Le nombre d’arbres couvrants enracinés d’un graphe connexe est, d’après une identité ancienne, égal au produit des valeurs propres non nulles du laplacien discret sur ce graphe. Cette identité a été étendue à des situations où à chaque arête du graphe est attaché un signe (+1 ou -1), ou un nombre complexe ou quaternionique de module 1. Le déterminant du laplacien compte alors, avec des poids, d’autres sous-graphes que des arbres couvrants. 

 

Dans chacun de ces résultats, le déterminant du laplacien est vu comme la fonction de partition d’un ensemble statistique de sous-graphes, et la mesure de probabilité sous-jacente, considérée comme la loi d’un ensemble aléatoire d’arêtes, est un processus ponctuel déterminantal. 

 

Dans un travail en cours avec Adrien Kassel (CNRS, ENS Lyon), nous étendons ces idées à la situation, d’inspiration géométrique et physique, où sont associés, à chaque sommet du graphe, un espace vectoriel, et à chaque arête, un isomorphisme entre les espaces vectoriels associés à ses extrémités. Le déterminant du laplacien apparaît encore comme une fonction de partition, cette fois continue, d’un modèle d’espaces vectoriels aléatoires, et nous appelons la mesure de probabilité sous-jacente un processus déterminantal linéaire.

 

Dans cet exposé, je présenterai les idées élémentaires de géométrie euclidienne qui sous-tendent ces résultats anciens et nouveaux, j’expliquerai ce que sont les processus déterminantaux linéaires, et j’indiquerai des choses qu’on peut faire ou espérer faire avec.