑉$ . Comme $𝑉$ est dans $𝑇$ , on obtient $𝑉 \in 𝑁 (𝑥)$ . Comme $𝑉 \subseteq 𝑈$ et que $𝑁 (𝑥)$ est un filtre, on en déduit $𝑈 \in 𝑁 (𝑥)$ .

Supposons maintenant $𝑆$ fini et montrons que l’intersection $𝑈$ des éléments de $𝑆$ est dans $𝑇$ . Soit $𝑥 \in 𝑈$ . Pour chaque $𝑉 \in 𝑆$ , on obtient $𝑥 \in 𝑉$ et, puisque $𝑉 \in 𝑇$ , $𝑉 \in 𝑁 (𝑥)$ . Comme $𝑁 (𝑥)$ est un filtre et que $𝑆$ est fini, on en déduit $𝑈 \in 𝑁 (𝑥)$ .

On notera que nous n’avons encore utilisé aucune des deux conditions portant sur $𝑁$ . La formule utilisée pour $𝑇$ définit toujours une topologie. L’enjeu est de montrer maintenant que les voisinages pour $𝑇$ sont bien donnés par $𝑁$ . Soit $𝑥 \in 𝑋$ . Montrons que $𝒩_{𝑥} = 𝑁 (𝑥)$ , par double inégalité.

Montrons d’abord que $𝒩_{𝑥} \leq 𝑁 (𝑥)$ . Soit $𝑈 \in 𝑁 (𝑥)$ . La première condition sur $𝑁$ fournit $𝑃 ({𝑥}) \leq 𝑁 (𝑥)$ , donc on obtient $𝑥 \in 𝑈$ . La seconde condition assure que $𝑉 ≔ {𝑦 | 𝑈 \in 𝑁 (𝑦)}$ est dans $𝑁 (𝑥)$ . Ce $𝑉$ contient $𝑥$ puisque $𝑈 \in 𝑁 (𝑥)$ . Montrons qu’il est contenu dans $𝑈$ . Soit $𝑦 \in 𝑉$ . Par définition de $𝑉$ , $𝑈 \in 𝑁 (𝑦)$ et la première condition appliquée à $𝑦$ assure que $𝑦 \in 𝑈$ . Ainsi, on a bien $𝑉 \subseteq 𝑈$ . Montrons que $𝑉$ est ouvert, c’est-à-dire $𝑉 \in 𝑇$ . Soit $𝑦 \in 𝑉$ . Montrons que $𝑉 \in 𝑁 (𝑦)$ . Par définition de $𝑉$ , $𝑈 \in 𝑁 (𝑦)$ . La seconde condition appliquée à $𝑦$ assure que ${𝑧 | 𝑈 \in 𝑁 (𝑧)} \in 𝑁 (𝑦)$ . Or cet ensemble est exactement $𝑉$ par définition de $𝑉$ .

Montrons maintenant que $𝑁 (𝑥) \leq 𝒩_{𝑥}$ . Soit $𝑈 \in 𝒩_{𝑥}$ . Montrons que $𝑈 \in 𝑁 (𝑥)$ . Par définition des voisinages, on obtient $𝑉 \in 𝒩_{𝑥}$ ouvert tel que $𝑉 \subseteq 𝑈$ . Or $𝑁 (𝑥)$ est un filtre donc il suffit de montrer que $𝑉 \in 𝑁 (𝑥)$ . Par définition de $𝑇$ , $\forall 𝑦 \in 𝑉, 𝑉 \in 𝑁 (𝑦)$ , et il suffit d’appliquer cela à $𝑥$ .

Montrons maintenant la reformulation en terme de ${sup}^{𝑓}$ . On suppose la condition 1. Montrons d’abord que $\forall 𝑥, 𝑁 (𝑥) \leq {sup}_{𝑦 \in 𝑁 (𝑥)}^{𝑓} 𝑁 (𝑦)$ . Soit $𝑥$ dans $𝑋$ . La condition 1 assure que $𝑃 ({𝑥}) \leq 𝑁 (𝑥)$ et l’exercice 2.27 assure que ${sup}^{𝑓}$ est croissant en les deux arguments donc ${sup}_{𝑦 \in 𝑃 ({𝑥})}^{𝑓} 𝑁 (𝑥) \leq {sup}_{𝑦 \in 𝑁 (𝑥)}^{𝑓} 𝑁 (𝑥)$ . De plus ${sup}^{𝑓}$ étend le sup ordinaire donc ${sup}_{𝑦 \in 𝑃 ({𝑥})}^{𝑓} 𝑁 (𝑥) = 𝑁 (𝑥)$ . Ainsi la condition 2bis est équivalente à $\forall 𝑥, {sup}_{𝑦 \in 𝑁 (𝑥)}^{𝑓} 𝑁 (𝑥) \leq 𝑁 (𝑥)$ , c’est-à-dire $\forall 𝑥, \forall 𝑈 \in 𝑁 (𝑥), 𝑈 \in {sup}_{𝑦 \in 𝑁 (𝑥)}^{𝑓} 𝑁 (𝑥)$ . Cette condition est équivalente à la condition 2 d’après l’exercice 2.27. $□$

Nous aurons besoin de plus de propriétés de la fonction qui, pour $𝑥 \in 𝑋$ fixé, associe à toute topologie $𝑇$ le filtre $𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ . Pour cela, il est commode de lui trouver un adjoint.

Lemme 4.4.5

Soit $𝑋$ un ensemble et $𝑥 \in 𝑋$ . Pour tout filtre $𝐹$ sur $𝑋$ , la fonction de $𝑋$ dans $ℱ (𝑋)$ définie par

est la fonction voisinage d’une topologie notée $𝑇_{𝑥} (𝐹)$ et dont les ouverts sont les $𝑈 \subseteq 𝑋$ tels que $𝑥 \notin 𝑈$ ou $𝑈 \in 𝐹$ . De plus

et, pour toute fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ ,

(où l’image directe du membre de gauche est celle des topologies et celle du membre de droite est celle des filtres).

Démonstration : Il suffit de vérifier le critère de la proposition 4.4.4. La première condition est claire. Vérifions la seconde. Notons $𝑁 : 𝑋 \mapsto ℱ (𝑋)$ la fonction de l’énoncé. Soit $𝑦 \in 𝑋$ et $𝑈 \in 𝑁 (𝑦)$ . Comme $𝑃 ({𝑦}) \leq 𝑁 (𝑦)$ , on a $𝑦 \in 𝑈$ . On distingue selon que $𝑦 = 𝑥$ ou $𝑦 \neq 𝑥$ .

Supposons d’abord que $𝑦 = 𝑥$ . Il suffit de montrer que $\forall 𝑧 \in 𝑈, 𝑈 \in 𝑁 (𝑧)$ . Là encore, on distingue selon que $𝑧 = 𝑥$ ou pas. Si $𝑧 = 𝑥$ on a $𝑈 \in 𝑁 (𝑧)$ par hypothèse. Sinon $𝑁 (𝑧) = 𝑃 ({𝑧})$ et donc $𝑈 \in 𝑁 (𝑧)$ puisque $𝑧 \in 𝑈$ .

Supposons maintenant que $𝑦 \neq 𝑥$ . L’ensemble $𝑈 ∖ {𝑥}$ est alors dans $𝑁 (𝑦)$ et tous ses points $𝑧$ vérifient $𝑈 \in 𝑁 (𝑧)$ .

Ainsi la fonction $𝑁$ est bien la fonction voisinage d’une topologie $𝑇_{𝑥} (𝐹)$ . La description annoncée pour les ouverts de cette topologie est claire vu le lemme 4.4.2 qui assure qu’un ensemble est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.

Montrons l’adjonction $𝑇_{𝑥} ⊣ (𝑇 \mapsto 𝒩_{𝑥}^{𝑇})$ . Soit $𝐹$ un filtre et $𝑇$ une topologie sur $𝑋$ . En utilisant que $\forall 𝑦, 𝑃 ({𝑦}) \leq 𝒩_{𝑦}^{𝑌}$ on calcule

en utilisant que $𝑃 ({𝑥}) \leq 𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ entraîne $𝑃 ({𝑥}) \lor 𝐹 \leq 𝒩_{𝑥}^{𝑇} \Leftrightarrow 𝐹 \leq 𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ .

Enfin vérifions que l’interaction annoncée avec les images directes découle directement des définitions. Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ . Montrons que $𝑓_{*} \circ 𝑇_{𝑥} = 𝑇_{𝑓 (𝑥)} \circ 𝑓_{*}$ . Soit $𝐹$ un filtre sur $𝑋$ .

$□$

Corollaire 4.4.6

Pour tout $𝑥$ dans $𝑋$ , la fonction $𝑇 \mapsto 𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ commute aux inf : pour tout ensemble $𝑆$ de topologies sur $𝑋$ , on a

De plus la fonction $𝑇 \mapsto 𝒩_{𝑥}^{𝑇}$ commute aux images réciproques : pour toute fonction $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ et toute topologie $𝑇$ sur $𝑌$ ,

Enfin cette fonction « commute » à l’engendrement : pour tout ensemble $𝑆$ de parties de $𝑋$ ,

où le $⟨ \cdot ⟩$ du membre de gauche désigne la topologie engendrée et celui du membre de droite désigne le filtre engendré.

Démonstration : La première affirmation découle directement du lemme précédent, car tout adjoint à droite commute aux infs d’après le théorème 1.4.16.

Pour la seconde affirmation on utilise le corollaire 1.3.15 avec le diagramme

où les adjoints à gauche commutent d’après le lemme précédent.

Montrons maintenant la commutation à l’engendrement, qui est très similaire. Notons $𝜄_{𝒯}$ (resp. $𝜄_{ℱ}$ ) l’inclusion de $𝒯︀ (𝑋)$ (resp. $ℱ (𝑋)$ ) dans $𝒫 {(𝒫 (𝑋))}^{op}$ . Notons $𝑇_{𝑥}^{'}$ l’application de $𝒫 {(𝒫 (𝑋))}^{op}$ dans lui-même qui envoie tout ensemble $𝑆$ de parties de $𝑋$ sur ${𝑈 | 𝑥 \notin 𝑈 ou 𝑈 \in 𝑆}$ . Ainsi on a $𝑇_{𝑥}^{'} \circ 𝜄_{ℱ} = 𝜄_{𝒯} \circ 𝑇_{𝑥}$ d’après le lemme 4.4.5. Notons $𝜑_{𝑥}$ l’application de $𝒫 {(𝒫 (𝑋))}^{op}$ dans lui-même qui envoie tout ensemble $𝑆$ de parties de $𝑋$ sur ${𝑈 \in 𝑆 | 𝑥 \in 𝑈}$ . On vérifie sans peine, mais en prenant garde aux ordres opposés, que $𝜑_{𝑥}$ est adjoint à droite de $𝑇_{𝑥}^{'}$ . On peut donc invoquer de nouveau le corollaire 1.3.15, en regardant le diagramme suivant.

$□$

La description des voisinages pour la topologie image réciproque est particulièrement importante pour la topologie induite sur une partie.

Corollaire 4.4.7

Soit $𝑋$ un espace topologie, $𝐴$ une partie de $𝑋$ et $𝑎$ un point de $𝐴$ . On note $𝜄$ l’inclusion de $𝐴$ dans $𝑋$ . On a

La première égalité signifie que l’ensemble des points de

𝐴

très proches de

𝑎

est l’image réciproque par

𝜄

de l’ensemble des points de

𝑋

très proches de

𝑎

. La seconde signifie que l’image directe par

𝜄

de l’ensemble des points de

𝐴

très proches de

𝑎

est l’intersection entre l’ensemble des points de

𝑋

très proches de

𝑎

et l’ensemble

𝐴

. Bien sûr, ce sont deux façons de dire exactement la même chose.

Démonstration : La première égalité est directement un cas particulier du corollaire précédent. La seconde en découle via l’exercice 2.28 qui assure que, pour tout filtre

𝐹

sur

𝑋

𝜄_{*} 𝜄^{*} 𝐹 = 𝐹 \land 𝑃 (𝜄_{*} 𝐴) = 𝐹 \land 𝑃 (𝐴)

□

L’exercice suivant illustre comment ces formules permettent de remplacer la description explicite des ouverts ou des fermés de la topologie induite.

Exercice 4.44

Soit $𝑋$ un espace topologique, $𝐴$ une partie de $𝑋$ et $𝜄 : 𝐴 ↪ 𝑋$ l’inclusion. Montrer $𝐴$ est fermée si et seulement si $𝜄$ est fermée (on pourra utiliser le lemme 2.4.22). Montrer $𝐴$ est ouverte si et seulement si $𝜄$ est ouverte.

Supposons que $𝐴$ est fermée et montrons que $𝜄$ est fermée. Soit $𝐹$ un fermé de $𝐴$ . Montrons que $𝜄_{*} 𝐹$ est fermé. Soit $𝑥 \in \overset{𝐹}{𝜄_{*}}$ . Comme $𝜄_{*} 𝐹 \subseteq 𝐴$ et $𝐴$ est fermé, $\overset{𝐹}{𝜄_{*}} \subseteq \overline{𝐴} = 𝐴$ donc $𝑥$ est dans $𝐴$ . Puisque la question est à propos de $𝜄$ , il est plus clair d’écrire qu’on obtient $𝑎 \in 𝐴$ tel que $𝑥 = 𝜄 (𝑎)$ . Montrons que $𝑎 \in 𝐹$ et donc $𝑥 \in 𝜄_{*} 𝐹$ . On a

Ainsi $𝒩_{𝑎} \land 𝑃 (𝐹) \neq ⊥$ donc $𝑎$ est dans $\overline{𝐹}$ , c’est-à-dire $𝐹$ . Réciproquement si $𝜄$ est fermée alors $𝐴$ est fermé comme image directe de $𝐴$ qui est fermé dans $𝐴$ .

Supposons que $𝐴$ est ouverte et montrons que $𝜄$ est ouverte. Soit $𝑈$ un ouvert de $𝐴$ . Montrons que $𝜄_{*} 𝑈$ est ouvert. Soit $𝑥 \in 𝑈$ . Montrons que $𝒩_{𝜄 (𝑥)} \leq 𝑃 (𝜄_{*} 𝑈)$ .

Réciproquement, si $𝜄$ est ouverte alors $𝐴$ est ouvert comme image directe de $𝐴$ qui est fermé dans $𝐴$ .

Il faut se méfier que la formule pour les voisinages de la topologie image réciproque dans le corollaire 4.4.6 n’a pas d’analogue pour la topologie image directe dont les voisinages n’ont pas de description agréable.

Cette formule nous permet de revenir comme promis sur la notion de fonction continue en tout point.

Lemme 4.4.8

Une fonction

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

entre espaces topologiques est continue si et seulement si elle est continue en tout point.

Démonstration : Il s’agit d’une combinaison directe de résultats déjà établis :

□

Pour finir cette discussion des voisinages, notons qu’on peut également parler des voisinages d’une partie.

Définition 4.4.9

Soit $𝐴$ une partie d’un espace topologique $𝑋$ . Le filtre des voisinages de $𝐴$ est

On y pense comme l’ensemble des points très proches de

𝐴

. Vu la description des sup dans

ℱ (𝑋)

, ses éléments sont les ensembles dont l’intérieur contient

𝐴

. Autrement dit,

𝒩_{𝐴}

admet comme base l’ensemble des ouverts contenant

𝐴

Lemme 4.4.10

Soit

𝐴

une partie d’un espace topologique

𝑋

𝐹

un filtre sur

𝑋

. On a

𝐹 \land 𝒩_{𝐴} = ⊥ \Leftrightarrow \exists 𝑉 \in 𝐹, \overline{𝑉} \cap 𝐴 = \emptyset

Démonstration : Le lemme 2.3.7 assure que $𝐹 \land 𝒩_{𝐴} = ⊥ \Leftrightarrow \exists 𝑉 \in 𝐹, \exists 𝑈 \in 𝒩_{𝐴}, 𝑉 \cap 𝑈 = \emptyset$ donc on fixe $𝑉 \in 𝐹$ et on montre que $(\exists 𝑈 \in 𝒩_{𝐴}, 𝑉 \cap 𝑈 = \emptyset) \Leftrightarrow \overline{𝑉} \cap 𝐴 = \emptyset$ . Supposons donné $𝑈 \in 𝒩_{𝐴}$ avec $𝑉 \cap 𝑈 = \emptyset$ . On a alors

(en utilisant l’exercice 4.42). Réciproquement, supposons

\overline{𝑉} \cap 𝐴 = \emptyset

. On a

𝐴 \subseteq {(\overline{𝑉})}^{𝑐} = \overset{\circ}{\overset{⏜}{𝑉^{𝑐}}}

par l’exercice 4.41. Donc

𝑉^{𝑐} \in 𝒩_{𝐴}

𝑉 \cap 𝑉^{𝑐} = \emptyset

□

4.5. Espaces séparés

La notion de voisinage permet de définir la notion de séparation. Nous avons vu que, pour tout point $𝑥$ d’un espace topologique $𝑋$ , $𝒩_{𝑥}$ joue le rôle de « l’ensemble des points très proches de $𝑥$  ». Il est naturel de se demander si un point de $𝑋$ peut être très proche de deux points différents. Cela n’arrive jamais dans un espace métrique, mais c’est systématique pour la topologie grossière $⊤$ (en supposant que l’espace contienne au moins deux points).

Définition 4.5.1

On dit qu’un espace topologique est séparé (ou

𝑇_{2}

) si, pour tous points

𝑥

𝑦

de cet espace,

𝑥 \neq 𝑦 \Rightarrow 𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦} = ⊥

. Autrement dit, si

𝑥

𝑦

sont distincts alors il n’existe aucun point à la fois très proche de

𝑥

et très proche de

𝑦

. On utilisera aussi la version contraposée

𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦} \neq ⊥ \Rightarrow 𝑥 = 𝑦

Vu le lemme 2.3.7, la condition de séparation est équivalente à demander que, pour chaque paire de points $𝑥$ et $𝑦$ distincts, il existe $𝑈 \in 𝒩_{𝑥}$ et $𝑉 \in 𝒩_{𝑦}$ tels que $𝑈 \cap 𝑉 = \emptyset$ . Mais nous n’auront pas besoin de cette reformulation (qu’on pourrait objectivement qualifier d’alambiquée puisqu’elle double le nombre de quantificateurs mis en jeu).

La condition d’espace séparé admet de nombreuses variantes, mais la définition ci-dessus est exactement la condition qui assure l’unicité des limites.

