Dans cette thèse, nous montrons comment la première réduction de Voronoi permet de construire des discrétisations aux différences finies monotones sur grilles cartésiennes de certains opérateurs différentiels dégénérés elliptiques. Nous recommandons une discrétisation particulière, consistante à l'ordre deux, d'opérateurs différentiels linéaires anisotropes en dimensions deux et trois comprenant à la fois des termes d'ordres un et deux. Nous prouvons la quasi-optimalité de cette construction. Nous étudions certaines propriétés de régularité et de compacité de la première réduction de Voronoi en dimension quatre. Nous concevons une méthode permettant d'approcher efficacement des distances de Randers et des distances de transport optimal associées, en utilisant un principe de grandes déviations. Nous discrétisons les opérateurs de Pucci et de Monge-Ampère. Les discrétisations obtenues s'écrivent comme des maxima d'opérateurs discrets ; en dimension deux, nous montrons que ces maxima admettent des expressions de forme fermée, ce qui réduit le coût numérique de leur évaluation. Nous étudions le caractère bien posé et, dans certains cas, la convergence d'un schéma numérique pour le second problème aux limites pour l'équation de Monge-Ampère. Nous présentons une application numérique au problème du réfracteur en champ lointain en optique non imageante.