Polytech Paris-Sud 2019–2020 - PeiPA 1/C - S2 : Mathématiques 2

[ Archives ] Liens vers les archives (cours, TD/TP, contrôles et corrigés) des années 2013 à 2016 : page de Michel Rumin, et
lien vers les archives (cours uniquement) des années 2017 à 2019 : poly de Joel Merker.

[ Cours/poly ] Le cours de cette année va se baser sur :
le poly de M. Rumin pour le chapitre 1, légèrement réorganisé : rappels d'intégration simple, définition et propriétés des intégrales doubles, puis intégrales triples.
– une réécriture (et en particulier une réorganisation importante) du poly de M. Rumin.

[ Feuilles d'exercices (TD/TP) ]
Feuille 1 : Intégrales simples et doubles | Feuille 2 : Intégrales doubles et triples
Feuille 3 : Droites et plans vectoriels, systèmes linéaires | Feuille 4 : Matrices et applications linéaires
Feuille 5 : Sous-espaces vectoriels, bases, dimension | Feuille 6 : Changements de bases
TP 1 : Algèbre linéaire avec numpy, analyse entrée/sortie en économie
TP 2 : Moindres carrés, Régression linéaire et variantes
TP 3 : Évolution de systèmes et matrices de transition

[ Contrôles et DM ]
Contrôle 1 (11/2) : Intégration (sujet, corrigé)
Contrôle 2 (10/3) : Systèmes linéaires, applications linéaires (sujet, corrigé)
DM (14-15/5) (sujet, corrigé)


Programme indicatif. Les dates en gritalic sont des prévisions (probablement optimistes !).
7/1
2h
Chap 1 : intégration
1. Rappel : intégration en dimension 1.
Interprétations de l'intégrale.
Propriétés élémentaires de l'intégrale simple.
Intégrale, primitive et dérivée.
Corollaires: intégration par parties, changement de variable.
8/1
1.5h
2. Fonctions de 2 variables et domaines réguliers de IR^2
Domaines réguliers.
Fonctions continues de 2 variables.
3. Intégrale double et aire d'un domaine
Intégrale double, définition.
Aire d'un domaine régulier, définition et calcul par (décomposition et) tranches.
13/1
1.5h
4. Propriétés de l'intégrale double.
Linéarité, positivité, croissance par rapport au domaine.
Additivité par rapport au découpage du domaine.
Propriétés élémentaires de l'intégrale multiple
5. Illustration physique : intégrale et centre de gravité.
14/1
2h
6. Le théorème de Fubini
Fubini dans le plan (Théorème, cas des retangles, idées de démo).
7. Changements de variables.
La formule (et l'idée derrière).
20/1
1.5h
Des jacobiens particuliers : dilatations, isométries.
Calculs en coordonnées polaires.
21/1
2h
8. Intégrales triples
Domaines réguliers de IR^3, fonctions de 3 variables continues.
Intégrale triple et volume d'un domaine régulier.
Centre de gravité d'un solide.
Fubini en 3D.
27/1
1.5h
Changement de variables.
Calculs en coordonnées cylindriques.
Calculs en coordonnées sphériques.
28/1
2h
Comparaison coordonnées cylindriques et sphériques.
Interlude : IR^n
Définition, droites et plans vectoriels, base canonique.

Chap 2 : Systèmes linéaires
1. Présentations des systèmes linéaires.
Interprétations comme combinaisons linéaires, codage matriciel.
3/2
1.5h
2. Systèmes particuliers.
(1) Systèmes triangulaires, systèmes de Cramer.
(2) Systèmes échelonnés (réduits).
Pivots, inconnues principales / secondaires, équations de compatibilité.
Résolution d'un système échelonné.
3. Systèmes équivalents et transformations élémentaires.
4/2
2h
4. Algorithme du pivot de Gauss-Jordan.
Obtention d'un système linéaire échelonné (réduit).
5. Notion de rang.
Rang d'un système, rang d'une matrice.
Nombre de solutions en fonction du rang vs nombre d'équations/d'inconnues.