Lemme 4.5.2

Soit $𝑋$ un ensemble, $𝐹$ un filtre non trivial sur $𝑋$ , $𝑌$ un espace topologique séparé, $𝜑 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction. Supposons que $𝜑$ tende vers $𝑦$ et $𝑦^{'}$ le long de $𝐹$ , c’est-à-dire $𝜑_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑦}$ et $𝜑_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑦^{'}}$ . Alors $𝑦 = 𝑦^{'}$ .

Cette propriété caractérise les espaces séparés.

Démonstration : Comme $𝐹 \neq ⊥$ , $𝜑_{*} 𝐹 \neq ⊥$ par l’exercice 2.21. Ainsi on a $⊥ < 𝜑_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑦} \land 𝒩_{𝑦^{'}}$ donc $𝑦 = 𝑦^{'}$ .

Réciproquement, supposons que $𝑌$ vérifie cette propriété. Soit $𝑦$ et $𝑦^{'}$ tels que $𝐹 ≔ 𝒩_{𝑦} \land 𝒩_{𝑦^{'}} \neq ⊥$ . Comme ${Id}_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑦}$ et ${Id}_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑦^{'}}$ , l’hypothèse sur $𝑌$ assure que $𝑦 = 𝑦^{'}$ . $□$

En fait la situation n’est pas spécifique aux images directes, comme le montrent la définition et l’exercice ci-dessous.

Définition 4.5.3

Soit

𝑋

un espace topologique,

𝐹

un filtre sur

𝑋

𝑥

un point de

𝑋

. On dit que

𝐹

converge vers

𝑥

𝐹 \leq 𝒩_{𝑥}

Exercice 4.45

Soit $𝑋$ un espace topologique. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

$𝑋$ est séparé.
Tout filtre non trivial sur $𝑋$ converge vers au plus un point.

Supposons $𝑋$ séparé. Soit $𝐹$ un filtre non trivial sur $𝑋$ qui converge vers $𝑥$ et $𝑦$ . Par définition de la convergence, $𝐹 \leq 𝒩_{𝑥}$ et $𝐹 \leq 𝒩_{𝑦}$ . Ainsi $𝐹 \leq 𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦}$ . Par hypothèse $⊥ < 𝐹$ donc $⊥ \leq 𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦}$ . Par définition de $𝑋$ séparé, on en déduit $𝑥 = 𝑦$ .

Réciproquement, supposons que tout filtre non trivial converge vers au plus un point. Soit $𝑥$ et $𝑦$ dans $𝑋$ tels que $𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦}$ est non trivial. Comme $𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦} \leq 𝒩_{𝑥}$ , $𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦}$ converge vers $𝑥$ . De même, il converge vers $𝑦$ . Par hypothèse $𝑥 = 𝑦$ .

Lemme 4.5.4

Une partie d’un espace séparé est toujours séparée.

Démonstration : Cela découle la formule des voisinages pour la topologie image réciproque dans le corollaire 4.4.6. Soit

𝑋

un espace séparé et

𝐴 \subseteq 𝑋

. Notons

𝜄

l’inclusion de

𝐴

dans

𝑋

. Soit

𝑎

𝑏

dans

𝐴

tels que

𝒩_{𝑎} \land 𝒩_{𝑏} \neq ⊥

. On a

⊥ \neq 𝜄^{*} 𝒩_{𝜄 (𝑎)} \land 𝜄^{*} 𝒩_{𝜄 (𝑏)} = 𝜄^{*} (𝒩_{𝜄 (𝑎)} \land 𝒩_{𝜄 (𝑏)})

donc

⊥ \neq 𝒩_{𝜄 (𝑎)} \land 𝒩_{𝜄 (𝑏)}

et, par séparation de

𝑋

𝑎 = 𝑏

□

4.6. Topologies initiales et topologie produit

L’objectif de cette section est de construire des topologies à partir d’un cahier des charges mettant en jeu une famille de fonctions ayant pour but ou source des espaces topologiques donnés. Par exemple la topologie produit sera construite en utilisant les projections sur les facteurs d’un produit de façon à obtenir la propriété universelle des produits au sens du chapitre 3.

Définition 4.6.1

Soit $𝑋$ un ensemble et $𝑌$ une famille d’espace topologiques indexée par un ensemble $𝐼$ . On note $𝑇_{𝑖}$ la topologie sur chaque $𝑌_{𝑖}$ . Soit $𝜑$ une famille de fonctions de $𝑋$ dans les $𝑌_{𝑖}$ . La topologie initiale associée à $𝜑$ est

Proposition 4.6.2

Dans le contexte de la définition précédente, $𝑇_{𝜑}$ est l’unique topologie sur $𝑋$ qui vérifie la propriété universelle suivante : pour tout espace topologique $𝑍$ , toute fonction $𝑓 : 𝑍 \to 𝑋$ est continue si et seulement si tous les $𝜑_{𝑖} \circ 𝑓$ sont continues.

De plus $𝑇_{𝜑}$ est le maximum de l’ensemble des topologies sur $𝑋$ pour lesquelles toutes les fonctions $𝜑_{𝑖}$ sont continues.

Par ailleurs, pour tout $𝑥 \in 𝑋$ , $𝒩_{𝑥} = {inf}_{𝑖} 𝜑_{𝑖}^{*} 𝒩_{𝜑_{𝑖} (𝑥)}$ .

Soit $𝑍$ un ensemble, $𝐹$ un filtre sur $𝑍$ , $𝑔 : 𝑍 \to 𝑋$ une fonction et $𝑥 \in 𝑋$ . On a

En particulier une suite $𝑢$ converge vers $𝑥$ si et seulement si, pour tout $𝑖$ , la suite $𝜑_{𝑖} \circ 𝑢$ converge vers $𝜑_{𝑖} (𝑥)$ .

Démonstration : Le fait que $𝑇_{𝜑}$ vérifie la propriété annoncée est une combinaison directe de la proposition 4.3.11 et de l’observation 4.3.4. Le fait que les $𝜑_{𝑖}$ soient continues provient de cette propriété appliquée à $𝑍 = 𝑋$ et $𝑔 = Id$ .

Par ailleurs on a

Montrons l’unicité. Supposons que deux topologies $𝑇$ et $𝑇^{'}$ vérifient cette propriété. Montrons que ${Id}_{𝑋}$ est $(𝑇, 𝑇^{'})$ -continue (et par symétrie des rôles de $𝑇$ et $𝑇^{'}$ on aura aussi l’autre sens et donc $𝑇 = 𝑇^{'}$ ). On a vu que la propriété de $𝑇$ assure que chaque $𝜑_{𝑖}$ est $(𝑇, 𝑇_{𝑖})$ -continue. La propriété de $𝑇^{'}$ appliquée à $𝑍 = 𝑋$ et $𝑔 = Id$ montre que cela entraîne que $Id$ est $(𝑇, 𝑇^{'})$ -continue.

La formule pour les voisinages est une application directe du corollaire 4.4.6.

Montrons que la caractérisation de la convergence en découle. Soit $𝑍$ un ensemble, $𝐹$ un filtre sur $𝑍$ , $𝑔 : 𝑍 \to 𝑋$ une fonction et $𝑥$ un point de $𝑋$ . On a

en utilisant la propriété universelle de l’inf, l’adjonction entre image directe et image réciproque et la compatibilité entre image directe et composition. $□$

Corollaire 4.6.3

La catégorie des espaces topologique admet un produit pour toute famille d’objets, l’ensemble sous-jacent à ce produit est le produit des ensembles sous-jacents et les projections sont bien les projections attendues. Le filtre des voisinages d’un point est le produit des filtres des voisinages de ses composantes, au sens de la définition 2.4.24. Une suite à valeurs dans un produit converge si et seulement si toutes ses composantes convergent.

Démonstration : Soit

𝑋

une famille d’espaces topologiques pour Il suffit de munir

\prod_{𝑖} 𝑋_{𝑖}

de la topologie initiale associée à la famille des projections.

□

On verra dans l’exercice 4.48 comment obtenir également des coproduits par une méthode tout à fait analogue. L’exemple 4.11.12 discutera d’autres topologies initiales qui interviennent en analyse fonctionnelle.

On notera que la définition de la topologie initiale ${inf}_{𝑖} 𝜑_{𝑖}^{*} 𝑇_{𝑖}$ combine les deux opérations que nous avons construites en utilisant la technologie du chapitre 1 : l’inf sur les topologies et l’image réciproque. Bien sûr, on pourrait expliciter les ouverts de la topologie initiale. Mais l’approche suivie ici montre que ce serait complètement inutile, en plus d’être assez effrayant (par exemple dans le cas de la topologie produit).

La plupart des sources « définissent » la topologie initiale comme étant « la topologie la moins fine rendant les $𝜑_{𝑖}$ continues », c’est-à-dire comme le max apparaissant dans la proposition 4.6.2 en étant souvent d’une pudeur remarquable sur l’existence de ce max. Cette pudeur atteint en général un sommet lorsqu’il s’agit de discuter du critère de convergence des suites.

L’utilisation des lemmes précédents pour établir la propriété universelle ci-dessus cache un peu la simplicité de la démonstration basée uniquement sur la définition de borne inférieure, la caractérisation de la continuité en terme d’image directe et réciproque de topologies, l’adjonction entre ces deux opérations et la compatibilité de l’image directe avec la composition :

Exercice 4.46

Soit $𝑇$ et $𝑆$ deux familles des topologies sur des ensembles $𝑋$ et $𝑌$ indexées par un même ensemble $𝐼$ . En utilisant l’exercice 1.17, montrer que $({inf}_{𝑖} 𝑇_{𝑖}) \times ({inf}_{𝑖} 𝑆_{𝑖}) = {inf}_{𝑖} (𝑇_{𝑖} \times 𝑆_{𝑖})$ où la croix désigne la topologie produit.

Montrer de plus que, pour toute topologie $𝑇_{𝑋}$ sur $𝑋$ , $𝑇_{𝑋} \times {inf}_{𝑖} 𝑆_{𝑖} = {inf}_{𝑖} (𝑇_{𝑋} \times 𝑆_{𝑖})$ .

Notons $𝑝_{1}$ et $𝑝_{2}$ les projections de $𝑋 \times 𝑌$ sur $𝑋$ et $𝑌$ respectivement.

en utilisant que l’image réciproque commute aux infs et l’exercice 1.17.

Soit $𝑇_{𝑋}$ une topologie sur $𝑋$ .

en utilisant l’exercice 1.17.

Exercice 4.47

Soit $𝑋$ , $𝑌$ , $𝑍$ et $𝑊$ des ensembles. Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑍$ et $𝑔 : 𝑌 \to 𝑊$ des fonctions. On note $𝑓 \times 𝑔$ la fonction de $𝑋 \times 𝑌$ dans $𝑍 \times 𝑊$ définie par $(𝑥, 𝑦) \mapsto (𝑓 (𝑥), 𝑔 (𝑦))$ . On notera que le diagramme suivant commute, les applications verticales étant les projections.

Soit $𝑇_{𝑍}$ une topologie sur $𝑍$ et soit $𝑇_{𝑊}$ une topologie sur $𝑊$ . Montrer que

Attention : la formule analogue avec des images directes est fausse en général.

Proposition 4.6.4

Soit

𝑋

un ensemble et

𝑌

une famille d’espaces topologiques indexée par un ensemble

𝐼

. Soit

𝜑

une famille de fonction de

𝑋

vers les

𝑌_{𝑖}

. On suppose que tous les

𝑌_{𝑖}

sont séparés et que

𝜑

sépare les points : pour tous

𝑥 \neq 𝑥^{'}

, il existe

𝑖

tel que

𝜑_{𝑖} (𝑥) \neq 𝜑_{𝑖} (𝑥^{'})

. Alors

𝑋

muni de la topologie initiale pour

𝜑

est séparé. En particulier un produit d’espaces topologiques séparés est séparé.

Démonstration : Soit $𝑥$ et $𝑥^{'}$ des points distincts de $𝑋$ . Montrons que $𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑥^{'}} = ⊥$ . L’hypothèse sur $𝜑$ fournit $𝑖 \in 𝐼$ tel que $𝜑_{𝑖} (𝑥) \neq 𝜑_{𝑖} (𝑥^{'})$ . Comme $𝑌_{𝑖}$ est séparé, on obtient $𝒩_{𝜑_{𝑖} (𝑥)} \land 𝒩_{𝜑_{𝑖} (𝑥^{'})} = ⊥$ . On calcule ensuite en utilisant la proposition 4.6.2 et l’exercice 1.17 :

donc

𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑥^{'}} = ⊥

□

On peut reformuler la condition de séparation en termes de la diagonale $Δ = {(𝑥, 𝑥^{'}) \in 𝑋 \times 𝑋 | 𝑥 = 𝑥^{'}}$ dans $𝑋 \times 𝑋$ .

Lemme 4.6.5

Un espace topologique est séparé si et seulement si sa diagonale est fermée.

Démonstration : On sait que, pour tout $𝑥$ et $𝑥^{'}$ , $𝒩_{(𝑥, 𝑥^{'})} = 𝒩_{𝑥} \times 𝒩_{𝑥^{'}}$ donc le résultat est une conséquence directe de la dernière question de l’exercice 2.30 :

□

En particulier les fonctions continues à valeurs dans un espace séparé vérifient le principe d’extension des égalités :

Lemme 4.6.6

Soit

𝑋

un espace topologique,

𝑌

un espace topologique séparé et

𝑓

𝑔

des fonctions continues de

𝑋

dans

𝑌

. L’ensemble des points où

𝑓

𝑔

coïncident est un fermé de

𝑋

. En particulier si elles sont égales sur une partie dense alors elles sont égales partout.

Démonstration : L’ensemble d’égalité

𝐸

est l’image réciproque de la diagonale de

𝑌

qui est fermée d’après le lemme 4.6.5 par

𝑥 \mapsto (𝑓 (𝑥), 𝑔 (𝑥))

qui est continue. Si

𝐸

contient

𝐴

dense, on a

𝑋 = \overline{𝐴} \subseteq \overline{𝐸} = 𝐸

donc

𝐸 = 𝑋

□

Exercice 4.48

Cet exercice construit la topologie finale associée à une famille d’applications et en déduit l’existence de coproduits dans la catégorie des espaces topologiques.

Soit ${(𝑋_{𝑖}, 𝑇_{𝑖})}_{𝑖 \in 𝐼}$ une famille d’espaces topologiques et soit ${(𝜑_{𝑖} : 𝑋_{𝑖} \to 𝑌)}_{𝑖 \in 𝐼}$ une famille de fonctions à valeurs dans un ensemble $𝑌$ . Montrer qu’il existe une unique topologie sur $𝑌$ vérifiant la propriété universelle suivante : pour tout espace topologique $𝑍$ et toute fonction $𝑓 : 𝑌 \to 𝑍$ , $𝑓$ est continue si et seulement si $\forall 𝑖, 𝑓 \circ 𝜑_{𝑖} est continue$ . Cette topologie est appelée topologie finale associée à $𝜑$ .
C’est exactement la même chose que l’argument vu pour la topologie initiale, mais en renversant toutes les flèches (y compris les inégalités).
Supposons que $𝑇$ et $𝑇^{'}$ sont deux solutions. Montrons que $𝑇 = 𝑇^{'}$ . Vu la symétrie de la situation, il suffit de montrer que $𝑇 \leq 𝑇^{'}$ , ou encore que l’identité de $𝑌$ est continue de $(𝑌, 𝑇)$ vers $(𝑌, 𝑇^{'})$ . Vu l’hypothèse sur $𝑇$ , il suffit de montrer que, pour tout $𝑖$ , $Id \circ 𝜑_{𝑖}$ est continue de $𝑋_{𝑖}$ dans $(𝑌, 𝑇^{'})$ . Cette condition est garantie par l’hypothèse sur $𝑇^{'}$ appliquée à $𝑍 = (𝑌, 𝑇^{'})$ puisque $Id$ est continue de $(𝑌, 𝑇^{'})$ dans $(𝑌, 𝑇^{'})$ .
Montrons maintenant l’existence. Là encore on suit le chemin utilisé pour la topologie initiale.
donc la topologie ${sup}_{𝑖} [{(𝜑_{𝑖})}_{*} 𝑇_{𝑖}]$ convient.
Montrer que la catégorie des espaces topologiques admet de coproduits pour toutes les familles d’objets.
Soit $𝑋$ une famille d’espaces topologiques. Les ensembles sous-jacents admettent comme coproduit la réunion disjointe $⨆_{𝑖} 𝑋_{𝑖}$ avec les inclusions $𝑗_{𝑖}$ évidentes. Cet ensemble muni de la topologie finale associée à la famille $𝑗$ convient.

4.7. Adhérence et extension par continuité

Pour tout espace topologique $𝑋$ , l’opération d’adhérence est une fonction croissante de $𝒫 (𝑋)$ dans $𝒫 (𝑋)$ . On va donc bien sûr l’étendre en fonction de $ℱ (𝑋)$ dans $ℱ (𝑋)$ . Une fois n’est pas coutume, on utilisera également son extension en fonction de $ℱ (𝑋)$ dans $𝒫 (𝑋)$ .

Définition 4.7.1

Soit $𝑋$ un espace topologique. Les fonctions adhérence et intérieur, de $𝒫 (𝑋)$ dans lui-même, sont croissantes. Leurs extensions en fonction de $ℱ (𝑋)$ dans lui-même par le corollaire 2.4.12 sont aussi appelées adhérence et intérieur, avec la même notation. Un filtre $𝐹$ sur $𝑋$ est dit fermé si $\overline{𝐹} = 𝐹$ , et ouvert si $\overset{̊}{𝐹} = 𝐹$ .

On note $va$ l’extension de la fonction adhérence en fonction de $ℱ (𝑋)$ dans $𝒫 (𝑋)$ . D’après le corollaire 2.4.12, on a donc le diagramme

où le rectange commute, $va \circ 𝑃 = \overline{\cdot}$ , et $𝐾 \circ \overline{\cdot} = va$ , mais $𝑃 \circ va \neq \overline{\cdot}$ en général. Pour tout filtre $𝐹$ sur $𝑋$ , les éléments de $va (𝐹)$ sont appelés valeurs d’adhérence de $𝐹$ . La formule explicite du théorème 2.4.6 devient ici $va (𝐹) = ⋂_{𝑈 \in 𝐹} \overline{𝑈}$ .

Exercice 4.49

Soit $𝑋$ un espace topologique et $𝐹$ un filtre sur $𝑋$ .

