Thèse Probabilités et statistiques

Propriétés géométriques à grande échelle de graphes aléatoires

03
déc. 2021
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Intervenant : MARCHAND David
Directeur : CURIEN Nicolas / MANOLESCU Ioan
Heure : 14h00
Lieu : 3L8

Dans cette thèse, nous étudions la géométrie à grande échelle de deux modèles de graphes aléatoires.

Dans un premier chapitre, nous nous intéressons aux arbres à attachement préférentiel affine, qui sont des arbres dont le volume croît avec le temps, selon un mécanisme récursif, aléatoire et constant. Partant d’un certain état initial — un arbre fini appelé graine — on ajoute un à un de nouveaux sommets, en reliant chacun d'entre eux par une arête à un sommet présent dans l’arbre courant. Le choix de ce dernier est aléatoire et la probabilité de choisir un sommet en particulier est proportionnelle à une fonction affine et croissante de son degré. Ce que nous montrons dans cette thèse est l’influence asymptotiquement persistante de la graine sur la loi d’un arbre à attachement préférentiel affine. Plus exactement, si $T_n^S$ et $T_n^{S'}$ sont deux arbres aléatoires à $n$ sommets, construits d’après la règle décrite ci-dessus à partir de deux graines $S$ et $S'$ distinctes, alors la distance en variation totale entre leur loi respective est uniformément minorée en $n$ par une constante strictement positive. Autrement dit, la loi d’un arbre à attachement préférentiel affine dépend de la graine dont il est issu, y compris en temps long.

Dans un second chapitre, indépendant du premier, nous étudions cette fois la géométrie de triangulations causales surcritiques, au travers d’un processus de percolation orientée. Les triangulations causales sont des cartes planaires construites, pour faire court, en ajoutant des arêtes~« horizontales » entre les sommets d’un arbre situés à même distance du sommet racine. Nous nous intéressons ici plus particulièrement aux triangulations causales obtenues à partir d’un arbre de Bienaymé-Galton-Watson surcritique, conditionné à survivre, de loi de reproduction géométrique. Nous soumettons ces cartes à une percolation orientée de Bernoulli et montrons qu’une transition de phase continue se produit en un point critique $p_c$, non trivial, dont l’expression, sous forme de série infinie, est calculée explicitement. Au dessus de ce seuil, une infinité de clusters infinis coexistent dans la carte, ce qui confirme le caractère fondamentalement hyperbolique de sa géométrie. Enfin, nous prouvons qu’au point de percolation critique, un cluster dont le nombre de sommets est conditionné à être grand, correctement renormalisé, converge pour la distance de Gromov-Hausdorff vers l’arbre continu brownien.

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