Chap 3 : Matrices et applications linéaires
1. Applications linéaires de IR^p dans IR^n.
Définition.
10/2
1.5h
Caractérisation par la donnée de p vecteurs de IR^n.
2. Matrice d'une application linéaire.
3. Calcul matriciel de l'image d'un vecteur.
Contrôle 1 : 11/2
24/2
1.5h
4. Exemples d'applications linéaires du plan.
Homothéties, rotations et compositions (i.e similitudes sans translation).
Projections / symétries orthogonales sur / par rapport aux axes (Ox) et (Oy).
2/3
1.5h
5. Opérations sur les matrices et les applications linéaires.
Structure d'espace vectoriel.
Produit de matrices et composition d'applications linéaires.
3/3
2h
6. Isomorphismes et matrices inversibles
Applications linéaires injectives, surjectives. Isomorphismes.
Matrices inversibles.
Exemples et méthode de calcul de l'inverse.
Cas des matrices 2x2.
9/3
1.5h
Déterminant et aire des parallélogrammes.
7. Application : Analyse entrée/sortie en économie.

Chap 4 : Sous-espaces vectoriels, bases, dimension
1. Sous-espaces vectoriels de IR^n
Définition. Noyau et image d'une application linéaire.
   Corrections TD4, exo 6-10 

TD 19 (premier TD de la semaine du 23/03)
(fin Feuille 4 et) Feuille 5, exos 1-3
   Corrections TD5, exo 1-3 
Contrôle 2 : 10/3
16/3
1.5h

         Notes 
2. Bases et coordonnées.
3. Indépendance linéaire.
Famille libre/liée. Famille génératrice est une base ssi elle est libre.
TD 20 (second TD de la semaine du 23/03)
Feuille 5, exos 4-6
17/3
2h





         Notes 
4. Dimension d'un sev.
Définition comme cardinal de toute base.
Application (linéaire) "coordonnées". Aperçu des changements de base.
5. Calculs de dimensions et déterminations de bases.
Extraction d'une base à partir d'une famille génératrice par échelonnage.
Complétion d'une famille libre en base.
Dim et base de l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène.
Feuille 5, exo 7
   Corrections TD5, exo 4-7 

TD 21 (TD de la semaine du 30/03)
Feuille 5, exo 8-10
23/3
1.5h




         Notes 
         Vidéo 
6. Conséquences utiles.
Cardinal des familles libres, génératrices et des bases. Croissance de la dimension.
7. AX = Y et le théorème du rang.
Espace affine, structure de l'espace des solutions de AX = Y.
Le théorème du rang. Conséquences.
8. Espaces supplémentaires, projections et symétries.
Somme directe et espaces supplémentaires.
Feuille 5, exo 11
   Corrections TD5, exo 8-11 
TD 22 (TD de la semaine du 20/04)
Feuille 5, exo 12-15
   Corrections TD5, exo 12-15 
TD 23 (TD de la semaine du 27/04)
Feuille 5, exo 16
27/3
~ 2.75h




       Notes   
      Vidéo 1 
      Vidéo 2 
Projections et symétries.

Chap 5 : Algèbre linéaire (ou Calcul matriciel dans des bases quelconques)
1. Application linéaire et ses matrices associées.
Définition de la matrice de f dans les bases B et B'.
2. Opérations sur les applications linéaires et leurs matrices associées.
Composition / multiplication, réciproque / inverse.
3. Changement de bases et matrices de passage.
Feuille 5, exo 17
   Corrections TD5, exo 16-17 
Feuille 6, exos 1-2
   Corrections TD6, exo 1-2 

TD 24 (premier TD de la semaine du 04/05)
Feuille 6, exos 3-5
   Corrections TD6, exo 3-5 
31/3
~ 1.25h

         Notes 
         Vidéo 
4. Le cas des endomorphismes.
Matrice de passage et changement de base.
5. Trace et déterminant d'un endomorphisme.
Trace d'une matrice et d'un endomorphisme. Déterminant en dimension 2.
TD 25 (second TD de la semaine du 04/05)
Feuille 6, exos 6-8
   Corrections TD6, exo 6-9 
3/4
~ 2h







         Notes 
         Vidéo 
Application 2: Moindres carrés, Régression linéaire et variantes
1. Projection orthogonale.
sev orthogonal à un sev E donné. E et son orthogonal sont supplémentaires.
Théorème de Pythagore. Projection orthogonale.
2. Régression linéaire.
Idée générale, méthode des moindres carrés (sur python).
3. Qualité de l'approximation
Coefficient de corrélation.
4. Variantes.
Approximation quadratique, sinusoïdale, exponentielle, plusieurs variables.
20/4
~ 1.5h

         Notes 
         Vidéo 
Application 3: Évolution de systèmes, matrices de transition
Pocessus de Markov, matrice de transition, état stationnaire.
Matrice de transition irréductibe et théorème de Perron-Frobenius
Dans la pratique (python). Généralisation
Contrôle 3 : 23/4 (annulé)
Contrôle 4 : 12/5