Montrer que $𝐹 \leq \overline{𝐹}$ puis montrer que $𝐹$ est fermé si et seulement si $\forall 𝑈 \in 𝐹, \exists 𝑉 \in 𝐹, 𝑉 fermé et 𝑉 \subseteq 𝑈$ .
On sait que, pour toute partie $𝐴$ de $𝑋$ , $𝐴 \subseteq \overline{𝐴}$ . Comme l’extension aux filtres est croissante, on obtient $𝐹 \leq \overline{𝐹}$ . Ainsi
Cette dernière condition implique la condition annoncée. En effet, soit $𝑈 \in 𝐹$ . Montrons qu’il existe $𝑉 \in 𝐹$ fermé et contenu dans $𝑈$ . Par la condition, on obtient $𝑊 \in 𝐹$ tel que $\overline{𝑊} \subseteq 𝑈$ . Mais $𝑊 \subseteq \overline{𝑊}$ donc $\overline{𝑊} \in 𝐹$ et $𝑉 = \overline{𝑊}$ convient. L’autre implication est claire.
Montrer que $\overset{̊}{𝐹} \leq 𝐹$ puis montrer que $𝐹$ est ouvert si et seulement si $\forall 𝑈 \in 𝐹, \overset{̊}{𝑈} \in 𝐹$ .
Le début est complètement analogue à la première question et montre la première équivalence ci-dessous :
Cette dernière condition implique la condition annoncée. En effet, soit $𝑈 \in 𝐹$ . La condition appliquée à $𝑉 = \overset{̊}{𝑈}$ donne $(\exists 𝑊 \in 𝐹, \overset{̊}{𝑊} \subseteq \overset{̊}{𝑈}) \Rightarrow \overset{̊}{𝑈} \in 𝐹$ dont la prémisse est vraie puisque $𝑊 = 𝑈$ convient. La réciproque est claire.

Lemme 4.7.2

Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction continue entre espaces topologiques. Pour tout filtre $𝐹$ sur $𝑋$ ,

$𝑓_{*} \overline{𝐹} \leq \overset{𝐹}{𝑓_{*}}$ et il y a égalité si $𝑓$ est de plus fermée (voir la définition 4.2.1)
$𝑓_{*} va (𝐹) \subseteq va (𝑓_{*} 𝐹) .$

Démonstration : Montrons d’abord l’analogue de la première inégalité sur les parties. Soit $𝐴$ une partie de $𝑋$ . On sait que $𝑓_{*} 𝐴 \subseteq \overset{𝐴}{𝑓_{*}}$ donc par adjonction $𝑓_{*} ⊣ 𝑓^{*}$ on en déduit $𝐴 \subseteq 𝑓^{*} \overset{𝐴}{𝑓_{*}}$ . Or $\overset{𝐴}{𝑓_{*}}$ est fermé et $𝑓$ est continue donc $𝑓^{*} \overset{𝐴}{𝑓_{*}}$ est fermé. On a donc $\overline{𝐴} \subseteq 𝑓^{*} \overset{𝐴}{𝑓_{*}}$ et on utilise de nouveau l’adjonction pour avoir $𝑓_{*} \overline{𝐴} \subseteq \overset{𝐴}{𝑓_{*}}$ . Si $𝑓$ est fermée alors $𝑓_{*} \overline{𝐴}$ est fermé et contient $𝑓_{*} 𝐴$ donc on obtient l’autre inégalité. Dans les deux cas, la version sur les filtres en découle immédiatement puisqu’il s’agit d’une inégalité ou égalité entre composées de fonction croissante étendue aux filtres.

Montrons maintenant l’inclusion sur les valeurs d’adhérence. Le corollaire 2.4.12 assure que $𝑓_{*} \circ 𝐾 \leq 𝐾 \circ 𝑓_{*}$ . En appliquant cela à $\overline{𝐹}$ on obtient

$□$

Le cas d’égalité dans la seconde inégalité du lemme précédant est plus subtil et fera l’objet de la section 4.10.

Le lemme suivant donne deux façons alternatives de penser aux valeurs d’adhérence d’un filtre.

Lemme 4.7.3

Soit $𝐹$ un filtre sur un espace topologique $𝑋$ , et $𝑥$ un point de $𝑋$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$𝑥 \in va (𝐹)$
$𝐹 \land 𝒩_{𝑥} \neq ⊥$ qui se lit «  $𝐹$ intersecte l’ensemble des points qui sont proches de $𝑥$  ».
$𝑃 ({𝑥}) \leq \overline{𝐹}$ qui se lit « le singleton ${𝑥}$ est inclus dans l’adhérence de la partie généralisée $𝐹$  ».

Démonstration : En utilisant la définition 4.7.1 et ses rappels sur le théorème 2.4.6 et son corollaire 2.4.12 on obtient

□

La notion de valeur d’adhérence est liée à celle de filtre convergent introduite dans la définition 4.5.3.

Lemme 4.7.4

Soit

𝐹

un filtre non trivial sur un espace topologique

𝑋

. Pour tout

𝑥

dans

𝑋

, si

𝐹

converge vers

𝑥

alors

𝑥

est valeur d’adhérence de

𝐹

. Si

𝐹

est un ultrafiltre alors la réciproque est vraie.

Démonstration : Dans les deux cas, on utilise la seconde caractérisation du lemme 4.7.3.

Soit $𝐹$ non trivial qui converge vers un point $𝑥$ . On a $𝐹 \leq 𝒩_{𝑥}$ donc $𝐹 \land 𝒩_{𝑥} = 𝐹$ et $𝐹 \neq ⊥$ donc $𝑥$ est valeur d’adhérence de $𝐹$ .

Si on suppose que $𝐹$ est un ultrafiltre ayant $𝑥$ comme valeur d’adhérence alors $⊥ < 𝐹 \land 𝒩_{𝑥} \leq 𝐹$ force $𝐹 \land 𝒩_{𝑥} = 𝐹$ puisque $𝐹$ est un ultrafiltre. Ainsi, on a bien $𝐹 \leq 𝒩_{𝑥}$ . $□$

Par construction, la définition de valeur d’adhérence d’un filtre généralise la notion d’adhérence d’une partie : pour toute partie $𝐴$ , $va (𝑃 (𝐴)) = 𝑃 (\overline{𝐴})$ . Le lemme suivant montre qu’elle généralise également la notion de valeur d’adhérence d’une suite.

Lemme 4.7.5

Pour toute suite

𝑢 : ℕ \to 𝑋

, si

𝑥

est valeur d’adhérence de la suite

𝑢

, c’est-à-dire s’il existe

𝜑 : ℕ \to ℕ

strictement croissante telle que

𝑢 \circ 𝜑

tende vers

𝑥

, alors

𝑥

est valeur d’adhérence de

𝑢_{*} 𝒩_{\infty}

Démonstration : Soit

𝑢

une suite dans

𝑋

𝑥

un point de

𝑋

𝜑 : ℕ \to ℕ

une extraction (en fait supposer que

𝜑

tend vers l’infini en l’infini suffirait). On suppose

{(𝑢 \circ 𝜑)}_{*} 𝒩_{\infty} \leq 𝒩_{𝑥}

. Comme

𝜑_{*} 𝒩_{\infty} \leq 𝒩_{\infty}

et que

𝑢_{*}

est croissante, on obtient

{(𝑢 \circ 𝜑)}_{*} 𝒩_{\infty} \leq 𝑢_{*} 𝒩_{\infty}

. De plus

𝒩_{\infty} \neq ⊥

donc

{(𝑢 \circ 𝜑)}_{*} 𝒩_{\infty} \neq ⊥

et donc

⊥ < {(𝑢 \circ 𝜑)}_{*} 𝒩_{\infty} \leq 𝑢_{*} 𝒩_{\infty} \land 𝒩_{𝑥}

□

On remarquera que l’énoncé précédent ne dit pas que les limites des suites extraites sont les seules valeurs d’adhérence de $𝑢_{*} 𝒩_{\infty}$ ni que toute valeur d’adhérence de $𝑃 (𝐴)$ est une limite de suite. En effet, ces deux énoncés sont faux en général. Il est important de comprendre pourquoi ces subtilités n’apparaissent pas dans le cadre des espaces métriques. Pour cela, on a besoin de deux définitions.

Définition 4.7.6

On dit que $𝐹$ est à base dénombrable s’il admet une base qui est une partie dénombrable.

On dit qu’un espace topologique est à base dénombrable de voisinages si chacun de ses filtres de voisinages est à base dénombrable.

Lorsqu’un filtre sur un ensemble $𝑋$ admet une base dénombrable, on peut toujours supposer qu’il s’agit de l’image d’une fonction $𝐵 : ℕ \to 𝒫 (𝑋)$ , quitte à utiliser $𝑋$ comme valeur pour certains entiers.

Exercice 4.50

Dans cet exercice, on explore le lien entre valeur d’adhérence et suites pour les filtres à base dénombrable. Soit $𝑋$ un ensemble.

Montrer que si $𝑋$ est un espace métrique alors tout point admet une base dénombrable de voisinages.
Les boules centrées au point et de rayon $1 / (𝑛 + 1)$ conviennent.
Soit $𝐹$ un filtre sur $𝑋$ . Montrer que si $𝐹$ admet une base dénombrable alors il admet une base $𝐵 : ℕ \to 𝒫 (𝑋)$ décroissante.
Soit $𝑉 : ℕ \to 𝒫 (𝑋)$ une base de $𝐹$ . On définit $𝐵 : ℕ \to 𝒫 (𝑋)$ par $𝑛 \mapsto ⋂_{𝑘 \leq 𝑛} 𝑉_{𝑘}$ . Il s’agit d’une suite décroissante. Montrons que c’est une base de $𝒩_{𝑥}$ . Chaque $𝐵_{𝑛}$ est voisinage de $𝑥$ , car c’est une intersection finie de voisinages de $𝑥$ . Soit $𝑈 \in 𝒩_{𝑥}$ . Par hypothèse, on obtient $𝑛$ tel que $𝑉_{𝑛} \subseteq 𝑈$ . On a $𝐵_{𝑛} \subseteq 𝑉_{𝑛} \subseteq 𝑈$ .
Dans la suite de cet exercice, on suppose $𝑋$ muni d’une topologie. Soit $𝐴$ une partie de $𝑋$ et $𝑥$ un élément de l’adhérence de $𝐴$ . Montrer que si $𝒩_{𝑥}$ est à base dénombrable alors il existe une suite d’éléments de $𝐴$ qui tend vers $𝑥$ .
La question précédente fournit une base décroissante $𝐵 : ℕ \to 𝒫 (𝑋)$ pour $𝒩_{𝑥}$ . Par hypothèse $𝒩_{𝑥} \land 𝑃 (𝐴) \neq ⊥$ donc le lemme 2.3.7 assure que tous les $𝐵_{𝑛} \cap 𝐴$ sont non vides. L’axiome du choix permet donc de construire $𝑢 : ℕ \to 𝑋$ telle que $\forall 𝑛, 𝑢_{𝑛} \in 𝐵_{𝑛} \cap 𝐴$ . Montrons que $𝑢$ convient. On sait déjà que $𝑢$ est à valeurs dans $𝐴$ , il suffit donc de montrer qu’elle tend vers $𝑥$ . Soit $𝑈$ un voisinage de $𝑥$ . Montrons qu’il existe $𝑁$ tel que $\forall 𝑛 \geq 𝑁, 𝑢_{𝑛} \in 𝑈$ . Comme $𝐵$ est une base $𝒩_{𝑥}$ , on obtient $𝑁$ tel que $𝐵_{𝑁} \subseteq 𝑈$ . Montrons que $𝑁$ convient. Soit $𝑛 \geq 𝑁$ . On a $𝑢_{𝑛} \in 𝐵_{𝑛}$ , $𝑛 \geq 𝑁$ et $𝐵$ est décroissante donc $𝑢_{𝑛} \in 𝐵_{𝑁} \subseteq 𝑈$ .
Soit $𝑢 : ℕ \to 𝑋$ une suite et $𝑥 \in 𝑋$ . On suppose que $𝒩_{𝑥}$ est à base dénombrable et que $𝑥$ est valeur d’adhérence de $𝑢_{*} 𝒩_{\infty}$ . Montrer qu’il existe une sous-suite de $𝑢$ qui tend vers $𝑥$ (cette question est plus difficile que les autres).
Soit $𝑉 : ℕ \to 𝒫 (𝑋)$ une base décroissante de voisinages de $𝑥$ fournit par l’hypothèse sur $𝑥$ et la question précédente.
L’hypothèse de valeur d’adhérence signifie que, pour tous $𝑊 \in 𝑢_{*} 𝒩_{\infty}$ et $𝑈 \in 𝒩_{𝑥}$ , $𝑊 \cap 𝑈 \neq \emptyset$ . En particulier pour tous $𝑁$ et $𝑛$ dans $ℕ$ , $𝑢_{*} ([𝑁, \infty [) \cap 𝑉_{𝑛} \neq \emptyset$ . On en déduit par récurrence l’existence de $𝜑 : ℕ \to ℕ$ strictement croissante telle que $\forall 𝑛, {(𝑢 \circ 𝜑)}_{𝑛} \in 𝑉_{𝑛}$ . Montrons que $𝑢 \circ 𝜑$ tend vers $𝑥$ . Soit $𝑈$ un voisinage de $𝑥$ . On veut $𝑁$ tel que $\forall 𝑛 \geq 𝑁, {(𝑢 \circ 𝜑)}_{𝑛} \in 𝑈$ . Comme $𝑉$ est une base, on obtient $𝑁$ tel que $𝑉_{𝑁} \subseteq 𝑈$ . Montrons que ce $𝑁$ convient. Soit $𝑛 \geq 𝑁$ . On sait que ${(𝑢 \circ 𝜑)}_{𝑛} \in 𝑉_{𝑛}$ . Or $𝑉$ est décroissante donc $𝑉_{𝑛} \subseteq 𝑉_{𝑁} \subseteq 𝑈$ donc ${(𝑢 \circ 𝜑)}_{𝑛} \in 𝑈$

Pour conclure sur le lien entre valeur d’adhérence de suites et de filtres, il faut noter que, même dans le cas des espaces métriques, la bonne notion est celle donnée par les filtres. En effet, l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite $𝑢$ à valeurs dans un espace métrique n’est pas l’adhérence de son image $𝑢_{*} ℕ$ . C’est l’adhérence de $𝑢_{*} 𝒩_{\infty}$ , l’image par $𝑢$ de « l’ensemble des très grands entiers naturels ».

La notion d’adhérence d’un filtre joue un rôle crucial dans la définition suivante qui donne le cadre naturel du théorème d’extension par continuité

Définition 4.7.7

On dit qu’un espace topologique est

𝑇_{3}

si tous ses filtres de voisinages sont fermés. Autrement dit, via l’exercice 4.49, si tout voisinage contient un voisinage fermé. On dit qu’il est régulier s’il est de plus séparé. En particulier les espaces métriques sont réguliers.

Théorème 4.7.8

Soit $𝑋$ , $𝑌$ et $𝑍$ des espaces topologiques, $𝑖 : 𝑋 \to 𝑌$ , $𝑓 : 𝑋 \to 𝑍$ et $𝜑 : 𝑌 \to 𝑍$

$𝑍$ est $𝑇_{3}$
l’image de $𝑖$ est dense dans $𝑌$
$\forall 𝑦, 𝑓_{*} 𝑖^{*} 𝒩_{𝑦} \leq 𝒩_{𝜑 (𝑦)}$

alors $𝜑$ est continue.

Si de plus

$𝑍$ est séparé
$𝑖^{*} 𝑇_{𝑌} = 𝑇_{𝑋}$
$𝑓$ est continue

alors $𝜑 \circ 𝑖 = 𝑓$ . On notera que toutes les conditions sur $𝑖$ sont vraies en particulier si $𝑖$ est l’inclusion d’un sous-ensemble dense de $𝑌$ muni de la topologie induite (mais l’énoncé général ci-dessus ne fait aucune hypothèse d’injectivité de $𝑖$ ).

Démonstration : On suppose la première série de conditions. On commence par observer que l’hypothèse que $𝑖_{*} 𝑋$ est dense se reformule en $\forall 𝑦, 𝑖^{*} 𝒩_{𝑦} \neq ⊥$ d’après l’exercice 2.28 qui assure que $\forall 𝑦, 𝑖_{*} 𝑖^{*} 𝒩_{𝑦} = 𝒩_{𝑦} \land 𝑃 (𝑖_{*} 𝑋)$ et l’exercice 2.21 qui assure que $\forall 𝑦, 𝑖_{*} 𝑖^{*} 𝒩_{𝑦} \neq ⊥ \Leftrightarrow 𝑖^{*} 𝒩_{𝑦} \neq ⊥$ . En particulier, l’hypothèse $\forall 𝑦, 𝑓_{*} 𝑖^{*} 𝒩_{𝑦} \leq 𝒩_{𝜑 (𝑦)}$ assure que, pour tout $𝑦$ , $𝜑 (𝑦)$ est valeur d’adhérence de $𝑓_{*} 𝑖^{*} 𝒩_{𝑦}$ , ce que le lemme 4.7.3 reformule en $𝑃 ({𝜑 (𝑦)}) \leq \overset{𝑖^{*}}{𝑓_{*}}$ .

Soit $𝑦$ dans $𝑌$ . Montrons que $𝜑$ est continue en $𝑦$ en calculant

Supposons maintenant de plus la deuxième série d’hypothèses. Soit $𝑥$ dans $𝑋$ . Montrons que $𝜑 (𝑖 (𝑥)) = 𝑓 (𝑥)$ . Comme $𝑍$ est séparé, il suffit de montrer que $𝒩_{𝜑 (𝑖 (𝑥))} \land 𝒩_{𝑓 (𝑥)} \neq ⊥$ . On sait déjà que $𝑓_{*} 𝑖^{*} 𝒩_{𝑖 (𝑥)} \leq 𝒩_{𝜑 (𝑖 (𝑥))}$ par la première série d’hypothèses. L’hypothèse que $𝑖^{*} 𝑇_{𝑍} = 𝑇_{𝑋}$ et le corollaire 4.4.6 assurent que $𝒩_{𝑥} = 𝑖^{*} 𝒩_{𝑖 (𝑥)}$ . Ainsi la continuité de $𝑓$ en $𝑥$ se reformule en $𝑓_{*} 𝑖^{*} 𝒩_{𝑖 (𝑥)} \leq 𝒩_{𝑓 (𝑥)}$ , ce qui montre que $𝒩_{𝜑 (𝑖 (𝑥))} \land 𝒩_{𝑓 (𝑥)} \geq 𝑓_{*} 𝒩_{𝑥} > ⊥$ . $□$

Corollaire 4.7.9

Soit $𝑖 : 𝑋 \to 𝑌$ une application entre espaces topologiques telle que $𝑖^{*} 𝑇_{𝑌} = 𝑇_{𝑋}$ et l’image de $𝑖$ est dense. Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑍$ une fonction continue à valeurs dans un espace topologique régulier. On suppose que $\forall 𝑦 \in 𝑌, \exists 𝑧 \in 𝑍, 𝑓_{*} 𝑖^{*} 𝒩_{𝑦} \leq 𝒩_{𝑧}$ . Alors il existe une unique fonction continue $𝜑 : 𝑌 \to 𝑍$ telle que $𝜑 \circ 𝑖 = 𝑓$ .

