Mathématiques
Orsay

Development of new post hoc methods for structured data

Points critiques stationnaires pour un modèle champ de phase en mécanique de la rupture

Méthodes particulaires pour le transport optimal multimarge en grande dimension

Estimations précisées pour des opérateurs paraboliques

Dans cette thèse, nous présenterons des asympotiques d'états cohérents propagés par une équation de Schrödinger associée à un Hamiltonien donné. Ces résultats étendent ceux obtenus par Combescure et Robert, dans lesquels un état cohérent propagé est approché dans la limite $h\to 0$ par des paquets gaussiens déformés dits états cohérents comprimés. Cette description reste valide pour des temps $t$ pouvant tendre vers l'infini quand $h\to 0$, dans le régime $|t|\leq  |\log h|/(6\lambda_0)$ où $\lambda_0$ est l'exposant de Lyapunov maximal de la dynamique classique. L'échec de cette approximation au temps $|\log h|/(6\lambda_0)$ est relié à la flexion des paquets d'ondes évolués : une fois étalés à l'échelle $h^{1/3}$, les états comprimés ne founissent plus une description appropriée. Pour obtenir une représentation valide jusqu'à des temps $|t|\leq C|\log h|$ avec un plus grand $C$ (par exemple jusqu'au temps d'Ehrenfest $|\log h|/(2\lambda_0)$ où un étalement à des échelles macroscopiques est autorisé), on ajoute des hypothèses sur le flot $\Phi_t$ associé à la dynamique classique, imposant des contraintes sur les directions d'élongation. La description obtenue met en évidence que les états propagés ne doivent plus être considérés comme microlocalisés en un point mais plutôt le long d'une sous-variété isotrope (correspondant à des directions instables).

Ces résultats seront ensuite appliqués à l'étude de l'équation des ondes amorties sur une variété Anosov, on expliquera comment une telle asymptotique d'états cohérents propagés peut être utilisée pour obtenir des estimées de propagateurs, permettant d'obtenir un trou spectral et des estimées de résolvante pour l'opérateur associé, et ainsi de montrer la décroissance exponentielle de l'énergie des solutions.