On some generalisations of Optimal Transport problem

This manuscript is devoted to the study of some generalisation of Optimal Transport problem as well as some applications arising in Mathematical Finance, Game Theory and Quantum Physics. More specifically, we first consider the Multi-Marginal Optimal Transport (MMOT) problem by a careful refinement of the existing theory for the one dimensional case, we provide an explicit characterisation of spectral risk measures. We also study the entropic regularization of MMOT and in particular derive rate of convergence of the entropic cost to the multi-marginal cost as the regularization parameter vanishes. Moreover, in the framework of entropic transport we provide an ODE characterisation of the discrete problem. Concerning the application of Optimal Transport to Density Functional Theory (DFT) we propose a generalisation of MMOT to the grand canonical ensemble, that is we allow the number of marginals to vary. Furthermore, we also focus on a sparse approximation of the Lieb functional via moments constraints. Finally, we study unequal dimensional Optimal Transport and some related variational problems arising in Game Theory and Economics as, for instance, Cournot-Nash equilibria or the hedonic pricing problem. The last part of the manuscript is then devoted to develop the theory of some metrics involving singular measures.

Géométrie ergodique à l'infini de Out(Fn), équivalence mesurée, rigidité.

Résumé. Le contexte général de ce travail est la théorie géométrique, ergodique et mesurée des groupes, avec des emprunts aux algèbres d'opérateurs, à la théorie des marches aléatoires, à la topologie. Les deux thèmes centraux sont la géométrie asymptotique du groupe Out(Fn) des automorphismes extérieurs d'un groupe libre, et l'équivalence mesurée, analogue mesurable à la notion de quasi-isométrie.

Le théorème central du mémoire est un théorème de rigidité, obtenu avec Guirardel : pour tout n au moins égal à 3, tout groupe dénombrable qui est mesurablement équivalent à Out(Fn), lui est virtuellement isomorphe.

Les premiers chapitres mettent en place les outils géométriques qui entrent dans sa démonstration, et notamment l'action de Out(Fn) sur des espaces à courbure négative. Nous présentons au passage d'autres théorèmes obtenus sur Out(Fn)  : classification de ses sous-groupes, moyennabilité à l'infini, rigidité de commensurateur.

Nous présentons ensuite le théorème de rigidité de Out(Fn) en équivalence mesurée, et ses analogues dans d'autres cadres : pour les groupes d'Artin-Tits, les groupes modulaires de corps en anses, les groupes de Higman. Nous étudions aussi les groupes d'Artin-Tits à angles droits du point de vue de l'équivalence mesurée. Le mémoire se clôt sur quelques applications en théorie des algèbres d'opérateurs.

Real Differentiation Results along Zygmund’s Program, Singularities and Continuous Solutions to Divergence-Type PDEs. 

Résumé : Un programme de recherche (souvent appelé « programme de Zygmund » dans la littérature) vise, depuis les années 1950, à comprendre le comportement, dans les espaces de Lebesgue ou d’Orlicz, des opérateurs maximaux de type Hardy-Littlewood associés à des familles invariantes par translation d’intervalles n-dimensionnels — et, par extension, associées à d’autres familles invariantes par translation d’objets géométriques dans l’espace euclidien de dimension n. Nous présentons, dans ce mémoire, des résultats obtenus ayant trait à ce « programme de Zygmund », et en particulier à l’obtention de conditions géométriques garantissant ou infirmant le caractère borné dans $L^p$ (ou d’autres espaces d’Orlicz tels $L\log^α L$) de ces opérateurs maximaux.
Par ailleurs, nous présentons aussi plusieurs travaux consacrés à l’existence de solutions continues, ou à la caractérisation des ensembles de singularités effaçables, pour l’équation de la divergence ou des généralisations naturelles de celle-ci à coefficients non constants.

Titre : "Analyse de quelques inégalités fonctionnelles et équations aux dérivées partielles liées à de grands systèmes quantiques".

Théorie du pluripotentiel et géométrie complexe

Arithmétique et probabilités