On notera que, dans le cas où $𝑖$ est l’inclusion d’une partie de $𝑌$ , l’hypothèse se lit « pour tout $𝑦$ , $𝑓 (𝑥)$ admet une limite $𝑧$ lorsque $𝑥$ tend vers $𝑦$ en restant dans $𝑋$  ».

Démonstration : Sous ces hypothèses, on choisit une fonction

𝜑 : 𝑌 \to 𝑍

telle que

\forall 𝑦, 𝑓_{*} 𝑖^{*} 𝒩_{𝑦} \leq 𝒩_{𝜑 (𝑦)}

(on peut invoquer l’axiome du choix ici, mais comme

𝑍

est séparé et que les

𝑖^{*} 𝒩_{𝑦}

sont non triviaux, il n’y a qu’un seul

𝑧

qui convient pour chaque

𝑦

). Le théorème 4.7.8 montre que

𝜑

est continue et vérifie

𝜑 \circ 𝑖 = 𝑓

. La contrainte

𝜑 \circ 𝑖 = 𝑓

entraîne l’unicité via le lemme 4.6.6, car l’image de

𝑖

est dense et

𝑍

est séparé.

□

Les hypothèses du corollaire couvrent par exemple le cas où $𝑖$ est l’inclusion du complémentaire d’un point dans $𝑌$ et $𝑓$ admet une limite (épointée) en ce point, ou bien le cas où $𝑖$ est l’inclusion d’une partie dense dans un espace métrique, $𝑓$ est uniformément continue et $𝑌$ est complet (en fait, dans ce cas, on peut même montrer que $𝜑$ est uniformément continue).

4.8. Compacité

Cette section aborde l’étude de la notion cruciale de compacité. La profondeur de cette notion apparaitra dès le début par l’abondance de définitions équivalentes. De plus le point de vue des filtres y est particulièrement puissant.

Proposition 4.8.1

Soit $𝑋$ un espace topologique et $𝐴$ une partie $𝐴$ de $𝑋$ . Les conditions suivantes sont équivalentes.

Propriété de sous-recouvrement fini, dite de Borel-Lebesgue : Pour tout ensemble $𝑆$ d’ouvert de $𝑋$ ,
Propriété d’intersection finie non vide : Pour tout ensemble $𝑆$ de fermés de $𝑋$ ,
Propriété de Bolzano-Weirstraß : Tout filtre non trivial $𝐹 \leq 𝑃 (𝐴)$ admet une valeur d’adhérence qui appartient à $𝐴$ (toute « partie généralisée contenue dans $𝐴$  » admet une valeur d’adhérence dans $𝐴$ ).
Propriété de Bolzano-Weirstraß pour les ultrafiltres : Tout ultrafiltre $𝐹 \leq 𝑃 (𝐴)$ converge vers un point de $𝐴$ (tout « singleton généralisé de $𝐴$ est proche d’un point ordinaire de $𝐴$  »).
Propriété de distributivité : Pour tout filtre $𝐹$ sur $𝑋$ ,
(« l’ensemble des ensembles de points proches d’un point de $𝐴$ se comporte comme un ensemble fini dans la distributivité de l’inf sur le sup »). On notera que ${sup}_{𝑎 \in 𝐴} 𝒩_{𝑎}$ est le filtre $𝒩_{𝐴}$ des voisinages de $𝐴$ , mais l’écrire ainsi cache la distributivité.
Principe de récurrence : pour tout prédicat $𝑝$ sur $𝒫 (𝑋)$ , si
1. $𝑝 (\emptyset)$
2. $\forall 𝑈 \subseteq 𝑉, 𝑝 (𝑉) \Rightarrow 𝑝 (𝑈)$
3. $\forall 𝑈, 𝑉, 𝑝 (𝑈) et 𝑝 (𝑉) \Rightarrow 𝑝 (𝑈 \cap 𝑉)$
4. $\forall 𝑎 \in 𝐴, \exists 𝑈 \in 𝒩_{𝑎} \land 𝑃 (𝐴), 𝑝 (𝑈)$
alors $𝑝 (𝐴)$ .

Démonstration : Nous allons montrer les implications et équivalences du diagramme suivant.

6 ⇒ 1). Supposons le principe de récurrence et montrons la propriété de Borel-Lebesgue. Soit $𝑆$ un ensemble d’ouverts qui recouvrent $𝐴$ . Soit $𝑝$ le prédicat qui associe à tout $𝐵 \subseteq 𝑋$ l’énoncé « il existe $𝑆^{'} \subseteq 𝑆$ fini tel que $𝐵 \subseteq ⋃_{𝑈 \in 𝑆^{'}} 𝑈$  ». Notre objectif est $𝑝 (𝐴)$ et nous avons supposé 5) donc il suffit de vérifier les quatre conditions sur $𝑝$ . Pour i), $𝑆^{'} = \emptyset$ convient. Pour ii), soit $𝑈 \subseteq 𝑉$ tels que $𝑝 (𝑉)$ . L’hypothèse $𝑝 (𝑉)$ fournit $𝑆^{'}$ qui convient également pour $𝑈$ . Pour iii), soit $𝑈$ et $𝑉$ tels que $𝑝 (𝑈)$ et $𝑝 (𝑉)$ , ce qui fournit $𝑆^{'}$ pour $𝑈$ et $𝑆^{″}$ pour $𝑉$ . La réunion $𝑆^{'} \cup 𝑆^{″}$ convient pour $𝑈 \cup 𝑉$ . Pour iv), soit $𝑥 \in 𝐴$ . Comme $𝑆$ recouvre $𝐴$ on obtient $𝑈 \in 𝑆$ tel que $𝑥 \in 𝑈$ . Montrons que $𝑈$ convient. Comme $𝑈$ est ouvert, $𝑈 \in 𝒩_{𝑥}$ donc $𝑈 \in 𝒩_{𝑥} \land 𝑃 (𝐴)$ . De plus $𝑝 (𝑈)$ car $𝑆^{'} = {𝑈}$ convient.

1 ⇒ 2) est un simple passage au complémentaire pour passer des ouverts aux fermés et une contraposition (en utilisant également que, pour toute partie $𝐵$ de $𝑋$ , $𝐴 \subseteq 𝐵 \Leftrightarrow 𝐴 \cap 𝐵^{𝑐} = \emptyset$ ).

2 ⇒ 3). Supposons la propriété d’intersection finie non vide et montrons Bolzano-Weirstraß. Soit $𝐹$ un filtre non trivial. Montrons que l’ensemble des valeurs d’adhérence de $𝐹$ n’est pas vide. Le lemme 4.7.3 assure que cet ensemble est $⋂_{𝑈 \in 𝐹} \overline{𝑈}$ . Par hypothèse il suffit de montrer que toute intersection finite dans cette famille est non vide. Or, pour chaque $𝑈 \in 𝐹$ , $𝑈 \subseteq \overline{𝑈}$ donc $\overline{𝑈} \in 𝐹$ et donc toute intersection finie de tels ensembles est dans $𝐹$ . Comme $𝐹$ n’est pas trivial, $\emptyset \notin 𝐹$ .

3 ⇒ 4) provient directement du lemme 4.7.4 qui assure qu’un ultrafiltre ayant une valeur d’adhérence converge (en n’oubliant pas que, par définition, un ultrafiltre n’est jamais trivial).

4 ⇒ 3). Supposons que tout ultrafiltre sur $𝑋$ converge. Soit $𝐹$ un filtre non trivial sur $𝑋$ . Le théorème 2.5.6 fournit un ultrafiltre $𝐺$ tel que $𝐺 \leq 𝐹$ . Par hypothèse sur $𝑋$ , on obtient $𝑥$ tel que $𝐺 \leq 𝒩_{𝑥}$ . On a alors $⊥ < 𝐺 = 𝐺 \land 𝒩_{𝑥} \leq 𝐹 \land 𝒩_{𝑥}$ et donc $𝑥$ est valeur d’adhérence de $𝐹$ .

6 ⇒ 5) Supposons le principe de récurrence et montrons la propriété de distributivité. Soit $𝐹$ un filtre sur $𝑋$ . Comme la fonction $𝐺 \mapsto 𝐹 \land 𝐺$ est croissante, le lemme 1.4.15 assure que $𝐹 \land {sup}_{𝑎 \in 𝐴} 𝒩_{𝑎} \geq {sup}_{𝑎 \in 𝐴} (𝐹 \land 𝒩_{𝑎})$ . Montrons que notre hypothèse assure l’autre inégalité. Soit $𝑊 \in {sup}_{𝑎 \in 𝐴} (𝐹 \land 𝒩_{𝑎})$ . On considère le prédicat $𝑝$ sur $𝒫 (𝑋)$ qui à toute partie $𝑈$ associe l’énoncé $𝑊 \in 𝐹 \land {sup}_{𝑎 \in 𝑈} 𝒩_{𝑎}$ . Notre but est de montrer $𝑝 (𝐴)$ . Vérifions donc les quatre conditions du principe de récurrence. i) La condition $𝑝 (\emptyset)$ est vraie, car $𝐹 \land {sup}_{𝑎 \in \emptyset} 𝒩_{𝑎} = 𝐹 \land ⊥ = ⊥$ et $⊥$ contient toutes les parties. ii) Soit $𝑈 \subseteq 𝑉$ tels que $𝑝 (𝑉)$ . On a ${sup}_{𝑎 \in 𝑈} 𝒩_{𝑎} \leq {sup}_{𝑎 \in 𝑉} 𝒩_{𝑎}$ et $𝑊 \in {sup}_{𝑎 \in 𝑉} 𝒩_{𝑎}$ donc $𝑝 (𝑈)$ . iii) Soit $𝑈$ et $𝑉$ tels que $𝑝 (𝑈)$ et $𝑝 (𝑉)$ . On a ${sup}_{𝑎 \in 𝑈 \cup 𝑉} 𝒩_{𝑎} = ({sup}_{𝑎 \in 𝑈} 𝒩_{𝑎}) \lor ({sup}_{𝑎 \in 𝑉} 𝒩_{𝑎})$ . Et une partie est élément d’un sup d’ensemble de filtres si et seulement si elle est élément de tous ces filtres (cela fait partie du théorème 2.3.3) donc on a $𝑝 (𝑈 \cup 𝑉)$ . iv) Soit $𝑎_{0} \in 𝐴$ . Comme $𝑊 \in 𝐹 \land {sup}_{𝑎 \in 𝑈} 𝒩_{𝑎}$ , le lemme 2.3.7 fournit $𝑆 \in 𝐹$ et $𝑇 \in {sup}_{𝑎 \in 𝑈} 𝒩_{𝑎}$ tels que $𝑊 = 𝑆 \cap 𝑇$ . En particulier $𝑇 \in 𝒩_{𝑎_{0}}$ donc contient $𝑇^{'} \in 𝒩_{𝑎_{0}}$ ouvert. Montrons que $𝑇^{'}$ convient. Il est dans $𝒩_{𝑎_{0}}$ donc dans $𝒩_{𝑎_{0}} \land 𝑃 (𝐴)$ . Montrons que $𝑝 (𝑇^{'})$ , c’est-à-dire $𝑊 \in 𝐹 \land {sup}_{𝑎 \in 𝑇^{'}} 𝒩_{𝑎}$ . On sait que $𝑆 \cap 𝑇^{'} \subseteq 𝑊$ et $𝑆$ ∈ $𝐹$ donc il suffit de montrer que $𝑇^{'} \in {sup}_{𝑎 \in 𝑇^{'}} 𝒩_{𝑎}$ , c’est-à-dire $\forall 𝑎 \in 𝑇^{'}, 𝑇^{'} \in 𝒩_{𝑎}$ , ce qui est vraie car $𝑇^{'}$ est ouvert.

5 ⇒ 3) Supposons maintenant la distributivité et montrons la propriété de Bolzano-Weirstraß. Soit $𝐹 \leq 𝑃 (𝐴)$ non trivial. Supposons par l’absurde $\forall 𝑎 \in 𝐴, 𝐹 \land 𝒩_{𝑎} = ⊥$ . On a alors

ce qui est absurde.

3 ⇒ 6) Supposons la propriété de Bolzano-Weirstraß et montrons le principe de récurrence. Soit $𝑝$ un prédicat sur $𝒫 (𝑋)$ vérifiant les quatre propriétés listées. On pose $𝐹 = {𝑈 \subseteq 𝑋 | 𝑝 (𝑈 ᶜ)}$ . Les trois premières propriétés de $𝑝$ assurent exactement que $𝐹$ est un filtre. On veut montrer $𝑝 (𝐴)$ , c’est-à-dire $𝐴^{𝑐} \in 𝐹$ ou encore $𝐹 \land 𝑃 (𝐴) = ⊥$ (en utilisant le lemme 2.3.7). Supposons par l’absurde que $𝐹 \land 𝑃 (𝐴) \neq ⊥$ . Notre hypothèse 3) fournit $𝑥 \in va (𝐹 \land 𝑃 (𝐴)) \cap 𝐴$ . L’hypothèse iv) sur $𝑝$ fournit $𝑈 \in 𝒩_{𝑥} \land 𝑃 (𝐴)$ tel que $𝑝 (𝑈)$ , c’est-à-dire $𝑈 ᶜ \in 𝐹$ ou encore $𝐹 \leq 𝑃 (𝑈^{𝑐})$ . On a donc $𝒩_{𝑥} \land 𝑃 (𝐴) \land 𝐹 \leq 𝑃 (𝑈) \land 𝑃 (𝑈^{𝑐}) = ⊥$ , ce qui contredit $𝑥 \in va (𝐹 \land 𝑃 (𝐴))$ . $□$

Définition 4.8.2

Si une partie $𝐴$ d’un espace topologique $𝑋$ vérifie une des conditions équivalentes de la proposition 4.8.1, on dit que $𝐴$ est quasi-compact. Si de plus $𝐴$ est séparé (pour la topologie induite), on dit que $𝐴$ est compact.

On dit qu’un espace $𝑋$ est (quasi-)compact s’il l’est en tant que partie de lui-même.

Remarque 4.8.3

La propriété de Bolzano-Weirstraß admet la variante suivante qui est parfois plus commode. Soit

𝐹

un filtre sur

𝑋

. Si

𝐴

est quasi-compact et

𝐹 \land 𝑃 (𝐴) \neq ⊥

alors

va (𝐹) \cap 𝐴 \neq ⊥

. En effet, on peut appliquer la propriété de Bolzano-Weirstraß à

𝐹 \land 𝑃 (𝐴)

pour obtenir

va (𝐹 \land 𝑃 (𝐴)) \cap 𝐴 \neq \emptyset

. Or la fonction

va

est croissante par construction donc

va (𝐹 \land 𝑃 (𝐴)) \subseteq va (𝐹)

Dans le cas de l’espace entier, les conditions de la proposition 4.8.1 se simplifient comme dans l’énoncé suivant.

Corollaire 4.8.4

Un espace topologique $𝑋$ est quasi-compact si et seulement si l’un des conditions équivalentes suivantes est vraie.

Pour tout ensemble $𝑆$ d’ouvert de $𝑋$ ,
Pour tout ensemble $𝑆$ de fermés de $𝑋$ ,
Tout filtre non trivial sur $𝑋$ admet une valeur d’adhérence.
Tout ultrafiltre sur $𝑋$ est convergent.
Pour tout filtre $𝐹$ sur $𝑋$ ,
On a le principe de récurrence suivant sur $𝒫 (𝑋)$  : pour tout prédicat $𝑝$ sur $𝒫 (𝑋)$ , si
1. $𝑝 (\emptyset)$
2. $\forall 𝑈 \subseteq 𝑉, 𝑝 (𝑉) \Rightarrow 𝑝 (𝑈)$
3. $\forall 𝑈, 𝑉, 𝑝 (𝑈) et 𝑝 (𝑉) \Rightarrow 𝑝 (𝑈 \cap 𝑉)$
4. $\forall 𝑥, \exists 𝑈 \in 𝒩_{𝑥}, 𝑝 (𝑈)$
alors $𝑝 (𝑋)$ .

L’existence de nombreuses définitions équivalentes montre déjà la richesse de la notion de compacité. Dans chaque situation demandant de montrer ou d’utiliser de la compacité, il faut choisir la condition la plus adaptée au problème, même si bien sûr l’équivalence des conditions assure qu’on peut toujours s’en sortir. Un autre thème classique est que les conditions en termes de valeur d’adhérence de filtres permettent de généraliser les démonstrations utilisant les suites des espaces métriques aux espaces topologiques généraux. Nous allons maintenant voir des exemples illustrant ces thèmes.

Commençons par un exemple qui se prête bien à l’utilisation des recouvrements par des ouverts ou à celles des filtres.

Lemme 4.8.5

L’image directe d’une partie quasi-compacte par une application continue est quasi-compact.

Démonstration : Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction continue entre espaces topologiques. Soit $𝐴 \subseteq 𝑋$ une partie quasi-compacte. Montrons que $𝑓_{*} 𝐴$ est quasi-compacte.

On commence par une démonstration via les recouvrements ouverts. Soit $𝑈 : 𝐼 \to 𝒫 (𝑌)$ un recouvrement ouvert de $𝑓_{*} 𝐴$ . Comme $𝑓$ est continue, $𝑓^{*} \circ 𝑈 : 𝐼 \to 𝒫 (𝑋)$ est une famille d’ouverts. En utilisant l’unité de l’adjonction $𝑓_{*} ⊣ 𝑓^{*}$ et le fait que $𝑓^{*}$ commute aux unions et est croissante, on calcule

donc $𝑓^{*} \circ 𝑈$ recouvre $𝐴$ . Comme $𝐴$ est quasi-compacte, on obtient $𝐼^{'} \subseteq 𝐼$ finie telle que $𝐴 \subseteq ⋃_{𝑖 \in 𝐼^{'}} 𝑓^{*} 𝑈_{𝑖}$ . En utilisant que l’image directe commute aux unions et la co-unité de l’adjonction $𝑓_{*} ⊣ 𝑓^{*}$ , on calcule

donc la restriction de $𝑈$ à $𝐼^{'}$ recouvre $𝑓_{*} 𝐴$ .

