Topologie algébrisée
Introduction
Ce cours est le cours complémentaire de la seconde année du magistère de mathématiques d’Orsay. Il est donc destiné à des étudiantes et étudiants voulant un cours en plus durant leur année de M1. C’est l’occasion de prendre du recul sur certaines notions déjà étudiées et de travailler de nouvelles façons de penser. Ces nouvelles façons de penser ne remplacent pas les anciennes. Elles apportent un complément qui, selon les personnes, peut être un simple apport culturel ou un ingrédient essentiel pour la suite. Bien sûr ce cours aborde également de nouveaux objets et théorèmes, mais ce n’est pas son objectif principal.
Le thème principal est celui de l’abstraction au service de l’intuition. Des définitions et constructions plus abstraites visent à renforcer l’intuition en permettant d’exprimer plus clairement les propriétés attendues, et les garantir par construction. Si on osait s’exprimer comme dans les ouvrages douteux de développement personnel, on pourrait dire que le slogan de ce cours est « concentre toi sur l’essentiel et crois en tes rêves ».
L’essentiel est incarné ici par la notion centrale de propriété universelle, qui apparait de plus en plus souvent à partir du L3, particulièrement en cours d’algèbre. Elle fait ici l’objet d’une étude systématique. La concentration sur l’essentiel permet de faire des parallèles entre des discussions portant sur des objets de natures différentes. Le cadre utilisé est la théorie des catégories, développée dans les chapitres impairs, en commençant par le cas particulier plus simple des ensembles ordonnés.
La concentration sur l’essentiel permet aussi de spécifier et construire les « rêves » du slogan, développés dans les chapitres pairs. Dans un premier temps, il s’agira de « parties généralisées ». On rêve de pouvoir dire des choses comme « une suite tend vers si l’image directe par de l’ensemble des très grands entiers est incluse dans l’ensemble des points qui sont proches de », ce qui est plus immédiatement intuitif qu’un empilement de quantificateurs. Ultimement, la réalisation de ce rêve reposera sur la construction d’un ensemble ordonné vérifiant une propriété universelle d’extension des fonctions croissantes définies sur les parties d’un ensemble. Ensuite la topologie générale sera réintroduite en se concentrant sur les façons dont elle doit réparer les limitations de la théorie des espaces métriques, et en se reposant le moins possible sur les détails d’implémentation. Par exemple la topologie produit est construite et étudiée sans jamais utiliser de description de ses ouverts. Un maximum de démonstrations utilisent des calculs sur les parties généralisées ou les topologies sans manipuler de points ou d’ouverts, et avec très peu de quantificateurs. Dans le dernier chapitre pair, le rêve est d’extraire de l’information globale sur la forme d’un espace topologique en injectant les points, courbes, triangles… d’un espace topologique dans un contexte d’algèbre linéaire. Là encore, la question essentielle avant de prendre des combinaisons linéaires de points ou de courbes d’un espace topologique est : quelle est la propriété universelle qui doit caractériser ces opérations ? Quelles sont les différences que l’on veut oublier ?
Sources
Ces notes de cours sont produites de façon éthique et humaine, sans aucun usage d’IA générative. En particulier, il est possible de lister les principales sources utilisées :
- Bourbaki, Éléments de mathématique, particulièrement le chapitre 1 du livre de topologie
- Mathlib, la bibliothèque de mathématiques formalisées de Lean
- Riehl, Category theory in context
- Hatcher, Algebraic topology pour le dernier chapitre
- Bredon, Topology and geometry en complément de Hatcher pour certains points.
À propos des exercices
Ces notes comportent des exercices au fil du texte. À titre indicatif, les exercices sont répartis en trois catégories :
- Les exercises qui aident à lire le cours sont signalés par l’icône
. En principe, il s’agit d’applications assez directes des définitions et énoncés précédents, ou bien des variantes de démonstration vues juste avant. Il peut y avoir quelques difficultés malgré cela. L’idée est qu’il est essentiellement indispensable de faire ces exercices. Les examens supposent que ces exercices ont été travaillés. - Les exercices d’entraînement sont signalés par
(qui essaie de représenter des haltères). Ces exercices sont souvent un peu plus techniques. Parfois il s’agit de variations sur des thèmes déjà abordés dans la catégorie des exercices pour travailler le cours. Parfois ils introduisent de petits résultats qui seront utilisés plus loin. Les résultats de ces exercices peuvent être utilisés dans un examen, mais dans ce cas l’énoncé sera rappelé. - Les exercices d’ouverture sont signalés par
(qui essaie de représenter un palmier). Ces exercices illustrent les notions du cours en mobilisant des connaissances d’autres cours (souvent d’algèbre), ou bien développent la théorie au-delà du contenu du cours (dans le chapitre concernant l’homologie singulière en particulier). Ils sont particulièrement nombreux dans les chapitres impairs qui mettent en place la théorie des catégories. Certains de ces exercices sont très longs. Ces exercices sont complètement hors programme des examens. Cependant, n’en faire aucun ne permet pas de vraiment profiter de ce cours.
Code source et redistribution
Le code source permettant de produire ces notes est disponible sur https://codeberg.org/pmassot/topologie_algebrisee N’hésitez pas à proposer des corrections, soit depuis codeberg, soit par email.
Vous pouvez modifier ce cours et le redistribuer sous les conditions de la licence AI0-BY-NC-SA-1.0 : https://www.humanscommons.org/license/ai0-by-nc-sa/1.0. La version résumée est : toute version redistribuée doit mentioner le nom de l’auteur d’origine et décrire raisonnablement les modifications apportées, ne peut pas avoir été produite en utilisant de l’IA générative, ne peut pas être vendue, et doit être partagée avec les mêmes conditions.
Remerciements
Je remercie Anatole Dedecker, Jad Koleilat, Julie Massot et Titouan Moisy pour leur relecture de certaines parties de ce cours.