Comme intermède, voyons comment démontrer cela à l’aide de suites en supposant que $𝑋$ et $𝑌$ sont des espaces métriques. Soit $𝑣 : ℕ \to 𝑓_{*} 𝐴$ une suite. Montrons que $𝑣$ admet une valeur d’adhérence. La définition de $𝑓_{*} 𝐴$ et l’axiome du choix permettent d’obtenir une suite $𝑢 : ℕ \to 𝐴$ telle que $𝑣 = 𝑓 \circ 𝑢$ . Comme $𝐴$ est compacte, on obtient une extraction $𝜑$ telle que $𝑢 \circ 𝜑$ converge vers une limite $𝑎$ dans $𝐴$ . La continuité de $𝑓$ assure alors que $𝑣 \circ 𝜑$ converge vers $𝑓 (𝑎)$ qui est bien dans $𝑓_{*} 𝐴$ .

Voyons maintenant comment adapter le paragraphe précédent au cas général en remplaçant les suites par des filtres. Soit $𝐺$ un filtre sur $𝑌$ tel que $⊥ < 𝐺 \leq 𝑃 (𝑓_{*} 𝐴)$ . Montrons qu’il existe $𝑎 \in 𝐴$ tel que $𝑓 (𝑎) \in va (𝐺)$ . Le filtre $𝑃 (𝐴) \land 𝑓^{*} 𝐺$ n’est pas trivial car $𝑓_{*} (𝑃 (𝐴) \land 𝑓^{*} 𝐺) = 𝑃 (𝑓_{*} 𝐴) \land 𝐺 = 𝐺 \neq ⊥$ (en utilisant le lemme 2.4.22 et l’hypothèse $𝐺 \leq 𝑃 (𝑓_{*} 𝐴)$ ). L’hypothèse sur $𝐴$ et la remarque 4.8.3 fournissent donc $𝑎 \in va (𝑓^{*} 𝐺) \cap 𝐴$ . Ce $𝑎$ convient, car $𝑓$ est continue donc le lemme 4.7.2 assure $𝑓_{*} va (𝑓^{*} 𝐺) \subseteq va (𝑓_{*} 𝑓^{*} 𝐺) \subseteq va (𝐺)$ (la deuxième inclusion vient de la co-unité de $𝑓_{*} ⊣ 𝑓^{*}$ et de la croissante de $va$ ).

On notera une différence avec l’utilisation des suites : il n’y a pas d’analogue du choix arbitraire de la suite $𝑢$ relevant $𝑣$ dans $𝐴$ . Dans le cas des filtres, le filtre $𝑃 (𝐴) \land 𝑓^{*} 𝐺$ est là sans se poser de questions. $□$

Voyons maintenant un exemple dans lequel la condition sur les familles de fermées est particulièrement naturelle à utiliser, mais où de nouveau la condition sur les valeurs d’adhérence de filtres permet d’écrire une variante de la démonstration via les suites.

Lemme 4.8.6

L’intersection d’une partie fermée et d’une partie (quasi-)compacte est (quasi-)compacte. En particulier un fermé dans un espace (quasi-)compact est (quasi-)compact.

Démonstration : Soit $𝑋$ un espace topologique $𝐴$ un fermé de $𝑋$ et $𝐾$ un quasi-compact de $𝑋$ . Le lemme 4.5.4 assure qu’une partie d’un espace séparé est séparée donc il reste à comprendre la quasi-compacité de $𝐾 \cap 𝐴$ . Il est commode de passer par la propriété d’intersection finie non vide. Soit $𝐶$ une famille de fermés de $𝑋$ indexée par un ensemble $𝐼$ . On suppose que, pour tout $𝐼^{'} \subseteq 𝐼$ fini, $(𝐾 \cap 𝐴) \cap ⋂_{𝑖 \in 𝐼^{'}} 𝐶_{𝑖} \neq \emptyset$ . On peut réécrire cette condition comme $𝐾 \cap ⋂_{𝑖 \in 𝐼^{'}} (𝐴 \cap 𝐶_{𝑖}) \neq \emptyset$ . Comme $𝐴$ est fermé, les $𝐴 \cap 𝐶_{𝑖}$ sont également fermés donc la compacité de $𝐾$ assure que $𝐾 \cap ⋂_{𝑖 \in 𝐼} (𝐴 \cap 𝐶_{𝑖}) \neq \emptyset$ , et on peut ressortir $𝐴$ de la grande intersection pour conclure.

Comme intermède, voyons la démonstration séquentielle utilisable dans les espaces métriques. Soit $𝑢 : ℕ \to 𝐾 \cap 𝐴$ une suite. Montrons que $𝑢$ admet une sous-suite qui converge dans $𝐾 \cap 𝐴$ . La (quasi-)compacité de $𝐾$ fournit une extraction $𝜑$ et $𝑥 \in 𝐾$ tels que $𝑢 \circ 𝜑$ tend vers $𝑥$ . Comme $𝐴$ est fermé et que $𝑢 \circ 𝜑$ est à valeurs dans $𝐴$ , on obtient $𝑥 \in 𝐴$ .

Voyons maintenant comme les filtres permettent d’adapter cette démonstration au cas général. Soit $𝐹$ un filtre sur $𝑋$ tel que $⊥ < 𝐹 \leq 𝑃 (𝐾 \cap 𝐴)$ . Montrons que $𝐹$ admet une valeur d’adhérence dans $𝐾 \cap 𝐴$ . On a $⊥ < 𝐹 \leq 𝑃 (𝐾)$ et $𝐹 \leq 𝑃 (𝐴)$ . La quasi-compacité de $𝐾$ fournit $𝑥 \in 𝐾 \cap va (𝐹) \subseteq 𝐾 \cap va (𝑃 (𝐴)) = 𝐾 \cap \overline{𝐴} = 𝐾 \cap 𝐴$ .

La démonstration par les filtres est plus simple que celle par les suites, car la notion de valeur d’adhérence d’un filtre est plus simple que celle de suite extraite et plus directement liée à l’adhérence des parties. En effet, la notion de valeur d’adhérence d’une suite n’est pas équivalente à celle de valeur d’adhérence de l’image de cette suite. $□$

Une des raisons principales qui font inclure la séparation dans la définition de la compacité est le résultat suivant.

Lemme 4.8.7

Soit

𝐴

une partie quasi-compacte d’un espace topologique

𝑋

. Si

𝑋

est séparé alors

𝐴

est fermée.

Démonstration : Soit

𝑥 \in \overline{𝐴}

. Montrons que

𝑥 \in 𝐴

. Par hypothèse,

𝒩_{𝑥} \land 𝑃 (𝐴)

est non trivial. La quasi-compacité de

𝐴

et la remarque 4.8.3 fournissent donc une valeur d’adhérence

𝑎 \in 𝐴

pour ce filtre. En particulier

𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑎} \neq ⊥

et, puisque

𝑋

est séparé,

𝑥 = 𝑎

. Ainsi

𝑥 \in 𝐴

□

Dans le résultat précédent, il faut une hypothèse sur $𝑋$ . Par exemple si $𝑋$ est grossier et contient au moins deux points, tout singleton est quasi-compact mais pas fermé.

Les trois lemmes précédents ont le corollaire suivant qui est souvent très commode (on rappelle que la remarque 4.2.2 assure qu’une bijection continue entre espaces topologiques n’est pas nécessairement un homéomorphisme).

Lemme 4.8.8

Soit

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

une bijection continue entre espaces topologiques. Si

𝑋

est quasi-compact et

𝑌

est séparé alors

𝑓

est un homéomorphisme (et donc a posteriori

𝑋

𝑌

sont tous deux compacts).

Démonstration : Il s’agit de montrer que

𝑓^{- 1}

est continue. Soit

𝐹

un fermé de

𝑋

. On a

{(𝑓^{- 1})}^{*} 𝐹 = 𝑓_{*} 𝐹

. Or

𝐹

est quasi-compact dans

𝑋

par le lemme 4.8.6 donc

𝑓_{*} 𝐹

est quasi-compact dans

𝑌

par le lemme 4.8.5. Comme

𝑌

est séparé, le lemme 4.8.7 assure que

𝑓_{*} 𝐹

est fermé.

□

Comme dernier exemple d’utilisation de la propriété de Bolzano-Weirstraß, montrons le lemme suivant.

Lemme 4.8.9

Une réunion finie de parties quasi-compactes est quasi-compacte (en particulier

\emptyset

est quasi-compact).

Démonstration : Par récurrence immédiate il suffit de traiter le cas de

\emptyset

et des réunions binaires. Soit

𝑋

un espace topologique. Montrons que

\emptyset

est quasi-compact dans

𝑋

. Comme il n’y a pas de filtre non trivial inférieur à

𝑃 (\emptyset)

, il n’y a rien à démontrer. Soit

𝐾_{1}

𝐾_{2}

quasi-compacts. Montrons que

𝐾_{1} \cup 𝐾_{2}

est quasi-compact. Soit

𝐹

un filtre tel que

⊥ < 𝐹 \leq 𝑃 (𝐾_{1} \cup 𝐾_{2})

. Le lemme 2.3.9 assure que

𝐹 = (𝐹 \land 𝑃 (𝐾_{1})) \lor (𝐹 \land 𝑃 (𝐾_{2}))

donc l’un de ces filtres est non trivial. Vu la symétrie de la situation, on peut supposer que c’est

𝐹 \land 𝑃 (𝐾_{1})

. Comme

𝐾_{1}

est quasi-compact, on obtient une valeur d’adhérence de

𝐹

qui est dans

𝐾_{1}

et donc dans

𝐾_{1} \cup 𝐾_{2}

□

Dans la démonstration de la proposition 4.8.1, la condition 4) n’a permis d’atteindre les autres conditions que via le théorème 2.5.6 et donc l’axiome du choix. Cette condition joue donc un rôle particulièrement puissant. L’exemple le plus célèbre dans lequel on ne peut pas se passer de cette puissance est la démonstration suivante.

Théorème 4.8.10

Un produit d’espaces (quasi-)compacts est (quasi-)compact.

Démonstration : Nous avons déjà vu dans le proposition 4.6.4 qu’un produit d’espaces séparés est séparé. Il suffit donc de montrer qu’un produit d’espaces

𝑋_{𝑖}

quasi-compacts est quasi-compact. On utilise la caractérisation par les ultrafiltres dans le corollaire 4.8.4. Soit

𝐹

un ultrafiltre sur

\prod_{𝑖} 𝑋_{𝑖}

. On note

𝑝

la famille des projections. Pour chaque

𝑖

, l’exercice 2.31 assure que

{(𝑝_{𝑖})}_{*} 𝐹

est un ultrafiltre sur

𝑋_{𝑖}

et donc l’hypothèse de quasi-compacité fournit

𝑥_{𝑖}

tel que

{(𝑝_{𝑖})}_{*} 𝐹 \leq 𝒩_{𝑥_{𝑖}}

. L’axiome du choix permet de choisir d’un coup de tels

𝑥_{𝑖}

pour obtenir

𝑥 \in \prod_{𝑖} 𝑋_{𝑖}

. Montrons que ce

𝑥

convient. Comme, par adjonction,

\forall 𝑖, 𝐹 \leq {(𝑝_{𝑖})}^{*} 𝒩_{𝑥_{𝑖}}

, on obtient

𝐹 \leq {inf}_{𝑖} {(𝑝_{𝑖})}^{*} 𝒩_{𝑥_{𝑖}} = 𝒩_{𝑥}

, où la dernière égalité provient de la proposition 4.6.2.

□

Le principe de récurrence semble de nature assez différente des autres conditions, mais nous avons vu qu’il est facile de le relier aux conditions de Borel-Lebesgue et Bolzano-Weirstraß (les autres implications avec ces deux conditions sont d’ailleurs faciles à montrer directement). On peut aussi noter que la première condition $𝑝 (\emptyset)$ est presque toujours redondante, la seule exception étant le cas où $𝑋$ est vide. Mais, en pratique, elle ne coûte jamais rien à vérifier.

Voyons tout de suite un exemple de situation dans laquelle ce principe de récurrence est le plus commode à utiliser lorsqu’on sait qu’un espace est quasi-compact (cette condition est toujours utilisée lorsqu’on sait qu’un espace est quasi-compact, pas pour montrer qu’un espace est quasi-compact).

Proposition 4.8.11

Soit

𝑋

un espace métrique compact et

𝑈 : 𝐼 \to 𝒫 (𝑋)

une famille d’ouverts recouvrant

𝑋

. Il existe

𝜀 > 0

tel que toute boule de rayon au plus

𝜀

est contenu dans un des

𝑈_{𝑖}

Démonstration : On note $𝑝$ le prédicat sur $𝒫 (𝑋)$ qui à tout $𝐴 \subseteq 𝑋$ associe l’énoncé « il existe $𝜀 > 0$ tel que toute boule centrée en un point de $𝐴$ et de rayon au plus $𝜀$ est dans un des $𝑈_{𝑖}$  ». Nous voulons montrer que $𝑝 (𝑋)$ par récurrence sur les parties de $𝑋$ qui est compact. Vérifions les quatre conditions.

$𝑝 (\emptyset)$ est clair : n’importe que $𝜀 > 0$ convient.
Soit $𝑈 \subseteq 𝑉$ tels que $𝑝 (𝑉)$ . L’hypothèse sur $𝑉$ fournit un $𝜀$ qui convient également pour $𝑈$ .
Soit $𝑈$ et $𝑉$ tels que $𝑝 (𝑈)$ et $𝑝 (𝑉)$ . L’hypothèse sur $𝑈$ fournit $𝜀$ , l’hypothèse sur $𝑉$ fournit $𝜀^{'}$ et $min (𝜀, 𝜀^{'})$ convient pour $𝑈 \cup 𝑉$ .
Soit $𝑥 \in 𝑋$ . Comme $𝑈$ recouvre $𝑋$ , on obtient $𝑖$ tel que $𝑥 \in 𝑈_{𝑖}$ . Comme $𝑈_{𝑖}$ est ouvert, on obtient $𝛿 > 0$ tel que $𝐵_{𝛿} (𝑥) \subseteq 𝑈_{𝑖}$ . Montrons que $𝑈 = 𝐵_{\frac{𝛿}{2}} (𝑥)$ convient. On a bien $𝑈 \in 𝒩_{𝑥}$ . Pour montrer $𝑝 (𝑈)$ , montrons que $𝜀 = \frac{𝛿}{2}$ convient. Soit $𝑦 \in 𝑈$ et $𝑟 \leq 𝜀$ . L’inégalité triangulaire assure que $𝐵_{𝑟} (𝑦)$ est contenue dans $𝐵_{𝛿} (𝑥)$ donc dans $𝑈_{𝑖}$ . $□$

Exercice 4.51

Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Heine-Cantor en utilisant le principe de récurrence pour les parties d’un espace compact. Soit $𝑋$ et $𝑌$ deux espaces métriques. On suppose que $𝑋$ est compact. Soit $𝑓$ une fonction continue de $𝑋$ dans $𝑌$ . On veut montrer que $𝑓$ est uniformément continue. On fixe $𝜀 > 0$ et considère le prédicat $𝑝$ sur les parties de $𝑋 \times 𝑋$ qui associe à $𝑈$ l’énoncé

Montrer que ce prédicat vérifie les conditions du principe de récurrence et conclure.
La conclusion souhaitée est $𝑝 (𝑋 \times 𝑋)$ . Comme $𝑋 \times 𝑋$ est compact, il suffit de vérifier que $𝑝$ satisfait les quatre hypothèses du principe de récurrence.
On a $𝑝 (\emptyset)$ , car $𝛿 = 42$ convient. Soit $𝑈$ et $𝑉$ des parties de $𝑋 \times 𝑋$ . Supposons $𝑝 (𝑉)$ et $𝑈 \subseteq 𝑉$ . L’hypothèse fournit un $𝛿$ qui convient pour $(𝑥, 𝑥^{'})$ dans $𝑉$ donc convient aussi pour $(𝑥, 𝑥^{'})$ dans $𝑈$ . Le fait que ces deux premières vérifications soient triviales est typique dans l’application de cette méthode. On attend ensuite une petite augmentation du contenu pour la troisième vérification et le cœur de l’affaire pour la quatrième.
Supposons $𝑝 (𝑈)$ et $𝑝 (𝑉)$ et montrons $𝑝 (𝑈 \cup 𝑉)$ . Ces hypothèses fournissent $𝛿$ et $𝛿^{'}$ respectivement, et $min (𝛿, 𝛿^{'})$ convient pour $𝑈 \cup 𝑉$ .
Montrons maintenant la dernière condition. Soit $(𝑥, 𝑥^{'}) \in 𝑋 \times 𝑋$ . La continuité de $𝑓$ en $𝑥$ fournit $𝜂 > 0$ tel que $\forall 𝑧 \in 𝑋, 𝑑 (𝑥, 𝑧) < 𝜂 \Rightarrow 𝑑 (𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑧)) < 𝜀 / 2$ . On pose $𝑈 = 𝐵 (𝑥, 𝜂 / 2) \times 𝐵 (𝑥^{'}, 1)$ . Il s’agit d’un voisinage de $(𝑥, 𝑥^{'})$ . Montrons que $𝑝 (𝑈)$ . Montrons que $𝛿 = 𝜂 / 2$ convient. Soit $(𝑢, 𝑣) \in 𝑈$ tels que $𝑑 (𝑢, 𝑣) < 𝜂 / 2$ . Comme $𝑢 \in 𝐵 (𝑥, 𝜂 / 2) \subseteq 𝐵 (𝑥, 𝜂)$ , $𝑑 (𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑢)) < 𝜀 / 2$ . De plus $𝑑 (𝑥, 𝑣) \leq 𝑑 (𝑥, 𝑢) + 𝑑 (𝑢, 𝑣) \leq 𝜂$ , donc on a également $𝑑 (𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑣)) < 𝜀 / 2$ . Et donc $𝑑 (𝑓 (𝑢), 𝑓 (𝑣)) < 𝜀$ .
Comparer avec la démonstration correspondante via le principe de sous-recouvrement fini.
Par rapport à une démonstration utilisant la propriété de Borel-Lebesgue, le paragraphe précédent est commun aux deux approches. Ensuite la démonstration basée sur Borel-Lebesgue recouvrirait $𝑋 \times 𝑋$ par des $𝑈_{(𝑥, 𝑥^{'})}$ munis d’un $𝛿_{(𝑥, 𝑥^{'})}$ , extrairait un sous-recouvrement fini, utiliserait le minimum de l’ensemble des $𝛿$ correspondant, et conclurait avec plus ou moins de détails selon l’humeur (plutôt moins en général). On voit que la démonstration de l’implication de Borel-Lebesgue vers le principe de récurrence abstrait la partie rébarbative de l’argument. Le cœur de la démonstration, la partie qui dépend vraiment de l’objectif spécifique, reste bien sûr présent dans les deux preuves.

Les parties quasi-compactes d’un espace topologique permettent de définir un filtres des points lointains, sans utiliser de relation d’ordre.

Lemme 4.8.12

Soit $𝑋$ un espace topologique. L’ensemble des complémentaires des parties quasi-compact de $𝑋$ est filtrant. Ainsi l’ensemble des $𝑈 \subseteq 𝑋$ qui contient le complémentaire d’une partie quasi-compacte est un filtre sur $𝑋$ (lemme 2.2.6). On l’appelle le filtre cocompact de $𝑋$ et on le note $𝐹_{\infty}^{𝑋}$ (cette notation n’est pas universelle). On y pense comme la partie généralisée des points de $𝑋$ qui sont lointains.

Ce filtre est trivial si et seulement si $𝑋$ est quasi-compact.

Démonstration : Cet ensemble n’est pas vide car il contient $𝑋$ puisque $\emptyset$ est quasi-compact. Soit $𝐾_{1}$ et $𝐾_{1}$ quasi-compacts. On a $𝐾_{0}^{𝑐} \cap 𝐾_{1}^{𝑐} = {(𝐾_{0} \cup 𝐾_{1})}^{𝑐}$ et $𝐾_{0} \cup 𝐾_{1}$ est quasi-compact par le lemme 4.8.9 donc on a bien un ensemble filtrant.

Par l’exercice 2.21, $𝐹_{\infty}^{𝑋}$ est trivial si et seulement si $\emptyset \in 𝐹_{\infty}^{𝑋}$ , c’est-à-dire s’il existe $𝐾$ quasi-compact tel que $𝐾^{𝑐} \subseteq \emptyset$ . Or la seule partie dont le complémentaire est inclus dans $\emptyset$ est $𝑋$ . $□$

Exemple 4.8.13

Sur

ℕ

muni de la topologie discrète, le filtre cocompact est

𝒩_{\infty}

du chapitre 2. Sur

ℝ

muni de la topologie usuelle on obtient

𝒩_{- \infty} \lor 𝒩_{+ \infty}

Le lemme suivant généralise le fait que si une suite $𝑢 : ℕ \to 𝑌$ converge vers un point $𝑦_{0}$ alors $𝑢_{*} ℕ \cup {𝑦_{0}}$ est quasi-compact.

Lemme 4.8.14

Soit

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

une fonction continue entre espaces topologiques et

𝑦_{0} \in 𝑌

. Si

𝑓_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} \leq 𝒩_{𝑦_{0}}

alors

𝑓_{*} 𝑋 \cup {𝑦_{0}}

est quasi-compact.

Démonstration : Soit

𝐹

un filtre non trivial sur

𝑌

tel que

𝐹 \leq 𝑃 (𝑓_{*} 𝑋 \cup {𝑦_{0}})

. Montrons que

𝐹

admet une valeur d’adhérence dans

𝑓_{*} 𝑋 \cup {𝑦_{0}}

. D’après le lemme 2.3.9, on a

𝐹 = (𝐹 \land 𝑃 (𝑓_{*} 𝑋)) \lor (𝐹 \land 𝒩_{𝑦_{0}})

donc un de ces deux filtres est non trivial. Si

𝐹 \land 𝒩_{𝑦_{0}}

l’est, c’est terminé, car

𝑦_{0}

convient. Supposons donc que

𝐹 \land 𝒩_{𝑦_{0}} = ⊥

𝐹 \land 𝑃 (𝑓_{*} 𝑋) \neq ⊥

. Il suffit de montrer qu’il existe

𝐾

quasi-compact dans

𝑋

tel que

𝐹 \land 𝑃 (𝑓_{*} 𝐾) \neq ⊥

. En effet,

𝑓

est continue donc

𝑓_{*} 𝐾

est quasi-compact par le lemme 4.8.5 (et

𝑓_{*} 𝐾 \subseteq 𝑓_{*} 𝑋

). Comme

𝑓_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} \leq 𝒩_{𝑦_{0}}

par hypothèse,

𝐹 \land 𝑓_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} \leq 𝐹 \land 𝒩_{𝑦_{0}} = ⊥

donc

𝐹 \land 𝑓_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} = ⊥

. Or les

𝑓_{*} (𝐾^{𝑐})

forment une base de

𝑓_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋}

par définition et par le corollaire 2.4.12, donc le lemme 2.3.7 fournit

𝐾

quasi-compact tel que

𝐹 \leq 𝑃 ({(𝑓_{*} (𝐾^{𝑐}))}^{𝑐})

. Comme on a également

𝐹 \leq 𝑃 (𝑓_{*} 𝑋)

, on obtient

𝐹 \leq 𝑃 (𝑓_{*} 𝑋 \cap {(𝑓_{*} (𝐾^{𝑐}))}^{𝑐})

. Or

𝑓_{*} 𝑋 \cap {(𝑓_{*} (𝐾^{𝑐}))}^{𝑐} \subseteq 𝑓_{*} 𝐾

(cette affirmation n’a rien à voir avec la topologie de

𝑋

𝑌

) donc

𝐾

convient.

□

Dans le cas des fonctions continues entre espaces séparés, le fait d’envoyer les points lointains sur des points lointains est équivalentes à demander que l’image réciproque d’un compact est compact.

Lemme 4.8.15

Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction continue entre espaces topologiques séparés. On a

Démonstration : Par construction des filtres de points lointains, $𝑓_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} \leq 𝐹_{\infty}^{𝑌} \Leftrightarrow \forall 𝐾 \subseteq 𝑌, 𝐾 compact \Rightarrow \exists 𝐿 \subseteq 𝑋, 𝐿 est compact et 𝑓_{*} 𝐿^{𝑐} \subseteq 𝐾^{𝑐}$ . L’adjonction $𝑓_{*} ⊣ 𝑓^{*}$ et le fait que l’image réciproque commute aux complémentaires permettent de réécrire $𝑓_{*} 𝐿^{𝑐} \subseteq 𝐾^{𝑐}$ en $𝐾 \subseteq 𝑓^{*} 𝐿$ .

Supposons cette condition $\forall 𝐾 \subseteq 𝑌, 𝐾 compact \Rightarrow \exists 𝐿 \subseteq 𝑋, 𝐿 est compact et 𝐾 \subseteq 𝑓^{*} 𝐿$ . Soit $𝐾$ un compact de $𝑌$ . Montrons que $𝑓^{*} 𝐾$ est compact dans $𝑋$ . Par hypothèse, on obtient $𝐿 \subseteq 𝑋$ compact tel que $𝐾 \subseteq 𝑓^{*} 𝐿$ . Comme $𝑋$ et $𝑌$ sont séparés, $𝐾$ et $𝐿$ sont fermés d’après le lemme 4.8.7. Comme $𝑓$ est continue $𝑓^{*} 𝐿$ est fermé. Donc $𝐾$ est un fermé inclus dans un compact donc un compact d’après le lemme 4.8.6.

Réciproquement supposons que les images réciproques des compacts sont compacts. Soit $𝐾 \subseteq 𝑌$ compact. Par hypothèse, $𝐿 ≔ 𝑓^{*} 𝐾$ convient. $□$

L’étude de cette condition se poursuivra dans la section 4.10.

4.9. Espaces localement compacts

Définition 4.9.1

Un espace topologique

𝑋

est localement compact s’il est séparé et, pour tout point

𝑥

𝑋

, tout voisinage de

𝑥

contient un voisinage compact de

𝑥

(c’est-à-dire que

𝑋

est à base de voisinages compacts).

L’exemple crucial à garder en tête est fourni par le critère de compacité de Riesz : un espace vectoriel normé sur $ℝ$ ou $ℂ$ est localement compact si et seulement si il est de dimension finie. Ceci dit ce n’est pas la seule obstruction à être localement compact. Par exemple $ℚ$ , muni de la topologie induite par celle de $ℝ$ , n’est pas localement compact. En effet, toute partie $𝐴$ d’intérieur non vide peut y être partitionnée en une infinité d’ouverts, en utilisant une suite strictement croissante $𝑢$ d’irrationnels dans $\overline{𝐴}$ et en utilisant les ouverts $] 𝑢_{𝑛}, 𝑢_{𝑛 + 1} [\cap 𝐴$ . Cela contredit la propriété de Borel-Lebesgue.

Dans la définition ci-dessus, le fait d’insister sur la séparation de $𝑋$ est traditionnel, mais pas complètement universel (il est donc prudent d’utiliser le pléonasme « localement compact séparé » pour éviter toute ambigüité). Cette condition est cruciale dans le lemme 4.9.2.

Lemme 4.9.2

Soit

𝑋

un espace topologique séparé. Pour que

𝑋

soit localement compact, il suffit que tout point admette un voisinage compact.

Démonstration : Soit $𝑥$ un point de $𝑋$ et $𝑈$ un voisinage de $𝑥$ . On veut montrer que $𝑈$ contient un voisinage compact de $𝑥$ . Sans perte de généralité, on peut supposer que $𝑈$ est ouvert. Par hypothèse, on obtient $𝐾_{0} \in 𝒩_{𝑥}$ compact (mais pas contenu dans $𝑈$ a priori). On pose $𝐾_{1} = 𝐾_{0} \cap 𝑈^{𝑐}$ . Comme $𝑈^{𝑐}$ est fermé et $𝐾_{0}$ compact, $𝐾_{1}$ est compact par le lemme 4.8.6.

Il suffit de trouver $𝑉 \in 𝒩_{𝑥}$ tel que $\overline{𝑉} \cap 𝐾_{1} = \emptyset$ puisqu’on aura alors $\overline{𝑉} \cap 𝐾_{0}$ qui sera un voisinage compact de $𝑥$ disjoint de $𝑈^{𝑐}$ donc inclus dans $𝑈$ . D’après le lemme 4.4.10, il s’agit donc de montrer que $𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝐾_{1}} = ⊥$ . La quasi-compacité de $𝐾_{1}$ assure la condition de distributivité $𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝐾_{1}} = {sup}_{𝑦 \in 𝐾_{1}} (𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦})$ . Or, puisque $𝑥 \notin 𝐾_{1}$ et $𝑋$ est séparé, on a $𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦} = ⊥$ pour tout $𝑦$ dans $𝐾_{1}$ . Donc le sup est trivial aussi. $□$

Un des avantages des espaces localement compact est qu’ils sont faciles à compactifier, en ajoutant simplement un point. Dans cette construction on utilisera que notre définition d’espace localement compact suppose la séparation. Sans cette condition, il faudrait se restreindre aux compacts fermés dans la définition du filtre des points lointains (et la construction serait moins intéressante de toute façon).

Lemme 4.9.3

Soit $𝑋$ un espace topologique séparé. Le compactifié d’Alexandrov de $𝑋$ est l’ensemble $\overline{𝑋} ≔ 𝑋 \cup {\infty}$ où $\infty$ désigne un point qui n’est pas dans $𝑋$ . On note $𝑗$ l’inclusion de $𝑋$ dans $\overline{𝑋}$ . La fonction $𝒩 : \overline{𝑋} \to ℱ (\overline{𝑋})$ définie par

est la fonction voisinage d’une topologie sur

\overline{𝑋}

. La première équation se lit « les points proches de

𝑥

dans

\overline{𝑋}

sont les points proches de

𝑥

dans

𝑋

 ». La deuxième équation se lit « les points proches de

\infty

dans

\overline{𝑋}

sont

\infty

et les points de

𝑋

qui sont lointains ».

Démonstration : Il s’agit de vérifier les conditions de la proposition 4.4.4. Montrons d’abord que $𝑃 ({\cdot}) \leq 𝒩$ . Soit $𝑥 \in 𝑋$ . La proposition 4.4.4 appliquée à la topologie de $𝑋$ assure que $𝑃 ({𝑥}) \leq 𝒩_{𝑥}$ . On applique la fonction croissante $𝑗_{*}$ à cette inégalité et on utilise que $𝑗_{*}$ « commute à $𝑃$  » pour obtenir $𝑃 ({𝑗 (𝑥)}) \leq 𝒩_{𝑗 (𝑥)}$ . Le cas de $\infty$ est clair par définition du sup.

Montrons maintenant que $\forall 𝑧 \in \overline{𝑋}, \forall 𝑈 \in 𝒩_{𝑧}, \forall^{𝑓} 𝑤 \in 𝒩_{𝑧}, 𝑈 \in 𝒩_{𝑤}$ . Soit $𝑥 \in 𝑋$ et $𝑈 \in 𝒩_{𝑗 (𝑥)}$ . On a donc $𝑗^{*} 𝑈 \in 𝒩_{𝑥}$ . La remarque 2.4.18 montre que $\forall^{𝑓} 𝑤 \in 𝒩_{𝑗 (𝑥)}, 𝑈 \in 𝒩_{𝑤}$ est équivalent à la condition analogue sur $𝑗^{*} 𝑈$ . Voyons maintenant le cas de $\infty$ . Soit $𝑈 \in 𝒩_{\infty}$ . Par définition, $\infty \in 𝑈$ et $𝑗^{*} 𝑈 \in 𝐹_{\infty}^{𝑋}$ . Ainsi, on obtient $𝐾 \subseteq 𝑋$ quasi-compact tel que $𝐾^{𝑐} \subseteq 𝑗^{*} 𝑈$ . Comme $𝑋$ est séparé, $𝐾$ est fermé donc $𝐾^{𝑐}$ est ouvert donc voisinage de chacun de ses points. On en déduit que $\forall 𝑤 \in 𝑗_{*} (𝐾^{𝑐}) \cup {\infty}, 𝑈 \in 𝒩_{𝑤}$ , et $𝑗_{*} (𝐾^{𝑐}) \cup {\infty} \in 𝒩_{\infty}$ . $□$

Lemme 4.9.4

Soit $𝑋$ un espace topologique.

Si $𝑋$ n’est pas quasi-compact alors $𝑋$ est dense dans $\overline{𝑋}$ .
L’espace $\overline{𝑋}$ est quasi-compact.
Si $𝑋$ est localement compact alors $\overline{𝑋}$ est séparé (et donc compact).

Démonstration : Dans cette démonstration, on utilisera plusieurs fois que $𝑗_{*}$ commute aux infs car $𝑗$ est injective (ce qui suffit d’après le lemme 2.4.23).

Supposons que $𝑋$ n’est pas quasi-compact et montrons que $𝑗_{*} 𝑋$ est dense dans $\overline{𝑋}$ . Le seul point qui n’est pas dans $𝑗_{*} 𝑋$ est $\infty$ . Il suffit donc de vérifier que $𝒩_{\infty} \land 𝑃 (𝑗_{*} 𝑋) \neq ⊥$ . Or $𝒩_{\infty} \land 𝑃 (𝑗_{*} 𝑋) \geq 𝑗_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} \land 𝑗_{*} 𝑃 (𝑋) = 𝑗_{*} (𝐹_{\infty}^{𝑋} \land 𝑃 (𝑋)) = 𝑗_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋}$ . Le lemme 4.8.12 assure que $𝐹_{\infty}^{𝑋}$ n’est pas trivial (et donc son image par $𝑗_{*}$ non plus d’après l’exercice 2.21).

La quasi-compacité de $\overline{𝑋}$ est un cas particulier du lemme 4.8.14 puisque $𝑗$ est continue et $𝑗_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} \leq 𝒩_{\infty}$ par construction.

Supposons maintenant que $𝑋$ est localement compact. Soit $𝑥$ et $𝑦$ deux points distincts de $𝑋$ . Comme $𝑋$ est séparé, $𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦} = ⊥$ donc $𝒩_{𝑗 (𝑥)} \land 𝒩_{𝑗 (𝑦)} = 𝑗_{*} 𝒩_{𝑥} \land 𝑗_{*} 𝒩_{𝑦} = 𝑗_{*} (𝒩_{𝑥} \land 𝒩_{𝑦}) = ⊥$ . Il reste à montrer que, pour tout $𝑥 \in 𝑋$ , $𝒩_{𝑗 (𝑥)} \land 𝒩_{\infty} = ⊥$ . Soit $𝑥 \in 𝑋$ . Comme $𝑋$ est localement compact, on obtient un voisinage $𝐾$ de $𝑥$ compact. Ainsi $𝑗_{*} 𝐾$ est un voisinage de $𝑗 (𝑥)$ qui n’intersecte pas $𝐾^{𝑐} \cup {\infty}$ qui est un voisinage de $\infty$ , donc $𝒩_{𝑗 (𝑥)} \land 𝒩_{\infty} = ⊥$ par le lemme 2.3.7. $□$

Proposition 4.9.5

Soit $𝜑 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction continue entre espaces topologiques et $𝑦_{0} \in 𝑌$ . On suppose que $𝑋$ est localement compact et que $𝑌$ est séparé. Si $𝜑_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} \leq 𝒩_{𝑦_{0}}$ alors il existe une fonction continue $\overline{𝜑} : \overline{𝑋} \to 𝑌$ et telle que $\overline{𝜑} \circ 𝑗 = 𝜑$ . Si $𝑋$ n’est pas compact, cette fonction est unique : c’est l’extension de $𝜑$ qui envoie $\infty$ sur $𝑦_{0}$ .

Si $𝑌$ est compacte et $𝜑$ est injective et d’image $𝑌 ∖ {𝑦_{0}}$ alors $\overline{𝜑}$ est un homéomorphisme. En particulier les conclusions du lemme 4.9.4 caractérisent $(\overline{𝑋}, 𝑗)$ modulo unique homéomorphisme.

Démonstration : Si $𝑋$ n’est pas compact, le lemme 4.9.4 assure que $𝑗_{*} 𝑋$ est dense dans $\overline{𝑋}$ donc l’unicité de $\overline{𝜑}$ découle de sa continuité, de $\overline{𝜑} \circ 𝑗 = 𝜑$ et du fait que $𝑌$ est séparé via le lemme 4.6.6. Il suffit donc de montrer (dans tous les cas) que l’extension envoyant $\infty$ sur $𝑦_{0}$ est continue. Montrons d’abord la continuité en tout point de $𝑗_{*} 𝑋$ . Soit $𝑥 \in 𝑋$ . On a ${\overline{𝜑}}_{*} 𝒩_{𝑗 (𝑥)} = {\overline{𝜑}}_{*} 𝑗_{*} 𝒩_{𝑥} = {(\overline{𝜑} \circ 𝑗)}_{*} 𝒩_{𝑥} = 𝜑_{*} 𝒩_{𝑥} \leq 𝒩_{𝜑 (𝑥)} = 𝒩_{\overline{𝜑} (𝑗 (𝑥))}$ . Montrons maintenant la continuité en $\infty$ .

où la dernière ligne utilise que $𝜑_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋}$ et $𝑃 ({𝑦_{0}})$ sont tous deux inférieurs à $𝒩_{𝑦_{0}}$ .

Supposons maintenant que $𝑌$ est compacte et $𝜑$ est injective et d’image $𝑌 ∖ {𝑦_{0}}$ Dans ce cas $\overline{𝜑}$ est bijective de $\overline{𝑋}$ vers $𝑌$ et c’est donc un homéomorphisme d’après le lemme 4.8.8. $□$

Corollaire 4.9.7

Soit

𝜑 : 𝑋 \to 𝑌

une application continue entre espaces topologiques. Si

𝑋

est localement compact,

𝑌

séparé et

𝜑_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} \leq 𝐹_{\infty}^{𝑌}

alors l’application

\overline{𝜑}

qui étend

𝜑

par

\overline{𝜑} (\infty) = \infty

est continue. Si

𝜑

est un homéomorphisme alors

\overline{𝜑}

est un homéomorphisme.

Démonstration : Notons $𝑗$ l’inclusion de $𝑌$ dans $\overline{𝑌}$ . L’extension proposée est l’extension de $𝑗 \circ 𝜑$ au sens de la proposition 4.9.5. Il suffit donc de montrer que ${(𝑗 \circ 𝜑)}_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} \leq 𝒩_{\infty}$ . Or ${(𝑗 \circ 𝜑)}_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋} = 𝑗_{*} (𝜑_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑋}) \leq 𝑗_{*} 𝐹_{\infty}^{𝑌} \leq 𝒩_{\infty}$ par hypothèse sur $𝜑$ et définition de $𝒩_{\infty}$ .

Supposons maintenant que $𝜑$ est un homéomorphisme. En particulier $𝑌$ est également localement compact donc $\overline{𝑌}$ est compact d’après le lemme 4.9.4 et on conclut par la seconde partie de la proposition 4.9.5. $□$

4.10. Applications propres

Dans cette section, on étudie les fonctions continues propres, c’est-à-dire qui « tendent vers l’infini en l’infini ». Cette condition est importante par exemple dans l’étude des actions de groupes continues ou bien dans l’étude des familles d’espaces topologiques paramétrées par un espace topologique. La version naïve de cette condition à l’infini est de demander que l’image réciproque de tout compact soit compacte, comme dans le lemme 4.8.15. Mais cette condition est trop faible si l’espace d’arrivée n’a pas suffisamment de parties compactes. La définition 4.10.6 donnera la bonne condition dans le cas général et le lemme 4.4.2 donnera plusieurs façons de caractériser les applications propres, selon qu’on suppose ou pas que l’espace d’arrivée a suffisamment de compacts.

Mais d’abord, nous allons éclaircir la condition « avoir suffisamment de parties compactes ». La définition est un peu technique, mais elle assure des propriétés très agréables. Les deux exemples à garder en tête sont les espaces métriques et les espaces localement compacts (voir le lemme 4.10.4 et le lemme 4.10.5).

Définition 4.10.1

Soit $𝑋$ un espace topologique. On dit que $𝑋$ est compactement engendré si sa topologie est la topologie finale associée à l’inclusion de ses parties quasi-compactes :

où $𝜄_{𝐾}$ est l’inclusion de $𝐾$ dans $𝑋$ .

Vu la co-unité de l’adjonction entre image directe et image réciproque et la définition du sup, cette condition équivaut à $𝑇_{𝑋} \leq {sup}_{𝐾 \subseteq 𝑋 qc} {(𝜄_{𝐾})}_{*} 𝜄_{𝐾}^{*} 𝑇_{𝑋}$ , c’est-à-dire

ou encore à la condition analogue avec des fermés à la place des ouverts.

Dans la définition, on peut remarquer que $𝜄_{𝐾}^{*} 𝑈$ est $𝐾 \cap 𝑈$ vu comme partie de $𝐾$ donc $𝜄_{𝐾}^{*} 𝑈 ouvert$ peut être dit de façon moins concise comme «  $𝐾 \cap 𝑈$ est ouvert dans $𝐾$ muni de la topologie induite ».

L’idée de cette définition est de demander que les parties quasi-compactes de $𝑋$ suffisent à explorer la topologie de $𝑋$ . Nous allons voir deux exemples : dans le premier les compacts qui interviennent sont les images de suites convergentes et leurs limites, dans le second ce sont les voisinages compacts.

Définition 4.10.2

Soit

𝑋

un espace topologique. Une partie

𝐴

𝑋

est dite séquentiellement fermée si toute limite d’une suite d’éléments de

𝐴

est dans

𝐴

. On notera que toute partie fermée est séquentiellement fermée. On dit que

𝑋

est un espace topologique séquentiel si la réciproque est vraie : toute partie séquentiellement fermée est fermée.

Exemple 4.10.3

Tout espace métrique est séquentiel.

Exercice 4.52

Soit $𝑋$ un espace topologique. Une partie $𝐴$ de $𝑋$ est dite séquentiellement ouverte si toute suite $𝑢 : ℕ \to 𝑋$ qui converge vers un point $𝑎$ de $𝐴$ est à valeurs dans $𝐴$ à partir d’un certain rang : $\forall^{𝑓} 𝑛 \in 𝒩_{\infty}, 𝑢_{𝑛} \in 𝐴$ . Montrer qu’une partie de $𝑋$ est séquentiellement ouverte si et seulement si son complémentaire est séquentiellement fermé. Montrer que les ouverts sont séquentiellement ouverts et que $𝑋$ est séquentiel si et seulement si la réciproque est vraie.

Supposons que $𝐴$ est séquentiellement ouverte et montrons que $𝐴^{𝑐}$ est séquentiellement fermé. Soit $𝑢$ une suite d’éléments de $𝐴^{𝑐}$ qui converge vers $𝑥 \in 𝑋$ . Montrons que $𝑥 \in 𝐴^{𝑐}$ . Supposons que $𝑥 \in 𝐴$ . Comme $𝐴$ est séquentiellement ouvert, on obtient $𝑛$ tel que $𝑢_{𝑛} \in 𝐴$ , ce qui contredit $𝑢_{𝑛} \in 𝐴^{𝑐}$ .

Réciproquement, supposons que $𝐴$ est séquentiellement fermé. Montrons que $𝐴^{𝑐}$ est séquentiellement ouvert. Soit $𝑢$ une suite d’éléments de $𝑋$ qui converge vers $𝑥 \in 𝐴^{𝑐}$ . Supposons par l’absurde que $\forall 𝑁, \exists 𝑛, 𝑢_{𝑛} \notin 𝐴^{𝑐}$ . On peut alors construire par récurrence $𝜑 : ℕ \to ℕ$ strictement croissante telle que $\forall 𝑛, 𝑢_{𝜑 (𝑛)} \in 𝐴$ . Comme $𝑢$ tend vers $𝑥$ , $𝑢 \circ 𝜑$ tend vers $𝑥$ . Comme $𝐴$ est séquentiellement fermé, $𝑥 \in 𝐴$ , ce qui est absurde.

Montrons maintenant que les ouverts sont séquentiellement ouverts. Soit $𝑈$ un ouvert. Par définition $𝑈^{𝑐}$ est fermé et nous avons vu que cela implique que $𝑈^{𝑐}$ est séquentiellement fermé. D’après le paragraphe précédent, cela implique que $𝑈$ est séquentiellement ouvert.

Tous ces résultats se combinent clairement pour montrer qu’un espace est séquentiel si et seulement si ses ouverts séquentiels sont ouverts.

Lemme 4.10.4

Tout espace séquentiel est compactement engendré. En particulier tout espace métrique est compactement engendré.

Démonstration : Soit

𝑋

un espace séquentiellement fermé. Soit

𝐴

une partie de

𝑋

telle que, pour tout quasi-compact

𝐾

𝑋

𝜄_{𝐾}^{*} 𝐴

est fermé. Montrons que

𝐴

est fermé. Par hypothèse sur

𝑋

, il suffit de montrer que

𝐴

est séquentiellement fermé. Soit

𝑢

une suite d’éléments de

𝐴

qui converge vers

𝑥 \in 𝑋

. Montrons que

𝑥 \in 𝐴

. D’après le lemme 4.8.14,

𝐾 ≔ 𝑢_{*} ℕ \cup {𝑥}

est quasi-compact. Ainsi

𝜄_{𝐾}^{*} 𝐴

est fermé dans

𝐾

. Or il contient

𝑢_{*} ℕ

qui est dense dans

𝐾

puisque

𝑢

tend vers

𝑥

. Donc

𝑥 \in 𝜄_{𝐾}^{*} 𝐴

, c’est-à-dire

𝑥 \in 𝐴

□

Lemme 4.10.5

Tout espace topologique localement compact est compactement engendré.

Démonstration : Soit $𝑋$ un espace topologique localement compact. En particulier $𝑋$ est séparé donc les parties quasi-compactes de $𝑋$ sont ses parties compactes et elles sont fermées. Montrons que $𝑋$ est compactement engendré. Soit $𝐴$ une partie de $𝑋$ telle que, pour tout $𝐾$ compact dans $𝑋$ , $𝜄_{𝐾}^{*} 𝐴$ est fermé. Montrons que $𝐴$ est fermé. Soit $𝑥 \in \overline{𝐴}$ . Montrons que $𝑥 \in 𝐴$ . Comme $𝑋$ est localement compact, on obtient un voisinage compact $𝐾$ de $𝑥$ . Comme $𝑋$ est séparé, le lemme 4.8.7 assure que $𝐾$ est fermé et donc l’exercice 4.44 assure que $𝜄_{𝐾}$ est fermée. On a donc $𝑥 \in \overset{̊}{𝐾} \cap \overline{𝐴}$ . Or

donc on a bien

𝑥 \in 𝐴

□

Après ces préliminaires sur les espaces compactement engendrés, on peut revenir à l’objectif principal de cette section qui est l’étude des applications propres.

Définition 4.10.6

On dit qu’une application continue $𝑓$ entre deux espaces topologiques $𝑋$ et $𝑌$ est propre si, pour tout filtre $𝐹$ sur $𝑋$ , $va (𝑓_{*} 𝐹) = 𝑓_{*} va (𝐹)$ .

D’après le lemme 4.7.2, l’inclusion $𝑓_{*} va (𝐹) \subseteq va (𝑓_{*} 𝐹)$ est vraie pour toute fonction continue donc la condition ajoutée est que toute valeur d’adhérence de $𝑓_{*} 𝐹$ est l’image par $𝑓$ d’une valeur d’adhérence de $𝐹$ .

Lemme 4.10.7

Soit

𝑓 : 𝑋 \to 𝑌

une application propre entre espaces topologiques. Pour tout

𝐾 \subseteq 𝑌

quasi-compact,

𝑓^{*} 𝐾

est quasi-compact.

Démonstration : Soit

𝐾 \subseteq 𝑌

quasi-compact. Montrons que

𝑓^{*} 𝐾

est quasi-compact. Soit

𝐹

un filtre non trivial sur

𝑋

tel que

𝐹 \leq 𝑃 (𝑓^{*} 𝐾)

. Montrons que

𝐹

admet une valeur d’adhérence dans

𝑓^{*} 𝐾

. Comme

𝑓^{*}

étend

𝑓^{*}

et et

𝑓_{*} ⊣ 𝑓^{*}

, on a

𝑓_{*} 𝐹 \leq 𝑃 (𝐾)

𝑓_{*} 𝐹

est non trivial par l’exercice 2.21. La quasi-compacité de

𝐾

fournit donc

𝑦 \in 𝐾

qui est valeur d’adhérence de

𝑓_{*} 𝐹

. Puisque

𝑓

est propre, on obtient

𝑥 \in 𝑋

tel que

𝑓 (𝑥) = 𝑦

𝑥

est valeur d’adhérence de

𝐹

. Comme

𝑓 (𝑥) = 𝑦

𝑥 \in 𝑓^{*} 𝐾

□

Proposition 4.10.8

Soit $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ une fonction continue entre espaces topologiques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

$𝑓$ est propre
pour tout ultrafiltre $𝐹$ sur $𝑋$ , toute limite de $𝑓_{*} 𝐾$ est image par $𝑓$ d’une limite de $𝐹$ .
$𝑓$ est fermée et $\forall 𝑦 \in 𝑌, 𝑓^{*} {𝑦} est quasi-compact$ .

Si ces conditions sont satisfaites alors

Si de plus $𝑌$ est séparé et compactement engendré alors 4. est également équivalent à 1., 2. et 3.

Démonstration : Comme expliqué dans la définition, la condition $𝑓$ propre équivaut à $\forall 𝐹, va (𝑓_{*} 𝐹) \subseteq 𝑓_{*} va (𝐹)$ . Montrons l’équivalence avec la condition sur les ultrafiltres. Supposons $𝐹$ propre. La condition sur les ultrafiltres en découle immédiatement puisque, d’après le lemme 4.7.4 les valeurs d’adhérence d’un ultrafiltre sont ses limites. Réciproquement supposons la condition sur les ultrafiltres. Montrons que $𝑓$ est propre. Soit $𝐹$ un filtre sur $𝑋$ et $𝑦$ une valeur d’adhérence de $𝑓_{*} 𝐹$ . On a $⊥ \neq 𝑓_{*} 𝐹 \land 𝒩_{𝑦} = 𝑓_{*} (𝐹 \land 𝑓^{*} 𝒩_{𝑦})$ par le lemme 2.4.22 donc $⊥ \neq 𝐹 \land 𝑓^{*} 𝒩_{𝑦}$ par l’exercice 2.21. Le théorème 2.5.6 fournit un ultrafiltre $𝐺$ tel que $𝐺 \leq 𝐹 \land 𝑓^{*} 𝒩_{𝑦}$ . On a donc $𝑓_{*} 𝐺 \leq 𝑓_{*} (𝐹 \land 𝑓^{*} 𝒩_{𝑦}) = 𝑓_{*} 𝐹 \land 𝒩_{𝑦} \leq 𝒩_{𝑦}$ . Notre hypothèse fournit donc $𝑥$ tel que $𝐺 \leq 𝒩_{𝑥}$ et $𝑓 (𝑥) = 𝑦$ . Ce $𝑥$ convient, car $𝐺 \leq 𝐹 \land 𝑓^{*} 𝒩_{𝑦} \leq 𝐹$ donc $𝐺 \leq 𝐹 \land 𝒩_{𝑥}$ , et $𝐺$ n’est pas trivial, car c’est un ultrafiltre.

Montrons maintenant l’équivalence de 1 et 3. Supposons que $𝑓$ est propre. Le lemme 4.10.7 et la compacité des singletons assurent que $𝑓$ est à fibres quasi-compactes (ie $\forall 𝑦, 𝑓^{*} {𝑦} est qc$ ). Il reste donc à voir que $𝑓$ est fermée. Soit $𝐴$ un fermé de $𝑋$ . On calcule

donc $𝑓_{*} \overline{𝐴}$ est fermée.

Réciproquement, supposons la condition 3 et montrons que $𝑓$ est propre. Soit $𝐹 \in ℱ (𝑋)$ et $𝑦 \in va (𝑓_{*} 𝐹)$ . Montrons qu’il existe $𝑥 \in va (𝐹)$ tel que $𝑓 (𝑥) = 𝑦$ . Notons $𝜄$ l’inclusion de $𝑓^{*} ({𝑦})$ dans $𝑋$ . Il suffit de montrer que $𝜄^{*} \overline{𝐹}$ est non triviale puisque alors la quasi-compacité de $𝑓^{*} ({𝑦})$ fournit une valeur d’adhérence de $\overline{𝐹}$ dans $𝑓^{*} ({𝑦})$ et $va (\overline{𝐹}) = va (𝐹)$ (en effet $\overline{\overline{𝐹}} = \overline{𝐹}$ puisque c’est vrai sur les parties). Pour montrer $𝜄^{*} \overline{𝐹} \neq ⊥$ , il suffit de montrer que $𝑓_{*} 𝜄_{*} 𝜄^{*} \overline{𝐹} \neq ⊥$ . Or

Nous avons déjà vu dans le lemme 4.10.7 que la propreté de $𝑓$ implique la condition 4. Il reste à voir que la réciproque est vraie en supposant que $𝑌$ soit séparé et compactement engendré. On suppose donc la propriété 4 et on montre la propriété 3. Les singletons étant quasi-compacts, il suffit de montrer que $𝑓$ est fermé. Soit $𝐴$ un fermé de $𝑋$ . Montrons que $𝑓_{*} 𝐴$ est fermé. Soit $𝐾$ un quasi-compact de $𝑌$ , montrons que $𝜄_{𝐾}^{*} 𝑓_{*} 𝐴$ est fermé. Par hypothèse, $𝑓^{*} 𝐾$ est quasi-compact. Comme $𝐴$ est fermé, $𝐴 \cap 𝑓^{*} 𝐾$ est également quasi-compact par le lemme 4.8.6. Son image par $𝑓$ continue est donc quasi-compacte par le lemme 4.8.5, donc fermée par le lemme 4.8.7 puisque $𝑌$ est séparé. Or $𝑓_{*} (𝐴 \cap 𝑓^{*} 𝐾) = 𝑓_{*} 𝐴 \cap 𝐾$ donc $𝜄_{𝐾}^{*} 𝑓_{*} 𝐴$ est bien fermée, car $𝜄_{𝐾}$ est continue et $𝜄_{𝐾}^{*} (𝑓_{*} 𝐴 \cap 𝐾) = 𝜄_{𝐾}^{*} 𝑓_{*} 𝐴$ . $□$

Remarque 4.10.9

Une lecture attentive du dernier paragraphe de la démonstration précédente montre que l’hypothèse de séparation de

𝑌

est plus forte que nécessaire. Nous avons seulement besoin de savoir que l’image continue d’un quasi-compact est toujours fermé dans

𝑌

. Les espaces vérifiant cette propriété sont appelés faiblement séparés. Il n’est pas du tout évident que cette propriété soit vraiment plus faible que la séparation, mais c’est vrai. La catégorie des espaces topologiques faiblement séparés et compactement engendrés a de nombreuses bonnes propriétés, mais cela dépasse le cadre de ce cours.

4.11. Algèbre topologisée

Cette dernière partie de chapitre est consacrée aux structures algébriques munies d’une topologie compatible. Le but principal est d’étudier les espaces vectoriels munis d’une topologie ne provenant pas d’une norme (ni même d’une distance) afin de récupérer de la compacité. Mais, au passage, nous verrons également qu’un certain nombre de propriétés bien connues des espaces vectoriels normés sont en fait bien plus générales. Comme d’habitude, la généralité n’est pas un but en soi, elle vise à mieux comprendre ce qui fait fonctionner les choses.

Définition 4.11.1

Un groupe topologique est un groupe muni d’une topologie telle que la multiplication et l’inversion sont des fonctions continues.

Un anneau topologique est un anneau muni d’une topologie telle que l’addition, la soustraction et la multiplication sont des fonctions continues.

Un corps topologique est un corps muni d’une topologie qui en fait un anneau topologique et telle que l’inversion est continue (sur le complémentaire de zéro).

Un module topologique est un groupe topologique (additif) qui est un module sur un anneau topologique et tel que la multiplication scalaire est continue.

Un espace vectoriel topologique est un groupe topologique (additif) qui est un espace vectoriel sur un corps topologique et tel que la multiplication scalaire est continue.

Il est bien connu qu’une application linéaire entre espaces vectoriels normés est continue si (et seulement si) elle est continue en zéro. Montrons que ce résultat n’a rien à voir avec les espaces vectoriels ou les normes. La clef est que, dans un groupe topologique, les voisinages de tous les points sont liés par les translations (disons à gauche) et que les morphismes de groupes commutent aux translations. Les translations $𝐿_{𝑔} : ℎ \mapsto 𝑔 ℎ$ sont continues puisque la multiplication est continue. Et l’inverse d’une translation $𝐿_{𝑔}$ est $𝐿_{𝑔^{- 1}}$ donc $𝐿_{𝑔}$ est un homéomorphisme. Nous aurons besoin d’un résultat général sur les homéomorphismes.

Lemme 4.11.2

Soit

𝑋

𝑌

des espaces topologiques et

ℎ : 𝑋 \to 𝑌

un homéomorphisme. Pour tout

𝑥

dans

𝑋

ℎ_{*} 𝒩_{𝑥} = 𝒩_{ℎ (𝑥)}

Démonstration : Comme

ℎ ⁻ ¹

est continue en

ℎ (𝑥)

, on obtient

ℎ ⁻ ¹_{*} 𝒩_{ℎ (𝑥)} \leq 𝒩_{𝑥}

. En appliquant

ℎ_{*}

à cette inégalité, on obtient

𝒩_{ℎ (𝑥)} \leq ℎ_{*} 𝒩_{𝑥}

. Comme

ℎ

est continue en

𝑥

on a également

ℎ_{*} 𝒩_{𝑥} \leq 𝒩_{ℎ (𝑥)}

et on conclut par antisymétrie.

□

Corollaire 4.11.3

Dans un groupe topologique, pour tout

𝑔

on a

𝒩_{𝑔} = (𝐿_{𝑔})_{*} 𝒩_{1}

où

𝐿_{𝑔}

est la translation à gauche par

𝑔

Nous pouvons maintenant démontrer le critère de continuité annoncé.

Lemme 4.11.4

Un morphisme de groupes

𝜑 : 𝐺 \to 𝐻

entre deux groupes topologiques est continue si (et seulement si) il est continue en

1

. Bien sûr si la loi de groupe de

𝐺

est noté additivement alors il faut lire « continue en

0

 ».

Démonstration : Supposons que $𝜑$ est continue en $1$ , c’est-à-dire $𝜑_{*} 𝒩_{1} \leq 𝒩_{1}$ puisque $𝜑 (1) = 1$ . Soit $𝑔 \in 𝐺$ . Montrons que $𝜑$ est continue en $𝑔$ . Comme $𝜑$ est un morphisme de groupes, on a $𝜑 \circ 𝐿_{𝑔} = 𝐿_{𝜑 (𝑔)} \circ 𝜑$ et on peut utiliser le corollaire précédent pour calculer

en utilisant que

(𝐿_{𝜑 (𝑔)})_{*}

est croissante.

□

On se concentre maintenant sur le cas des espaces vectoriels topologiques (evt). Il est bien connu qu’une application linéaire entre espaces vectoriels normés est continue dès qu’elle est bornée sur la boule unité. Pour montrer que cela n’a rien à voir avec les normes, il faut définir une notion d’ensemble borné dans un evt.

Définition 4.11.5

Soit $𝐾$ un corps topologique et $𝐸$ un $𝐾$ -evt. On dit qu’une partie $𝐴$ de $𝐸$ est bornée (au sens de von Neumann) si

où

𝑡 𝑉 = {𝑥 \in 𝐸 | \exists 𝑣 \in 𝑉, 𝑥 = 𝑡 𝑣}

Exemple 4.11.6

Soit

𝐸

𝐾

-evn, avec

𝐾 = ℝ ou ℂ

. Une partie

𝐴

𝐸

est bornée au sens de von Neumann si et seulement si elle est bornée au sens des espaces métriques. En effet si

𝐴 \subseteq 𝐵_{𝑟} (0)

pour un certain rayon

𝑟

𝑉

est un voisinage de

0

alors

𝑉

contient

𝐵_{𝜀} (0)

pour un certain

𝜀 > 0

𝑡 = \frac{𝑟}{𝜀}

convient. Réciproquement si

𝐴

est borné au sens de von Neumann alors on obtient

𝑡

tel que

𝐴 \subseteq 𝑡 𝐵_{1} (0) = 𝐵_{| 𝑡 |} (0)

et donc

𝐴

est borné.

Lemme 4.11.7

Soit

𝐸

𝐹

des evt et

𝜑 : 𝐸 \to 𝐹

une application linéaire. Si

𝜑

est bornée sur un voisinage de

0

alors

𝜑

est continue.

Démonstration : Soit

𝑉

un voisinage de zéro. Supposons que

𝜑_{*} 𝑉

est borné. Montrons que

𝜑

est continue. D’après le lemme 4.11.4 il suffit de montrer que

𝜑

est continue en zéro. Soit

𝑊 \in 𝒩_{0_{𝐹}}

. Comme

𝜑_{*} 𝑉

est borné, on obtient

𝑡 \in 𝐾^{\times}

tel que

𝜑 (𝑉) \subseteq 𝑡 𝑊

. Comme

𝜑

est linéaire, on peut récrire cette inclusion comme

𝜑_{*} (\frac{1}{𝑡} 𝑉) \subseteq 𝑊

ou encore

\frac{1}{𝑡} 𝑉 \subseteq 𝜑^{*} 𝑊

par adjonction. Or

\frac{1}{𝑡} 𝑉 \in 𝒩_{0_{𝐸}}

, car

𝑥 \mapsto \frac{1}{𝑡} 𝑥

est un homéomorphisme qui envoie

0

sur

0

. Donc

𝜑^{*} 𝑊 \in 𝒩_{0_{𝐸}}

□

Il faut se méfier du fait que le lemme précédent n’est pas une équivalence. En général, il peut n’y avoir aucun voisinage borné de zéro dans un evt.

L’objectif suivant est de montrer que la topologie initiale associée à une famille d’applications linéaires à valeur dans des evt est une topologie d’evt. Nous allons décomposer cela en deux petits lemmes concernant les ingrédients entrant dans la définition de la topologie initiale (inf et image réciproque) précédés d’un lemme général simplifiant ce genre de résultats.

Lemme 4.11.8

Pour montrer qu’un espace vectoriel

𝐸

sur un corps topologique

𝐾

est un evt, il suffit de montrer que l’addition et la multiplication scalaire sont continues.

Démonstration : La négation peut s’écrire

(-) = (\cdot) \circ (𝑥 \mapsto (- 1, 𝑥))

et la multiplication scalaire est continue.

□

Lemme 4.11.9

Soit

𝐾

un corps topologique et

𝐸

𝐹

des

𝐾

-espaces vectoriels. Pour toute fonction linéaire

𝑓 : 𝐸 \to 𝐹

et toute topologie

𝑇

d’evt sur

𝐹

𝑓^{*} 𝑇

est une topologie d’evt sur

𝐸

Démonstration : Montrons la continuité de l’addition. On utilise la caractérisation en terme d’image réciproque de topologie. On a

Montrons de même la continuité de la multiplication scalaire. On a

$□$

Lemme 4.11.10

Soit

𝐾

un corps topologique et

𝐸

𝐾

-espace vectoriel. Pour toute famille

𝑇

de topologies d’evt sur

𝐸

{inf}_{𝑖} 𝑇_{𝑖}

est aussi une topologie d’evt.

Démonstration : Montrons d’abord que l’addition $(+)$ est continue, en utilisant l’observation 4.3.10 et l’exercice 4.46.

Montrons maintenant que la multiplication scalaire $(\cdot)$ est continue, en utilisant l’observation 4.3.10 et l’exercice 1.17.

$□$

On peut maintenant assembler les morceaux pour obtenir le résultat promis.

Proposition 4.11.11

Soit

𝐾

un corps topologique,

𝐸

𝐾

-ev et

𝐹

une famille de

𝐾

-evt indexée par un ensemble

𝐼

. Soit

𝜑

une famille d’applications linéaires de

𝐸

dans les

𝐹_{𝑖}

. La topologie initiale

𝑇_{𝜑}

est une topologie de

𝐾

-evt sur

𝐸

Démonstration : Il s’agit de la concaténation des deux lemmes précédents.

□

Exemple 4.11.12

Soit $𝐸$ un evt. On note $𝐸^{'}$ l’espace vectoriel des formes linéaires continues sur $𝐸$ .

La topologie initiale associée à la famille des éléments $𝜆 : 𝐸 \to 𝐾$ de $𝐸^{'}$ est appelée topologie faible sur $𝐸$ . La proposition 4.6.2 assure qu’une suite $𝑢 : ℕ \to 𝐸$ converge vers un élément $𝑒$ pour cette topologie si et seulement si, pour toute forme linéaire continue $𝜆$ sur $𝐸$ , $𝜆 (𝑢_{𝑛})$ converge vers $𝜆 (𝑒)$ .
Remarque : dans le cas où $𝐾$ est $ℝ$ ou $ℂ$ et où $𝐸$ est un evn de dimension finie, la topologie faible sur $𝐸$ est en fait la topologie usuelle. Ainsi cette construction n’a d’intérêt qu’en dimension infinie. En effet, on sait que $𝐸$ muni de la topologie de la norme est homéomorphe à $𝐾^{𝑛}$ muni de la topologie produit et que toutes les formes linéaires sur $𝐾^{𝑛}$ sont continues pour cette topologie. Donc il suffit de montrer que la topologie initiale associée aux formes linéaires sur $𝐾^{𝑛}$ est la topologie produit, autrement dit la topologie initiale associée aux projections $𝑝_{𝑖}$ sur les facteurs. Montrons que ces deux topologies vérifient la même propriété universelle de la proposition 4.6.2. Soit $𝑍$ un espace topologique et $𝑓 : 𝑍 \to 𝐸$ une fonction. Montrons que
L’inclusion de la gauche vers la droite est claire, car les $𝑝_{𝑖}$ sont des formes linéaires. Pour la réciproque on utilise que tout $𝜆$ est combinaison linéaire des $𝑝_{𝑖}$ , et qu’une combinaison linéaire de fonctions continues à valeurs dans $𝐾$ est continue.
La topologie initiale associée à la famille des évaluations ${ev}_{𝑥} : 𝐸^{'} \to 𝐾$ pour $𝑥 \in 𝐸$ est appelée topologie faible- $⋆$ sur $𝐸^{'}$ . La proposition 4.6.2 assure qu’une suite $𝜆 : ℕ \to 𝐸^{'}$ converge vers un élément $𝜇$ pour cette topologie si et seulement si, pour tout $𝑥 \in 𝐸$ , $𝜆_{𝑛} (𝑥)$ converge vers $𝜇 (𝑥)$ . Là encore, cette notion n’a d’intérêt qu’en dimension infinie.

Exercice 4.53

Soit $𝕂 = ℝ ou ℂ$ , muni de sa topologie usuelle. Soit $𝐸$ et $𝐹$ des $𝕂$ -evt.

Montrer que toute forme linéaire continue $𝜆 \in 𝐸^{'}$ est faiblement continue, c’est-à-dire continue de $𝐸$ muni de sa topologie faible dans $𝕂$ .
Cette propriété est garantie, car la topologie faible est la topologie initiale associée aux formes linéaires continues sur $𝐸$ . En effet, la fonction ${Id}_{𝐸}$ est faiblement continue et la propriété universelle de la topologie initiale assure que tous les $𝜆 \circ Id$ sont continues.
Il est également instructif de démontrer ce fait à partir de la construction de la topologie faible par le calcul suivant :
Soit $𝜑$ une application linéaire continue de $𝐸$ dans $𝐹$ . Montrer que $𝜑$ est faiblement continue, c’est-à-dire continue de $𝐸$ muni de sa topologie faible dans $𝐹$ muni de sa topologie faible.
Par propriété universelle de la topologie faible sur $𝐹$ , il suffit de montrer que $𝜇 \circ 𝜑$ est continue pour toute forme linéaire $𝜇$ sur $𝐹$ qui est continue (pour la topologie forte de $𝐹$ ). Or $𝜇 \circ 𝜑$ est continue pour la topologie forte sur $𝐸$ , comme composition de fonctions continue. La première question assure que $𝜇 \circ 𝜑$ est également continue pour la topologie faible.

On veut maintenant tenir la promesse de récupérer de la compacité en dimension infinie. Pour cela, nous aurons besoin de la définition suivante.

Définition 4.11.13

Soit $𝑉$ une partie d’un evt $𝐸$ sur un corps normé $𝐾$ . L’ensemble polaire de $𝑉$ est

Exemple 4.11.14

Soit

𝐸

un evn. L’ensemble polaire de la boule unité fermée autour de zéro dans

𝐸

est la boule unité fermée pour la norme duale sur

𝐸^{'}

Théorème 4.11.15

On note $𝐾$ le corps des réels ou des complexes, muni de sa topologie usuelle. L’ensemble polaire de tout voisinage de l’origine dans un $𝐾$ -evt est compact pour la topologie faible- $⋆$ .

En particulier la boule unité du dual d’un $𝐾$ -evn est compacte pour la topologie faible- $⋆$ . On en déduit que tout fermé borné pour la topologie de la norme sur $𝐸^{'}$ est compact pour la topologie faible- $⋆$ .

Attention : ce théorème n’affirme pas qu’on obtient des espaces localement compacts, car les ensembles compacts obtenus ne sont pas des voisinages de l’origine pour la topologie concernée.

Démonstration : Soit $𝑉$ un voisinage de l’origine dans un $𝐾$ -evt $𝐸$ . Montrons d’abord que $𝑉^{𝑜}$ est fermé. Notons $𝐺$ l’ensemble des fonctions de $𝐸$ dans $𝐾$ muni de la topologie de la convergence simple, c’est-à-dire la topologie initiale pour la famille des évaluations ${ev}_{𝑥} : 𝐺 \to 𝐾$ . En particulier chaque ${ev}_{𝑥}$ est continue. Par définition, la topologie faible sur $𝐸^{'}$ est la topologie de $𝐸^{'}$ vue comme partie de $𝐺$ . Pour chaque $𝑥$ et $𝑦$ dans $𝐸$ et $𝜆$ dans $𝐾$ , ${𝑓 : 𝐸 \to 𝐾 | 𝑓 (𝑘 𝑥 + 𝑦) = 𝑘 𝑓 (𝑥) + 𝑓 (𝑦)}$ est fermé dans $𝐺$ , car c’est l’image réciproque de ${0_{𝐾}}$ par l’application ${ev}_{𝑘 𝑥 + 𝑦} - 𝑘 {ev}_{𝑥} - {ev}_{𝑦}$ qui est continue puisque les évaluations, la soustraction et la multiplication scalaire sont continues.

De même pour chaque $𝑣 \in 𝑉$ , ${𝑓 : 𝐸 \to 𝐾 | | 𝑓 (𝑣) | \leq 1}$ est fermé.

Ainsi il suffit de montrer que

L’inclusion de $𝑉^{o}$ dans cet ensemble est clair, car la première intersection équivaut à la linéarité et la seconde correspond directement à la définition de la polaire. Il ne reste qu’à voir que la continuité est automatique, ce qui découle du lemme 4.11.7 puisque $𝑉$ est un voisinage de l’origine dans $𝐸$ et la deuxième intersection assure que $𝑓$ est bornée par $1$ sur $𝑉$ .

Affirmation : $\forall 𝑥 \in 𝐸, \exists 𝑀 \in ℝ, \forall 𝜆 \in 𝑉^{o}, | 𝜆 (𝑥) | \leq 𝑀$ .

Démonstration : Soit $𝑥 \in 𝐸$ . La fonction $𝜑_{𝑥} : 𝑘 \mapsto 𝑘 𝑥$ est continue de $𝐾$ dans $𝐸$ et $𝑉 \in 𝒩_{0}$ donc on obtient $𝜀 > 0$ tel que $𝐵_{𝜀} (0_{𝐾}) \subseteq 𝜑_{𝑥}^{*} 𝑉$ . Montrons que $𝑀 = \frac{1}{𝜀}$ convient. Soit $𝜆 \in 𝑉^{o}$ . Comme $𝜀 𝑥 \in 𝑉$ on a $| 𝜆 (𝜀 𝑥) | \leq 1$ et donc $| 𝜆 (𝑥) | \leq 𝑀$ .

En utilisant l’affirmation et l’axiome du choix, on obtient une fonction $𝑀 : 𝐸 \to ℝ$ telle que $\forall 𝑥 \in 𝐸, \forall 𝜆 \in 𝑉^{o}, | 𝜆 (𝑥) | \leq 𝑀 (𝑥)$ . Ainsi, en voyant $𝐺$ comme produit de copies de $𝐾$ indexées par $𝐸$ , on a $𝑉^{o} \subseteq \prod_{𝑥 \in 𝐸} {\overline{𝐵}}_{𝑀 (𝑥)} (0_{𝐾})$ qui est compact par Tychonov (théorème 4.8.10). Puisque $𝑉^{o}$ est fermé dans un compact, il est compact par le lemme 4.8.6. $□$

Dans ce théorème, l’hypothèse que $𝐾$ est $ℝ$ ou $ℂ$ est inutilement restrictive. En examinant la démonstration, on peut se convaincre qu’on utilise qu’il s’agit d’un corps muni d’une valeur absolue non triviale (au sens où il existe un élément dont la norme n’est ni 0 ni 1) et pour lequel les boules fermées sont compactes. Cela fonctionnerait par exemple avec les nombres $𝑝$ -adiques.